1 Reconnaire un ableau de proporionnalié OJECTIF 1 DÉFINITION Il y a proporionnalié dans un ableau de nombres à deux lignes lorsque les nombres de la deuxième ligne s obiennen en muliplian ceux de la première par un même nombre que l on appelle coefficien de proporionnalié. Le prix de cerises vendues 2, le kilogramme es proporionnel à leur masse. Le ableau donne le prix à payer selon la masse de cerises acheées. Les quoiens 1,35 0,5 ; 2, 1 ; 5, 2 ; 13, son ous égaux à 2,. 5 2 Compléer un ableau de proporionnalié OJECTIF 2 DÉFINITION Dans un ableau de proporionnalié à quare cases, si l on connai rois valeurs, alors on peu calculer la valeur manquane, appelée la quarième proporionnelle. a b c? Temps (en h) 4 6 Un robine fui e la quanié d eau perdue es proporionnelle au emps qui passe. Quanié d eau (en L) On peu compléer ce ableau par différenes méhodes. 1. Par passage à l unié 2. En uilisan le coefficien de proporionnalié En 4 heures, on perd L. 4 6 Donc en 1 heure, on perd 4 fois moins : 2,5 : 4 = 2,5 L. 15 2,5 En 6 heures, on perd 6 fois plus que 2,5 L : 6 2,5 = 15 L. 6 2,5 = 15 3. En uilisan les propriéés de la proporionnalié = 1,5 4 6 15 1,5 + 4 6 15 25 + 1,5 = 15 = + 15 = 25 3 Uiliser la proporionnalié OJECTIF 3 Calculer des grandeurs Dans une siuaion de proporionnalié, on peu uiliser un ableau pour organiser e calculer des grandeurs. Léa marche oujours à la même viesse. Elle parcour 3 km en 15 min. On peu calculer combien de emps il lui faudrai pour parcourir km. 15 : 3 = 5 donc Léa parcour 1 km en 5 min. 5 = donc il fau minues à Léa pour parcourir km. Masse de cerises (en kg) 0,5 1 2 5 Prix (en ) 1,35 2, 5, 13, Disance (en km) 3 Temps (en min) 15 2,?
Uiliser une échelle DÉFINITION Sur un plan di «à l échelle», les longueurs son proporionnelles aux longueurs réelles. Le coefficien de proporionnalié obenu en divisan les longueurs sur la care par les longueurs réelles, oues exprimées dans la même unié, s appelle l échelle du plan. La care ci-conre es à l échelle 1/1 0 000, ce qui signifie que les dimensions son 1 0 000 fois plus grandes dans la réalié que sur le plan. uremen di, 1 cm sur le plan représene 1 0 000 cm (soi 15 km) dans la réalié. Sur cee care, si la disance enre deux villes es de 8,4 cm, dans la réalié, cee disance es de 8,4 15 = 126 km. On peu aussi écrire l échelle : 1 1 0 000. 15 km Care : ordeaux Geoalas 4 Uiliser e déerminer des pourcenages OJECTIF 4 DÉFINITION Un pourcenage de % radui une siuaion de proporionnalié de coefficien Donc appliquer un aux de % revien à muliplier par Dans une classe de élèves, % des élèves praiquen un spor. Le nombre de sporifs dans cee classe se calcule de la façon suivane : = 0,6 = 18. Il y a donc 18 sporifs dans la classe. DÉFINITION Déerminer un pourcenage, c es déerminer une proporion écrie sous forme d une écriure fracionnaire de dénominaeur. Parmi les 0 élèves d un collège, 1 éudien l allemand. Le pourcenage d élèves du collège qui apprennen l allemand s obien en écrivan la proporion suivane : 1 0 = 24 = 24 %. insi, 24 % des élèves de ce collège éudien l allemand. Pour calculer ce pourcenage, on peu aussi uiliser un ableau de proporionnalié. Nombre d élèves éudian l allemand Nombre oal d élèves 1 x 0 Thème C Proporionnalié
