La formule de Taylor et les développements limités

La formule de Taylor et les développements ités I) La formule f de Taylor 1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral On considère une fonction de classe (c est-à-dire 1 fois dérivables et à dérivées continues, en particulier la 1-ième) dans un intervalle ouvert contenant un réel. En pratique il s agira surtout de fonctions de classe. la formule suivante (appelée formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) :, Ce que l on écrit habituellement : 1!!, 1!! Cette formule se démontre assez facilement par récurrence en utilisant l intégration par parties. Pour 0, on doit avoir l égalité : 1 0! 0! Or 0! 1 0! La propriété est initialisée. On suppose qu elle est vraie à l ordre et l on montre qu elle est alors vraie à l ordre 1. Ce qui bien sûr suppose implicitement que la fonction soit de classe., 1!! On procède à une intégration par parties dans l intégrale (les conditions d une telle intégration étant vérifiées évidemment). On pose donc donc 1

Ce qui donne On en déduit facilement que : 1 1 1 1 1 1 1 1!! 1 1 1! 1! 1! 1! 1! Ce qui montre bien l hérédité. 2.2) Majoration du reste Le reste intégral est très précis mais n est pas très pratique quand il s agit d'en estimer la valeur ou du moins d'en connaître un majorant. pour tout compris entre et, On se place dans le cas où. alors 0 et donc 0. La fonction étant continue sur tout intervalle, de, elle est bornée et atteint ses bornes. Il existe donc un nombre de, tel que,,. donc Or enfin en valeur absolue 1! 1! 1 1 1! 1 1!! 1! On présente souvent cette écriture sous d'autres formes. Posons tout d'abord. :

Or Posons donc en définitive On pose souvent On en déduit que! 1! Dans le cas particulier où 0, on a : 1! 1! sup, 1! 1!! 1!! 1!! 0 1! On démontre et nous admettrons ici que ces formules restent vraies si (on peut procéder par changement de variable par exemple). II) Développements ités 2.1) Position du problème Considérons une fonction dérivable au voisinage d'un point (c'est-à-dire dans un intervalle ouvert contenant ). On sait que Appelons ε la fonction défini dans un voisinage de 0 par : D'après le calcul précédent, on a 0 Or on peut écrire : avec 0

Cette formule est vraie pour toute fonction dérivable au voisinage d'un point. Comparons-la avec la formule de Taylor quand 1 (en supposant évidemment que la fonction est maintenant de classe 1! 1! Nous retrouvons en partie l'écriture précédente. Nous avons vu également que Or,, et la fonction est continue, donc quand tend vers, tend aussi vers et tend vers. donc 0 0 Ce que nous savions. Mais on peut faire un peu mieux en divisant les deux membres par : Le quotient de valeurs absolues est égal à la valeur absolue du quotient : Cette fois-ci, on a Si l'on pose On retrouve bien 0 0 avec 0

Si maintenant la fonction est de classe, on a par la formule de Taylor : aussi 1! 1 3! comme dans le calcul précédent : Ce qui donne Or Posons donc : 3! 3! 0 3! 0 0 avec 0 La formule de Taylor a permis de généraliser la formule obtenue par la dérivée : nous avions au départ un polynôme de degré 1 en. Nous avons obtenu par l'application de la formule de Taylor à l'ordre 2, un polynôme de degré 2 en. Nous pouvons maintenant donner la définition générale d'un développement ité. 2.2) Développement ité Soit un nombre réel, et une fonction définie dans un voisinage de. On dit que admet un développement ité d ordre en pour signifier qu il existe un polynôme de degré et une fonction de ite nulle quand tend vers tels que

