INSA de Rouen Année 1 / Semestre 1 Travaux dirigés de l EC P Mécanique du point matériel Année 016-017 http://moodle.insa-rouen.fr/ jerome.yon@insa-rouen.fr clement.keller@insa-rouen.fr benoit.vieille@insa-rouen.fr yves.montier@insa-rouen.fr mouldi.ben-azzouna@insa-rouen.fr Grandeurs physiques usuelles : Masse de la Terre : MT = 5.9710 4 kg; Masse de la Lune : ML=7.3610 kg ; distance Terre-Lune LT=3.84410 8 m; R T =6.37110 6 m, R L =1.73710 6 m ; Constante gravitationnelle : G = 6,67.10-11 Nm kg - ;
Opérateurs Mathématique TD N 1 Exercice 1 : Opérations sur les vecteurs Soient une base orthonormée directe O, ux, uy, uz et les vecteurs : a 3u 4u 5u b u u 6u c u x u d 4u x y z, x y z, y, y Calculer : La norme, le produit scalaire, la somme, la différence, l angle que forment les vecteurs : a et b puis c et d. Exercice : Dérivées et intégrales A terminer pour le TD suivant. 1. Calculer les dérivées des expressions suivantes : x x Acos( t ) y 5e y sin ln x 1 x Ae sin( t ). Calculer la primitive de la fonction suivante ainsi que son intégrale pour t compris entre 1 et. x Acos( t ) t Exercice 3 : Oscillations d un pendule élastique (à finir à la maison) Un pendule élastique est constitué d un ressort et d un point mobile A fixé à une de ses extrémités. L autre extrémité du ressort est immobile dans le référentiel d étude. Le point mobile A oscille perpétuellement (pas de frottements) de manière sinusoïdale autour de sa position d équilibre A. A a une vitesse V 0 = 0,800 m.s -1 quand il passe par sa position d équilibre, et une vitesse V 1 = 0,400 m.s -1 quand il passe à X 1 = 5 cm de celle-ci. En déduire l amplitude des oscillations ainsi que leur période. On vérifiera l homogénéité des expressions littérales.
La cinématique TD N Exercice 4 : Problème de cinématique Une voiture roule pendant 5 s sur une route horizontale rectiligne. Des informations partielles sont connues (voir schémas ci-contre). En vous justifiant par le calcul, compléter cette description cinématique du mouvement de la voiture. A côté de chaque portion de courbe ajoutée, indiquer la nature du mouvement et compléter les valeurs manquantes au schéma. Exercice 5 : Les équations différentielles 1. Etudier la fiche «Résolution des équations différentielles».. Faire les exemples en fin de fiche. Les forces TD N 3 Exercice 6 : Equilibre d un système de ressorts Soient deux ressorts de raideurs respectives k 1 et k et de longueurs à vide l 1 et l en configuration verticale reliés au point M par une masse m et attachés par leurs autres extrémités. La distance séparant les deux extrémités fixes est notée l = 40 cm. On prendra g = 9.81U S.I. 1. Faire le bilan des forces s appliquant au point M.. Sachant qu à l équilibre, la somme des forces est nulle, déterminer l expression analytique de la position d équilibre du point M. 3. Déterminer cette position d équilibre lorsque k 1 = k, l 1 = l en l absence de masse. 4. On place maintenant une masse m = 50 g à la jonction et observons un déplacement de cette dernière depuis la précédente position d équilibre de cm. En déduire la raideur des ressorts. Faire l application numérique.
