Enoncé : Soit un ensemble de 3 charges électriques ponctuelles - 2q, +q, +q disposées aux sommets A, B et C d un triangle équilatéral de coté a, dans l air. 1. Calculer le potentiel V et déterminer le champ E créés par cette distribution de charges au centre de gravité G du triangle (q>0). On appellera le vecteur unitaire dirigé de G vers A d origine G et i le vecteur unitaire tel que (G, ) forme une base orthonormée. Potentiel : A : 0 B : 1 2q π ε 3a C : 1 2q 2 π ε 3a 2 D : 1 π ε q 3 a E : 1 π ε q 3 a Champ : A : 0 B : D : 1 9q 2 1 9q i C : 4π ε a 2 4π ε a 2 1 9q 1 9q E : i 4π ε a 2 4π ε a 2 2. A quelle force F est soumise une charge Q=- 3q placée en G? A : 0 B : 1 9q 2 27 q 2 i C : 4π ε a 2 4π ε a 2 D : 27 q 9 Qq 2 E : 4π ε a 2 4π ε a 2 3. Quelle est l énergie électrostatique de la charge Q placée en G dans le champ électrique résultant des 3 autres charges? A : 0 B : 9 Qq 4π ε a C : 9 q 2 4π ε a D : 9 Qq 4π ε a E : 9 q 2 2 4π ε a
Réponses : Figure 1. 1. Calcul du potentiel V Le potentiel est une grandeur scalaire, il suffit donc pour obtenir le potentiel en G, noté V(G), créé par les charges situées en A, B et C de sommer chacune des contributions, soit : V(G)=V(A)+V(B)+V(C) Avec : V(G) le potentiel en G créé par les charges situées en A, B et C V(A), V(B) et V(C) les potentiels créés par les charges A, B et C au point G Remarque : Le centre de gravité G du triangle ABC est le point d intersection des trois médianes. Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Rappel de cours Le potentiel créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l espace situé à la distance r de la charge q est donné par : V(M)= 4πε 0 r ε 0 est la permittivité électrique du vide Calcul du potentiel V(A) Le potentiel V(A) est le potentiel créé par la charge située en A (- 2q) au point G, donc : V(A)= 1 2q 4πε AG Avec : AG qui est la distance entre le point A et le point G ε permittivité électrique de l air Remarque : le triangle ABC étant un triangle équilatéral les distances AG, BG, et CG sont égales. On pose alors : AG=BG=CG=r, d ou : V(A)= 1 2q 4πε r Calcul des potentiels V(B) et V(C) Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a : V(B)= V(C)= 4πε r 4πε r On a alors : V(G)=V(A)+V(B)+V(C) V(G)= 1 2q + 4πε r 4πε r + 4πε r V(G)= 1 1 4πε r -2q+q+q ( )
V(G)=0 Le potentiel est nul au centre de gravité du triangle ABC Réponse : A Calcul du champ électrostatique E Le champ électrostatique est une grandeur vectorielle, il est donc nécessaire pour obtenir le champ en G, noté E (G), créé par les charges situées en A, B et C de faire une sommation vectorielle au point G de chacune des 3 contributions, soit : E (A)+ E (B)+ E (C) Avec : E (G) le champ électrostatique en G créé par les charges situées en A, B et C E (A), E (B) et E (C) les champs respectivement créés par les charges A, B et C au point G Rappel de cours Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle q, placé dans le vide, en un point M de l espace situé à la distance r de la charge q est donné par : E (M)= 1 4πε 0 u est un vecteur unitaire généralement choisi dirigé de q vers M (point ou l on veut déterminer le champ). Il sert à indiquer la direction du champ électrostatique ε 0 est la permittivité électrique du vide q r 2 u Calcul du champ E (A) Le champ E (A) est le champ créé par la charge située en A (- 2q) au point G, donc : Avec : E (A)= 1 2q ua u A le vecteur unitaire dirigé de A vers G. La charge en A étant négative (- 2q) le champ créé par A en G est dirigé de G vers A. Le vecteur E (A) est donc «négatif» compte tenue l orientation de u A (cf. Figure 2). ε permittivité électrique de l air
Calcul des champs E (B) et E (C) Par analogie avec ce qui a été dit précédemment, on a : Pour E (B) : E (B)= ub Avec : u B le vecteur unitaire dirigé de B vers G. La charge en B étant positive (+q) le champ créé par B en G est dirigé de B vers G. Le vecteur E (B) est donc «positif» compte tenue l orientation de u B (cf. Figure 2). Pour E (C) : E (C)= uc Avec : u C le vecteur unitaire dirigé de C vers G. La charge en C étant positive (+q) le champ créé par C en G est dirigé de C vers G. Le vecteur E (C) est donc «positif» compte tenue l orientation de u C (cf. Figure 2). Figure 2.
