Cours de Mthémtiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 vril 2007 Document diffusé vi le site www.cmths.net de Gilles Costntini 2 1 frederic.demoulin (chez) voil.fr 2 gilles.costntini (chez) cmths.net
Tle des mtières 1 Ordre et comprison 1 1.1 Comprison de deux nomres................................. 1 1.2 Ordre et ddition......................................... 1 1.3 Ordre et multipliction...................................... 2 1.4 Comprison des crrés, des rcines crrées et des inverses................ 3 1.4.1 Pssge u crré et à l rcine crrée......................... 3 1.4.2 Pssge à l inverse.................................... 4 1.5 Comprison de, 2 et 3 ( 0)............................... 5 2 Intervlles der 5 2.1 Rppel sur l droite numérique................................. 5 2.2 Définition et nottions...................................... 6 2.3 Réunion et intersection..................................... 6 3 Vleur solue 7 3.1 Distnce entre deux réels.................................... 7 3.2 Vleur solue d un réel..................................... 8 3.2.1 Définition......................................... 8 3.2.2 Propriétés......................................... 8 3.3 Équtions et inéqutions vec des vleurs solues..................... 10 3.4 Vleurs solues et intervlles................................. 12 4 Encdrements et vleurs pprochées 12 4.1 Encdrements........................................... 12 4.2 Vleurs pprochées........................................ 12
1 Ordre et comprison Tous les résultts et règles énoncés ici vec des inéglités strictes restent vlles (suf indiction contrire) vec des inéglités lrges. 1.1 Comprison de deux nomres Définition 1.1 Soient et deux réels. On : Cette démrche ser très utilisée en prtique. < < 0 Comprer deux nomres réels revient à svoir s ils sont égux ou ien à svoir lequel est le plus grnd. En s ppuynt sur l définition précédente, comprer deux nomres revient à étudier le signe de leur différence. Exemple. Soient et deux réels. Pour comprer les nomres 2 + 2 et ( ) 2, on étudie le signe de leur différence. On 2 + 2 ( ) 2 = 2 + 2 ( 2 2+ 2) = 2. Si et sont tous deux nuls, lors 2 = 0, d où 2 + 2 = ( ) 2. Si et sont non nuls et de signe contrire, lors 2< 0, d où 2 + 2 < ( ) 2. Si et sont non nuls et de même signe, lors 2 > 0, d où 2 + 2 > ( ) 2. Propriété 1.1 Soient, et c trois réels. Si < et < c, lors < c. Preuve. Si <, lors, d près l définition 1.1, < 0. De même, si < c, lors c < 0. L somme de deux nomres strictement négtifs est un nomre strictement négtif donc ( )+( c)<0, soit c < 0, d où < c. Remrque. On dit que l reltion d ordre «<» est trnsitive. 1.2 Ordre et ddition Propriété 1.2 Soient, et c trois réels. Si <, lors : + c < + c et c < c On ne chnge ps le sens d une inéglité en joutnt à chque memre un même nomre. Preuve. Si <, lors, d près l définition 1.1, < 0, soit encore ( +c) ( +c) < 0, d où +c < + c. On montre de l même fçon l seconde inéglité. Propriété 1.3 Soient,, c et d qutre réels. Si < et c < d, lors : + c < + d On peut jouter, memre à memre, des inéglités de même sens. Pr contre, on ne peut ps soustrire, memre à memre, des inéglités. Preuve. D près l propriété 1.2, si <, lors + c < + c. De même, si c < d, lors + c < + d. Pr trnsitivité, on en tire lors + c < + d. Remrque. On dit que l reltion d ordre «<» est comptile vec l ddition. Exemple. Soient x et y deux réels tels que 1 x 4 et 1 y 2. On se propose de donner un encdrement de x + y. Puisqu on peut jouter, memre à memre, des inéglités de même sens, il vient : 1+1 x+y 4+2, soit 0 x+y 6 1
