Feuille d exercices : Calcul matriciel : Exercice 2 3 ) Soit A = 0 0, motrer que A est la matrice das la 2 6 base caoique de R 3 d ue projectio dot o precisera le oyau et l image 2) Doer la matrice das lase caoique de R 3 de la projectio p, sur { D parallelemet à π où x + y + z = 0 D : et π : x + y z = 0 x + 2y z = 0 x x Idicatio : Poser X = y, p(x) = y, utiliser les relatio z z p(x) Im (p) = D, p(x) X Ker (p) = π pour trouver des relatio etre x, y, z et x, y, z puis e déduire la matrice de p 3) Soit P la matrice d u projecteur sur u ev de dimesio fiie motrer que rg(p ) = Tr(P ) Idicatio : chercher ue base où sa matrice s exprime d ue faço simple Exercice 2 29 38 8 7 8 4 Soiet A = 4 7 et B = 3 3 2 20 27 2 3 4 Motrer que A et B ot même rag, même détermiat, même trace mais e sot pas semblables (calculer (A I) 2 et (B I) 2 ) Source dispoible sur : c Exercice 3 0 0 0 ) Soit N et A = 0 M (R), associée à 0 0 u edomorphisme f d u R espace vectoriel, E, de dimesio, das ue base B = (e,, e ) a) Calculer f(e k ), pour tout k b) E déduire f 2 (e k ), pour tous k, puis la forme de la matrice A 2 c) E déduire f p (e k ), pour tous k, p, puis la forme de la matrice A p d) E déduire que f = 0, puis que A = 0 2) Iversemet soit f u edomorphisme d u R espace vectoriel, E, de dimesio tel que f = 0 et f 0 a) Justifier l existece d u x 0 E tel que f (x 0 ) 0 b) E déduire que la famille B = (f (x 0 ),, f(x 0 ), x 0 ) est ue base de E c) Doer M B (f) Page sur 5
Exercice 4 Das tout le problème 2 ) Etudier sur R suivat la parité de les variatios de f : x x + + x 2) Vérifier que f ( + ) < 2 3) E déduire, suivat la parite de, le ombre de solutios de l equatio : f (x) = 2 4) Soit A la matrice carré d ordre 2 formée par ( des partout, ) trouver 0 0 P iversible telle que A = P BP où B = 0 2 5) Soit E l équatio matricielle X + + X = A d icoue X M 2 (R), motrer que la résolutio de cette équatio peur se rameer à celle de (E ) : Y + +Y = B d icoue Y M 2 (R) 6) Motrer que BY = Y B ( ) 7) Si Y =, motrer que b=c=0 c d 8) Quelles sot les valeurs possibles de a 9) Discuter suivat les valeurs de le ombre de solutios de (E ) λ Exercice 5 Soit λ R et J (λ) = M (R) λ ) Calculer J () 2 e foctio de J () 2) Exprimer J (λ) e foctio de J () et I E déduire J (λ) 2 e foctio de J (λ) et I 3) E déduire ue coditio écessaire et suffisate sur λ pour que J (λ) soit iversible, exprimer das ce cas J (λ) e foctio de J (λ) Exercice 6 O ote U = M (R), A = {au + bi, a, b R} ( 2) ) Calculer U 2, e déduire U k, pour tout k N 2) Motrer que A est ue sous algèbre commutative de M (R) Doer sa dimesio 3) Soit M = au + bi A Exprimer M 2 e foctio de M et I E déduire que M est iversible si et seulemet si b(b + a) 0, et das ce cas M A 4) Trouver les matrices M A vérifiat : M = I Exercice 7 Calculer les puissaces successives de la matrice : a + b 0 a A = 0 b 0 a 0 a + b où a et b sot deux ombres complexes Idicatio : O pourra ecrire A sous la forme aj + bi 3 Exercice 8 ) Soit X, Y M, (R), o pose A = X t Y a) Motrer que rga = b) Calculer AX, e déduire les valeurs propres de A c) Coclure que A est diagoalisable 2) Iversemet, soit A M, (R) tel que rga = Motrer que X, Y M, (R) tel que A = X t Y E déduire que A est diagoalisable Page 2 sur 5
Exercice 9 O cosidère m u ombre complexe o ul, et o pose : 0 m m 2 A = m 0 m m 2 m 0 ) Calculer (A + I 3 ) (A 2I 3 ) E déduire que A est iversible, puis calculer A 2) Soit B = 3 (A + I 3), C = 3 (A 2I 3) Calculer B 2, C 2, puis e déduire B, C, pour tout N 3) Calculer, pour tout N, A e foctio de A et I 3 4) Retrouver le résultat du c) e calculat le reste de la divisio euclidiee de X par : (X + ) (X 2) Exercice 0 Soit l applicatio liéaire φ : R [X] R [X] P (X) P (X + ) ) Calculer M B (φ) où B lase caoique de R [X] 2) Dire commet iverser la matrice : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 M + (R) ( ) 0 0 Exercice ( ) Soit A M (K) ( de ) coefficiets a ij = j p ( ) j, avec la covetio = 0 si p < q i q ) Détermier l edomorphisme u de K [X] ayat A pour matrice das lase caoique de K [X] Idicatio : commecer d abord par calculer u(), u(x),, u(x ), à partir de la matrice, puis e déduire u(p ) pour tout P K [X] 2) E déduire A 3 Exercice 2 Cocours marocai, 2005 et 2006 Soit E u K espace vectoriel de dimesio N et B = (e,, e ) ue base de E Pour tous i, j {,, }, o défiit l edomorphisme de E, oté u i,j par la relatio suivate : u i,j (e k ) = δ j,k e i Avec δ j,k = si j = k, appellé symbole de Kroeeker = 0 si j k O ote aussi, E i,j la matrice carrée d ordre, dot tous les coefficiets sot uls, sauf celui de la ième lige et jème coloe, ègal à ) Motrer que (u i,j ) i,j est ue base de L(E) 2) Calculer M B (u i,j ), e déduire que (E i,j ) i,j est ue base de M (K) 3) Soit i, j, k, l {,, } fixéx, calculer pour tou p {,, }, u i,j u k,l (e p ), puis e déduire E i,j E k,l 4) Exprimer la matrice A = (a i,j ) i,j, das lase (E i,j ) i,j, puis e déduire les produits AE k,l et E k,l A 5) Applicatio : Soit A = (a i,j ) i,j a) Motrer que : AM = MA, M M (K) = A = λi, où λ K b) Calculer Tr(AE k,l ) E déduire que : Tr(AM) = 0, M M (K) = A = 0 Page 3 sur 5
Exercice 3 Formes liéaires et trace sur M (K) ) Soit φ ue forme liéaire sur M (K) Motrer qu il existe ue et ue seule matrice A M (K) telle que : X M (K) φ(x) = tr (AX) 2) O suppose que X, Y M (K) φ(xy ) = φ(y X) Motrer qu il existe λ K tel que : X M (K) φ(x) = λ tr (X) Exercice 4 Commutat d ue matrice diagoale Soit A M (K) et C A = {M M (K) tel que AM = MA}, appelé commutat de A ) Motrer que C A est ue sous-algèbre de M (K) 2) Soit A = diag(λ, λ 2,, λ ) ue matrice diagoale dot tous les λ i sot disticts a) Chercher C A b) Soit φ : M (K) M (K) M MA AM Motrer que Im (φ) est l esemble des matrices à diagoale ulle Exercice 5 Matrices d ue permutatio Soit N, pour tout σ S, o pose P σ = ( δ i,σ(j) ) i,j Avec δ i,j = si i = j = 0 si i j, appellé symbole de Kroeeker ) Calculer P σ, pour = 4, σ = ( 2), σ = ( 2 3) et σ = ( 2)(3 4) 2) Motrer que P σ P σ = P σ σ 3) Calculer P id, e déduire que P σ est iversible et préciser so iverse Exercice 6 Matrices e damier Soit M = (a ij ) M (K) O dit que M est e damier si a ij = 0 pour j i impair O ote par D l esemble de telle matrices Motrer que D est ue sous-algèbre de M (K) Quelle est sa dimesio? Exercice{ 7 Matrices stochastiques Soit D = A = (a ij ) M (R) tel que : a ij 0 et a ij = j= ) Doer u exemple pour = 2 et u pour = 3 2) Motrer que D est stable par multiplicatio i, j 3) Démotrer les matrices A D iversibles telles que A D sot celles dot chaque coloe cotiet fois 0 et ue fois 4) Motrer qu il s agit là d ue matrice de permutatio Exercice 8 Matrices cetrosymétriques Ce sot les matrices A = (a ij ) M (K) tel que : a + i,+ j = a i,j, i, j ) Doer u exemple pour = 2 et u pour = 3 2) Motrer que si A et B sot cetro symétriques, il e est de même de AB Exercice 9 Quaterios { ( ) } ) Motrer que C = M = M b a (R) est u corps isomorphe à C { ( ) } 2) Motrer que H = M = M b a (C) est u corps o commutatif O l appelle le corps des Quaterios } Page 4 sur 5
Exercice 20 ( Homographies ) Pour M = GL c d 2 (R), o ote Motrer que M f M oyau? f M : R { } R { } x ax + b cx + d est u morphisme de groupes Quel est so Exercice 2 Problème géométrique Soit A,, A poits du pla O cherche poit B,, B du pla tels que pour tout etier k [, ], le poit A k soit le milieu du segmet [B k, B k+ ] (avec par covetio B + = B ) Das la suite de l exercice, o ote z M l affixe d u poit M du pla ) Écrire le sytème vérifié par z B,, z B 2) Résoudre ce sytème pour = 3 et = 4 Doer ue iterpétatio géométrique du résultat 3) Résoudre le système das le cas gééral 4) Quel est l iverse de la matrice du système quad elle est iversible? Sio, quel est so rag? Exercice 22 Échage de liges Soit A M (K) iversible et B la matrice obteue e échageat das A les coloes i et j Motrer que B est aussi iversible Et qu o passe de A à B e échageat les liges i et j Exercice 23 M atisymétrique = I + M est iversible Soit M M (R) atisymétrique ) Motrer que I + M est iversible Idicatio : si MX = X, calculer t (MX)(MX)) 2) Soit A = (I M)(I + M) Motrer que t A = A Fi Page 5 sur 5