Exercice 7 : Problème sur le calcul d un champ gravitationnel On considère l alignement Terre Mobile Lune de masses respectives m T, m, m L. 1. Exprimer la force d interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur un objet de masse m situé à la distance x de celle-ci.. En faire de même avec la Lune. 3. On définit le champ gravitationnel résultant tel que. Déterminer ce dernier. 4. Calculer la norme de ce champ lorsque le mobile est à la surface de la terre puis lorsque ce dernier est à la surface de la lune. 5. Déterminer à quelle distance de la terre puis de la lune il faut se positionner pour que le champ gravitationnel résultant soit nul. Application du PFD TD N 4 Exercice 8 : Oscillations d un pendule élastique (reprise exo 3) Un pendule élastique est constitué d un ressort et d un point mobile A fixé à une de ses extrémités. L autre extrémité du ressort est immobile dans le référentiel d étude. Le point mobile A oscille perpétuellement (pas de frottements) de manière sinusoïdale autour de sa position d équilibre A. 1. A l aide du principe fondamental de la dynamique, établir l équation différentielle régissant le mouvement du point mobile A.. Montrer que la solution de cette équation différentielle est de la forme x Acos( t ) où vous expliciterez la relation entre et T, la période. 3. On considère maintenant que le mobile est exposé à un frottement fluide, établir la nouvelle équation différentielle. 4. A l aide de la fiche sur la résolution des équations différentielles, discuter de la nature des oscillations du mobile. Exercice 9 : Plan Incliné (à finir pour le TP) On considère le dispositif ci-dessous où un mobile M de masse m est entraîné sur une surface plane inclinée, par M 1 de masse m 1 par l intermédiaire d un fil inextensible et d une poulie sans frottement et de masse négligeable (M 1 et M seront assimilés à des points matériels). 1. En utilisant des systèmes d axes judicieux, appliquer le principe fondamental de la dynamique aux deux masses. M M 1
Commenter le comportement du système pour différents angles d inclinaison du banc en fonction des couples de masses.. Reprenez le problème en tenant compte de l existence d un frottement solide entre le plan incliné et le mobile M caractérisé par le coefficient de frottement f. Mise en œuvre du PFD (séance problème) TD N 5 Un tournoi de robot est organisé entre les différentes écoles d ingénieur de France. L école gagnante est celle qui arrivera à créer un robot capable de lancer un ballon de basket-ball depuis le Trocadéro, pour que celui-ci arrive au 3ème étage de la tour Eiffel. Le concours impose certains paramètres : La position du robot est située à 600 m de la verticale de la tour et à l altitude z=0. Le troisième étage est à une hauteur de 76m au-dessus du sol. L angle de tir de 5 par rapport à la verticale. La masse du ballon est de 1 kg. N ayant que peu de connaissances en électronique, les étudiants de première année sont chargés de la partie prédiction de la trajectoire du ballon. L objectif de ce problème est d établir la vitesse initiale du ballon en fonction de 3 conditions de tir : absence de frottements, λ =0,01 kg/s et λ =0,1 kg/s. A vous de jouer! Préparation du TP N TD N 6 Exercice 10 : Résonnance mécanique (à terminer pour la séance de TP) Le dispositif utilisé dans le TP n est représenté sur la figure 1. Le système oscillant est un point matériel de masse m (point M) attaché à un ressort (au point B) de raideur k et de longueur à vide l 0, lui-même excité périodiquement via le point A par un moteur dont on peut modifier la vitesse angulaire de rotation. La masse peut être plongée dans un fluide où elle subira une force de frottement proportionnelle à la vitesse caractérisée par un coefficient de frottement. Les notations x A, x B et x M correspondent aux positions respectives sur l axe D des points A, B et M à l'équilibre, c est à dire en l absence de tout mouvement.
poulie Oorigine APx XOx A Moteur k ue Dx vecteur unitaire de l'axe PB m XOmes B mesure de position m MPy eau Oy X M axe (D) Figure 1 : Illustration de l oscillateur L objectif de cet exercice est d établir l équation différentielle régissant la position de la masse m et d étudier cette position en fonction de conditions du problème. Les différentes relations obtenues serviront ensuite lors de la séance de TP pour vérifier la pertinence des résultats expérimentaux obtenus. Mise en équation 1. Effectuer un bilan des forces s appliquant au mobile M et donner l expression de ces dernières dans le système d axes proposés.. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la masse M et projeter l équation vectorielle ainsi obtenue. Montrer que ce résultat peut s exprimer comme une équation différentielle de la coordonnée mesurée x B. 3. Que devient cette équation lorsque le système est à l équilibre (moteur éteint, mobile à l équilibre)? Montrer que la relation suivante est obtenue : m k g x ' B C équation 1 Que vaut alors la constante C? 4. Utiliser ce résultat pour que les termes liés au poids, à la poussée d Archimède et à la longueur à vide l 0 n apparaissent plus dans l équation différentielle précédente. 5. On pose maintenant y(t)=a(x B -x B ), paramètre qui représente, à un coefficient multiplicateur près, les oscillations du point B autour de la position d équilibre. On pose par ailleurs x(t)=a(x A -x A ) le déplacement du point A (l excitation du système). A partir des résultats obtenus au cours des questions précédentes, montrer que l équation différentielle du mouvement peut s écrire de la forme : 0 y t y t 0 yt 0 xt équation Q 6. Expliciter les constantes 0 (pulsation propre) et Q le facteur de qualité en fonction de m, k et. Comment évolue Q avec le coefficient de frottement?