5 Déerminer une quarième proporionnelle OJECTIF 5 Rappel sur les ableaux de proporionnalié DÉFINITION Un ableau de proporionnalié es un ableau dans lequel on obien les nombres d une ligne en muliplian ceux de l aure ligne par un même nombre appelé coefficien de proporionnalié. Durée d uilisaion (en heure) 0,5 2 5 24 Énergie consommée (en Waheure) 1 0 1 4 Le coefficien de proporionnalié es. Ce nombre donne l énergie consommée en 1 heure. Quarième proporionnelle e produi en croix PROPRIÉTÉ Si le ableau ci-conre es un ableau de proporionnalié, a c alors on a l égalié des produis en croix : a d = b c. b d L égalié des produis en croix perme de calculer une quarième proporionnelle sans uiliser le coefficien de proporionnalié lorsqu on connai les rois aures valeurs. Dans le ableau de proporionnalié ci-conre, on a : 2 x = 1 0. Donc x = 1 0, d où x = 2. 2 2 1 Quarième proporionnelle 0 x 6 Caracériser graphiquemen la proporionnalié OJECTIF 6 PROPRIÉTÉS Une siuaion de proporionnalié es représenée graphiquemen dans un repère par des poins alignés avec l origine du repère. Réciproquemen, si une siuaion es représenée graphiquemen dans un repère par des poins alignés avec l origine du repère, alors c es une siuaion de proporionnalié. s 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6 7 Le graphique ➀ représene une siuaion de proporionnalié car les poins son alignés avec l origine du repère. 0 1 2 3 4 5 6 7 Le graphique ➁ ne représene pas une siuaion de proporionnalié car les poins ne son pas alignés avec l origine du repère. 0 1 2 3 4 5 6 7 Le graphique ➂ ne représene pas une siuaion de proporionnalié car les poins ne son pas alignés.
7 Uiliser la proporionnalié pour calculer des grandeurs OJECTIF 7 Calculer avec des viesses DÉFINITION La viesse moyenne d un obje mobile sur un raje es la viesse que ce obje aurai en parcouran la même disance pendan la même durée à viesse consane. Un rain roule 3 h min à la viesse moyenne de 1 km/h. 3 h min = 2 min e 1 km/h correspond à un raje de 1 km en minues. 2 1 = 525. Le rain a parcouru 525 km. Calculer avec des échelles Disance (en km) 1? Durée (en min) 2 DÉFINITION Sur un plan di «à l échelle», les longueurs son proporionnelles aux longueurs réelles. Le coefficien obenu en divisan les longueurs de la care par les longueurs réelles, oues exprimées dans la même unié, s appelle échelle du plan. Le dessin ci-conre es à l échelle 3. Cela signifie que les dimensions de la coccinelle son 3 fois plus peies dans la réalié que sur le dessin où elle mesure 2,1 cm. Longueur réelle (en cm) 1? Longueur sur le dessin (en cm) 3 2,1 2,1 : 3 = 0,7 cm = 7 mm. Dans la réalié, la coccinelle mesure 7 mm. Manipuler des pourcenages pour résoudre 8 OJECTIF 8 des problèmes ppliquer un pourcenage PROPRIÉTÉ Un pourcenage de % radui une siuaion de proporionnalié de coefficien Donc appliquer un aux de % revien à muliplier par Dans une classe de élèves, % des élèves praiquen un spor. On calcule = 18. Il y a donc 18 élèves sporifs dans la classe. Déerminer un pourcenage DÉFINITION Déerminer un pourcenage, c es déerminer une proporion écrie sous forme d une écriure fracionnaire de dénominaeur. Sur 5 élèves, 231 son exernes. D après l égalié des produis en croix, on a 5 x = 231. Nombre d exernes Nombre oal d élèves 231 5 x Donc x = 231 = 42. Il y a donc 42 % d exernes dans ce collège. 5 Thème C Proporionnalié
