A propos de la conique des neuf points

A propos de la conique des neuf points J. Parizet 8 mai 013 Il s agit d une généralisation du cercle d Euler : Le lieu des centres des coniques passant par quatre points du plan affine, dont aucun triplet n est aligné, est une conique si aucune droite contenant deux de ces points n est parallèle à celle définie par les deux autres. ette conique contient les six milieux des segments définis par les points ainsi que les trois intersections des droites définies par deux de ces points et les deux autres. ette conique n est autre que le lieu des centres des coniques du faisceau dont les quatre points donnés sont points de base. Après un rappel, considérons directement le cas du cercle d Euler. Rappel Une conique Γ dans le plan affine est définie par son équation dans un repère cartésien ou barycentrique donnée par une forme quadratique : Φ = 0 de matrice Σ : M t ΣM= 0 est l équation ponctuelle de la conique. Notons que Φ et Σ sont définies modulo =. Supposons la matrice régulière (Γ n est pas décomposée en une ou deux droites ce qui revient à supposer Σ régulière, d inverse Σ 1. Les coordonnées (homogènes d un point du plan sont les coefficients de la colonne M et les coefficients de l équation d une droite ceux de la colonne D. Les coefficients de ΣM sont ceux de l équation de la polaire de M par rapport à Γ ou de la tangente si le point est sur la courbe. Les coefficients de Σ 1 D sont les coordonnées du pôle de D par rapport à Γ ; D t ΣD= 0 est l équation tangentielle de la courbe. omment interpréter ΣM 1 ΣM = Σ 1 ( M 1 M? Et Σ 1 D 1 Σ 1 D = Σ ( D1 D? 1

Par exemple, en complétant le plan affine P par la droite de l infini, le centre de la conique est le pôle de la droite de l infini ; ses coordonnées sont données par la colonne Σ 1 D où D est la colonne des coefficients d une équation de la droite de l infini dans le repère : (1,1,1 dans un repère barycentrique, (0,0,1 dans un repère cartésien. ien sûr le centre n existe que si D t Σ 1 D 0. Dans un repére barycentrique, la somme des coefficients de chaque ligne (ou colonne car la matrice est symétrique est coordonnée (homogène d ordre correspondant du centre. Dans un repère cartésien où le point M a pour coordonnées (x,y, pour coordonnées homogènes (X,Y,Z = (x,y,1, une équation de Γ ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0, a b d de matrice Σ = b c e, d inverse Σ 1 c f e ed b f be cd = cd b f a f c bd ae. d e f be cd bd ae ac b Le point de coordonnées homogènes (be cd,bd ae,ac b est. le point à l infini de son axe si Γ est une parabole (ac b = 0 dans la direction du vecteur u = (be cd, bd ae dans le repère, ( be cd bd ae. sinon le centre de Γ est le point Ω, ac b ac b. 1, ercle d Euler et hyperboles équilatères onsidérons dans le plan d Argand-Gauss un triangle (A non rectangle tel que l origine du plan soit le centre du cercle circonscrit au triangle. Les points sont connus par leurs affixes A(a, (b, (c, de modules le rayon R du cercle. Soit D le point d affixe a+b+c. Le vecteur AD a pour affixe b+c : AD = OI. donc la droite (AD, perpendiculaire à ( comme (OI, est la hauteur du triangle issue de A. De même (D et (D sont les hauteurs issues des autres sommets : D est l orthocentre H du triangle. Soit enfin A 1 et Ω les milieux de [A H] et [A 1 I], d affixes (a+(b+c/ et ((a+b+c/ donc l affixe du vecteur ΩA 1 est a/, de module R/. Remarquons la relation Ω = A + + + H, plus classiquement Ω = 3G O 4