On a alors : E (A)+ E (B)+ E (C) Donc : E 1 2q (G)= ua + ub + uc ( 2u A + u B + u C ) Le champ électrostatique E (G) dépend du choix des vecteurs unitaires u A, u B et u C, par conséquent pour faciliter l expression du champ E (G) on l exprimera dans la base cartésienne orthonormée (G, i, ) (cf. Figure 3). Pour cela il suffit de proeter les vecteurs unitaires u A, u B et u C dans (G, i, ). Proection de u A dans (G, i, ) Le vecteur unitaire u A a une seule composante sur, tel que : u A = Proection de u B dans (G, i, ) La proection du vecteur unitaire u B sur ( i, ) s écrit : u B = u B cos α 2 ( ) i + u B sin( α 2) avec u B qui est la norme du vecteur unitaire u B, et comme u B est un vecteur unitaire alors sa norme est égale à 1, donc : u B = cos α 2 Proection de u C dans (G, i, ) ( ) i + sin( α 2) La proection du vecteur unitaire u C sur ( i, ) s écrit : u C = u C cos( α 2) i + u C sin( α 2) avec u C qui est la norme du vecteur unitaire u C, et comme u C est un vecteur unitaire alors sa norme est égale à 1, donc : u C = cos α 2 ( ) i + sin( α 2) Le champ électrique E (G) s écrit alors dans la base (G, i, ) : 2 cos α 2 ( ( ) i + sin( α 2) + cos( α 2) i + sin( α 2) ) 2 + 2sin α 2 ( ( ) )
Le triangle ABC étant équilatéral, l angle α est égal à 60 ou π/3 rad, donc α/2=30 ou π/6 rad, d ou sin( α 2) = 1 2. on a alors : 3 q Figure 3. Enfin pour déterminer l expression du champ en fonction des données du problème on exprime r en fonction de a (cf. Figure 3). On a : cos α 2 on a : cos α 2 ( ) = a 2r, d ou : r = a 2cos( α 2) ( ) = cos π 6 On obtient donc : = 3 2, donc : r = a 3 9 q 4πε a 2
9 q 4πε a 2 Le champ résultant E( G) = 9 q 4πε a 2 E G ( ) est dirigé suivant, sa norme est : Réponse : D Remarque : Grace aux des symétries du problème nous aurions immédiatement puis en déduire que le champ électrostatique résultant au point G, E ( G), avait une seule et unique composante sur l axe des. Les composantes des champ élémentaires s annulant 2 à 2 suivant l axe des i 2. Force subit par la charge Q=- 3q placée en G Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ électrostatique électrostatique de la forme : F=q E E subit une force Au point G le champ est électrostatique est : E( G) = 9 q 4π ε a 2 La charge Q, placée en G, est donc soumise à une force électrostatique du type : F=Q E G d ou : ( ) F=Q 9 q 4π e a 2 on a Q=- 3q, donc : F= 27 q 2 4π ε a 2 F= 27 q 2 4π ε a 2 La force électrostatique que subit la charge Q=- 3q placé en G est dirigée suivant la direction -, sa norme est : F = 27 q 2 4π ε a 2 Réponse : C
3. Energie potentielle électrostatique de la charge Q placée en G Rappel de cours Une charge ponctuelle q placée dans un champ de potentiel, acquière une énergie potentielle électrostatique, ou plus simplement énergie électrostatique, Ep, de la forme : Ep=qV L énergie est une grandeur scalaire. Au point G, le potentiel électrostatique est V(G)=0. L énergie électrostatique acquise par la charge Q étant de la forme : Ep=Q V(G), on a : Ep=0. Ep=0 L énergie électrostatique acquise par la charge Q placée en G est donc nulle. Réponse : A