1 Exercice 1 ( poits) L espace est mui d u repère orthoormal (O ; i, j, k ). Les poits A, B et C ot pour coordoées respectives A (1 ; ; ), B ( ; 6 ; 5), C( ; ; 3). 1 a) Démotrer que les poits A, B et C e sot pas aligés. 3 5 k k 3 5 k k 1 7 k 3 5 Les vecteurs AB et AC doc sot-ils coliéaires : 1 7 1 7 k Le système 'a pas de solutio doc les vecteurs AB et AC e sot pas coliéaires doc les poits A, B et C e sot pas aligés. b) Démotrer que le vecteur (1 ; 1 ; 1) est u vecteur ormal au pla (ABC). AB 3 + 1 doc AB et AC 5 + 7 doc AC Le vecteur est orthogoal à deux vecteurs du pla (ABC) c'est doc u vecteur ormal du pla (ABC) c) Détermier ue équatio du pla (ABC). est u vecteur ormal du pla (ABC) qui passe A doc le pla (ABC) a ue équatio de la forme x y z x A y A z A x y z 1 + x y z 1 Le pla (ABC) a doc pour équatio x y z 1 a) Détermier ue représetatio paramétrique de la droite passat par le poit O et orthogoale au pla (ABC). est u vecteur directeur de cette droite qui passe par le poit O doc ue représetatio paramétrique de la droite est x x O + 1 t x t de la forme y y O + ( 1) t y t. z z O + ( 1) t t IR z t t IR b) Détermier les coordoées du poit O', projeté orthogoal du poit O sur le pla (ABC). O' est à l'itersectio du pla (ABC) avec la perpediculaire au pla (ABC) passat par O. le pla (ABC) a pour équatio x y z 1 et la perpediculaire au pla (ABC) passat par O a pour représetatio x t paramétrique x t y t doc les coordoée de O' doivet être solutio du système z t t IR Calcul du paramètre qui correspod à O' : t ( t) ( t) 1 t 1 3 Calcul des coordoées de O' : x 1 3, y 1 3 et z 1 3 doc O' 1 3 ; 1 3 ; 1 3 3 O désige par H le projeté orthogoal du poit O sur la droite (BC). Soit t le réel tel que BH t BC. BO a) Démotrer que t BC BC. BO BC ( BH + HO) BC BH BC + HO BC H est le projeté orthogoal du poit O sur la droite (BC) doc (OH) (BC) doc HO BC O a doc BO BC BH BC (t BC) BC t BC BC t BC o a doc bie t b) E déduire le réel t et les coordoées du poit H. BO 6 5 et BC 6 8 O a doc t 7 1 9 et BH t BC y t z t x y z 1 BO BC BC. doc BO BC + 36 + 7 et BC + 36 + 6 1. B ( ; 6 ; 5), x B + 18 y B + 6 5 z B 5 7 x B y B z B 7 doc H ; ; 7
Exercice (3 poits) Ue ure cotiet des boules idiscerables au toucher. % des boules portet le uméro 1 et sot rouges. Les autres portet le uméro et parmi elles, 1 % sot rouges et les autres sot vertes. O ote N 1 l'évéemet " la boule tirée est umérotée 1 " N l'évéemet " la boule tirée est umérotée " R l'évéemet " la boule tirée est rouge " % des boules portet le uméro 1 doc p (N 1 ), et p (N ),8 Parmi les boules umérotées, 1 % sot rouges et les autres sot vertes doc p N (R),1 et p N (V),9 1 O tire ue boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge? D'après la loi des probabilités totales o a : p (R) p (R N 1 ) + p (R N ) p (N 1 ) p N1 (R) + p (N ) p N (R), +,8,1,8 O a tiré ue boule au hasard. Elle est rouge. Motrer que la probabilité qu'elle porte le uméro est égale à 7. p R (N ) p (R N ) p (R),8,1,8 8 8 7 3 Soit u etier aturel supérieur ou égal à. O effectue tirages successifs d'ue boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise das l'ure). O répète fois la même expériece, de maière idépedate les ues des autres, e s'itéressat à l'évéemet R et à l'évéemet cotraire V. La variable aléatoire qui compte le ombre de