A A 1 H Ω G O I H 1 Le cercle de centre Ω et de rayon R/ contient les points A 1,I, ainsi que les points 1,J, 1. De plus le pied de la hauteur H 1 issue de A est sommet du triangle rectangle d hypoténuse [A 1 I] appartient au cercle comme les deux autres pieds de hauteurs :, cercle d Euler, est la conique des neuf points pour (A,,,H ; les points O,G,Ω et H sont alignés sur la droite d Euler et le cercle d Euler est l homothétique du cercle circonscrit dans l homothétie de centre G et de rapport -1/. Les coniques contenant les points A,, et H, sont des hyperboles équilatères, car dans un repère orthonormé l équation d une hyperbole équilatère est caractérisée par des termes en x et y nuls ou opposés : il y a au plus en général dans un faisceau une seule hyperbole équilatère, sinon elles le sont toutes. Vérifions le analytiquement en se plaçant dans un repère orthonormé. Dans le repère orthonormé d origine H 1 et d axes portés par le côté ( et la hauteur issue de A, les points ont pour coordonnées (changeons les notations! A(0,a, (b,0, (c,0 et H(0,h. H est orthocentre du triangle : H A = 0 soit ah + bc = 0. Une conique du faisceau F(AH a une équation de la forme (hx + by bh(ax + cy ac + λxy = 0 soit en posant t = λ + hc + ba hax +txy + bcy ah(b + cx bc(a + hy abhc = 0 est une hyperbole puisque ha et bc sont opposés. La matrice de son équation nous donne son centre (en posant k = bcah Σ ( ha t ah(b+c ( ha ( t ( tbc(a+h+k (b+c = t bc bc(a+h d où t bc = tah(b+c+k (a+h ah(b+c bc(a+h k ah(b+c bc(a+h t 4k ( soit Ω t x(t = tbc(a + h + k (b + c t + 4k, y(t = tah(b + c + k (a + h t + 4k. est une conique de genre ellipse (t + 4k > 0 passant par les points Ω (0,0 : H 1 et pour t 1 = k /ah(b + c, y(t 1 est nul et x t1 = b+c : Ω t1 est le milieu I de []. Puique l on peut transposer deux points parmi (A,,, la conique passe par les pieds des hauteurs et les milieux des côtés du triangle : elle contient ces six points c est le cercle d Euler : le cercle d Euler du triangle (A est lieu des centres des hyperboles équilatères du faisceau F(AH. 3

Exemple ( 4 3 0 A A 1 H onsidérons dans le repère orthonormé les points A(,6, (0,0, (8,0 et H(,. L hyperbole équilatère de centre le milieu de [AH] a pour équation : x y +xy 8x +6y = 0, de matrice Σ ( 1 8 = 1 6. 8 6 0 00 ( Σ ( = 4 ( 3 et Σ ( = 1 précisent les tangentes en et H de l hyperbole et 1 ( 0 1 1 ( = 1. 1.6 donne leur point d intersection. 1 Avec \qbezier(0,0(1.,1.6(,, LATEX dessine l arc de parabole approximant l arc H de l hyperbole. On procède de même pour dessiner l arc Ĥ (avec un point intermédiaire et on termine avec une symétrie de centre A 1. Les points de l hyperbole permettent d apprécier l approximation. Plaçons nous maintenant dans le cas plus général d un faisceau F(AD.. oniques passant par ces quatre points, lieu de leurs centres Dans le repère barycentrique R b (A,, leurs équations est de la forme Γ t : tβ(γ 0 α α 0 γ + γ(α 0 β β 0 α = 0 ou α 0 (1 tβγ β 0 γα +tγ 0 αβ = 0 en considérant les coniques décomposées (A (D et (A (D du faisceau. Le déterminant de la matrice de l équation de la conique Γ : aβγ + bγα + cαβ = 0 est abc, celui de l équation de Γ t est t(t 1α 0 β 0 γ 0 non nul (α 0 β 0 γ 0 0 en excluant les coniques décomposées du faisceau (t = 0, t = 1 et aussi t =. Lieu du centre de la conique Γ t du faisceau. La matrice de l équation précédente de Γ dans R b est 4

