I Rappels sur les symétries : I. 1 Symétrie axiale : On note I le milieu de [ AB ]. On appelle médiatrice du segment [ AB ] la droite perpendiculaire en I à ( AB ). Propriétés : La médiatrice de [ AB ] est l ensemble des points équidistants des extrémités de [ AB ] : 1) Si M est un point de la médiatrice de [ AB ], alors MA 2) Si MA = MB, alors M est un point de la médiatrice de [ ] = MB. AB. On considère un point A n appartenant pas à une droite D du plan. Dire que le point A est le symétrique du point A par rapport à la droite D signifie que la droite D est la médiatrice du segment [ AA ']. Remarque : Si le point A appartient à la droite D, les points A et A sont confondus. I. 2 Symétrie centrale : On considère deux points A et O distincts du plan. Dire que le point A est le symétrique du point A par au point O signifie que le point O est le milieu du segment [ AA ']. 1
II Rappels sur les configurations du plan : II. 1 Droites remarquables dans un triangle : Médiatrices : Une médiatrice d un triangle est la médiatrice d un de ses côtés. Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes en un point O, centre du cercle circonscrit au triangle. Médianes : Une médiane d un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et par le milieu du côté opposé. Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point G, appelé centre de gravité du triangle. Hauteurs : Une hauteur d un triangle est une droite passant par un des trois sommets du triangle et perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point H, appelé orthocentre du triangle. Bissectrices : La bissectrice d un angle partage un angle en deux angles de même mesure. Une bissectrice d un triangle est la bissectrice d un de ses trois angles. Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point I, centre du cercle inscrit dans le triangle. 2
II. 2 Triangles particuliers : Triangle isocèle : On appelle triangle isocèle tout triangle ayant deux côtés de même longueur. Propriétés : 1) Les angles à la base d un triangle isocèle ont la même mesure. 2) Un triangle isocèle a un axe de symétrie : la médiatrice de la base. Triangle équilatéral : On appelle triangle équilatéral tout triangle dont les côtés ont la même longueur. Propriétés : 1) Les angles d un triangle équilatéral ont la même mesure : 60. 2) Un triangle équilatéral a trois axe de symétrie : les médiatrices de ses côtés. 3) Les droites remarquables dans un triangle équilatéral sont toutes confondues. Triangle rectangle : On appelle triangle rectangle tout triangle ayant un angle droit. Le côté opposé à l angle droit s appelle l hypoténuse. Propriétés : 1) Dans un triangle rectangle, le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit. 2) Tout triangle dont deux sommets appartiennent à un cercle et dont l un des côtés est un diamètre de ce cercle est rectangle. 3) Théorème de Pythagore : Si le triangle ABC est un triangle rectangle en A, alors 4) Réciproque du théorème de Pythagore : Si 2 2 2 BC = AB + AC, alors le triangle ABC est rectangle en A. 3 2 2 2 BC = AB + AC.
II. 3 Quadrilatères particuliers : Parallélogramme : On appelle parallélogramme tout quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles deux à deux Propriétés : 1) Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu. 2) Les côtés opposés d un parallélogramme sont deux à deux de la même longueur. 3) Un parallélogramme a un centre de symétrie : Propriétés pour démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme : Si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si les côtés opposés d un quadrilatère sont parallèles deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Si les côtés opposés d un quadrilatère sont de la même longueur deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Rectangle : On appelle rectangle tout quadrilatère ayant quatre angles droits. Propriétés : 1) Les diagonales d un rectangle se coupent en leur milieu et ont la même longueur. 2) Un rectangle a un centre de symétrie : 3) Un rectangle a deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés. Propriétés pour démontrer qu un parallélogramme est un rectangle : Si les diagonales d un parallélogramme sont de la même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires ( ou un angle droit ), alors ce parallélogramme est un rectangle. 4
Losange : On appelle losange tout quadrilatère ayant quatre côtés de même longueur. Propriétés : 1) Les diagonales d un losange se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. 2) Un losange a un centre de symétrie : 3) Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales. Propriétés pour démontrer qu un parallélogramme est un losange : Si les diagonales d un parallélogramme sont perpendiculaires, alors ce parallélogramme est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce parallélogramme est un losange. Carré : On appelle carré tout quadrilatère ayant quatre angles droits et quatre côtés de même longueur. Propriétés : 1) Les diagonales d un carré se coupent en leur milieu, ont la même longueur et sont perpendiculaires. 2) Un carré a un centre de symétrie : 3) Un carré a quatre axes de symétrie. Propriétés pour démontrer qu un losange est un carré: Si les diagonales d un losange sont de la même longueur, alors ce losange est un carré. Si un losange a deux côtés consécutifs perpendiculaires ( ou un angle droit ), alors ce losange est un carré. Propriétés pour démontrer qu un rectangle est un carré : Si les diagonales d un rectangle sont perpendiculaires, alors ce rectangle est un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de la même longueur, alors ce rectangle est un carré. 5