T xercices sur droites et plans de l espace aire une figure dans chaque cas. 1 oit un cube. On note,,, L les milieux respectifs de [], [], [], []. Recopier et compléter sans justifier par ou : () () () () () 2 oit un cube. On note,,, L les milieux respectifs de [], [], [], []. ire pour chacune si les droites sont sécantes, parallèles ou non coplanaires. () et () () et () () et () (L) et () () et () 3 oit un cube. oit un point quelconque de ][ et un point quelconque de ][. Étudier la position relative des droites. 1 ) () et () 2 ) () et () 3 ) () et () 4 ) () et () 4 ) () et () 4 oit un cube. oit un point de la demi-droite [) n appartenant pas au segment []. Les droites () et () se coupent en. On note un point quelconque de ][. Les droites () et () se coupent en L. iter tous les points de la figure qui appartiennent au plan () ; au plan () ; au plan () ; au plan (). 10 oit un cube. éterminer l intersection des plans () et (). 11 oit un tétraèdre. oit un point quelconque de [] et un point quelconque de []. éterminer l intersection des plans () et (). 12 oit un cube. oit un point quelconque de []. 1 ) onstruire le point d intersection de () et (). 2 ) onstruire le point d intersection de () et (). 3 ) éterminer la droite d intersection des plans () et (). 13 Une droite coupe (ou «perce») un plan en un point O. oit et deux points de tels que O est entre et. oit un point tel que () coupe en et () coupe en. 1 ) aire une figure. 2 ) ustifier que les points O et appartiennent au plan (). 3 ) Les points O,, sont-ils alignés? Le mot «perce» est synonyme de «coupe». 14 oit une pyramide de sommet dont la base est un quadrilatère quelconque. 5 oit un cube. oit un point quelconque de []. onstruire l intersection de la droite () et du plan (). 6 oit un cube. ans chaque cas, déterminer si les plans sont sécants ou parallèles. Lorsqu ils sont sécants, préciser la droite d intersection. 1 ) () et () 2 ) () et () 3 ) () et () 4 ) () et () 7 oit un tétraèdre. oit un point quelconque de [] et un point quelconque de []. éterminer l intersection des plans () et (). 8 oit un cube. éterminer l intersection des plans () et (). 9 oit une pyramide régulière de sommet dont la base est un carré de centre O. éterminer l intersection des plans () et (). Reproduire la figure et tracer la droite d intersection des plans () et (). 15 Représenter un prisme droit de bases et. Tracer la droite d intersection des plans () et (). 16 oit un tétraèdre. On note,, des points appartenant respectivement à [], [], [] tels que () ne soit pas parallèle à () et () ne soit pas parallèle à (). éterminer l intersection des plans () et ().
17 oit un tétraèdre. On note un point quelconque de [] et un point quelconque de []. éterminer l intersection du plan () avec les plans (), () et (). 21 Un cube a été tronqué en un coin tel que. 1 ) Où doit-on placer le carré et le triangle manquants pour obtenir un patron de ce solide? 18 oit un cube. On note O le centre de la face. onstruire le point d intersection de la droite (O) avec le plan (). 19 oit un plan de l espace et,, trois points non alignés qui n appartiennent pas à. On suppose que () coupe en ', que () coupe en ' et que () coupe en '. émontrer que les points ', ', ' sont alignés. Refaire la figure au propre. ' ' ' a b c 20 oit un cube. oit un point quelconque de ][ et un point quelconque de ][. Le plan () coupe le plan () selon une droite. Représenter sur une figure en perspective cavalière. 1 3 2 d 2 ) Réaliser un patron du solide en prenant 4 cm pour arête du cube. 3 ) On note a l arête du cube. On admet que 2 2a. xprimer le volume du cube tronqué en fonction de a. 22 oit un cube. émontrer que () / / (). iter le théorème utilisé. 23 oit un tétraèdre. On note,, les milieux respectifs des segments [], [], []. émontrer que () // (). iter le théorème utilisé. 24 oit un cube. Le plan () coupe le plan () selon une droite. 1 ) éterminer un point de. 2 ) émontrer que // (). 3 ) Tracer sur une figure en perspective cavalière.
