Rcines crrées C H A P I T R E 5 Énigme du chitre. On remrque que : 13 + 7 + 7 + 3 + 3 + 3 + 1 = 2 1 = 3 1 = 4 Ojectifs du chitre. Svoir que, si désigne un nomre ositif, est le nomre ositif dont le crré est et utiliser les églités : ( ) 2 =, 2 =. Sur des exemles numériques, où et sont des nomres ositifs, utiliser les églités =, = ( non nul). En vous insirnt de ceci, comment otenir 15 grâce à des rcines imriquées?
I/ Rcine crrée d un nomre ositif Activité A. Rcine crrée d un nomre ositif 1. Recoier et comléter le tleu suivnt : 2. Quels nomres our crré : 4 2 1 0 1 2 3 4 2 () 4 () 16 (c) 0 (d) 0;01 (e) 9 25 3. Un nomre strictement négtif eut-il être le crré d un nomre? Justifier. 4. Définition : L rcine crrée d un nomre est le nomre ositif dont le crré est égl à. Ce nomre est noté. Recoier et comléter (il eut y voir deux ossiilités) : () 3 2 = : : :, donc : : : = 3. () ( 3)) 2 = : : : (c) 3 2 = : : :. 5. Comment eut-on vérifier que 13;69 = 3;7? 6. Peut-on ffirmer que 5 = 2;236067977 comme l ffiche l clcultrice? 7. Recoier et comléter r les signes «=» ou? () 7 : : : 2;645 () 6;110784 : : : 2;472 Définition Soit un nomre ositif. Le nomre ositif dont le crré est égl à est elé l rcine crrée du nomre. On note ce nomre. Remrque Le symole est elé rdicl. Exemles 3 est un nomre ositif et 3 2 = 9 donc 9 = 3. 3 est un nomre ositif et ( ) 2 3 2 2 = 9, donc 9 = 3. 4 4 2 1 = 1 ; 0 = 0. Remrque ATTENTION! L rcine crrée d un nomre négtif n existe s. Proriétés Pour tout nomre ositif, 2 = et ( ) 2 = :
Exemles 4;51 2 = 4;51 ; ( 0;473) 2 = 0;273. Remrque L rcine crrée d un nomre eut ne osséder ni écriture décimle excte, ni écriture frctionnire. Exemle 7 ne eut s s écrire sous l forme d un nomre déciml ou d une frction. On eut ceendnt donner une vleur rrondie de ce nomre 7 2;65 (rrondi u centième). Fire les exercices 1 2 3 4 F 5 F
II/ Rcines crrés et oértions 1) Rcines crrées et multiliction Activité B. Produit de deux rcines crrés Prtie A : Conjecture On considère le tringle P OM suivnt : P 6 M H O 4 9 1. Quelle est l ire du tringle P OM? 2. Démontrer que P OM est un tringle rectngle. 3. Clculer l ire de ce tringle d une deuxième mnière. 4. En t idnt des résultts trouvés dns les questions 1 et 3, écrire 117 52 sous l forme c où c est un nomre entier. En déduire un moyen de clculer 117 52 d une utre mnière. 5. Recoier et comléter le tleu suivnt : 6. Emettre une conjecture. Prtie B : Démonstrtion et sont deux nomres ositifs. 1. Montrer que ( ) 2 =. 2. Que dire du signe de? 3. En déduire que =. 9 16 100 64 25 4 Remrque Dns un roduit, le signe eut rfois être sous-entendu.
Exemle 2 6 = 6 2 = 6 2. Proriété Pour tous nomres et ositifs, =. Autrement dit, le roduit de deux rcines crrées est égl à l rcine crrée du roduit. Exemle 3 12 = 3 12 = 36 = 6 Fire les exercices 6
2) Rcines crrées et division Activité C. Quotient de deux rcines crrées Prtie A : Conjecture On considère l figure suivnte constituée des tringles CAB et CA 0 B 0. B A C A 0 B 0 1. Clculer l vleur de AB. A 0 B 0 2. En utilisnt l définition d une rcine crrée, écrire le résultt récédent sous l forme où et sont des entiers ositifs vec 6= 0. 3. Clculer AB et A 0 B 0. 4. Comrer les deux écritures de AB et trouver un moyen our simlifier 32 A 0 B 0 72. 5. Recoier et comléter le tleu suivnt : 6. Emettre une conjecture. Prtie B : Démonstrtion et sont deux nomres ositifs. 16 4 100 64 81 9 1. Montrer que ( ) 2 =. 2. Que dire du signe de? 3. En déduire que =. Proriété Pour tous nomres et ositifs, vec 6= 0, =. Autrement dit, le quotient de deux rcines crrées est égl à l rcine crrée du quotient. Exemle 18 18 = 2 2 = 9 = 3. Fire les exercices 7
3) Rcines crrées et ddition Activité D. Rcine crrée et ddition Soit = 9 et = 16. 1. Clculer +. 2. Clculer +. 3. Les résultts des question 1. et 2. sont-ils égux? 4. Peut-on conjecturer une roriété similiire à celles des ctivités B et C? Remrque Il n existe s de règle similire concernnt l ddition ou l soustrction de rcines crrées. Exemle 36 + 64 = 6 + 8 ; 36 + 64 = 100 = 10 ; Ainsi 36 + 64 6= 36 + 64. Fire les exercices 8 9 10 F Prolèmes : Fire les exercices 11 F 12 F 13 F 14 F 15 F Vu u revet : Fire les exercices 16 F 17 F 18 F 19 F 20 F