Chapitre 0, Troisième partie : Prodit ectoriel, Prodit mixte On appelle V l ensemble des ecters de l espace. On rappelle qe dex ecters non-colinéaires définissent n plan ectoriel et qe trois ecters non-coplanaires forment ne base de V, o trièdre. Rappelons qe si P est n plan, le plan ectoriel P = { AB A, B P}. Trois ecters sont coplanaires ssi ils appartiennent à n même P. On admet qe les bases peent appartenir à dex classes distinctes : celle des bases directes, définie par la règle de la main droite, et celle des bases indirectes. 1 Prodit ectoriel : définition Notation : On note A(, ) l aire d parallèlogramme constrit sr les ecters et. Rappel : cette aire at sin(θ) où θ est l angle (, ). θ Fig. 1 Définition 1.1 Soient, V. Si col on pose = 0. Sinon, est l niqe ecter tel qe : 1., 2., 3. (,, ) est n trièdre direct, 4. = A(, ). Les propriétés siantes sont immédiates d après la définition : Propriété 1.1 1. = 0 (alternance) 2. = (antisymétrie) 3. λ R, (λ ) = (λ ) = λ 4. = 0 ssi col. Démonstration : Laissée en exercice. 1
2 Prodit mixte : définition On notera, le prodit scalaire. Définition 2.1 Soient,, V. On appelle prodit mixte de,, le réel [,, ] :=,. Ce nombre est assi appelé le «déterminant en BOND» des trois ecters, et se note alors det(,, ). Notation : On note ol(,, ) le olme d parallélépipède P constrit sr les ecters,,. Rappel : P = {x + y + z x, y, z [0; 1]}. Fig. 2 Théorème 2.1 [,, ] = ±ol(,, ). De pls, le signe est + si le trièdre (,, ) est direct, et il est dans le cas contraire. Démonstration: Premier cas : les trois ecters sont coplanaires. Alors le olme est nl. Qant a prodit mixte il est également nl d après les propriétés 1 et 2 d prodit ectoriel, ajoté a fait q n prodit scalaire entre dex ecters orthogonax est nl. Second cas : les trois ecters forment n trièdre direct. Alors on sait qe le olme d parallélépipède est égal à l aire de la base fois la hater correspondante. On obtient donc (oir figre 3) : ol(,, ) = A(, ) h (1) d où ol(,, ) = A(, ) cos((, )) =, = [,, ] (2) 2
^ h Fig. 3 Troisième cas : les ecters forment n trièdre indirect. À la ligne (2) le cosins (négatif) est précédé d n signe moins. Un corollaire important d théorème précédent est qe le prodit mixte de trois ecters est nl ssi cex-ci sont coplanaires, o encore, le prodit mixte est non-nl ssi les trois ecters forment ne base de l espace. Corollaire 2.2 Le prodit mixte est inchangé par permtation circlaire de ses argments, i.e. : [,, ) = [,, ] = [,, ] Le prodit mixte change de signe qand on transpose dex de ses argments, par exemple : [,, ] = [,, ] Démonstration: Les olmes étant manifestement égax, il s agit simplement d appliqer la règle de la main droite! 3 Prodit ectoriel et prodit mixte : propriétés de linéarité Propriété 3.1 (distribtiité d prodit ectoriel par rapport à l addition),, V, 1. ( + ) = + 2. ( + ) = + Démonstration: 1)On a montrer qe r = ( + ) = 0. Premier cas :,, V sont non-coplanaires. Por montrer qe r = 0, il sffit de montrer qe r, t = 0 por tot ecter t (en effet le sel ecter orthogonal à tos les atres est le ecter nl). Mais grâce à la linéarité d 3
prodit scalaire par rapport à la seconde ariable, il sffit de érifier cette dernière propriété por trois ecters d ne base, il sffit donc de érifier qe r, = r, = r, = 0. Or r, = ( + ),,,. Or par définition, le prodit ectoriel de n importe qel ecter aec est orthogonal à. Les trois termes d second membre sont donc nls. Donc r, = 0. Calclons r, : r, = ( + ),, }{{}, (3) 0 = [, +, ] [,, ] (4) Or ol(, +, )=ol(,, ). En effet ces dex parallélépipèdes ont la même hater et A( +, ) = A(, ) car ces dex parallélogrammes ont la même hater et ne base commne. + + Fig. 4 De pls, (, +, ) et (,, ) ont la même orientation. Donc det(, +, ) = det(,, ) et donc r, = 0. En faisant n raisonnement tot-à-fait analoge, on troe r, = 0. D où le résltat. Second cas : Si,, sont coplanaires. On pet alors exprimer n ecter en fonction des dex atres. La démonstration est laissée en exercice. 2) Il sffit d tiliser l anti-symétrie d prodit ectoriel por se ramener a cas précédent. Corollaire 3.1 (additiité d prodit mixte par rapport à la dexième ariable) [, +, ] = [,, ] + [,, ] Le corollaire est ne application immédiate d théorème précédent. En faisant ne permtation circlaire des ariables on oit qe le prodit mixte est assi additif par rapport à la première et à la troisième ariable. En tilisant le 3) de la propriété 1 d prodit ectoriel, on montre facilement le 4