25 oit une pyramide régulière de sommet dont la base est un carré. éterminer la droite d intersection des plans () et (). 26 oit et deux droites de l espace contenues dans un plan et sécantes en un point. oit un point n appartenant pas au plan. On note Q le plan défini par le point et la droite et Q le plan défini par le point et la droite. ourquoi les plans Q et Q sont-ils sécants? Quelle est l intersection de Q et Q? 29 ans chaque cas, représenter un cube et placer les points et comme indiqué dans chaque cas. onstruire la section du cube par le plan (). 1 er cas : ][ et ][ 2 e cas : ][ et ][ 27 On considère un cube. oit U un point de ][ et V un point de ][. iter sans justifier deux droites définies par des arêtes, autres que () et (), que rencontre la droite (UV). 30 Reproduire la figure ci-dessous et tracer la section du tétraèdre par le plan (). 28 ans chaque cas, reproduire la figure et tracer la section du cube par le plan (). On nommera les points de construction. On n est pas obligé de numéroter les étapes. [] ; [] ; [] [] ; [] ; [] 31 oit un cube et un point fixé de ][. Reproduire la figure et tracer la section du cube par le plan ().
32 Reproduire la figure du cube ci-dessous tracer la section par le plan (). 33 ans chaque cas, on a dessiné le patron d un cube et, en rouge, l intersection d un plan avec les faces du cube. Reproduire les patrons. éterminer la nature de la section du cube par le plan et, toujours en rouge, la représenter sur une figure en perspective du cube. 34 ême exercice que le précédent.
orrigé et exercice s appuie sur la vision dans l espace et un peu aussi sur le raisonnement. xemple : e nombreux exercices font appel aux constructions (vision dans l espace et éventuellement raisonnement) avec explications écrites ou non. Quelques exercices portent sur des démonstrations (avec ou sans utilisation des théorèmes de parallélisme). Le plan () est le plan contenant les points,,,. appartient à (). () est incluse dans () donc appartient à (). 2 ositions relatives de droites dans l espace aire une figure assez grande pour chaque exercice (un cube pour chaque exercice). ttention à la disposition des points dans un cube. our chaque exercice, écrire les hypothèses au sens mathématique, c est-à-dire les données ( : cube ; : milieu de ) sous forme d une liste en écrivant une hypothèse par ligne. : cube : milieu de [] : milieu de [] : milieu de [] L : milieu de [] aire une figure. Types d exercices : L roblèmes d appartenance, positions relatives de droites et de plans x. de construction (avec raisonnement, il s agit la plupart du temps de problèmes d intersection) émonstrations (utilisation des théorèmes) 1 ppartenance de points à des plans : cube : milieu de [] : milieu de [] : milieu de [] L : milieu de [] aire une figure (on pourrait coder les milieux, nous ne l avons pas fait ici). L l faut se représenter les droites de manière à savoir, si on les prolonge, si elles se coupent ou pas. () et () sont parallèles. () et () sont non coplanaires. () et () sont sécantes. (L) et () sont parallèles (strictement parallèles). () et () sont non coplanaires. 3 ositions relatives de droites dans l espace aire une figure. () () () () ()
,,,,,, L appartiennent au plan (),,,, appartiennent () our le plan (), on donne quand même les points,,, même s ils sont «évidents». 5 : cube : point quelconque de [] Les droites () et () sont coplanaires et sécantes. Les droites () et () ne sont pas coplanaires. Les droites () et () sont coplanaires et sécantes. Les droites () et () sont coplanaires et sécantes. Les droites () et () ne sont pas coplanaires... : eux droites sécantes sont forcément coplanaires. onstruisons l intersection de la droite () et du plan (). Les droites () et () sont toutes les deux contenues dans le plan qui «contient» les points,,,. Les droites () et () sont incluses dans le plan qui «contenant» les points,,,. 4 igure L L intersection d une droite et d un plan non parallèle est un point. On obtient le point d intersection de () et de () en prolongeant la droite () et la droite () (tracé hors solide). On construit l intersection des droites () et () qui sont deux droites coplanaires sécantes. oint-méthode : our déterminer l intersection d une droite et d un plan, on se ramène toujours à une intersection de deux droites. [) [] [] L droite-plan droite-droite,,,,, appartiennent au plan (),,,, appartiennent au plan ()
6 ntersections de plans dans un cube 7 : tétraèdre éterminons l intersection des plans () et (). l faut colorier les plans «triangulaires» pour plus de lisibilité. 1 ) () et () sont sécants selon la droite (). On peut écrire : [égalité d ensembles]. 2 ) () et () sont strictement parallèles. 3 ) () et () sont sécants selon la droite (). On peut écrire : [égalité d ensembles]. 4 ) () et () sont confondus. () de manière évidente. () donc (). () de manière évidente. () donc (). et appartiennent tous les deux aux plans () et (). onc () et () sont sécants selon la droite (). utres formulations possibles : L intersection des plans () et () est la droite ().