La définition implique que si admet un développement ité d ordre, elle admet un développement ité d ordre inférieur à. Le polynôme est de degré il appartient donc à. est un espace vectoriel de dimension 1. La famille de polynômes définis par pour 0 est une famille libre de. Considérons 1 réels :,,, tels que 0 Posons. Si, 0, alors, 0 Nous avons dit qu un polynôme de degré quand il n est pas nul ne peut prendre la valeur 0 que pour au plus nombres réels. Ici, ce polynôme prendrait la valeur 0 pour une infinité de réels : il est donc nul et donc 0 La famille 1,,, étant libre, comme elle contient 1 vecteurs dans un espace de dimension 1, c est une base de cet espace. Tout polynôme de peut donc s écrire comme combinaison linéaire des éléments de cette famille. Pour le polynôme du développement ité de, c est le cas. donc Considérons un nombre inférieur à. Posons 0 Et l on a avec 0 Ce qui donne un développement ité de la fonction au voisinage de à l ordre. En pratique dans un développement ité, seul le polynôme est connu, la fonction étant en général inconnue, seule son existence est connue. 2.3) Unicité d un développement ité à un ordre donné Un théorème important est qu un développement ité d un ordre donné est unique. Pour le démontrer, procédons de la façon suivante : supposons que la fonction admettent deux développements ités d ordre au voisinage de avec 0 avec 0

donc pour tout ( étant un intervalle ouvert contenant. Comme et,. On peut écrire dans la base. Pour, l égalité (*) devient : Posons 1 alors. Quand tend vers, tend vers l infini. donc. ~ Si 0, on a Or 0 Il y a contradiction : donc 0. donc toujours à l infini ~ Et si 0, Comme précédemment, on en déduit que 0. Ainsi, de proche en proche, on démontre que tous les coefficients sont nuls et donc que le polynôme est le polynôme nul. donc 0, On en déduit que la fonction est la fonction nulle sur (on peut éventuellement la prolonger par continuité en. Ce résultat signifie que si l on trouve un moyen d obtenir un développement ité, le polynôme obtenu est «le bon». Or la formule de Taylor nous fournit pour une fonction possédant des propriétés de dérivabilité suffisante un tel développement ité. En effet nous avons vu que! 1!

Quand tend vers la ite du terme de droite est nulle quand tend vers. Mieux que cela, on peut écrire pour,! 1! La ite du terme de droite reste nulle quand tend vers. On en déduit que celle du terme de gauche l est aussi et donc que l on peut écrire! Avec 0 Ou encore que! On obtient donc un développement ité d ordre au voisinage de. La formule de Taylor apparaîtra ainsi comme un véritable constructeur de développements ités. 2.4) Cas particulier Les développements ités permettent de «remplacer» des fonctions au voisinage d un réel par une fonction plus simple : un polynôme. Cela peut être très efficace dans le calcul des ites. Mais pour calculer la ite en une valeur, on peut se ramener souvent au cas où 0 par un changement de variable. D où l idée de privilégier les développements ités en 0. La formule de Taylor en 0 donne pour une fonction de classe au voisinage de 0 :! 0 avec 0 Cela va fournir les principaux développements ités classiques. Per exemple si, alors, ^ et donc 0 1, donc donc! avec 0!!! En pratique la question est donc de connaître la dérivée n-ième d une fonction : cela se fait assez souvent par récurrence. Et cela recommence. 2.5) D autres façons d obtenir des développements ités Certains développements ités sont plus faciles à obtenir qu en utilisant le passage par ce «constructeur» qu est la formule de Taylor. Bien entendu, le développement ité d un polynôme à un ordre donné est ce polynôme ou un morceau de ce polynôme (tous les termes dont le degré est inférieur ou égal à l ordre choisi). Per exemple, si

5 3 1 13 5 pour tout 5, avec 0. Et l on a par exemple 13 Avec 5 Il y a d autres situations simples comme la recherche du développement ité à l ordre de en effet bien On pose Et l on a bien Nous avons de plus 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 ln1 ln 1 Nous admettrons le théorème suivant : Si la fonction admet un développement ité d ordre au voisinage de 0, alors la fonction définie par : admet un développement ité d ordre 1 donné en intégrant terme à terme le développement ité de la fonction.. donc ici : ln1 avec 0 avec

2.6) Un autre théorème bien utile On peut composer des développements ités de même ordre sous certaines conditions : Si une fonction admet un développement ité d ordre au voisinage de 0 de la forme Et si la fonction admet également un développement ité d ordre au voisinage de 0 de la forme Si de plus 0 Alors la fonction admet un développement ité d ordre au voisinage de 0 que l on obtient en remplaçant par dans le polynôme et en ne conservant que les termes de degré inférieurs ou égaux à. Un cas d application simple est celui où l on transforme en. La fonction étant une fonction polynôme du premier degré, elle est son propre développement ité au voisinage de 0 à n importe quel ordre supérieur ou égal à 1. Or 0 donc en application du théorème : également Ou encore Soit! 1 2 6 1! 1 1 1 1 1 ln1ln1 1 On peut prendre des exemples plus compliqués comme la recherche d un développement ité d ordre 3 au voisinage de 0 de ln1. 0 ln1 2 3 On ne conserve que les termes de degré inférieur ou égal à 3.