Propriété 3.2 Le prodit mixte est linéaire en chacne de ses ariables. C est-à-dire : λ, µ R,,,,, [λ + µ,, ] = λ[,, ] + µ[,, ] (5) et de même par rapport ax dexièmes et troisièmes ariables. Grâce à cette propriété nos allons pooir donner ne formle por le prodit ectoriel en base orthonormée directe (BOND). Théorème 3.2 Soient ( i, j, k ) ne BOND, et x y, x y dans cette base. Alors : z z yz zy y y z z zx xz = xy yx z z x x (6) x x y y où l on a posé a b c d = ad bc. Démonstration: Por démontrer ce théorème on a d abord besoin d n lemme : Lemme 3.3 Aec les notations d théorème précédent on a : i j = k, j k = i, k i = j (7) Pree d Lemme: C est ne simple application de la règle de la main droite, sachant qe le olme d n cbe nité est égal à 1. On a : = (x i + y j + z k ) (x i + y j + z k ) = xx } i {{ i } +xy i j +... }{{} 0 k = (yz zy ) i + (zx xz ) j + (xy yx ) k (8) Le détail des calcls étant laissé en exercice. Nos obtenons comme corollaire la Propriété 3.3 (Règle de Sarrs) Soient x y, x y, x y dans ne BOND. Alors la qantité z z z x x x y y y z z z := xy z + yz x + zx y zy x xz y yx z (9) est égale à [,, ]. 5
Démonstration: C est jste n calcl... Exercice!! Remarqe importante : Le prodit ectoriel n est pas associatif, i.e. il ne érifie pas en général ( ) = ( ). Por s en rendre compte, il sffit de considérer ne BOND ( i, j, k ) et de calcler ( i i ) j = 0 et i ( i j ) = i k = j. Remarqe très importante : On définit d ne manière générale le déterminant des ecters,, dans ne base qelconqe B par la formle : det B (,, x x x ) = y y y z z z où les entrées d déterminant sont les coordonnées des ecters dans la base B. Ce nombre dépend de la base. Ce qe nos aons appelé prodit mixte dans ce cors est en fait le déterminant pris dans ne base orthonormée directe. En effet la propriété précédente montre qe, por qe B soit ne BOND, le déterminant a tojors la même aler et est égal a prodit mixte. Donc il fat retenir qe le prodit mixte est en fait le déterminant en base orthonormée directe. 4 Applications Les formles précédentes peent aant tot serir à calcler des sins, des aires et des olmes en BOND. Le prodit ectoriel permet assi de troer facilement des BOND o n ecter normal à n plan, ce qi en BOND, permet de troer ne éqation d plan. Des exemples seront proposés en TD. Voyons ne atre application : la résoltion de systèmes 3 3. ax + by + cz = d Soit à résodre le système (S) : a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d On introdit ne BOND de l espace, et les ecters A Alors a a a (S) x A + y B + z C = D, B En prenant le prodit ectoriel de chaqe côté par A on obtient : Pis en faisant le prodit scalaire aec B : y B A + z C A = D A z C A, B = D A, B b b b, C D où, si det( A, B, C ) (q on appelle déterminant d système) est non-nl : a b d z = det( A, B, a b d D) det( A, B, C ) = a b d a b c a b c a b c 6 c c c, et D d d d.
On a par permtation circlaire des formles similaires por y et x, appellées formles de Cramer. Notre raisonnement montre qe si n triplet soltion (x, y, z) existe dans le cas où det( A, B, C ) 0, alors il est donné par ces formles. Exercice 4.1 Montrer qe ces formles définissent bien n triplet soltion lorsqe le déterminant d système est non-nl, et qe le système soit n a pas de soltions, soit en a ne infinité lorsqe le déterminant est nl. 7