résentation pour faire apparaître les points communs : :,,, :,,, et sont deux points communs aux deux plans. donc est la droite d intersection des plans et. utre méthode : ur la figure on représente les plans () et (). On note : le point d intersection des droites () et () ; le point d intersection des droites () et (). est le centre de la face et est le centre du cube. L intersection des plans des plans () et () est la droite (). 8 : cube éterminons l intersection des plans () et (). 9 : pyramide régulière de sommet dont la base est un carré de centre O aire une figure. On peut rajouter des points même si l énoncé ne le dit pas. oit le centre de la face et le centre de la face. L intersection des plans () et () est la droite (). O On utilise des couleurs pour visualiser les plans () et ().
10 : cube éterminons l intersection des plans () et (). O Les points et O sont deux points communs aux plans () et (). onc l intersection des plans () et () est la droite (O). On note le centre de la face et le centre de la face. Les points et appartiennent aux plans () et () donc l intersection de () et () est la droite (). 11 : tétraèdre atien evictor le 12-10-2015 l a représenté les plans dont on cherche l intersection sous la forme de parallélogrammes «pour mieux les voir». : point quelconque de [] : point quelconque de [] éterminons l intersection des plans () et (). ropriété à utiliser : ' i deux plans distincts et Q ont un point en commun, alors il sont sécants et leur intersection est une droite passant par. Les deux plans () et () sont distincts. ls ont par ailleurs le point en commun. onc leur intersection est une droite passant par. On ne connaît alors qu un seul point de cette droite. : le plan () ' : le plan () L intersection de et ' est la droite (O). O On peut «créer» un point. On note le point d intersection des droites () et (). Le point est un point commun aux plans () et (). omme et sont deux points communs aux plans () et (), on en déduit que () () = (). l a aussi tracé la droite (O) en couleur.
O 12 1 ) et 2 ) figure ci-dessous O 3 ) La droite d intersection des plans () et () est la droite () (car appartient à () et () et appartient à () et ()). 13 «ans tout l exercice il n y a pas de forme géométrique?» (aylis Lasri le 14-1-2015) Le mot «perce» synonyme de «coupe». 1 ) igure l n y a pas moyen de faire une figure exacte au départ. u départ, on fait juste une figure pour raisonner. est seulement après le résultat qui va être démontré que l on pourra faire une figure exacte.
2 ) ustifions que les points O et appartiennent au plan (). émontrons que O. Le point O appartient à la droite (). et sont deux points du plan () donc tous les points de () appartiennent à (). O. où émontrons que. Le point appartient à la droite (). et sont deux points du plan () donc tous les points de () appartiennent à ().. où 3 ) herchons si les points O,, sont alignés. Le point appartient à la droite (). et sont deux points du plan () donc tous les points de () appartiennent à (). où appartient à (). L intersection de deux plans sécants est une droite. Or O appartient à et à (), appartient à et à (), appartient à et à (). onc O, et appartiennent aux deux plans et (). où O, et sont alignés sur la droite d intersection des plans () et. L énoncé ne dit pas que les droites () et () sont sécantes en un point (l énoncé devrait dire que () et () ne sont pas parallèles). On le voit cependant sur la figure : on sait que si deux droites de l espace sont parallèles, alors elles sont parallèles sur la représentation en perspective cavalière donc par contraposée, si deux droites de l espace sont représentées par des droites non parallèles, alors ces deux droites ne sont pas parallèles (dans la réalité). 14 : pyramide de sommet est une pyramide non régulière. éterminons l intersection des plans () et (). Les droites () et () sont sécantes en un point. L intersection des plans () et () est la droite ().
15 : prisme droit de bases et Traçons la droite d intersection des plans () et (). 16 : tétraèdre [] [] [] () / / () () / / () éterminons l intersection des plans () et (). n général, on s arrange pour qu il y ait trois faces visibles sur la représentation en perspective d un prisme. On note et les centres respectifs des faces et. La droite d intersection des plans () et () est ().