1.3 Ordre et multipliction Propriété 1.4 Soient, et c trois réels. Si <, lors : 1. Si c > 0, lors c < c. 2. Si c < 0, lors c > c. On ne chnge ps le sens d une inéglité en multiplint chque memre pr un même nomre strictement positif. Pr contre, on en chnge le sens si on multiplie chque memre pr un même nomre strictement négtif. Preuve. Si <, lors, d près l définition 1.1, < 0. Si c > 0, lors, le produit de deux nomres de signes différents étnt un nomre négtif, c c < 0, d où c < c. Si c < 0, lors, le produit de deux nomres de même signe étnt un nomre positif, c c > 0, d où c > c. Exemple. Soient x et y deux réels tels que 2 x 3 et 1 y 1. On se propose de donner un encdrement de 3x 2y. Multiplier pr un nomre positif chque memre d une inéglité ne chnge ps l ordre, puisque 3>0, il vient : 6 3x 9 Multiplier pr un nomre négtif chque memre d une inéglité chnge l ordre, puisque 2 < 0, il vient : 2 2y 2 On peut jouter, memre à memre, des inéglités de même sens, il vient : 4 3x 2y 11 Propriété 1.5 Soient,, c et d qutre réels strictement positifs. Si < et c < d, lors c < d. On peut multiplier, memre à memre, des inéglités à termes positifs. Pr contre, on ne peut ps diviser, memre à memre, des inéglités. Preuve. Si < et c > 0, lors, d près l propriété 1.4, c < c. De même, si c < d et > 0, lors c < d. Pr trnsitivité, il vient c < d. Exemple. Reprenons les deux réels x et y de l exemple précédent. On se propose de donner un encdrement de x y. On ne peut ps multiplier ces deux encdrements memre à memre puisque y peut être négtif. On se rpporte lors à des encdrements à termes positifs en remrqunt que : 1 y 1 ( 1 y 0 ou 0 y 1 ) Supposons 1 y 0. Multiplier pr un nomre négtif chque memre d une inéglité chnge l ordre, puisque 1 < 0, il vient : 0 y 1 On peut multiplier, memre à memre, des inéglités à termes positifs. Comme 2 x 3, il vient : D où, en multiplint pr 1 < 0 : 0 x y 3 3 x y 0 Supposons 0 y 1. Comme on peut multiplier, memre à memre, des inéglités à termes positifs, il vient : 0 x y 3 Finlement, on en tire : 3 x y 3 2
1.4 Comprison des crrés, des rcines crrées et des inverses 1.4.1 Pssge u crré et à l rcine crrée Propriété 1.6 Soient et deux réels positifs. On : < 2 < 2 Deux nomres positifs sont rngés dns le même ordre que leurs crrés. Preuve. Si <, lors < 0. Comme et sont positifs, il vient + > 0. On en tire ( )(+)< 0, soit 2 2 < 0, d où 2 < 2. Réciproquement, si 2 < 2, lors 2 2 < 0, soit ( )(+)<0. + et sont donc de signes contrires et non nuls. Comme et sont positifs, + > 0. Il vient < 0, d où <. Exemple. Soit x un réel tel que 2 x 4. On se propose de donner un encdrement de 3x 2. Dns une inéglité à termes positifs, psser u crré ne chnge ps l ordre, il vient : 2 2 x 2 4 2 Multiplier pr un nomre négtif chque memre d une inéglité chnge l ordre, puisque 3 < 0, il vient : 48 3x 2 12 Propriété 1.7 Soient et deux réels positifs. On : < < Deux nomres positifs sont rngés dns le même ordre que leurs rcines crrées. Preuve. On propose ici deux pproches : Ê Où l on s ppuie sur l propriété 1.6. et sont deux nomres positifs donc et existent et sont positifs. D près l propriété 1.6, on lors < 2 < 2, soit < <. Ê Où l on s ppuie sur l technique de l quntité conjuguée. Note. On ppelle quntité conjuguée d une expression de l forme l quntité +. On procéde pr doule impliction. Soient et deux réels positifs distincts. et existent, sont positifs et distincts. Supposons <. Comprer et revient à étudier le signe de leur différence. En multiplint et en divisnt pr s quntité conjuguée, en l occurence + > 0, il vient : = ( )( + ) + On fit pprître u numérteur l identité remrqule (x y)(x+y)= x 2 y 2. Il vient lors : = 2 2 + = + Comme <, lors < 0. Puisque + > 0, il vient < 0, soit <. Réciproquement, supposons <. Il vient < 0. Multiplier pr un nomre positif chque memre d une inéglité ne chnge ps l ordre, puisque + ( )( + ) > 0, il vient < 0, soit 2 2 < 0, d où < 0, soit encore <. 3
