Approximation paraxiale de l équation des ondes

Approximation paraxiale de l équation des ondes Houssem Haddar Houssem.Haddar@inria.fr Présentation du problème Dans de nombreux problèmes pysiques, en particulier en géopysique pétrolière et en sismique, les ondes se propagent dans une direction privilégiée z, la profondeur. Tant que la direction de propagation des ondes n est pas trop éloignée de cette direction, on peut alors approcer l équation des ondes par une équation d évolution en z appelé équation paraxiale. L avantage de cette équation est qu elle admet une approximation numérique rapide (objet du présent projet). Notons Ω le domaine de IR 2 défini par : Ω = {0 x x M et z 0} On désigne par Γ = {x = 0} {x = x M }, la partie latérale de la frontière du domaine, et on pose γ = [0, x M ] (voir figure ). On note note u le camp de déplacement (scalaire) dans Ω et w = û la transformée de Fourier en temps de u. w est alors régi par l équation paraxiale suivante, où on a besoin d introduire une fonction auxiliaire ψ : 0 γ x M x Γ Ω Γ z Fig. domaine d étude () dw + i (w ψ) = 0 c dans Ω 2 c ψ + ( c ) x x (αψ + bw) = 0 dans Ω w(x, z) z=0 = w 0 (x) (Condition initiale) w Γ = 0 ψ Γ = 0 (C.L. de Diriclet) c(x, z) représente la vitesse de propagation dans le milieu, au point (x, z) et représente la pulsation de l onde. α et b sont deux constantes positives fixées par l angle d incidence de l onde. On utilise classiquement l approximation paraxiale 45 qui correspond à α = /4 et b = /2. Nous allons donc nous intéresser à l étude des solutions de () et à la résolution numérique de ce problème. Remarquer que les fonctions w et ψ sont à valeurs complexes.

A z fixé, on introduit les les formes sesquilinéaires suivantes définies sur H 0 (γ) H 0 (γ) m(ψ, ϕ) = a(ψ, ϕ) = γ γ ψ(x)ϕ(x) dx c(x, z) c(x, z) ψ(x) x et notera par (ψ, ϕ) le produit scalaire dans L 2 (γ). ϕ(x) x Q. En utilisant ces notations, montrer qu à z fixé, w(, z) et ψ(, z) sont dans H0 (γ) et vérifient dx (2) ( d w(, z), ϕ) + im(w(, z) ψ(, z), ϕ) = 0, ϕ H 0(γ). (3) 2 m(ψ(, z), ϕ) a(αψ(, z) + bw(, z), ϕ) = 0, ϕ H 0 (γ). Q.2 On note T : H0 (γ) H 0 (γ) qui à w associe T w = ψ solution de (3). On suppose que c ne dépend que de z. Sous quelles conditions T est-il bijectif? Q.3 On suppose que T est bijectif. Ecrire à l aide de T l équation différentielle en z que vérifie w(, z). Montrer que cette equation admet pour tout w 0 H0 (γ) une unique solution w C (0, ; H0 (γ)). Q.4 Montrer que pour tout z > 0 on a la relation de conservation d énergie suivante : (4) w(x, z) 2 dx = w 0 (x) 2 dx γ Indication : On pourra prendre ϕ = w(, z) dans (2) et ϕ = αψ(, z) + bw(, z) dans (3) et calculer la partie réelle de (2). Dans la question suivante, on supposera que le milieu est omogène (c=cte). On s intéresse à un cas particulier d ondes se propageant dans tout le demi-espace z > 0 lorsque γ = IR : les ondes planes. Ce sont les ondes de la forme : w(x, z) = e i(kxx+kzz) w ψ(x, z) = e γ i(kxx+kzz) ψ où k = (k x, k z ) t s appelle le vecteur d onde. Sa direction d = k propagation de l onde. k représente la direction de Q.5 Montrer que les ondes planes, solutions de l équation paraxiale, vérifient la relation appelée relation de dispersion de la forme : (5) Préciser la fonction F. ( ) ck z = F ckx. 2