Cas du régime pseudo périodique 7. Montrer que lorsque Q>1/, le régime des oscillations est de nature pseudo-périodique (discriminant de l équation caractéristique négatif). 8. Montrer que la solution est alors de nature périodique amortie : y 1 0t r t r t Q t Ce De A t B t 1 cos sin e 1 avec une pseudo-pulsation a 0 1 4Q A l aide de formules trigonométriques on peut réécrire cette expression de la forme suivante : y 1 A t Q t cos at e avec cos 0 a a B tan Équation 3 A Cas du régime sinusoïdal entretenu (forcé) On considère maintenant que le moteur est en marche. Le rôle joué par la poulie est de transformer le mouvement de rotation du moteur en un mouvement de translation verticale sinusoïdale : x t X cos t équation 4 où X est l amplitude de l oscillation et f est la pulsation de l excitatrice définie par une fréquence f=1/t. Pour simplifier les calculs, cette excitation peut-être écrite en notation complexes : x it Xe avec x Rex équation 5 On recherche maintenant en régime permanent établi une solution particulière de l équation différentielle (équation ). Cette solution est également sinusoïdale, de même fréquence que l excitatrice mais pouvant admettre une amplitude différente ainsi qu un déphasage par rapport à l excitatrice. Ce postulat se traduit en notation complexe par: it y Ye avec y Rey équation 6 9. Montrer, en conservant la notation complexe, que cette solution particulière vérifie l équation différentielle si la relation entre l excitatrice et la réponse du système vérifie la relation suivante où H s appelle la fonction de transfert suivante : y 0 H x 0 0 i Q 10. La norme de la fonction (encore appelée fonction de transfert) correspond au rapport de l amplitude du mobile par celle de l excitatrice, on parle d amplification du système. Calculer cette norme. La figure montre la courbe théorique de la norme de la fonction de transfert en fonction de la fréquence d excitation du système et ce pour différentes valeurs du facteur de qualité Q :
Figure : Cas du régime sinusoïdal entretenu : courbe d amplification de la réponse du système mécanique en fonction de la fréquence d excitation normalisée. Principes énergétiques TD N 7&8 Exercice 11 : Dérivées et différentielle d une fonction d une variable 1. Calculer les différentielles des expressions suivantes : x Acos( t ) t x Ae sin( t ). Calculer les dérivées partielles, le gradient et les différentielles des expressions suivantes : f 4x f x, y, z xy yz z 3. Donner l expression de la différentielle du vecteur ( ) x, y xy 4x Exercice 1 : Renvoi d un point matériel par un ressort Un point matériel M(m) sur une surface horizontale, est abandonné en O avec une vitesse initiale V 0. Il est soumis à des frottements solides de coefficient de frottement f. Après un parcours de longueur OA 1 = L, il entre en contact avec un ressort de constante de raideur k. Lors du choc, le ressort est comprimé d une longueur A 1 A = d, avant qu il ne se détende à
nouveau complètement. Exprimer en fonction des données (V 0, f, m, g, L, k, d) l énergie mécanique de M : 1. en O ;. en A 1 ; 3. en A. En déduire la constante de raideur k du ressort. Exercice 13 : Travail d une force dissipative. Une particule de charge q se déplace dans le plan O, u x, u y exposée à un champ électrique x u y F( M ) k x u xy. Soient les points A(,), B(5,), C(5,6), D(,6). 1. Donner l expression de la force de Lorentz s appliquant à la charge.. Calculer le travail de F M le long du chemin ABC La suite de l exercice est à traiter à la maison. 3. Reprendre le calcul du travail de F M le long du chemin ADC. 4. Comparer les deux résultats. Que peut-on en conclure? Exprimer le travail élémentaire. Existe-t-il une fonction énergie potentielle E p qui permette d exprimer ( )? 5. Reprendre le problème pour le champ de force suivant F( M ) kxy ux x yu y étudiant à nouveau le travail élémentaire. en Exercice 14 : Etude énergétique d un mouvement «L objectif de cet exercice est de retrouver le comportement dynamique d un point matériel dont la description ne dépend que d une variable.» Une particule matérielle de masse m = 0. kg est assujettie à se déplacer sur un axe 0,U x. F F x U dérivant d une énergie potentielle Elle est soumise à une force x variations sont représentées ci-dessous. E p x dont les
1. Ecrire la relation entre F et E p x...a Quelles sont les positions d équilibre de la masse m?.b Lesquelles sont stables? Instables?.c Justifier. 3. Déterminer numériquement la force F aux points x = 0 et x = m. 4. Le mobile est abandonné en x = 0 à la date t = 0 sans vitesse initiale. 4.a Déterminer la portion de l axe susceptible d être atteinte par la particule. 4.b En quels points la vitesse de la particule est-elle nulle? maximale? Calculer numériquement la vitesse maximale. 5. Ecrire sous forme d intégrale, sans la calculer, la période T du mouvement de la particule en fonction de m, E p (x) et E m énergie mécanique de la particule. PFD dans le repère polaire TD N 9 Exercice 15 : Opérations sur les vecteurs Soient une base orthonormée directe O, ux, uy, uz et les vecteurs : a 3u 4u 5u b u u 6u c u x u d 4u x y Calculer : 1. le produit vectoriel de z, x y z, y, y a et b puis c et d et e u y 3u z.