Exemple. Soit x un réel tel que 1 3 x 9. On se propose de donner un encdrement de 2 x 1. Psser à l rcine crrée ne chnge ps l ordre, puisque 1 3 0, il vient : 1 3 x 9, soit 3 3 x 3 Multiplier pr un nomre positif chque memre d une inéglité ne chnge ps l ordre, puisque 2>0, il vient : 2 3 3 2 x 6 Retrncher un même nomre à chque memre d une inéglité ne chnge ps l ordre, il vient : 1.4.2 Pssge à l inverse 2 3 3 1 2 x 1 5 Propriété 1.8 Soient et deux réels strictement positifs. On : < 1 > 1 Deux nomres strictement positifs sont rngés dns l ordre contrire de leurs inverses. Preuve. On : De plus : 1 > 1 1 1 > 0 1 1 = Si <, lors > 0. et sont strictement positifs donc > 0. On en tire donc > 0, soit 1 1 > 0, d où 1 > 1. Réciproquement, si 1 > 1, lors 1 1 > 0, soit > 0. Comme > 0, il vient > 0, d où <. Exemple. Soit x un réel tel que 1 2 x 5. On se propose de donner un encdrement de 4 x. Psser à l inverse chnge l ordre, puisque 1 2 > 0, il vient : 1 5 1 x 2 Multiplier pr un nomre négtif chque memre d une inéglité chnge l ordre, puisque 1 < 0, il vient : 2 1 x 1 5 Multiplier pr un nomre positif chque memre d une inéglité ne chnge ps l ordre, puisque 4>0, il vient : 8 4 x 4 5 On sit donc comprer les crrés, les rcines crrées et les inverses de nomres positifs, comment fire dns le cs de nomres négtifs? Comme souvent en Mthémtiques, on se rmène à ce que l on sit fire, c est-à-dire à des nomres positifs en multiplint pr 1. Exemples. ➀ Soit x un réel tel que 2 x 1. On se propose de donner un encdrement de 2x 2 +1. On procéde comme indiqué ci-dessus en se rmennt à des nomres positifs. Multiplier pr un nomre négtif chque memre d une inéglité chnge l ordre, puisque 1 < 0, il vient : 1 x 2 4
Dns une inéglité à termes positifs, psser u crré ne chnge ps l ordre, il vient : 1 ( x) 2 4, soit 1 x 2 4 Multiplier pr un nomre positif chque memre d une inéglité n en chnge ps l ordre, puisque 2>0, il vient : 2 2x 2 4 Enfin, jouter un même nomre à chque memre d une inéglité n en chnge ps l ordre, il vient : 3 2x 2 + 1 5 ➁ Soit x un réel tel que 5 x 2. On se propose de donner un encdrement de 10 x. Multiplier pr un nomre négtif chque memre d une inéglité chnge l ordre, puisque 1 < 0, il vient : 2 x 5 Dns une inéglité à termes positifs, psser à l inverse chnge l ordre, il vient : 1 5 1 x 1 2 Multiplier pr un nomre positif chque memre d une inéglité n en chnge ps l ordre, puisque 10>0, il vient : 2 10 x 5 Enfin, multiplier pr un nomre négtif chque memre d une inéglité chnge l ordre, puisque 1<0, il vient : 5 10 x 2 1.5 Comprison de, 2 et 3 ( 0) Propriété 1.9 Soit un réel positif. 1. Si = 0 ou = 1, lors = 2 = 3. 2. Si 0< < 1, lors 3 < 2 <. 3. Si > 1, lors < 2 < 3. Preuve. 1. Immédit. 2. Supposons 0< < 1. En multiplint cette inéglité pr > 0, il vient 2 <. En l multiplint pr 2 > 0, il vient 3 < 2, d où 3 < 2 <. 3. Supposons > 1. En multiplint cette inéglité pr > 0, il vient 2 >. En l multiplint pr 2 > 0, il vient 3 > 2, d où < 2 < 3. Exemple. Comprons les nomres 2π, 4π 2 et 8π 3. On remrque d ord que 4π 2 = (2π) 2 et 8π 3 = (2π) 3. Comme 2π>1, d près l propriété 1.9, il vient 2π<(2π) 2 < (2π) 3, soit 2π<4π 2 < 8π 3. 2 Intervlles der 2.1 Rppel sur l droite numérique Définition 2.1 L droite numérique est une droite grduée à lquelle on ssocié une origine O. Chque point de cette droite est repéré pr un unique réel x ppelé scisse de ce point. Réciproquement, à chque réel x est ssocié un unique point de cette droite. 5