9 Siuaions de proporionnalié OJECTIF 9 Tableau e coefficien de proporionnalié Un ableau de proporionnalié es un ableau dans lequel on obien les nombres d une ligne en muliplian ceux de l aure ligne par un même nombre appelé coefficien de proporionnalié. Durée du film (en s) 1 Nombre d images 2 4 7 2 8 Le coefficien de proporionnalié es 24. C es le nombre d images par seconde d un film. 24 Représenaion graphique PROPRIÉTÉ Une siuaion de proporionnalié es représenée graphiquemen dans un repère par des poins alignés avec l origine du repère. Réciproquemen, si une siuaion es représenée graphiquemen dans un repère par des poins alignés avec l origine du repère, alors c es une siuaion de proporionnalié. Énergie (en kwh) 0 1 Temps (en heures) C Calcul en siuaion de proporionnalié Sur le plan d une course d orienaion, 5 cm représenen 1 m dans la réalié. Il exise plusieurs méhodes pour déerminer la disance réelle représenée par 12 cm. Disance sur la care (en cm) 5 12 Disance réelle (en m) 1 d 1. Passage par l unié 5 cm représenen 1 m, donc 1 cm représene 5 fois moins, c es-à-dire m. 12 cm représenen donc 12 = 3 m. 2. Uilisaion du coefficien de proporionnalié Le coefficien de proporionnalié de ce ableau es 1, donc la disance es de 12 1 5 5 3. Muliplicaion d une donnée 12 = 5 12, donc la disance es de 1 12 = 3 m. 5 5 4. Uilisaion de l égalié des produis en croix 5 d = 1 12, donc d = 1 12 = 3 m. 5 = 3 m.
Pourcenages OJECTIF ppliquer un pourcenage Un pourcenage de % radui une siuaion de proporionnalié de coefficien % des élèves d une classe de 3 e praiquen un spor. Le nombre de sporifs dans cee classe es :, soi 18 élèves. ugmener ou diminuer d un pourcenage PROPRIÉTÉ ugmener un nombre de % revien à le muliplier par 1 + Diminuer un nombre de % revien à le muliplier par 1 s 1. ugmenaion Les arifs d une compagnie d énergie augmenen de 9 %. a. La famille Marin payai une facure annuelle de 5,00. Le nouveau arif es donc égal à 5,00 ( 1 + 9 ) = 5,00 1,09 = 621,. b. Un abonnemen acuel es facuré 59,95. Son ancien arif éai de 59,95 : ( 1 + 9 ) = 59,95 : 1,09 = 55,00. 2. Réducion Dans un magasin, lors des soldes, on diminue ous les prix de 35 %. a. Le prix d un panalon éai de 55,00. Son nouveau prix es donc de 55,00 ( 1 35 = 55,00 0,65 = 35,75. ) b. Un blouson coue mainenan 44,. Son prix iniial éai égal à 44, : ( 1 35 ) = 44, : 0,65 = 68,00. Nombre de sporifs x Nombre oal d élèves 11 Grandeurs composées OJECTIF 11 DÉFINITION Une grandeur quoien es une grandeur obenue en effecuan le quoien de deux grandeurs. La viesse moyenne d un mobile es la disance parcourue pendan une unié de emps. Elle s exprime en km/h par le quoien de deux grandeurs : la longueur du parcours (en km) e la durée de ce parcours (en h). Un véhicule roulan à une viesse consane égale à 1 km/h parcour ainsi 1 km en une heure. DÉFINITION Une grandeur produi es une grandeur obenue en effecuan le produi de deux grandeurs. L énergie (en Wh) s exprime par le produi de deux grandeurs : la puissance de l appareil (en W) e la durée d uilisaion de ce appareil (en h). Un appareil de puissance W uilisé pendan 3 h consomme ainsi une énergie égale à 0 Wh. Thème C Proporionnalié