Σ = 0 c b c 0 a d inverse Σ 1 a ba ca = ab b cb. b a 0 ac bc c Si Γ n est pas une parabole, son centre est Ω = ( a(b + c a,b(c + a b,c(a + b c En particulier ( le centre de Γ t est le point de coordonnées homogènes Ω t = α0 (1 t( β 0 +tγ 0 α 0 +tα 0, β 0 (α 0 tα 0 +tγ 0 +β 0,tγ 0 (α 0 tα 0 β 0 tγ 0 soit Ω t = Ut +Vt +W avec U= α 0γ 0 α0 0, V= α 0 + α 0 β 0 (α 0 γ 0, W= α 0 α 0β 0 β 0 α 0 β α 0 γ 0 γ0 0. γ 0 (α 0 β 0 0 Puisque det(u,v,w= α 0 β 0 γ 0 (α 0 + β 0 (β 0 + γ 0 (γ 0 + α 0 0 [toute droite joignant D à l un des sommets du triangle n est pas parallèle au côté opposé à ce sommet], le lieu de Ω t est une conique non décomposée ; plaçons nous dane ce cas et notons Γ c cette conique. Γ c est la conique des neuf points. ette conique rencontre par exemple le côté (A en deux points dont la troisième cordonnée barycentrique est nulle : pour t = 0 et t = t 1 = (α 0 β 0 /(α 0 +γ 0. Selon l expression de Ω t : Ω 0 = ( α0 ( α 0 β 0, β 0 (α 0 + β 0,0 = (α0,β 0,0 : intersection de (A et (D ; c est le sommet d une conique décomposée du faisceau son centre. Ω t1 = ( α0 β 0 (γ 0 + β 0 /(α 0 + γ 0, β 0 α 0 (γ 0 + β 0 /(α 0 + γ 0,0 = (1,1,0 : milieu de [A]. D où les neuf points de Γ c : les milieux des six segments [A], [], [A], [AD], [D],[D], les trois intersections (A (D, ( (AD, ( (AD qui sont les sommets des coniques décomposées du faisceau Γ 0, Γ 1, Γ. Si Ω 0 et Ω t1 sont confondus, la conique Γ c y est tangente au coté (A et le point D est sur la médiane du triangle issue de. 3. Genre et centre de la conique Γ c Genre de Γ c La conique est une hyperbole si elle admet deux points distincts à l infini, une parabole si elle n a qu un point à l infini, une ellipse si elle n a pas de points (réels à l infini. Dans le représentation paramétrique de Γ c donnée par Ω t = (α t,β t,γ t, ce point est à l infini pout les racines de l équation α t + β t + γ t = 0 soit (α 0 + γ 0 t + (α 0 β 0 γ 0 t + (α 0 + β 0 = 0 de discriminant réduit = (α 0 β 0 γ 0 (α 0 + γ 0 (α 0 + β 0 = 4α 0 β 0 γ 0. La conique des heuf points n est pas une parabole car aucun des α 0,β 0,γ 0 n est nul. est une ellipse si α 0 β 0 γ 0 > 0 ; l un des quatre points est à l intérieur du triangle de sommets les trois autres, une hyperbole dans lz cas contraire : Γ c est une conique à centre. entre de Γ c 5

onsidérons les milieux A 1, 1, 1 des segments [A,D], [,D], [,D] aini que les milieux I, J, K de [,], [,A], et [A,]. Les coordonnées de A 1 et I sont A 1 =(A+D/= ( (1+α 0 /,β 0 /,γ 0 / et I=(0,1/,1/, le milieu (A 1 +I/ de [A 1 I] a pour coordonnées ( (1+α 0 /4,(1+β 0 /4,(1+γ 0 /4 : c est le point Ω = A + + + D équibarycentre des quatre points A,,, D. 4 e point est le milieu de [A 1 I] et celui de [ 1 J], comme d ailleurs celui de de [ 1 K] trois segments dont les extrémités sont sur Γ c : Ω est le centre de Γ c puisque qu il est le milieu de trois de ses cordes, c est le pôle de la droite de l infini car situé sur les polaires des points à l infini de ces cordes. as particuliers. On peut rapprocher cette démarche de celle de l étude du cercle d Euler. Si la hauteur (AH est aussi médiane, elle contient le centre du cercle d Euler qui est alors tangent en I u côté ( ce qui est un cas partculier d un cas plus général où deux des neuf points sont confondus. Lorsque le triangle (A est équilatéral, son cercle inscrit est son cercle d Euler. Orthocentre et centre de gravité sont alors confondus. est un cas particulier de la conique de Steiner inscrite dans le triangle. ar lorsque le point D est le centre de gravité G du triangle (A, les neuf points se réduisnt à six. D après la position de G sur une médiane, G est milieu des segments tel [A 1 I] donc centre de la conique. Puiqu il ny a qu une conique de centre G contrnant les points I,J,K c est l ellipse de Steiner inscrite dans le triangle. A Ω = A + + + G = G 3 K J G I 4. as singuliers Le centre de la conique Γ t du faisceau est le point Ω t précisé en par Ω t = Ut +Vt +W avec det(u,v,w= (α 0 + β 0 (β 0 + γ 0 (γ 0 + α 0. 6

Si ce déterminant n est pas nul, le lieu de Ω t est la conique des neuf points. Lorsque ce déterminant nul, deux des côtés du quadrilataire (AD sont parallèles. Supposons par exemple α 0 + β 0 = 0. Posons α 0 = d, β 0 = d : D= (d, d,1 ou D = d A. Ω t a pour coordonnées homogènes Ω t = ( (d + d(1 tt,(d d t,(d (d + 1tt = ( (d + d(1 t,(d d,(d (d + 1t car t 0. Mettons Ω t sous la forme Ω t = Ut + V avec U= (d + 1 d 0, V= d d + 1 1 d. 1 Pour t u, la droite (Ω t Ω u a pour coefficients de son équation dans le repère ceux du ( ( produit Ut + V Uu + V = d(1 d 1 1. d 1. Pour d 1 Ω t décrit la droite (D d équation α β + dγ = 0. A D (D (D La droite (D passe par les milieux de [A] et de [D] ainsi que par les intersections, sommets de coniques décomposées du faisceau, (AD ( et (D (A. Avec ces quatre points, les cinq autres milieux de [A], [AD], [] et [D], ainsi que le point à l infini de (A sommet de la conique décomposée du faisceau en les parallèles (A, (D alignés sur (D, sont les neuf points situés sur la conique décomposée (D (D. Mais seule (D est lieu des centres des coniques du faisceau. 7