Exercice 16 : Différentielle et dérivée angulaire d un vecteur unitaire.. 1. Montrer que da B da B A db. Sachant que est unitaire, montrer que ce vecteur est orthogonal à sa différentielle. 3. Exprimer, dans le repère cartésien O, ux, u y, uz, les vecteurs de la base polaire u u r,. 4. Exprimer, dans la base polaire, les dérivées par rapport à puis par rapport au temps de u r et u. Que vaut la norme de ces vecteurs dérivés? Exercice 17 : Application du PFD au pendule simple (à finir à la maison) Un objet ponctuel de masse est suspendu à l extrémité d une tige rigide, de masse négligeable et de longueur. Il peut effectuer des mouvements de rotation dans le plan vertical ( ), autour de l axe horizontal ( ). La position de l objet est repérée par l angle que fait la tige avec la verticale. L étude sera menée dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen. Les frottements au niveau de l axe de rotation et les frottements de l air seront négligés dans tout le problème. L ensemble ainsi décrit se trouve plongé dans le champ de pesanteur terrestre considéré uniforme. 1. Faire le bilan des forces appliquées à l objet.. Appliquer la deuxième loi de Newton afin d obtenir une égalité vectorielle. 3. En projetant dans le repère de votre choix, déterminer l équation différentielle vérifiée par l angle. 4. Déterminer à l aide de l équation précédente les positions d équilibre du système. 5. Le point est lâché sans vitesse initiale avec un angle tel que (l amplitude des oscillations est faible permettant la simplification suivante ( ) ). Déterminer analytiquement la vitesse maximale du point lors de ses oscillations en fonction de, et. PFD & théorème énergétiques dans les repères polaires et sphériques TD N 10&11 Exercice 18 : Tambour en rotation Un palet modélisable par un point matériel M de masse m, est inséré en A dans un tambour de rayon R tournant à vitesse constante. Le palet entraîné par le tambour tourne sans glisser, perd l'adhérence (angle ), puis se stabilise dans une position repérée par l'angle 1 : Une fois dans cette position, le palet est au repos dans le référentiel terrestre. 1. Le palet perd l adhérence lorsqu il est dans une position repérée par l angle. En utilisant le PFD, déterminer
le coefficient de frottement f qui correspond à ce début de glissement.. Appliquer la même démarche pour déterminer le coefficient de frottement f correspondant à l'angle 1. Exercice 19 : Fronde Un individu tient dans la main une fronde constituée d une masse m (considérée comme ponctuelle) attachée au bout d une ficelle de masse négligeable et de longueur L. Il la fait tourner dans un plan vertical : la masse m a donc un mouvement circulaire autour de la main de l individu (supposée immobile). On néglige les frottements de l air. 1. Soit V 0 la vitesse de la masse quand elle passe à son point le plus bas. Déterminer, en fonction de m, V 0, L, g et l angle que fait le fil avec la verticale descendante, la vitesse de la masse et la tension du fil pour une position quelconque de la masse. Homogénéité. En déduire par le calcul la position de m pour laquelle la tension du fil est minimale.. Quelle doit être la vitesse minimale V 1 de la masse m quand elle passe au point le plus haut pour que la corde ne se détende pas. 3. Quel sera le mouvement de la masse m si l individu lâche la ficelle quand celle-ci passe à l horizontale (m montant)? Déterminer l altitude maximale atteinte par la masse? TMC TD N 11, 1 & 13 Exercice 0 : Pendule simple Etablir l équation différentielle du mouvement d un pendule simple non amorti, effectuant des petites oscillations libres : 1. Par le théorème du moment cinétique.. Par une étude énergétique ; 3. Quelle est la période des oscillations? 4. Initialement, le pendule fait un angle 0 avec la verticale et sa vitesse est nulle. Déterminer l équation horaire du mouvement ;