Cette relation de dispersion permet de déterminer les ondes planes qui se propagent dans une certaine direction de propagation. En effet, si on se fixe une direction de propagation d et une pulsation alors la relation de dispersion devient une équation d inconnu k. Plus simplement, on peut se fixer k x et et déterminer le vecteur d onde correspondant. Q.6 Tracer la courbe de dispersion, dans le plan (K x, K z ), définie par K z = F (K x ) pour α = /4 et b = /2, où on a posé K x = ck x et K z = ck z. La relation de dispersion de l équation des ondes s exprime : c k = La courbe de dispersion (K 2 x + K 2 z = ) est donc un cercle de rayon. La comparaison de la courbe de dispersion de l équation paraxiale avec ce cercle donne une indication sur la validité de l approximation. On vérifiera que l approximation est exacte pour des ondes se propageant dans la direction z (i.e. pour k x = 0). 2 Semi-discrétisation en x par éléments finis On introduit une partition de γ formée de segments [x i, x i+ ] avec x i = i = i x pour i = 0,,..., N + et x N+ = X M. On approce la formulation variationnelle (2-3) à l aide d éléments finis P. On note w (, z) et ψ (, z) les solutions approcées et on pose (à z fixé) W = [w (x ),, w (x N )] t et Ψ = [ψ (x ),, ψ (x N )] t. Q 2. Montrer que le problème approcé peut s écrire sous la forme matricielle : (6) dw U + im (W Ψ ) = 0 (i) 2 M Ψ A (αψ + bw ) = 0 (ii) W (z = 0) = w 0. où on précisera l expression des matrices U, M m et a. et A, à l aide des formes sequilinéaires On découpe l axe des z à l aide d un pas constant z et on pose z n = n z, n 0. De plus, on suppose que c(x,z) est constante par morceaux : c(x, z) = c n i si x i x < x i+ et z n z < z n+ Q 2.2 On se place en un point z [z n, z n+ [. Calculer les matrices U, M et A. On introduit la formule de quadrature suivante : (7) b a f(x) dx (b a) f(a) + f(b) 2 3

Q 2.3 Montrer que les matrices U et M obtenues à l aide de la formule de quadrature (7) vérifient U = I et M est une matrice diagonale. La matrice M ainsi obtenue s appelle la matrice de masse condensée. On remplace ainsi dans (6(i)) les matrices U et M par leurs approximations condensées et on s intéresse dans toute la suite au scéma suivant : U dw + im (W Ψ ) = 0 (i) (8) 2 M Ψ A (αψ + bw ) = 0 (ii) W (0) = w 0. Q 2.4 On suppose dans cette question que le milieu est omogène. Que deviennent les matrices M et A. 2. Etude de la dispersion numérique De même que pour le problème continu, on s intéresse aux ondes planes qui sont solutions du scéma semi-discrétisé. On se place donc dans le cadre de la question (2.4). Q 2.5 Ecrire la relation de dispersion du scéma semi-discrétisé. Indication : les ondes planes numériques sont des solutions particulières de la forme : w j (z) = e i(kzz+jkx) w i(kzz+jkx) ψ j (z) = e Ψ On montrera que la relation de dispersion s écrit sous la forme : (9) ck z = bâ 2 M αâ où Â et M dépendent de k x,, et. Notations : λ = 2πc ζ = 2π x λ = x c longueur d onde ; p = ck x Q 2.6 Réécrire la relation de dispersion du scéma semi-discrétisé (9) en fonction des paramètres ζ et p sous la forme : (0) ( ) ckz = sd bã(ζ, p) M (ζ, p) αã(ζ, p) Comparons la relation (0) avec la relation de dispersion de l équation continue (5) qui s écrivait : ( ) ckz = F (p) cont 4

Pour cela, on se fixe des valeurs de p et on trace la courbe d erreur : p e(ζ) = ( ckz ) p cont ( ckz ) sd en fonction de ζ, pour ζ variant dans [0, π] (ce qui correspond à une discrétisation avec un nombre de points par longueur d onde supérieur à 2). 3 Discrétisation totale Q 3. De même que dans le cas continu, montrer que le scéma semi-discrétisé en x étudié dans la section précédente peut s écrire, en éliminant Ψ, sous la forme : dw = ic W () W (0) = w 0 où C est une matrice que l on précisera. Afin de résoudre ce système différentiel nous allons utiliser une métode qui permet d éviter le calcul explicite de C (qui nécessite le calcul de l inverse d une matrice). Cette métode se base sur la décomposition de C en deux parties bien coisies et de ramener la résolution du système différentiel à la résolution de deux systèmes différentiels où caque partie intervient séparément : c est la métode du splitting. Présentation du splitting. Soit u solution de l équation différentielle suivante : du = (A + A 2 )u (2) u(0) = u 0 où A et A 2 sont deux matrices constantes de IR n n. Q 3.2 Montrer que si A et A 2 commutent, la solution de (3.2) à priori a pour expression : (3) u(z) = e A z e A 2z u 0 = e A 2z e A z u 0 Les métodes de splitting reposent sur une décomposition de ce type. Introduisons alors l algoritme correspondant : la première étape consiste à déterminer u( z) à partir de u 0. Notation : On notera u 0 = u(0) ; u = u( z)... ; u n = u(n z). Q 3.3 Vérifier que la solution u peut s obtenir à partir de deux fonctions intermédiaires v et v 2 telles que : dv = A v (z), 0 z z v (0) = u 0 = u 0 dv 2 = A 2v 2 (z), 0 z z v 2 (0) = v ( z) = d v 5

