Correction Baccalauréat Blanc en TES Février 2013 Exercice 1 : QCM 1) «La probabilité que la variable aléatoire X soit strictement supérieure à 9 et inférieure ou égale à 12 est égale à 0,37%.» La probabilité cherchée est p(9< X 12). On peut la calculer de deux façons possibles à partir du tableau, avec évidemment le même résultat : a) p(9< X 12)= p(10 X 12)= p( X =10)+ p( X =11)+ p( X =12) On regarde la colonne p( X =k) dans le tableau et on ajoute les valeurs correspondant aux valeurs k égales à 10, 11 et 12 p(9< X 12)=0,0030+0,0006+0,0001=0,0037 soit 0,37 %. L'affirmation est VRAIE b) p(9< X 12)= p( X 12) p( X 9) = 10,9963=0,0037=0,37 en utilisant la colonne p( X k) probabilités cumulées et les valeurs correspondant à k=12 et 1,96 p(1 p) p+ 2) «L'intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportion de voitures mises en service depuis 6 mois et n'ayant eu aucun sinistre est I = [0,84;0,98] en arrondissant les bornes de l'intervalle à 10 2 près.» L'intervalle de confiance cherché est I = [ f 1 ; f + 1 ] où f est la fréquence constatée dans l'échantillon de taille n. Dans notre cas, n=200 et f = 182 200 =0,91. L'intervalle I est donc [ 0,91 1 200 ; 0,91+ 1 ]= [0,0910,07;0,91+0,07] en 200 arrondissant les bornes de l'intervalle à 10 2 près. Donc I= [0,84;0,98] L'affirmation est VRAIE. 3) «Avec cette étude, le professeur va décider qu'il ne peut pas contredire le journaliste.» On note p la proportion des élèves de toute la population disant envoyer au moins un texto par jour pendant les heures de cours. On fait l'hypothèse que p=0,8 On utilise un échantillon de taille n=100 donc n 30. On va déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95, les autres conditions np=80 5 et n(1 p)=20 5 étant vérifiées. 1,96 p(1 p) I = [ p ] = [0,8 0,0784 ; 0,8 + 0,0784 ] = [ 0,7216 ; 0,8784] 1,96 p(1 p) ; p+ ] = [ 0,8 1,96 0,04;0,8+1,96 0,04
La fréquence observée dans l'échantillon est f =0,58 et cette fréquence n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation précédent. Le professeur peut donc rejeter l'hypothèse p=0,8 avec un risque de 5% de se tromper. L'affirmation est FAUSSE. 4) «Si on veut que la longueur de l'intervalle I soit divisée par 4, il faut multiplier la taille de l'échantillon par 4.» Dans l'intervalle de confiance, c'est la valeur qui intervient dans l'écriture enlève ou que l'on ajoute à la fréquence f observée dans l'échantillon. 1 que l'on Si on veut que la longueur de l'échantillon soit divisée par 4, il faut prendre un nombre n 16 fois plus grand : si on remplace n par 16 n, 1 est remplacé par 1 16n = 1 4 et il est donc divisé par 4. L'affirmation est FAUSSE. Exercice 2 (Spécialité) à la fin Exercice 2 : Suites 1 ) a) la quantité d'arbres initiale est de 50 milliers, soit u 0 =50 diminuer de 5% la quantité des arbres revient à multiplier cette quantité par q=1 5 100 =0,95 on replante chaque année 3 milliers d'arbres. u n la quantité d'arbres en milliers l'année (2010+n) u n+1 la quantité d'arbres l'année suivante en milliers est obtenue par u n+1 =u n 0,95+3. b) u 1 =0,95 u 0 +3=0,95 50+3=50,5 2 ) v n =60u n a) v 0 =60u 0 =6050=10 v 1 =60u 1 =6050,5=9,5 b) v n+1 =60u n+1 v n+1 =60(0,95 u n +3) v n+1 =570,95 u n v n+1 =0,95(60u n )=0,95 v n (v n ) est une suite géométrique de raison q=0,95 et de terme initial v 0 =10 c) v n =v 0 q n soit v n =10 0,95 n d) v n =60u n u n =60v n donc u n =6010 0,95 n 3 ) L'année 2015 correspond au rang n=5
u 5 =6010 0,95 5 52,262 soit 52262 arbres 4 ) a) u n+1 u n =6010 0,95 n+1 60+10 0,95 n =10 0,95 n (0,951)=0,5 0,95 n b) pour tout entier naturel n ; u n+1 u n >0 u n+1 >u n c'est à dire que la suite (u n ) est croissante. 5 ) Entrée Saisir A Traitement N prend la valeur 0 Sortie La valeur de A est : A=1,1 50=55 6 ) u n =6010 0,95 n Pour tout entier naturel n ; lim 0,95 n =0 car 0<0,95<1 n + donc lim 10 0,95 n =0 et lim 6010 0,95 n =60 n + n + U prend la valeur 50 Tant que U A U prend la valeur U 0,95+3 N prend la valeur N+1 Fin Tant que Afficher N interprétation : La quantité d'arbre augmente chaque année, mais va se stabiliser à terme autour de 60 milliers d'arbres. Exercice 3 : Probas 1) D'après l'énoncé, p(f)=0,58, p F ()=0,24 et p F () = 1 p F () = 10,24=0,76 2) Arbre de probabilités 0,24 0,58 F 0,76 0,42 F 0,13 0,87 3) p ( F ) = p(f) * p F () = 0,58 0,76 = 0,4408 La probabilité qu'une personne ait une connexion Internet sur ligne fixe et n'ait pas d'accès avec une clé 3 est 0,4408