. Pour d = 1 Ω t est fixe. Si d = 1 Ω t = ((1 t,0, t = (1.0.1 c est le milieu de [A]. Si d = 1 c est le milieu de []. Ω t = (0, t, t = (0,1.1 D 1 Ω Ω 1 1 A D 1 Quant aux "neuf points" (milieux des segments d extrémités les points A,,,D et sommets des coniques décomposées du faisceau dont deux sont à l infini, ils sont sur les droites (D et (D. Dans le décompte, Ω 1 ou Ω 1 joue un rôle triple. Notons que dans ce cas (AD est un parallélogramme de centre O : dans R c ( A/, A/,O, les coniques du faisceau ont pour équations x 1 +t(y 1 = 0 et on conclut. 5. Lorsque l un des quatre points est à l infini : parabole des six points onsidérons le cas différent où les quatre points ne sont pas tous dans P. Supposons d abord D à l infini, A,, dans P. Il est commode d utiliser un repère cartésien. Rapportons le plan au repère d origine A, de premier vecteur de base A et de second un vecteur donnant la direction de D ; soient (a,b les coordonnées de dans ce repère. A,, ne sont pas alignés : il existe une seule parabole Π passant par ces points et d axe dans la direction de D. Elle a pour équation y = kx(x 1 où k = b/a(a 1. Π appartient au faisceau des quatre points, ainsi que la conique décomposée (A ( D. On peut prendre pour équation de la conique Γ t du faisceau y kx(x 1 +ty(x a = 0, de matrice Σ = k t k t 0 1 at k 1 at 0 La dernière colonne de Σ 1 qui est modulo = le produit en croix des deux premiéres colonnes de Σ donne les coordonnées homogènes cartésiennes de Ω t dans le repère : (X t = t(1 at,y t = kt + k(1 at,z t = t, (x t = (at 1/t,y t = k(at 1/t k/t. est la parabole P c d équation, avec 1/t = a x t : y = k(a x(x 1 Elle passe par le milieu K de [A] ainsi que par la trace (a,0 de (D sur (A : la conique des neuf point devient ici parabole des six points : les milieux des côtés du triangle 8

et les projections de ses sommets sur les côtés opposés dans la direction de D on peut considérer que le point D compte triple. D après Σ, P 0 est la seule parabole du faisceau. P c et P 0 sont homothétiques dans l homothétie de centre le centre de gravité du triangle et de rapport : la première passe par les milieux des côtés du triangle dont les sommets sont sur la seconde et leurs axes sont parallèles on conclut car les données précédentes définissent les paraboles. (P c G A (P D D D D Supposons maintenant deux des quatre points à l infini, et D par exemple Notons O le milieu de [A]. Toute conique du faisceau est de genre hyperbole : le diamètre passant par O et le diamètre parallèle à (A sont conjugués par rapport aux symptotes ; ainsi le diamètre passant par O ne dépend pas du choix de l hyperbole du faisceau. ette droite est le lieu de leurs centres. Vérifions le en prenant O pour origine du repère cartésien dont le premier vecteur est dans la direction de, et le second OA. p étant la pente d une droite contenant D, le faisceau des coniques Γ t passant par les quatre points est de la forme (y 1 px(y + 1 +tx = 0 ou y pxy + (t px 1 = 0 De la matrice de la forme Σ = 0 p t p p 0 on déduit par le produit en croix de t p 0 ses deux premières colonnes des coordonnées homogènes du centre de Γ t Ω t : ((t p, p(t p, p e point décrit la droite d équation px y = 0, passant par les sommets des coniques décomposées du faisceau dans P (Γ p et Γ p, la troisième Γ étant décomposée en (Ab jointe à la droite de l infini. Que penser d un faisceau de cercles? 9

Γ p Γ p A O Γ 1 Ω 1 D (D c N.. Une propriété de la parabole A,,D, sont les sommets d un parallélogramme, les points A, et étant sur une parabole. La parallèle à l axe de celle-ci issue de D et la parallèle à la diagonale (A issue de concourent sur la parabole. A D D 10