2.2 Définition et nottions Définition 2.2 Soient et deux réels tels que <. L ensemle des réels x tels que x est ppelé intervlle fermé der, on le note [ ; ]. et sont les ornes de l intervlle [ ; ], son mplitude, + 2 son centre et 2 son ryon. On dit qu un intervlle est orné si, et seulement si, ses deux ornes sont finies (c est-à-dire sont deux réels). Si, en plus de cel, l intervlle est fermé, on dit lors que c est un segment. On peut résumer dns les deux tleux qui suivent les différents intervlles, leur dénomintion et leur représenttion sur l droite numérique. Inéglité Représenttion grphique Intervlle orné Dénomintion x [ ; ] intervlle fermé < x < x < < x ] ; [ intervlle ouvert [ ; [ ] ; ] intervlle semi-ouvert à droite (ou semi-fermé à guche) intervlle semi-ouvert à guche (ou semi-fermé à droite) Inéglité Représenttion grphique Intervlle non orné Dénomintion x x> [ ; + [ intervlle fermé [ ; + [ intervlle ouvert x x< ] ; ] intervlle fermé ] ; [ intervlle ouvert En prtique : l ensemle des réels positifs se noter + = [0;+ [ ; l ensemle des réels négtifs se noter =] ; 0] ; l ensemle des réels non nuls se noter =R {0} ; l ensemle des réels strictement positifs se noter + =]0;+ [ ; l ensemle des réels strictement négtifs se noter =] ; 0[. On rencontre prfois l nottion ] ;+ [ pour désigner l ensemler des réels. Remrque. («moins l infini») et + («plus l infini») sont des symoles, ils ne désignent ps des réels. Pr convention, le crochet est toujours ouvert en et en+. 2.3 Réunion et intersection Définition 2.3 Soient I et J deux intervlles. L réunion des intervlles I et J, notée I J (lire «I union J»), est l ensemle des réels pprtennt à I ou à J. Mthémtiquement, on : x I J (x I ou x J) Remrque. Suf indiction contrire, le «ou» en mthémtiques est inclusif (c est le cs de celui rencontré dns l définition de l réunion de deux intervlles). Il inclut le «et». Dire que x pprtient à I J revient donc à dire que, soit x pprtient à I, soit à J, soit ux deux. 6
Exemples. Pour déterminer l réunion des intervlles [ 2; 5[ et [0; + [, on représente grphiquement ces deux intervlles en deux couleurs différentes sur l droite numérique et on cherche les zones où u moins une couleur est présente. 2 0 5 On conclut : [ 2; 5[ [0;+ [= [ 2;+ [. On montre de l même fçon que : [ 4; 2[ [1; + [= [ 4; 2[ [1; + [, [ 4; 1] [ 3; 2] = [ 4; 1]. Définition 2.4 Soient I et J deux intervlles. L intersection des intervlles I et J, notée I J (lire «I inter J»), est l ensemle des réels pprtennt à I et à J. Mthémtiquement, on : x I J (x I et x J) est le symole de l ensemle vide. Remrque. Si deux intervlles I et J n ont ps d éléments communs, on dit lors que leur intersection est vide. On note I J =. Exemples. Pour déterminer l intersection des intervlles [ 2; 5[ et [0; + [, on représente grphiquement ces deux intervlles en deux couleurs différentes sur l droite numérique et on cherche les zones où les deux couleurs sont présentes. 2 0 5 On conclut : [ 2; 5[ [0;+ [= [0; 5[. On montre de l même fçon que : [ 4; 2[ [0;+ [=, [ 4; 1] [ 3; 2]=[ 3; 2]. 3 Vleur solue 3.1 Distnce entre deux réels Définition 3.1 L distnce entre deux réels x et y est l distnce, sur l droite numérique, entre les points d scisses x et y. On l note d(x ; y). Sur l droite numérique, si on note M le point d scisse x et N le point d scisse y, lors d(x ; y)= M N. N O M y 0 x d(x ; y) Exemples. Sur l droite numérique, soient A, B, C et D les points d scisses respectives 1, 1, 2 et 5. A O B C D 1 0 1 2 5 7