Exercice 1 : Vitesse d un satellite Le point S représente un satellite de la terre de masse m = 1 tonne. Ce satellite décrit relativement au référentiel géocentrique R g, supposé galiléen, une trajectoire elliptique autour de la terre. Le repère 0 ; e x, ey, ez est fixe dans R g. Ce satellite n est soumis qu à la force d interaction gravitationnelle de la terre. A l instant représenté, la vitesse du satellite dans R g est : v = 14 650 km/h. Le rayon de la terre est R T = 6 400 km. 1. Exprimer de façon analytique la force d attraction gravitationnelle exercée par la terre sur le satellite.. Appliquer le PFD au satellite. Que dire de la direction de l accélération du satellite, quel est le nom d une telle accélération? 3. Exprimer le vecteur moment cinétique en 0 du satellite et calculer analytiquement sa norme à l instant considéré. Vous en ferez l application numérique sans oublier son unité. 4. Dans ce cas de figure, où la seule force en présence est la force d interaction gravitationnelle, que peut-on donc dire du moment cinétique? 5. En déduire la valeur de la vitesse du satellite à son apogée (point A) et à son périgée (Point P). Exercice : Pendule électrostatique Un pendule électrostatique est constitué d'une petite sphère métallique ( 1 ) de charge Q et de masse m, suspendue à l'extrémité d'un fil sans masse inextensible, de longueur l. Une seconde petite sphère métallique ( ) isolée électriquement porte la charge -Q. On approche alors ( ) de ( 1 ) de telle sorte que, à l'équilibre, le centre de ( ) soit à la distance d du centre de ( 1 ) et à la même hauteur. Les sphères ( 1 ) et ( ) seront assimilées à des points matériels. 1. Calculer les moments de toutes les forces appliquées à ( 1 ).. En déduire l'angle que fait à l'équilibre le pendule avec la verticale en utilisant le théorème du moment cinétique.
Exercice 3 : Mise en évidence des orbites elliptiques On se propose, dans cet exercice, d étudier les trajectoires possibles d un point matériel soumis à une seule force centrale attractive (K/r ) en fonction de son énergie mécanique totale 1. Ecrire la norme du vecteur vitesse du point matériel en coordonnées polaires et montrer 1 que l'énergie mécanique du système peut s'écrire sous la forme Em mr E peff(r), avec E peff (r) l énergie potentielle effective, fonction de la seule coordonnée r.. Dans le cas d une force centrale attractive, on peut montrer que l énergie potentielle effective est de la forme suivante : Déterminer graphiquement les positions pour lesquelles suivants : E m >0, E m =0 et E m <0 pour les trois cas 3. En vous servant des formules de Binet (voir fiche cours) écrire le principe fondamental de la dynamique du point matériel soumis à la force centrale. Montrer que la solution de l équation différentielle issue du PFD peut s écrire sous la forme: 4. En posant mc p, K u K ( ) A cos( ) 0 mc AmC e, 0 0 K, simplifier l expression précédente 5. Exprimer l énergie mécanique du point matériel à partir de la formule de Binet pour la vitesse. Vous remplacerez alors la variable u par la solution trouvée en question 3 de façon à associer à chaque type de trajectoire (valeur de e) un type d énergie mécanique. 6. En déduire le type de trajectoire du point matériel en fonction de l énergie mécanique (voir fiche fonctions coniques)
Mise en œuvre des théorèmes en repère cylindrique (séance problème) TD N 14 Deux billes M 1 et M (de masses m 1 et m ) sont reliées par un fil inextensible de longueur l. La première bille glisse sans frottement sur une table horizontale percée en son centre alors que la seconde bille est suspendue verticalement par la corde passant par le centre de la table. Le repère cartésien 0, U x, U y, U z lié à la table est associé au référentiel R considéré galiléen. Un second repère «tournant» 0 ', U r, U, U z est en permanence associé au mouvement de la première bille. Un opérateur tire sur la bille M 1 jusqu à ce que la seconde bille soit bloquée au niveau de la table. A l instant t=0 l opérateur lance la bille M 1 orthogonalement au segment de corde, avec une vitesse de norme égale à V 0. A partir de cet instant la bille M entraîne dans sa chute la d bille M 1 qui, de ce fait, trace une spirale sur la table. On note t la vitesse angulaire dt de rotation de la bille M 1 dans le plan de la table. Cette vitesse angulaire n est pas nécessairement constante! On prendra l accélération de la pesanteur g=9.81 U.S.I. L objectif de ce problème est de déterminer le système d équations différentielles décrivant le mouvement de la bille M 1 et d étudier le cas particulier du mobile M 1 effectuant une trajectoire circulaire uniforme de rayon r. En particulier, vous devrez déterminer l expression de la vitesse angulaire de rotation du mobile M 1 en fonction de m 1, m g et r permettant à la bille M 1 d effectuer un mouvement circulaire uniforme de rayon r.