Terminale ES La fonction logarithme népérien 1
I Liens avec la fonction exponentielle Définition On sait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur et à valeurs dans ]0;+ [. Ainsi, pour tout nombre réel a > 0, il existe un unique nombre réel b tel que e b = a., notée ln, est la fonction définie sur ]0; + [, qui à tout nombre réel x > 0 associe l unique solution de l équation e y = x d inconnue y. On note cette solution y = ln x. 2
II Conséquences Les propriétés suivantes découlent directement de la définition : 1. Pour tous réels x > 0 et y, e x = y x = ln y. 2. Pour tout réel x > 0, e ln x = x. 3. Pour tout réel x, ln(e x ) = x. 4. ln 1 = 0 (car e 0 = 1) ln e = 1 (car e = e 1 ) ln 1 e = -1 (car 1 e = e-1 ) III Courbe représentative de la fonction ln Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. 3
est continue et dérivable sur ]0; + [. 4
Etude de la fonction ln IV Fonction dérivée de ln Pour tout nombre réel x > 0, ln (x) = 1 x. Démonstration On note f la fonction définie sur ]0; + [ par f(x) = e ln x. Cette fonction est de la forme e u avec u(x) = ln x. La fonction ln étant dérivable sur ]0; + [ alors la fonction f est aussi dérivable sur ]0; + [. Pour tout réel x > 0, f (x) = u (x)e u(x) = u (x) f(x). Or f(x) = x et f (x) = 1 Donc u (x) = ln (x) = f (x) f(x) = 1 x 5
Etude de la fonction ln V Etude des variations de ln est strictement croissante sur ]0; + [. Démonstration Pour tout réel x > 0, ln (x) = 1 x. Or, pour x > 0, 1 x > 0. Donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0; + [. x 0 1 e + ln + ln 0 1 6
Etude de la fonction ln Deux tangentes particulières On note C la courbe représentative de ln dans un repère. Tangente T à C au point A d abscisse 1 T a pour équation : y = ln (1)(x 1) + ln(1) = x 1. T est parallèle à la droite d équation y = x. Tangente T à C au point B d abscisse e T a pour équation : y = ln (e)(x e) + ln (e). Soit : y = 1 e x e + 1 = 1 e x T passe par l origine du repère. 7
Etude de la fonction ln VI Signe de ln x Comme la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+ [, alors : Pour tous réels a > 0 et b > 0 (1) ln a = ln b a = b (2) ln a < ln b a < b L inéquation ln x 0 équivaut à ln x ln 1 c est-à-dire à x 1 (d après (2). On en déduit le tableau de signes suivant : x 0 1 + ln x - 0 + 8
s algébriques de la fonction ln VII Relation fonctionnelle Pour tous réels a > 0 et b > 0, ln(ab) = ln(a) + ln (b). Démonstration On sait que pour tous réels x et y, e x+y = e x e y. On note a et b les nombres strictement positifs tels que x = ln a et y = ln b. On a alors : e ln a + ln b = e ln a e ln b On en déduit ln a + ln b = ln(ab). 9
s algébriques de la fonction ln VIII Logarithme népérien d un inverse, d un quotient s Pour tous réels a > 0 et b > 0, 1 ln 1 b = ln b (2) ln a b = ln a ln b Démonstration (1) Pour tout réel b > 0, b 1 b = 1 et donc ln b 1 b = ln 1 = 0 De la relation fonctionnelle, on déduit : ln b + ln 1 b = 0, soit ln 1 b = - ln b. (2) Pour tous réels a > et b > 0, a b = a 1 b et donc ln a b = ln a 1 b De la relation fonctionnelle, on déduit ln a b = ln a + ln 1 = ln a ln b (d après (1)). b 10
s algébriques de la fonction ln IX Logarithme népérien d une puissance En appliquant la relation fonctionnelle, on constate que pour tout réel a > 0 : ln(a²) = ln(a a) = ln a + ln a = 2 ln a ln(a 3 ) = ln(a² a) = ln(a²) + ln a = 2 ln a + ln a = 3 ln a On peut ainsi montrer de proche en proche la propriété suivante : Pour tout réel a > 0 et pour tout entier naturel n, ln(a n ) = n ln a. X Résolution d une équation du type x n = k (n et k ) Exemple : Résolution dans ]0; + [ de l équation x 6 = 10 5 Les nombres x 6 et 10 5 sont strictement positifs donc : x 6 = 10 5 ln(x 6 ) = ln(10 5 ) 6 ln x = 5 ln 10 ln x = 5 6 ln 10 x = e 5 6 ln 10 11