d(0; 1)= O A= 1 ; d(0; 1)=OB = 1 ; d(2; 5)= CD = 3 ; d( 1; 2)= AC = 3. L distnce entre deux réels x et y est donc égle u plus grnd de ces deux réels moins le plus petit. Autrement dit : si x=y, lors d(x ; y)=0 ; si x>y, lors d(x ; y)= x y ; si x<y, lors d(x ; y)= y x. Remrque. L notion de distnce est symétrique, on d(x ; y)=d(y ; x). 3.2 Vleur solue d un réel 3.2.1 Définition Définition 3.2 Soit x un réel. On ppelle vleur solue de x, notée x, l distnce entre 0 et x. On donc x =d(x ; 0)=d(0; x). Remrque. L vleur solue d un réel est une distnce, elle est donc toujours positive ou nulle. 3.2.2 Propriétés Propriété 3.1 Soit x un réel. Si x 0, lors x =x. Si x 0, lors x = x. Preuve. Sur l droite numérique, soit M le point d scisse x. Si x 0, lors d(x ; 0)=x, d où x =x. O M Si x 0, lors d(x ; 0)= x, d où x = x. 0 x d(0; x)=x M O x 0 d(0; x)= x Exemples. 5 =5 cr 5>0. 3 π = (3 π)=π 3 cr 3 π 0,1<0. 2 2 =2 2 cr 2 2 0,5>0. Propriété 3.2 Soient x et y deux réels. (i) x =0 x= 0. (ii) x = x. (iii) x = y x=y ou x = y. (iv) x 2 = x. Preuve. Sur l droite numérique, soit M le point d scisse x. (i) Dire que x =0 revient à dire que l distnce OM est nulle, soit M = O. On donc : x =0 x = 0 (ii) Si x est nul, lors l églité est immédite. Supposons x non nul. Soit M le point d scisse x. M et M ont des scisses opposées, M est donc le symétrique de M pr rpport à O, d où OM = OM, 8
soit x = x. (iii) Soit N le point d scisse y. Si x et y sont tous deux nuls, lors (iii) est vérifiée. Supposons x et y non nuls. Dire que x = y revient à dire que OM = ON. M et N sont donc soit symétriques pr rpport à O, soit confondus. (iv) Si x = 0, lors (iv) est vérifiée. Supposons x > 0. On, d une prt, x =x. D utre prt, l rcine crrée du réel x 2 est le réel positif x, (iv) est donc vérifiée. Enfin, supposons x < 0. On x > 0. Comme x 2 > 0 et que, pr définition, l rcine crrée d un réel positif est le réel positif dont ce premier est le crré, on en tire que x est l rcine crrée de x 2. De plus, comme x < 0, x = x donc (iv) est vérifiée. Exemple. 3 1 = 1 3 = 3 1 cr 3 1 0,7>0. Propriété 3.3 Soient x et y deux réels. On : x y = d(x ; y) Preuve. On risonne pr disjonction des cs. Supposons x = y. Il vient d(x ; y)=0. De plus, x y = 0 donc x y = 0 =0, d où d(x ; y)= x y. Supposons x > y. x est le plus grnd des deux donc d(x ; y)= x y. De plus, x y > 0 donc x y = x y, d où d(x ; y)= x y. Supposons x < y. y est le plus grnd des deux donc d(x ; y)= y x. De plus, x y < 0 donc x y = (x y)= y x, d où d(x ; y)= x y. Propriété 3.4 Soient x et y deux réels. (i) x y = x y. (ii) x + y x + y (inéglité tringulire). (iii) x y = x y (y 0). Preuve. On risonne pr disjonction des cs. (i) Le tleu suivnt donne l expression de x y selon les signes de x et y. Expression de x y x = 0 x< 0 x > 0 y = 0 0 0 0 y < 0 0 y > 0 0 x y cr x y > 0 x y cr x y < 0 x y cr x y < 0 x y cr x y > 0 Le tleu suivnt donne l expression de x y selon les signes de x et y. Expression de x y x= 0 x < 0 x > 0 y = 0 0 0 0 y < 0 0 y > 0 0 x y cr x = x et y = y x y cr x = x et y = y x y cr x =x et y = y x y cr x =x et y = y Les vleurs présentes dns ces deux tleux sont identiquement égles, (i) est donc vérifiée. (ii) Supposons x 0 et y 0. On x =x et y = y. Comme x+y 0, il vient x+y = x+y = x + y. Supposons x 0 et y 0. On x = x et y = y. On distingue lors les deux sous-cs : 9