4) a) = ( F ) U ( F ) : est donc la réunion de deux événements incompatibles F et F et dont la probabilité s'obtient en ajoutant les deux probabilités p ( F ) = 0,42 0,87=0,3654 d'après l'arbre Donc p ( ) = 0,4408+0,3654 = 0,8062 b) p() = 1- p ( ) = 1-0,8062 =0,1936 <0,25 On ne peut donc pas affirmer qu'au moins 25% des abonnés ont un accès Internet avec une clé 3 5) On tire une fiche au hasard : elle correspond à une personne qui n'a pas d'accès avec une clé 3, probabilité = 0,8062. On fait 3 répétitions de cette expérience de manière indépendante. La probabilité qu'exactement une des trois personnes n'ait pas accès à Internet avec une clé 3 est 3 0,8062 (10,8062) 2 0,09 Exercice 4 : Etude d'une fonction Partie A : On considère la fonction f définie sur [0;8] par f (x)=(4 x 2 +5)e x +3. 1) a) f ( x) est un produit de la forme uv +3 de dérivée u' v+uv' u(x)=4 x 2 +5 donc u'(x)=8 x v( x)=e x donc v '(x)=e x f '(x)=8 x e x +(4 x 2 +5) (e x ) = (8x+4 x 2 5)e x = (4 x 2 8 x5)e x b) Soit g( x)=4 x 2 8 x5. C'est un trinôme du second degré de la forme a x 2 +b x+c avec a=4,b=8,c=5, de discriminant =b 2 4 ac=64+4 4 5=144 Ce trinôme a deux racines : x 1 = 812 8 Il se factorise 4 ( x+ 1 2)( x 5 2) = 1 2 et x = 8+12 2 = 20 8 8 = 5 2 c) Le signe de g( x) est donné par le tableau suivant ( positif à l'extérieur des racines et positif entre les racines ) x -1/2 5/2 + g( x) + 0-0 + La dérivée f '(x) est le produit de e x est du signe de g( x) dans [0;8] seulement toujours strictement positive et de g( x) donc elle
x 0 5/2 8 g(x) - 0 + x 0 2,5 8 f '(x) 0 + 8 2,916 f(x) 1,358 2) a) Dans l'intervalle [0;2], la fonction f est continue, strictement décroissante et 3 [ f (2), f (8)] donc l'équation f (x)=3 admet une solution unique x 0, d'après le théorème des valeurs intermédiaires. b) Par balayage, avec la calculatrice, on trouve: 1,11<x 0 <1,12 3) a) En observant la courbe de f ' ', on peut donner son tableau de signes x 0 0,197 3,803 8 f ' '(x) - 0 + 0 - Lorsque f ' ' est négative, f ' est décroissante et f est concave. Lorsque f ' ' est positive, f ' est croissante et f est convexe. La fonction f est convexe sur [0,197;3,803] et la fonction f est concave sur [0;0,197] et sur [3,803;8]. b) Il existe donc deux points d'inflexions sur le courbe de f, d'abscisses 0,197 et 3,803. Partie B 1) Pour 500 l de peinture ( 5hl ), on calcule f(5) 2,36. Cela signifie que le coût unitaire moyen de production est alors de 236, à un euro près, par hectolitre. 2) a) Pour minimiser ce coût moyen de production, il faut d'après la partie A, produire 2,5 hl de peinture : le coût unitaire moyen est alors le plus bas possible, soit 1,358 c'est à dire environ 136 par hectolitre. b) Si le prix de vente est de 100 par hl, alors il est impossible d'avoir un bénéfice car ce prix de vente est inférieur au coût minimal. 3) Si le prix de vente est de 300 par hl, alors on obtiendra un bénéfice pour un coût moyen unitaire inférieur à 300 c'est à dire pour f (x)<3 ce qui est réalisé pour x> x 0, d'après 2)a) partie A, soit pour x>1,12 hl c'est à dire une production comprise à 112 litreset 800 litres.
Exercice 2: (Spécialité) Partie A : (3 points) 1) { 0,293x+13,2=x 0,014 x+0,207 y+0,017 z+17,6=y 0,044 x+0,01 y+0,216 z+1,8=z + explications en utilisant les informations données 2) A=( 0,293 0 0 0,014 0,207 0,017 0,044 0,01 0,216) 3) La matrice A P correspond à la production pour chaque secteur 4) A P+D= P D= PA P D= I 3 PA P D=(I 3 A) P 5) L=( 1 0 0 1) ( 0,293 0 0 0 1 0 0,014 0,207 0,017 0 0 0,044 0,01 0,216) L=( 10,293 0 0 0,014 10,207 0,017 0,044 0,01 10,216) L=( 0,707 0 0 ) 0,014 0,793 0,017 0,044 0,01 0,784 L P=D P= L 1 D Avec Xcas : Avec la calculatrice :
6) La production de chaque secteur est : 18 670 438,5 (A) ; 22 601 678,1 (B) et 3 632 035,8 (E) Partie B (2 points) Algorithme de Dijkstra E A B C D S Sommet fixé 0 + + + + + E / 3 E 1 E + + + B / 2 B / 4 B 6 B + A / / / 4 A + + C / / / / 5 C 7 C D / / / / / 6 D E chemin E-B-A E-B E-B-C ou E-B-A-C E-B-C-D ou E-B-A-C-D E-B-C-D-S ou E-B-A-C-D-S poids 2 1 4 5 6