3ème Chapitre Trigonométrie Dans tout le chapitre, on travaillera dans un triangle rectangle. I_ Vocabulaire, notations et définitions A. Vocabulaire hypoténuse du triangle rectangle Côté adjacent à l'angle GFE Côté opposé à l'angle E Côté adjacent à l'angle E Côté opposé à l'angle GFE B. Notations cos est l'abréviation de cosinus. sin est l'abréviation de sinus. tan est l'abréviation de tangente. C. Définitions cos E côté adjacent à l' angle E hypoténuse du triangle rectangle E EG sin E côté opposé à l' angle E hypoténuse du triangle rectangle E FE tan E côté opposé à l' angle E côté adjacent à l' angle E EF EG cos GFE sin GFE côté adjacent à l 'angle GFE hypoténuse du triangle rectangle E FE côté opposé à l' angle GFE hypoténuse du triangle rectangle E EG cos adj hyp sin opp hyp tan opp adj tan GFE côté opposé à l' angle GFE côté adjacent à l' angle GFE EG EF
II_ Remarques importantes Puisque l'on travaille dans un triangle rectangle, les angles sont compris entre 0 et 90 et sont donc des angles aigus. Puisque l'on a défini cosinus, sinus et tangente comme étant des rapports de longueurs, ce sont des nombres positifs sans unité. Puisque dans les rapports de longueurs définissants le cosinus et le sinus, on divise par la longueur de l'hypoténuse (plus grand côté du triangle rectangle), le cosinus et le sinus sont des nombres inférieurs à. III_ Utilisation des formules de trigonométrie Les formules de trigonométrie permettent, dans un triangle rectangle, de déterminer des longueurs et des mesures d'angles. A. Utilisation de la trigonométrie pour des calculs de longueurs Exercice type KM 3 cm et LMK 63. Déterminons KL puis ML. Rédaction type sin KML côté opposé à l' angle KML sin KML KL KM sin 63 KL 3 KM 3 sin63,6 La longueur du segment [KL] est de 3sin63 cm soit,6 cm à mm près. Pour déterminer ML, on peut à présent indifféremment utiliser le théorème de Pythagore ou la trigonométrie. cos KML on utilise la touche sin pour obtenir une valeur approchée. côté adjacent à l' angle KML cos KML ML MK cos 63 ML 3 ML 3 cos63 5,9 La longueur du segment [ML] est de 3cos63 cm soit 5,9 cm à mm près. on utilise la touche cos pour obtenir une valeur approchée.
Exercice type SU cm et SUT 7. Déterminons TU puis ST. Rédaction type STU est un triangle rectangle en S. cos SUT cos SU SUT TU cos 7 TU TU cos7 9 côté adjacent à l 'angle SUT hypoténuse du triangle rectangle STU cos7 TU La longueur du segment [TU] est de cos7 cm soit 9 cm à mm près. STU est un triangle rectangle en S. tan SUT côté opposé à l' angle SUT côté adjacent à l' angle SUT tan SUT ST SU tan 7 ST ST tan7 4, on utilise la touche tan pour obtenir une valeur approchée. La longueur du segment [ST] est de tan7 cm soit 4, cm à mm près. B. Utilisation de la trigonométrie pour des calculs de mesures d'angles Exercice type KM 3 cm et LM 5 cm. Déterminons LKM puis KML.
Rédaction type sin LKM sin LKM ML MK côté opposé à l' angle LKM 5 on utilise la combinaison de touches shift (ou second) sin LKM 3 puis sin (on utilise alors la fonction sin - ) pour obtenir LKM Arcsin (5/3),6 une valeur approchée de la mesure de l'angle. La mesure de l'angle LKM est de,6 à 0, près. Calcul de KML : ère méthode KLM est un triangle. Utilisons la propriété: La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 0. KML + LKM + KLM 0 KML 0 LKM KLM KML 0,6 90 67,4 La mesure de l'angle KML est de 67,4 à 0, près. Calcul de KML : ème méthode cos KML cos KML ML MK côté adjacent à l' angle KML 5 cos KML 3 LKM Arcos(5/3) 67,4 La mesure de l'angle KML est de 67,4 à 0, près. on utilise la combinaison de touches shift (ou second) puis cos (on utilise alors la fonction cos - ) pour obtenir une valeur approchée de la mesure de l'angle. Exercice type PI 9 cm et PJ 7 cm. Déterminons PJI puis PIJ.
Rédaction type PIJ est un triangle rectangle en P. tan PJI côté opposé à l' angle PJI côté adjacent à l' angle PJI tan PJI PI PJ tan PJI 9 on utilise la combinaison de touches shift (ou second) 7 puis tan (on utilise alors la fonction tan - ) pour obtenir PJI Arctan(9/7) 69, une valeur approchée de la mesure de l'angle. La mesure de l'angle PJI est de 69, à 0, près. PIJ est un triangle rectangle en P. tan PIJ tan PIJ PJ PI côté opposé à l' angle PIJ côté adjacent à l' angle PIJ 7 tan PIJ 9 PIJ Arctan(7/9) 0, La mesure de l'angle PIJ est de 0, à 0, près. IV_ Relations trigonométriques A. Relation entre la tangente, le sinus et le cosinus cos BAC AB AC sin BAC BC AC tan BAC BC AB tan BAC BC AB BC AC AC AB sin BAC On retient: cos BAC sin BAC cos BAC tan x sin x cosx où x est la mesure de l'angle en degrés avec 0 x < 90
B. Relation fondamentale cos BAC + sin BAC (cos BAC ) + (sin BAC ) AB + AC BC AC AB AC + BC AC AB BC AC Or ABC est un triangle rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore, on a: AC AB + BC donc: cos BAC + sin BAC AC AC On retient: cos x + sin x où x est la mesure de l'angle en degrés. C. Utilisations des relations Exercice type On donne x 60. On a alors cos x cos 60 0,5 Déterminons les valeurs exactes de sin 60 et tan 60. Rédaction type cos 60 + sin 60 + sin 60 4 + sin 60 sin 60 4 4 4 4 3 4 or sin 60 > 0 donc: sin 60 3 4 3 4 sin 60 3 tan 60 3 sin 60 cos60 3 tan 60 3