fois où l'évéemet R est réalisé suit u loi biomiale de paramètre et p (A) a) Exprimer e foctio de la probabilité d'obteir au mois ue boule rouge portat le uméro 1 au cours des tirages. O calcul la probabilité de l'évéemet cotraire : p (X ) (1,) Doc p (X 1) 1 (,8) b) Détermier l'etier à partir duquel la probabilité d'obteir au mois ue boule rouge portat le uméro 1 au cours des tirages est supérieure ou égale à,99, 1 (,8),99 1,99 (,8) l (,1) l ((,8) ) (car la foctio l est croissate sur IR+ * ) l (,1) l (,8) l (,1) l (,8) (car l (,8) < ) l (,1),6 doc à partir de 1 la probabilité d'obteir au mois ue l (,) boule rouge portat le uméro 1 au cours des tirages est supérieure ou égale à,99, Exercice 3 (5 poits, o spécialistes) O cosidère les poits A d'affixe i, B d'affixe i et D d'affixe 1. O appelle E le poit tel que le triagle ADE soit équilatéral direct. Soit f l'applicatio qui à tout poit M d affixe z ( z i) associe le poit M' d'affixe z' défiie par z' z i. 1 Démotrer que le poit E a pour affixe 1 + 3 (1 + i). ADE est u triagle équilatéral direct doc E est l'image de D par la rotatio de cetre A d'agle 3 doc z E z A e i 3 (z D z A ) z E i + 1 + i 3 (1 i) z E i + 1 + i 3 1 i + 3 z E 1 + 3 + 1 i + i 3 z E 1 + 3 (1 + i).,,8 N 1 N R,1 R,9 V
Exprimer sous forme algébrique l affixe du poit D' associé au poit D par l'applicatio f. z D ' z D i i z D + 1 i ( i) (1 i) i i 1 i + 1 1 + 1 1 3 i 3 a) Démotrer que, pour tout ombre complexe z différet de i, (z' + i) (z i) 1. Pour tout ombre complexe z o a : (z' + i) (z i) z i + i z i + i () (z i) (z i) z i z + i i (z i) (z i) 1. b) E déduire que pour tout poit M d'affixe z (z i) : BM' AM 1 et ( u, BM') ( u, AM) + k où k est u etier relatif. (z' + i) (z i) 1 doc (z' + i) (z i) 1 doc z' + i z i 1 De plus BM' z' z B z' + i et AM z z A z i et doc BM' AM z' + i z i 1 (z' + i) (z i) 1 doc arg ((z' + i) (z i)) k doc arg (z' + i) + arg (z i) k où k est u etier relatif. De plus ( u, BM') arg (z' z B ) arg (z' + i) et ( u, AM) arg (z z A ) arg (z i) arg (z' + i) + arg (z i) k doc ( u, BM') + ( u, AM) + k doc ( u, BM') ( u, AM) + k a) Démotrer que les poits D et E appartieet au cercle (C) de cetre A et de rayo. AD z D z A 1 i AE 1 + 3 (1 + i) i 1 + 3 + 1 i + i 3 i 1 + 3 1 i + i 3 AE 1 + 3 + 1 + 3 1 + 3 + 3 + 1 3 + 3 doc AE variate (mois calculatoire) E est l'image de D par ue rotatio de cetre A doc AE AD b) E utilisat les résultats de la questio 3 b), placer le poit E associé au poit E par l'applicatio f. O laissera apparets les traits de costructio. BE' AE 1 doc BE' 1 doc BE' 1 AE AE doc E' est sur le cercle de cetre B de rayo ( u, BE') ( u, AE) + k doc E' est sur ue demi droite d'origie A. O trace doc la parallèle à (AE) qui passe par B puis la symétrique de cette droite par rapport à l'axe (B, u) 5 Quelle est la ature du triagle BD'E'? à k près o a : ( u, BE') ( u, AE) ( u, BD') ( u, AD) doc ( BD', BE') ( AE, AD) 3 doc ( u, BE') ( u, BD') ( u, AE) + ( u, AD) BD' z D ' z B 1 3 i + i 1 3 i + i BE' Coclusio : ( BD', BE') et BD' BE' doc BD'E' est u triagle équilatéral idirect. 3