2.7) D autres opérations sur les développements ités On peut additionner, soustraire, multiplier des développements ités de même ordre à condition de ne conserver que les termes de degré inférieur ou égal à l ordre commun. La division est également possible, mais sous une forme particulière : la division selon les puissances croissantes (au lieu de l habituelle division euclidienne qui est selon les puissances décroissantes). Par exemple on peut obtenir le développement ité au voisinage de 0 de suivante : à l ordre 3 de la façon 1 0 0 0 1 1 1 On peut également ajouter, soustraire, multiplier des développements ités de même ordre à condition de ne conserver que les termes de degré plus petit ou égal à l'ordre commun. Par exemple pour la multiplication, si l'on veut obtenir le développement ité au voisinage de 0 à l'ordre 3 de la fonction : On écrit On effectue le produit : On trouve : donc 1 0 1 2 6 1 1 1 1 2 6 1 1 2 3 2 3 3 6 1 1 2 3 2.8) La notation de Landau Dans un développement ité d ordre, le terme principal est le polynôme et le terme complémentaire est. 0 0 On écrit souvent un développement ité sous la forme

2.9) Développements ités et équivalents Nous savons que si alors ~ donc ici ~ ~ Les développements ités fournissent donc des équivalents simples au voisinage de 0. ura par exemple ~ 1 Mais comme l on peut également écrire que ura pour 1 On en déduit que Mais tout aussi bien 1 2! 1 1~ 1 2 1~ III) Utilisations des développements ités 3.1) Calcul de ites En fournissant des équivalents simples, les développements ités permettent de calculer de nombreuses ites. Mais le passage par les équivalents est souvent très contraignant. Les développements ités peuvent être en général plus utilisés plus simplement sous leur forme globale. Considérons la fonction : 1 ln1 On veut étudier la ite de cette fonction en 0. On vient de voir que 1~ 2 Mais remplacer ln 1 par un équivalent est inutile ici puisque on ne peut pas ajouter deux équivalents. Si l'on écrit un développement ité d'ordre 1 de ln1, on a : ln1 Or est un polynôme de degré 1, égal à son propre développement ité à l'ordre 1. Or on peut ajouter deux développements ités de même ordre : ln12 2

On en déduit que ln1~2 1 ln1 ~ 2 2 4 1 ln1 0 Si l'on cherche 1 ln1 La situation est un peu différente. En effet en utilisant les développements ités d'ordre 1, on peut toujours écrire que ln1 Mais il est impossible d'en déduire autre chose que ln1 0 Ce qui ne sert à rien en termes d'équivalents. On doit donc passer à des développements ités d'ordre 2. Le polynôme est de degré inférieur à 2 et reste donc égal à son développement ité à l'ordre 2. d'autre part : On en déduit que donc ln1 2 ln1 2 1 ln1 ~ 2 1 2 1 ln1 1 Nous ne sommes pas obligés d'utiliser les équivalents quand on peut raisonner plus simplement. Considérons par exemple : 1 1 2 bien entendu une forme indéterminée sinon il serait parfaitement inutile d'utiliser un développement ité. On pourrait chercher un développement ité d'ordres 1 ou 2 au voisinage de 0 du numérateur, mais cela risque d'entraîner des calculs assez compliqués. Un développement ité étant une égalité «réelle», il peut remplacer une fonction dans n importa quelle égalité. Par exemple ici, si l on écrit : 1 avec0 ura

