CHAPITRE 2 : TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CONSOLIDATION DU RAISONNEMENT DEDUCTIF I) LE RAISONNEMENT DEDUCTIF EN GEOMETRIE. On ne peut pas prouver qu un énoncé de géométrie est vrai en faisant uniquement des constatations sur un dessin ou des mesures. Des constatations, des mesures permettent uniquement d établir des conjectures. Définition : Une conjecture est un énoncé qui semble vrai alors qu on ne l a pas encore prouvé. Pour prouver que des énoncés de géométrie sont vrais, il faut effectuer des démonstrations. Une démonstration en géométrie est une succession de chaînons déductifs qui partent des données et arrivent à la conclusion. Un chaînon déductif est un enchaînement de phrases qui peut se présenter sous la forme : On sait que. données Si.alors condition conclusion Propriété Donc conclusion Exemple de chaînon déductif : Démontrer que les droites (AB) et (HF) sont parallèles. On sait que (AB) est perpendiculaire à (BI) et que (HF) est perpendiculaire à (BI). Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles. Donc (AB) et (HF) sont parallèles.
Exemple d'enchaînement de chaînons déductifs : 1) Tracer un segment [EF]. Construire la droite(d), médiatrice du segment [EF]. Placer un point G sur la droite (d). 2) Démontrer que le triangle EFG est isocèle. 1) 2) On sait que G appartient à la droite (d), médiatrice du segment [EF]. Si un point appartient à la médiatrice d un segment alors il est situé à la même distance des extrémités de ce segment. Donc GE = GF. On sait que EFG est un triangle vérifiant GE = GF. Si un triangle a deux côtés de même mesure alors il est isocèle. Donc EFG est isocèle en G. DEMONSTRATION A DEUX PAS II) TRIANGLE RECTANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT. 1) Du triangle rectangle au cercle. a. Cercle circonscrit à un triangle rectangle. Propriété : Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit. ABC triangle rectangle en C [AB] est le diamètre du cercle circonscrit à ABC Propriété 1
Conséquence : Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a : pour centre, le milieu de l hypoténuse, pour rayon, la moitié de la longueur de l hypoténuse. b. Triangle rectangle et médiane. Propriété de la médiane : Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à son hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l hypoténuse. ABC triangle rectangle en C O étant le milieu de [AB], CO = 1 2 AB. Propriété 2 c. Exemple de raisonnement déductif : ex 8 p. 243. Calculer EF : On sait que CDF est un triangle rectangle en F. Si un triangle est rectangle alors la médiane relative à son hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l'hypoténuse. Donc EF = CD : 2 = 5,2 : 2 = 2,6 cm.
2) Du cercle au triangle rectangle. a. Triangle dont un côté est un diamètre du cercle circonscrit. Propriété : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté. ABC triangle inscrit dans le cercle de diamètre [AB]. Le triangle ABC est rectangle et son hypoténuse est [AB]. Propriété 3 Démonstration : Soit ABC, triangle inscrit dans le cercle de diamètre [AB]. On nomme O, le centre du cercle de diamètre [AB]. On construit le point C tel que O soit le milieu de [CC']. On sait que O est à la fois le milieu de [AB] et de [CC ]. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c est un parallélogramme. Donc ACBC est un parallélogramme. D autre part : ABC est inscrit dans le cercle de centre O et de diamètre [AB] d où OA = OB = OC. O est le milieu de [CC'] d où OC = OC. Ainsi les segments [AB] et [CC'] ont la même longueur. On sait que ACBC' est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c est un rectangle. Donc ACBC est un rectangle. On sait que ACBC' est un rectangle. Si un quadrilatère est un rectangle alors ses angles sont droits. Donc ABC est un triangle rectangle en C.
b. Médiane et triangle rectangle. Réciproque de la propriété de la médiane : Si la médiane relative à un côté d un triangle a pour longueur la moitié de celle de ce côté, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté. ABC triangle tel que CO = 1 2 AB. Le triangle ABC est rectangle et son hypoténuse est [AB]. Propriété 4