e x Exercice (8 poits) A tout etier aturel o ul, o associe la foctio f défiie sur IR par f (x) e x + 7. O désige par C la courbe représetative de la foctio f das u repère orthoormal (O; i ; j ). Les courbes C 1, C et C 3 sot doées ci-dessous. Partie A : Etude de la foctio f 1 défiie sur IR par f 1 (x) ex e x + 7. 1 Vérifier que pour tout réel x, f 1 (x) 1 + 7 e x. f 1 (x) ex e x + 7 ex e x (e x + 7) e x 1 + 7 e x a) Démotrer que la courbe C 1 admet deux asymptotes dot o précisera des équatios. lim e x doc, par passage à la limite lim x + x + 1 + 7 e x. Doc la droite d'équatio y est asymptote 1 + 7 à la courbe C 1 e +. e x lim ex doc, par passage à la limite, lim x x e x + 7. Doc la droite d'équatio y est asymptote à la courbe + 7 C 1 e. b) Démotrer que la foctio f 1 est strictemet croissate sur IR. f est la composée d'ue foctio ratioelle avec la foctio expoetielle doc f est dérivable sur so esemble de défiitio u (x) 1 + 7 e x et u '(x) 7 e x et 1 ' u u' u doc, pour tout réel x, f '(x) 7 e x (1 + 7 e x ) Pour tout réel x, 8 e x < et (1 + 7 e x ) > doc f '(x) <. f est doc croissate sur l'itervalle IR. c) Démotrer que pour tout réel x, < f 1 (x) <. f et croissate sur IR, lim x + f (x), lim x f (x) doc, pour tout réel x, < f 1 (x) <. 8 e x (1 + 7 e x ) 3 a) Démotrer que le poit I 1 de coordoées (l 7, ) est u cetre de symétrie de la courbe C 1. Démotrer que le poit I (x I ; y I ) est cetre de symétrie de la courbe C 1 reviet à démotrer que, pour tout réel h, f (x I + h) + f (x I h) y I f (l 7 + h) + f (l 7 h) (l 7 + h) e f (l 7 + h) e (l 7 + h) + 7 e l 7 e h e l 7 e h + 7 7 eh 7 e h + 7 eh e h + 1 et f (l 7 h) f (l 7 + ( h)) e h e h + 1 O a doc f (l 7 + h) + f (l 7 h) eh e h + 1 + e h e h + 1 eh (e h + 1) + e h (e h + 1) (e h + 1) (e h + eh + + e h + 1) 1 + e h + e h + 1 b) Détermier ue équatio de la tagete T 1 à la courbe C 1 au poit I 1. f 1 (l 7) el 7 e l 7 + 7 7 7 + 7 et f 1'(l 7) Doc ue équatio de la tagete est : y x l 7 + 8 e l 7 (1 + 7 e l 7 ) 1.
c) Tracer la droite T 1. a) Détermier ue primitive de la foctio f 1 sur IR. e x e x + 7 u '(x) u (x) avec u (x) ex + 7. O a doc la foctio défiie sur IR par F 1 (x) l (e x + 7) est ue primitive de f 1 sur IR. b) Calculer la valeur moyee de f 1 sur l'itervalle [, l 7]. l 71 1 1 1 l 7 Doc l (1,75) l 7 1 f 1 (x) dx l 7 1 l (ex + 7) l 7 Partie B : Etude de certaies propriétés de la foctio f 1 Démotrer que pour tout etier aturel o ul le poit A Pour tout etier aturel, f () e e + 7 8 1 doc A appartiet à C 1 l 7 ( l (el 7 + 7) l (e l 1 l 8 + 7)) l 7 ; 1 appartiet à la courbe C. a) Démotrer que pour tout etier aturel o ul la courbe C et la droite d'équatio y ot u uique poit d'itersectio dot o précisera l'abscisse. O ote I ce poit d'itersectio. Les abscisses des poits d'itersectio de C avec la droite d'équatio y sot les solutios de l'équatio f (x). f (x) e x e x + 7 e x e x + 1 e x 1 e x 7 x l 7 x l 7 Doc I l 7 ; b) Détermier ue équatio de la tagete T à la courbe C au poit I. e x (e x + 7) e x ( e x ) f est dérivable sur IR et, pour tout réel x, f '(x) (e x + 7) 7 e x (e x + 7) f l 7 et f ' l 7 9 (7 + 7) Ue équatio de T est doc : y + x l 7 y x l 7 + c) Tracer les droites T et T 3. 3 Soit la suite (u ) défiie pour tout etier aturel o ul par u Motrer que la suite (u ) est costate. f (x) u '(x) u (x) l 7 avec u (x) e x + 7 doc la foctio défiie sur IR par F (x) l (e x + 7) doc u l 7 l 7 1 1 f (x) dx l 7 l (e x + 7) idépedat de. doc la suite (u ) est costate. l 7 l 7 1 1 f (x) dx. l 7 (l (el 7 + 7) l (e + 7)) l 7 ()l 7 qui est