Université de Liège Examen d admission aux études de bachelier ingénieur civil et architecte Trigonométrie et calcul numérique Prof. P. Duysinx et Prof. P. Dewallef Juillet 01 Question 1 Montrer que Solution sin π + sin 3π + sin 5π + sin 7π = 3 Notons tout d abord que les angles π et 7π ainsi que 3π et 5π sont supplémentaires à. Et nous pouvons écrire : sin 7π ( = sin π 7π ) sin 5π ( = sin π 5π ) = sin π = sin 3π sin π + sin 3π + sin 5π + sin 7π = 3 sin π + sin 3π = 3 En faisant usage de la formule de Carnot : cos a = 1 sin a et cos a = cos a 1, nous pouvons exprimer : sin a = ( sin a ) ( ) 1 cos a = = 1 + cos a cos a 1+cos a 1 + cos a 3 + cos a cos a = = En appliquant cette relation aux deux termes du membre de gauche de l égalité nous obtenons : sin π 3π 3 + cos (π/) cos (π/) 3 + cos (3π/) cos (3π/) +sin = + 3 + 0 cos (π/) 3 + 0 + cos (π 3π/) = + 3 cos (π/) 3 + cos (π/) = + = 3 + 3 = 3 ce qui prouve l égalité.
Question Résoudre l équation cos 3x + cos 7x = 1 + cos 10x Représenter les solutions entre 0 et π sur le cercle trigonométrique. Solution On fait d abord usage de la formule de Simpson : Le membre de gauche devient cos 3x + cos 7x = cos cos p + cos q = cos p + q 3x + 7x On utilise ensuite la formule de Carnot et le second membre s écrit L équation s écrit : cos 3x 7x cos x = cos x 1 1 + cos 10x = cos 5x cos p q = cos 5x cos x cos 3x + cos 7x = 1 + cos 10x cos 5x cos x = cos 5x Il vient les deux familles de solutions : cos 5x = 0 ce qui donne cos 5x ( cos x cos5x) = 0 cos x cos 5x = 0. Il vient 5x = π + π x = π 10 + π 5 ou bien 5x = x + π 3x = π x = π 3 5x = x + π 7x = π x = π 7 D autres étudiants ont transformé la somme cos x cos 5x = 0 en produit en utilisant une nouvelle fois la formule de Simpson L équation s écrit alors cos p cos q = sin p + q sin p q cos 3x + cos 7x = 1 + cos 10x cos 5x ( cos x cos5x) = 0 cos 5x sin 7x 3x sin = 0
On trouve alors les mêmes solutions : sin 7x = 0 7x = π x = π 7 et sin 3x = 0 3x = π x = π 3 3
Question 3 Deux églises sont situées de part et d autre d une place horizontale. Les clochers de ces deux églises sont représentés respectivement par les segments AB et CD. Les bases de ces clochers sont séparées d une distance. Un observateur placé au point C voit le sommet B du clocher opposé sous un angle BCA. De même, un observateur situé au point A voit le sommet D du clocher opposé sous un angle DAC valant la moitié de l angle BCA. La somme des angles BEA et DEC sous lesquels un observateur placé au point E voit respectivement les sommets B et D est égale à 90. Si la distance vaut 60 m, déterminer la hauteur des deux clochers AB et CD. B D A / E C Solution 1 Exprimons tout d abord les angles DEC et BEA en fonction de en notant que DEC + BEA = π : tg DEC = DC tg BEA = AB ( π ) = tg BEC = 1 tg BEC = DC DC = AB Alternativement, nous pouvons noter que les triangles EDC et BEA sont semblables à. En effet, ÊDC = π DEC et par hypothèse DEC + BEA = π, ce qui nous permet de déduire que ÊDC = BEA. De manière similaire, nous pouvons déduire que DEC = ÊBA et les deux triangles rectangles EDC et BEA sont semblables, ce qui entraine que : BA EC = EA DC BA / = / DC DC = AB Exprimons maintenant les angles BCA et DAC en fonction de en notant que BCA = DAC : tg DAC = DC tg BCA = AB ) ( DAC = tg = tg DAC 1 tg DAC = DC 1 DC
En remplaçant la valeur de DC par la valeur précédemment trouvée, à savoir AB, il vient AB AB = 16AB = 9 3 AB = 1. Ensuite, 16AB DC = 1 =. Si = 60 m, AB = 5 m et DC = 0 m. 3 Solution Une autre solution possible consiste à écrire les relations entre les côtés des triangles rectangles BAE, BAC, CDA et CDE. L énoncé nous dit d une part ÂCB = ĈAD = α et d autre part que : BED = 90 Donc ÂEB + DEC = 90 DEC = 90 ÂEB tan DEC = tan(90 1 ÂEB) = tan ÂEB Ecrivons maintenant les relations dans les triangles rectangles BAE, BAC, CDA et CDE. Dans BAE, on a : Dans BAC, on a : Dans CDE, on a BA = AE tan ÂEB = (/) tan ÂEB BA = AC tan ÂCB = tan ÂCB CD = EC tan DEC = (/) tan DEC Dans CDA, on a CD = AC tan DAC = tan DAC En égalant les expressions des longueurs BA et CD, il vient : On a également BA = (/) tan ÂEB = tan α tan ÂEB = tan α = tan α 1 tan α CD = (/) tan DEC = tan α tan DEC = tan(90 ÂEB) = 5 1 tan ÂEB = tan α
En identifiant la valeur de tan ÂEB, on obtient une équation permettant de déterminer tan α. 1 tan ÂEB = tan α = tan α 1 tan α tan α 1 tan α = 1 tan α Seul le signe plus a du sens ici, et on a tan α = 1 9 α = 1, 399 tan α = ± 1 3 Il est alors maintenant aisé de calculer les hauteurs AB = tan α = 5 m et CD = tan α = 0 m 6