u = v 2 ( z) d = v 2 Description de l algoritme de splitting : Plus généralement, supposons qu on ait déjà calculé la solution à l étape n : u n u(n z). La solution à l étape n+ s obtient en résolvant le système : du = (A + A 2 )u z n z z n+ u(n z) = u n L algoritme s écrit alors comme précédemment : u n donnée v 0 = u n v défini par : v = v ( z) où v est solution de : dv = A v (z) 0 z (z) v (0) = v 0 = u n v 2 défini par : v 2 = v 2 ( z) où v 2 est solution de : dv 2 = A 2 v 2 (z) 0 z (z) v 2 (0) = v u n+ = v 2 Q 3.4 Appliquer le résultat précédent à la solution W de () en milieu omogène. On explicitera tout d abord la matrice C dans ce cas. Puis on la décomposera sous la forme : C = C + C2 avec C = c I En supposant W n W (n z) = W (z n ) connue, expliquer comment obtenir W n+, en introduisant deux valeurs intermédiaires V et V 2. Expliciter V. Montrer que le passage de W n à W n+ requiert la résolution d un système de la forme : (ζ 2 M 0 αa 0 ) dv 2 = i C ba 0V 2 0 z z (4) V 2 (0) = V Extension au cas étérogène (5) On étend le procédé précédent au cas étérogène de la façon suivante : W n donnée (V V 2 ) est déterminé par : V j = e i z c n j Wj n = V 2( z) où V 2 est solution de : ( 2 M αa ) x(m dv ) 2 = iba V 2 V 2 (0) = V 6

W n+ = V 2 Scéma d ordre 2 en z On se donne θ 2 et on introduit le θ-scéma pour discrétiser l équation (5) : ( 2 M αa ) x(m ) V 2( z) V 2 (0) z = iba [θv 2 ( z) + ( θ)v 2 (0)] (6) Pour θ = 2, il s agit du scéma de Crank-Nicolson. L algoritme est alors le suivant : W n connue. On stocke V dans W n : i z Wj n = e c n j Wj n Calcul de W n+ W n+ : solution de : [ ( 2 x z M (M ) A (α x [ = 2 x z M (M) A ] z (M ) + ibθ) W n+ = )] W n ( α x z (M ) ib( θ) Q 3.5 Ecrire un programme utilisant cet algoritme pour calculer la solution de l équation paraxiale (lecture de données, construction des matrices, résolution...). Quelle est la structure des matrices à inverser? On pourra utiliser cette structure dans le coix du stockage. On peut utiliser comme métode de résolution une décomposition LU (cf. annexe). Remarque : pour tester le programme, on peut vérifier que l énergie est bien conservée. 4 Simulations Numériques - On pourra prendre α = /4 et b = /2, correspondant à l approximation paraxiale 45. - Condition initiale ( ) w 0 (x) = x x S sin c x x S On peut coisir x = z. La longueur d onde est alors λ = c F = 2πc. Coisir un pas de discrétisation tel qu on ait au moins 4 points par longueur d onde ( λ 4). Les ordres de x grandeur sont c 000m/s, F 0 à 30 Hz ( = 2πF ). Premier cas : en milieu omogène. Comment devient le signal si on augmente la fréquence? Observer ce qui se passe en déplaçant le point source et en le rapprocant d un des bords. Quelle est l influence du paramètre θ? (on pourra en particulier regarder l énergie) 7

Deuxième cas : en milieu bicouce On suppose la vitesse constante dans 2 couces délimitées par une droite : c(x, z) = c c(x, z) = c 2 si z < dx + f sinon. Faire varier la pente de la droite pour différentes simulations. Autres cas (en option) Lecture d un ficier de vitesses étérogène, milieu stratifié etc... 5 Annexe : factorisation LU d une matrice tridiagonale Soit A une matrice tridiagonale d odre N, inversible et dont l expression est donnée par a b 0 0. b a 2 b.. 2. A =. 0 b 2 a.. 3 0.......... bn 0 0 b N a N où les a i, i N et les b i, i N, sont des nombres complexes. Alors on peut factoriser A sous la forme A = LU où L et U sont données par α 0 0 0. b α 2 0... L =. 0 b 2 α.. 3 0.......... 0 0 0 b N α N U = Les α i et les u i sont déterminés par : u 0 0 0 u 2.... 0 0... 0.......... un 0 0 0 8

α = a Pour i = 2, N Fin i u i = b i α i α i = a i b i u i La résoltion du sytème linéaire A X = F se ramène donc à la résolution de L Y = F (par une descente) puis U X = Y (par une remontée). Cela nous conduit à l algoritme de résolution suivant : Y = F α Pour i = 2, N Y i = F i b i Y i α i Fin i X N = Y N Pour i = N, X i = u i X i+ Fin i 9