() () = () () () = () () () = () On prolonge les droites () et () ; elles se coupent en un point. On prolonge les droites () et () ; elles se coupent en un point. La droite d intersection des plans () et () est la droite (). 18 eux remarques : n prolongeant (), on obtient un point aligné avec et. : cube O : centre de onstruisons le point d intersection de la droite (O) avec le plan (). l est possible également de prolonger les droites () et (). 17 : tétraèdre [] O [] Les points O,,, sont coplanaires. On construit le point d intersection de (O) avec la droite (). 19 : plan de l espace,, points non alignés n appartenant pas à
() = {'} () = {'} () = {'} émontrons que les points ', ', ' sont alignés. ', ', ' sont trois points communs aux plans et (). Or et () son sécants suivant une droite donc ', ', ' sont alignés sur la droite. On peut refaire la figure au propre. ' ' ' On note : le point d intersection des droites () et () ; le point d intersection des droites () et (). Les points et sont deux points communs aux plans () et (). onc la droite d intersection des deux plans est la droite (). 20 : cube ][ ][ () () = Représentons sur une figure en perspective cavalière. l y a trois possibilités : 21 1 ) our obtenir un patron du solide : - le carré peut être placé en a, b ou en c ; - le triangle doit être placé en 2. On répond sans justifier, l explication étant difficile à donner.
ar suite, on a : x a 2 donc x a 2 2 1 soit x a2 2 2 1. Un moyen de construction possible est d utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée de x connaissant la valeur de a (a est égal à 4 pour le patron demandé). On effectue une construction approchée. On n est pas obligé de marquer les noms des sommets sur un patron ; cela aide cependant parfois pour la visibilité du patron. 2 ) La réalisation d un patron du cube tronqué est moins simple qu il n y paraît de prime abord. n effet,,, ne sont pas les milieux des arêtes [], [] et []. La condition donnée dans l énoncé est :. On peut calculer la longueur en fonction de l arête c du cube (en centimètres) au moyen d une équation. Une construction exacte est cependant possible comme le montre la figure ci-dessous. On trace le cercle de centre et passant par et. On place le point d intersection de [] et de ce cercle. On trace le cercle de centre et passant par et Le cercle coupe [] en et. Le cercle coupe [] en et. On a alors. e résultat peut se démontrer en raisonnant dans les triangles,,. On peut ainsi effectuer une construction exacte du patron (le faire en prenant 4 cm pour arête du cube). Remarque : la construction est basée sur la construction d un octogone régulier. Voici une proposition de patron : a 4 (unité le centimètre) x n effet, posons On a alors c x x (longueur en centimètres). et c x 2. n écrivant que, on obtient x a x 2 d où x 1 2 a 2.
' ' V V 3 3 2 1 a 6 3 5 2 7a 6 ' V cube tronqué 3 a 5 2 7a 3 6 ' a V cube tronqué 3 13 5 2 a 6 ' ' 22 : cube émontrons que () // (). On fait une figure. '' ' 3 ) alculons le volume du cube tronqué en fonction de c. On commence par calculer le volume du tétraèdre. l s agit d une pyramide régulière. V 3 V V 2 3 3 (car ) 6 Or a Or a a2 2 Or 2 1 a () // () et () // () (propriété des diagonales des faces opposées d un cube). Or si deux droites sécantes d un plan sont parallèles à deux droites sécantes d un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles. onc () // (). omplément : On pourrait dire que () et () sont deux droites sécantes du plan () et que () et () sont deux droites sécantes du plan (). utre rédaction possible : () et () sont deux droites sécantes de () et () et () sont deux droites sécantes de ().
e plus, () // () et () // () (propriété des diagonales des faces opposées d un cube). Or si deux droites sécantes d un plan sont parallèles à deux droites sécantes d un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles. onc () // (). 2 ) émontrons que // (). () // () () () () () onc d après le «théorème du toit», // (). 23 : tétraèdre : milieu de [] : milieu de [] : milieu de [] émontrons que () // (). On fait une figure codée. On écrit juste le nom du théorème («théorème du toit»), sans le citer car on a la chance que le théorème ait un nom! On peut aussi utiliser le théorème : «i deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles». ci, () // (). Le plan () coupe le plan () suivant la droite (). Le plan () coupe le plan () suivant la droite. onc // (). 3 ) Traçons sur une figure en perspective cavalière. ans le triangle, est le milieu de [] et est le milieu de [] donc () // () («théorème des milieux», on a dit que les théorèmes de géométrie plane s appliquent dans chaque plan de l espace). e même () // (). () () = { } Or si deux droites d un plan sont parallèles à deux droites sécantes d un autre plan, alors ces deux plans sont parallèles (théorème 4). onc () // (). 24 : cube 1 ) éterminons un point de. () et () donc. 25 : pyramide régulière de sommet à base carrée éterminons la droite d intersection des plans () et (). () et () donc. () // ()
() () () () onc d après le théorème du toit», la droite d intersection des plans () et () est parallèle à () (et à ()). Or Q donc Q. e même,. Or Q donc Q. et sont deux points communs à Q et Q donc Q Q = (). onclusion : est la parallèle à () passant par. 27 : cube U ][ V ][ itons deux droites définies par des arêtes, autres que () et (), que rencontre la droite (UV). O V 26 : plan de l espace = { } Q : plan défini par et Q : plan défini par et U V ' U xpliquons pourquoi les plans Q et Q sont sécants. Les plans Q et Q ont le point en commun. e plus, ils ne sont pas confondus (un petit raisonnement par l absurde permet de s en convaincre aisément : «i les plans Q et Q étaient confondus, alors les droites et seraient confondus ce qui n est pas). éterminons l intersection de Q et Q. La droite (UV) coupe les droites () et (). On répond sans justifier. On se contente de faire la figure..
