Fonctions polynomiales ème année 1 Collège Sainte-Croix Table des matières I - Théorème de la valeur intermédiaire II -Tableau de signes 3 III -Division polynomiale 4 1. Basé sur le livre Algèbre, E.W. Swokowski, J.A. Cole, Edition 006
I - Théorème de la valeur intermédiaire Théorème 1 Théorème de la valeur intermédiaire Si f est une fonction polynomiale et f (a) f (b) pour a< b, alors f prend toutes les valeurs entre f (a) et f (b) dans l intervalle [a;b]. Une application de ce théorème est la recherche de zéros d une fonction. Si f (a) et f (b) ont des signes opposés (e.g. f (a) < 0 et f (b) > 0) alors il existe une valeur a < c < b telle que f (c) = 0. Dans ce cas on peut utiliser la méthode de dichotomie pour trouver une valeur approximative de ce zéro. La dichotomie consiste à diviser l intervalle [a;b] en deux i.e. [a; a+b a+b ] et [ ;b] et à voir dans quel intervalle se trouve le zéro de la fonction. Si f (a) et f ( a+b a+b )] sont de signes opposés alors le zéro de la fonction se situe dans l intervalle [a; ]. Si f ( a+b a+b )] et f (b) sont de signes opposés alors le zéro de la fonction se situe dans l intervalle [ ;b]. Montrer que la fonction suivante a un zéro situé dans l intervalle [a;b] puis trouver sa valeur au dixième près. f (x)= x 3 4x + 3x a= 3 b= 4 f (3)= <0 f (4)=10>0 f (3) et f (4) sont de signes opposés. La fonction f a donc un zéro situé dans l intervalle [3,4]. a f (a) b f (b) a+ b ( ) a+ b f 3.00000000 -.00000000 4.00000000 10.00000000 3.50000000.37500000 3.00000000 -.00000000 3.50000000.37500000 3.5000000-0.17187500 3.5000000-0.17187500 3.50000000.37500000 3.37500000 1.00585938 3.5000000-0.17187500 3.37500000 1.00585938 3.3150000 0.39379883 3.5000000-0.17187500 3.3150000 0.39379883 3.815000 0.1055513 3.5000000-0.17187500 3.815000 0.1055513 3.656500-0.0347519 3.656500-0.0347519 3.815000 0.1055513 3.7343750 0.03490973 3.656500-0.0347519 3.7343750 0.03490973 Une approximation du zéro de f dans l intervalle [3; 4] au dixième près est 3,. Fonctions polynomiales ème année,
3 II - Tableau de signes Pour faciliter le tracé du graphe d une fonction, on établit un tableau de signes. Le tableau de signe nous indique les valeurs pour lesquelles le graphe de la fonction coupe l axe des abscisses et également si le graphe se trouve au-dessus ou au-dessous de cet axe. C est également un entrainement pour l étude des variations d une fonction à l aide de la dérivée qui est étudiée en 3 e année. Pour étudier le signe d une fonction polynomiale, il est nécessaire de l exprimer sous forme de facteurs, c est-à-dire de la factoriser. Il existe différentes méthodes de factorisation qui ont été étudiées en 1 ère année. Pour plus d information sur la factorisation, voir mon script de cours de 1 ère année ainsi que les corrigés des exercices du livre sur. Soit la fonction f définie ci-dessous. Déterminer toutes les valeurs de x telles que f (x) < 0 et toutes les valeurs de x telles que f (x)>0 en établissant un tableau de signe. f (x)= x 3 + 3x + 10x En factorisant, on obtient : f (x)= x (x+ ) (x 5) x 0 5 + x x+ x 5 P(x) + + 0 0 + + + 0 + + 0 0 + 0 Ainsi, f (x)<0 pour tout x élément de l intervalle ] ;0[ ]5;+ [ et f (x)>0 pour tout x élément de l intervalle ] ; [ ]0;5[. Fonctions polynomiales ème année,
4 III - Division polynomiale Effectuer la division suivante : 3x 5 x + x 1 x 3x+ 1. +3 x 5 x + x 1 x 3 x+ 1 +3 x 5 9 x 4 +3 x 3 3 x 3 + 9 x + 4 x+ 61 +9 x 4 3 x 3 x + x 1 +9 x 4 7 x 3 +9 x +4 x 3 11 x + x 1 +4 x 3 7 x +4 x +61 x 3 x 1 +61 x 183 x +61 +160 x 73 3 x 5 x + x 1=(x 3 x+ 1)(3 x 3 + 9 x + 4 x+ 61)+(160 x 73) Attention, dans l exemple ci-dessus, on ne peut pas utiliser la méthode d Horner car on ne divise pas par un polynome du type x c. A noter également que l on exprime toujours en conclusion le polynome en fonction du diviseur, du dividende et du reste. Lorsque le polynome diviseur est de la forme x c alors il est possible d utiliser la méthode d Horner vue en cours. Effectuer la division suivante en utilisant la méthode de Horner : x 3x + 4x 5 x+. 1 4 5 1 1 6 17 x + 4 x 5=(x+ )(6 x) 17 Fonctions polynomiales ème année,
5 Théorème Théorème du reste Si un polynome f (x) est divisé par x c, alors le reste est f (c). Théorème 3 Théorème du diviseur Un polynome f (x) a un diviseur (ou est divisible par) x c si et seulement si f (c) = 0. Lorsque f (x) est divisible par x c il est alors possible de factoriser partiellement le polynome en l écrivant sous la forme f (x) = (x c)p(x) ou p(x) est un polynome. De manière générale, dans les exercices et dans les tests, si on vous demande de factoriser un polynome en utilisant la division polynomiale, c est qu il existe une valeur c égale à 3,, 1,0,1,,3 pour laquelle f (c)=0 (i.e. le reste de la division est nul pour cette valeur et donc le polynome est divisible par x c). Factoriser le polynome f (x)= x 3 1x 0 à l aide de la division polynomiale. Par essai, on trouve que f ( 1)=0 et donc que f (x) est divisible par x ( 1)=x+ 1. 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 x 3 1 x 0= (x+ 1)(x x 0)+0 En utilisant la méthode du discriminant, on factorise le polynome x x 0 et on obtient (x 5)(x+ 4). (Attention, dans un test il faut expliquer de manière plus détaillée) Donc, f (x)=(x+ 1)(x 5)(x+ 4). Déterminer les valeurs de k telles que f (x)=kx 3 + x + k x+ 3k + 11 soit divisible par x+. D après le théorème du diviseur, f (x)=kx 3 + x +k x+3k +11 est divisible par x+ si et seulement si le reste de la division est nul (égal à zéro). D après le théorème du reste, le reste de la divison de f (x)=kx 3 + x + k x+ 3k + 11 par x+ est égal à f ( ). Or f ( )=k 8k+ 15 donc f (x) est divisible par x+ si et seulement si k 8k+ 15= 0. En utilisant la méthode du discriminant, on trouve que k 8k+ 15=0 quand k = 3 ou k = 5. Donc f (x)=kx 3 + x + k x+ 3k + 11 est divisible par x+ quand k = 3 ou k = 5. La marche à suivre dans cet exemple est très importante. On analyse la question et on détaille chacun des éléments du cours qui permettent d arriver à la solution. Plus généralement en mathématiques, ce raisonnement fait par analyse de la donnée de la question est nécessaire pour extraire les notions à utiliser afin de résoudre l exercice ou le problème donné. Pour cela il est nécessaire de bien connaitre son cours!!! Fonctions polynomiales ème année,