CORRECTION DU BREVET 011 Centres étrangers I - ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (1 points) Exercice 1 A + + + 3 1+ 3 x 3 x 3 1 x x x 3 3 x 1 x x x 1) ( ) ( )( ) x x x x + x x + x + 6 A 6 + 9 + 3 6 + + ) A ( x 3) + ( x 3)( 1 x) ( x 3) ( x 3) + ( x 3) ( 1 x ) A ( x 3) ( x 3) + ( 1 x ) ( x 3)[ x 3 + 1 x ] Donc A ( x 3)( x ) 3) Résoudre l équation 0 x 3 x 0 A revient à résoudre l équation ( )( ) Or si un produit est nul, alors l un de ses facteurs est nul D où x 3 0 ou x 0 x 3 0 On ajoute 3 à chacun des membres de cette égalité : x 3 + 3 0 + 3 x 3 x, ( 3 3)( 3 ) 0 ( 5) 0 x, ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Vérifications : Pour Pour A A 3 5 4 5 0 0 L équation A 0 admet donc deux solutions x 3 et x Exercice 1) a) A 7 + 5 1 300 9 3 + 5 4 3 100 3 x 0 On ajoute à chacun des membres de cette égalité : x + 0 + Donc : x On divise par 1 chacun des membres de cette égalité : x 1 1 Donc : x A 9 3 + 5 4 3 100 3 3 3 + 5 3 10 3 ( 3 + 10 10) 3 Donc A 3 3 Sophie a alors raison b) Le raisonnement d Éric n est pas correct car il ne trouve que des valeurs approchées et l affichage de la calculatrice ne permet pas de savoir si les chiffres situés après 43 sont les mêmes 10 9 10 18 8 ) B 4 C est Éric qui a raison car B 4 Sophie a fait une erreur dans la priorité des opérations
Exercice 3 ( ) 70 km 70 000 m 70 000 13 m 1) v 530 m s 13 s 13 s 1 s 3 600 70 km 70 km 13 1 909 km v 1909 km h 13 s 3600 s 1 h On aurait pu aussi réaliser un tableau de proportionnalité : Distance (en km) Temps (en s) 70? 13 3 600 70 3 600? 1 909 13 La vitesse moyenne de la fusée, durant la première phase du décollage, est d environ 530 m/s, ou environ 1 909 km/h 13,4 10 6 10 13, 4 6 10 13, 4 6 10 13, 4 6 10 ) a) v 6 6 6 6 6, 4 10 + 1,9 10 6,4 + 1,9 10 8,3 10 8,3 ( ) ( ) 11 4 11 + 4 13 13 6 Alors v 7 13,4 6 10 9 84 8,3 La vitesse de la fusée à cette altitude est d environ 9 84 m/s 3 b) v 9,84 10 m s
II ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES (1 points) Exercice 1 Montrons que ce triangle ABC est rectangle AB 100 10 000 et AO + BO 60 + 80 3 600 + 6 400 10 000 Comme AB AO + OB, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AOB est rectangle en O Les murs sont donc bien perpendiculaires Exercice 4 3 4 3 4 4 π 3 9 1) V πr π 3 π 7 36π 3 3 3 3 Donc le volume de la boule de glace est égal à 36π cm 3 1 1 1 ) V πr h π,7 1 π 7,9 1 9,16π 3 3 3 Donc le volume du cône est égal à 9,16π cm 3 3) Comme le volume de la boule est plus grand que le volume du cône, il est plus intéressant pour Michel de garder la forme initiale En effet, le cône ne pourra pas contenir toute la glace de la boule Exercice 3 1) a) Dans le triangle MPW, C [ PM], T [ MW ], et les droites ( MW ) et ( ) PC PT parallèles, d après le théorème de Thalès, PW CT PM MW CT 3,78 3,78 Par suite, D où CT 3,40 3,06 3, 40 4,0 4,0 Par conséquent, la couture mesure 3,06 m b) 3,06 6,1 et 6,1 est inférieur à 7 Donc 7 m de fil suffiront ) Les droites ( PW ) et ( ) PM sont sécantes en P CT sont PC 3,78 PT 1,88 PC PT 0,9 et 0,8 Par suite, PM 4,0 PW,30 PM PW MW et CT étaient parallèles, d après le théorème de Thalès, il y aurait Or, si les droites ( ) ( ) égalité On en déduit que la couture n est pas parallèle à ( MW )
III PROBLÈME (1 points) Partie 1 : Installation d un ordinateur dans une bibliothèque d école 1) Dans le triangle CGF rectangle en C, d après le théorème de Pythagore, on a : GF GC + CF, c est-à-dire GF 1 + 1 1+ 1 Par conséquent, GF m ) Soit x la longueur à laquelle on souhaite déplacer les étagères afin que GF 1 m Dans le triangle CGF rectangle en C, d après le théorème de Pythagore, on a : GF GC + CF, c est-à-dire 1 x + x x Par suite, D où x 1 1 1 1 x 1 Par conséquent, on doit déplacer les étagères de m afin d obtenir GF 1 m Partie : Achat d un logiciel de gestion de bibliothèque 1) ) 3,5 Mo débit 0,5 Mo s Donc le débit de la connexion internet est de 0,5 Mo/s 7 s Nombre d lèves 100 00 300 Tarif A 19,00 19,00 19,00 Tarif B 10,00 0,00 30,00 Tarif C 13,00 18,00 3,00 3) a) Le tarif C correspond à la fonction x 8 + 0,05x En effet, il y a 8 fixés dès le départ, puis 5 centimes d euros (c est-à-dire 0,05 ) par élève b) C est une fonction affine car elle est de la forme x ax + b 4) Voir page suivante 5) D après le graphique, le tarif A est plus intéressant que le tarif C à partir de 0 élèves 6) Dans l école, il y a 09 élèves Le tarif le plus intéressant est le tarif C Partie 3 : Fonctionnement de la bibliothèque 1) Le nombre moyen d emprunts par élève est donné par le calcul suivant : 0 39 + 1 30 + 36 + 3 3 + 4 0 + 5 + 6 18 + 7 10 + 8 11 67 3 09 09 Donc le nombre moyen d emprunts par élève est 3 N 09 ) 104,5 ; alors la médiane est la valeur correspondant au 105 ème rang Complétons le tableau avec les effectifs cumulés croissants :
Nombre d emprunts en novembre 010 0 1 3 4 5 6 7 8 Nombre d élèves 39 30 36 3 0 18 10 11 Effectif cumulé croissant 39 69 105 18 148 170 188 198 09 Ainsi, la 105 ème valeur est Donc la médiane de cette série est Il y a autant d élèves qui ont fait moins de emprunts que d élèves qui ont fait plus de emprunts Tarif en 44 4 40 38 36 34 3 Tarif B 30 8 6 Tarif C 4 0 Tarif A 18 16 14 1 10 8 6 4-0 - 0 0 40 60 80 100 10 140 160 180 00 0 40 60 80 300 30 09 Nombre d'élèves
Partie 4 : Fête de fin d année Comme Etienne choisit un livre au hasard, il s agit d une situation d équiprobabilité nombre de cas favorables La probabilité d un événement est alors égale à nombre de cas possibles 1) Il y a trois bandes-dessinées et deux albums dans le colis, la probabilité de tirer une bande-dessinée est de 3 5 ) Après le premier tirage, il reste trois bandes-dessinées et un album dans le colis, la probabilité de tirer une bande-dessinée est de 3 4