et exercice prépare à la méthode de prolongement pour les tracés de sections (méthode de tracé hors solide). our les contrôles Les sections ne sont jamais à justifier (les traits de construction doivent juste être laissés). L 28 ections d un cube On peut utiliser la méthode par parallélisme ou par tracé hors solide («méthode des points rouges»). our la méthode de parallélisme, on utilise la construction classique à la règle non graduée et à l équerre. On nomme les points au fur et à mesure de la construction. On n est pas obligé de numéroter les étapes de construction. 1 er cas : [] ; [] ; [] On cherche la section du cube par le plan (). La section du cube est le quadrilatère L. est un trapèze (on le justifie aisément grâce au parallélisme des faces opposées dans un cube et au théorème : «i un plan coupe deux plans parallèle, alors les droites d intersection sont parallèles»). On obtient une section trapézoïdale. 2 e cas : [] ; [] ; [] On cherche la section du cube par le plan (). R L L Le point est un point de construction. On n est pas obligé de nommer les points de construction. On trace en pointillés les morceaux de droites qui sont cachés. On colorie la section.
L R La section du cube est le pentagone L. On obtient une section pentagonale. 29 ections de cubes 1 er cas : ][ et ][ On cherche la section du cube par le plan (). On commence par tracer les morceaux de section que l on connaît. On effectue ensuite un tracé hors solide. R R La section est le quadrilatère (c est un trapèze). On obtient une section trapézoïdale. 2 e cas : ][ et ][
On cherche la section du cube par le plan (). On commence par tracer les morceaux de section que l on connaît. On effectue ensuite deux tracés hors solide. 30 ection d un tétraèdre La seule méthode possible est la méthode de tracé hors solide. Q R L Q L R La section est le pentagone Q (ce n est pas un pentagone régulier ; la seule chose que l on puisse dire c est que les droites (Q) et () d une part, et que les droites (Q) et () d autre part sont parallèles). On obtient une section pentagonale. La section du tétraèdre est le quadrilatère L (c est un quadrilatère quelconque).
30 ection d un cube On cherche la section du cube par le plan (). La section du cube par le plan () est le quadrilatère. est un trapèze (démonstration aisée à l aide du parallélisme des faces opposées dans un cube) isocèle (on peut voir aisément sur un patron que : = ). 31 ection d un cube On peut utiliser la méthode de parallélisme ou de tracé hors solide. La méthode par parallélisme est facile à mettre en œuvre. On peut aussi procéder par tracé hors solide. l y a alors deux manières de faire. R L T R L La section du cube est le quadrilatère L. est un parallélogramme.
33 ections d un cube et patron Reproduire les patrons dans le cahier. ans chaque cas, on peut réaliser le patron du cube sur papier avant de passer à la représentation en perspective (prendre 4 cm pour arête du cube). 1 er cas : La section du cube est un triangle équilatéral (les côtés du triangle équilatéral ont pour longueur a 2 en désignant par a l arête du cube). Remarque : l serait intéressant de représenter ces sections sur d autres patrons du cube (on rappelle qu il y a 11 patrons différents d un cube ; c est un problème de dénombrement). et exercice est l occasion de voir (ou de revoir) les onze patrons d un cube. On s aperçoit que certains sont peu utilisés. On peut chercher sur nternet et notamment regarder le site de Thérèse Éveilleau (athématiques magiques). On peut colorier la section. 2 e cas : La section est un rectangle. On peut le représenter de plusieurs façons. On repasse les arêtes en traits pleins ou en pointillés selon qu elles sont cachées ou non.
34 ections d un cube et patron ans chaque cas, on peut réaliser le patron du cube sur papier avant de passer à la représentation en perspective. ans ce deuxième cas, on peut démontrer que la section est un hexagone régulier.