donc 1 1 2 1 1 2 111 2 111 2 111 1 2 3.2) Limites au voisinage d un point Les développements ités usuels (ce qu'il faudra savoir) sont donnés au voisinage de 0. Dans le cas du calcul d'une ite en un autre point, il faut donc adapter la méthode. Calculons par exemple la ite suivante : C'est bien entendu une forme indéterminée. 1 ln Les fonctions et ln sont de classe au voisinage de 1. On peut donc utiliser la formule de Taylor pour en déterminer un développement ité. ln 1, ln 1 1 1 2, 1 4 donc en appliquant la formule de Taylor à l'ordre 2 les développements ités suivants au voisinage de 1 : Soit De même Soit lnln11 1 1 1 ln1 1 2 4 1 1 1 avec 0 1 11 1 1 2 1 1 41 1 1 avec 0 On peut écrire à l'ordre 1 : Ou encore 1 1 2 1 1 8 ln11 avec 0 1 1 2 1 avec 0 ln~ 1

donc 1 ~ 1 2 1 ln ~ 1 2 1 1 2 1 ln 1 2 Une autre méthode (utilisée plus souvent) est de changer de variable pour pouvoir utiliser les développements ités connus au voisinage de 0. On pose ici 1 1 1 ln 11 ln1 Quand tend vers 1, tend vers 0, donc Nous verrons plus loin que donc On retrouve bien que 1 ln 11 ln1 11 2 avec 0 ln1 avec 0 11~ 2 et ln1~ 11 ln1 ~ 2 1 2 3.3) Développements ités et dérivabilité La formule de Taylor fournit des développements ités pour une fonction "suffisamment" dérivable au voisinage d'un point. Examinons la réciproque. Et commençons par le cas d'une fonction admettant un développement ité d'ordre 1 au voisinage d'un point. Nous avons vu qu'un tel développement ité peut s'écrire : avec0 On peut prolonger par continuité la fonction en en posant alors pour

donc La fonction est donc dérivable en et l'on a On en déduit que Exemple : par exemple : 2 1 3 Posons donc (La vérification est immédiate). Et l'on a 5 11 18 2 1 1 3 1 avec 0 5 1 1 18 Ce qui est beaucoup moins évident. Il arrive assez souvent que l'on obtienne des développements ités à partir d'opérations sur d'autres développements ités. Ainsi on peut connaître la valeur du nombre dérivé en un point sans calculer la dérivée de la fonction qui peut être parfois assez délicate. La méthode se généralise mais nous ne regarderons ici que le cas de la dérivée seconde. Considérons une fonction admettant un développement ité d'ordre 2 au voisinage d'un point. On montre comme précédemment que Supposons que la fonction soit dérivable dans le voisinage de considéré. vu qu'un développement ité à l'ordre 1 de la fonction dérivée est obtenu en dérivant le polynôme du développement ité de. 2 On vérifie alors aisément que 2 2

2 On peut ainsi remonter dans les termes successifs du développement ité. On retrouve la formule de Taylor (ce que l'on pouvait prévoir du fait de l'unicité d'un développement ité). 3.4) Développement ité et tangente Considérons une fonction admettant un développement ité d'ordre 2 au voisinage d'un point. Nous venons de voir qu'un tel développement ité est de la forme : avec 0 On reconnaît dans l'équation de la tangente en. donc Or le signe de la quantité permet d'étudier la position de la courbe par rapport à sa tangente. On sait que Si 0, alors ~ ~ Si 0, alors au voisinage de, la quantité est positive et la courbe est au dessus de sa tangente en. Si 0, alors au voisinage de, la quantité est négative et la courbe est au dessous de sa tangente en. Si 0, on ne peut plus passer aux équivalents. On essaie alors d'obtenir un développement ité d'ordre supérieur. Supposons qu'il existe un développement ité d'ordre 3 de la forme : avec 0 (bien entendu le terme en est absent sinon la question ne se poserait pas). On supposera 0. Par un raisonnement identique au précédent, on a ~ Mais ici quel que soit le signe de δ, comme change de signe suivant que est supérieur ou inférieur à, la quantité change également de signe. La courbe est soit au-dessus de la tangente avant puis au-dessous, soit au-dessous puis au-dessus. Une telle situation a déjà été rencontrée : on a en un point d'inflexion. Considérons par exemple la fonction / en 1. 1 1 1 3 On en déduit que la tangente au point 1 a pour équation : 1

1 1 1 ~ 3 Cette quantité change de signe en 1 : la courbe représentative admet un point d'inflexion au voisinage de 1.