si x+y 0, lors x+y =x+y = x y x x + y ; si x+y 0, lors x+y = x y = x + y y x + y. Supposons x 0 et y 0. On x = x et y = y. Comme x+y 0, il vient x+y = x y = x + y. Supposons x 0 et y 0. On x = x et y = y. On distingue les deux sous-cs : si x+y 0, lors x+y =x+y = x + y y x + y ; si x+y 0, lors x+y = x y = x y x x + y. (iii) Le tleu suivnt donne l expression de selon les signes de x et y. x y Expression de x/y x = 0 x< 0 x > 0 y < 0 0 y > 0 0 x/y cr x/y > 0 x/y cr x/y < 0 Le tleu suivnt donne l expression de x y selon les signes de x et y. Expression de x / y y < 0 0 y > 0 0 x/y cr x/y < 0 x/y cr x/y > 0 x= 0 x < 0 x > 0 x/y cr x = x et y = y x/y cr x = x et y = y x/y cr x =x et y = y x/y cr x =x et y = y Les vleurs présentes dns ces tleux sont identiquement égles, (iii) est donc vérifiée. 3.3 Équtions et inéqutions vec des vleurs solues Propriété 3.5 Soient x un réel et r un réel positif ou nul. (i) x =r x = r ou x = r. (ii) x r r x r. (iii) x >r x > r ou x < r. Preuve. Sur l droite numérique, soient M, N et P les points d scisses respectives x, r et r. (i) Dire que x =r revient à dire que d(x ; 0)=r, soit OM = r. Le point M se trouve donc soit en P, soit en N, c est-à-dire x = r ou x= r. P O N r 0 r d(0; r )=r d(0; r )=r (ii) Dire que x r revient à dire que d(x ; 0) r, soit OM r. Le point M décrit donc le segment [P N ], soit r x r. P O N r 0 r (iii) Dire que x >r revient à dire que d(x ; 0)>r, soit OM > r. Le point M décrit donc l droite (P N ) privée du segment [P N ], soit x > r ou x < r. P O N r 0 r 10
Exemples. ➀ On se propose de résoudre, dnsr, l éqution x 2 = 4. Anlytiquement : pour tout réel x, x 2 =4 x 2=4ou x 2= 4 x= 6 ou x = 2. Les deux solutions de l éqution sont 2 et 6, on note S = { 2; 6}. Géométriquement : sur l droite numérique, soient A et M les points d scisses respectives 2 et x. Pour tout réel x, x 2 =4 AM = 4. Il existe deux points M 1 et M 2 vérifint cette églité, ils ont pour scisses respectives 2 et 6. M 1 O A M 2 2 0 2 6 d(2; 2)=4 d(2; 6)=4 ➁ On se propose de résoudre, dnsr, l éqution x+ 1 = 2. On vu précédemment que l vleur solue d un réel étit une grndeur toujours positive ou nulle, elle ne peut donc être égle à un nomre strictement négtif. L éqution n dmet ps de solution, on note S =. ➂ On se propose de résoudre, dns R, l éqution x + 1 = x 5. Anlytiquement : pour tout réel x, x+ 1 = x 5 x+ 1 = x 5 ou x+ 1 = (x 5) 1 = 5 ou 2x = 4 x= 2. L unique solution de l éqution est 2, on note S = {2}. Géométriquement : sur l droite numérique, soient A, B et M les points d scisses respectives 1, 5 et x. Pour tout réel x, x+ 1 = x 5 x ( 1) = x 5 AM = B M. M est donc le milieu du segment [AB], il pour scisse 1+5 2 = 4 2 = 2. A O M B 1 0 2 5 d(2; 1)=d(2; 5) ➃ On se propose de résoudre, dnsr, l inéqution x+ 2 4. Anlytiquement : pour tout réel x, x+ 2 4 4 x+ 2 4 6 x 2. L ensemle des réels solutions de l inéqution est l intervlle [ 6; 2], on note S = [ 6; 2]. Géométriquement : sur l droite numérique, soient A et M les points d scisses respectives 2 et x. Pour tout réel x, x+ 2 4 x ( 2) 4 AM 4. Il existe deux points M 1 et M 2 vérifint l églité AM = 4, ils ont pour scisses respectives 6 et 2. Le point M décrit donc le segment [M 1 M 2 ]. M 1 A O M 2 6 2 0 2 d( 2; 6)=4 d( 2; 2)=4 ➄ On se propose de résoudre, dnsr, l inéqution x 3 > 4. Anlytiquement : pour tout réel x, x 3 >4 x 3>4ou x 3< 4 x> 7 ou x < 1. L ensemle des réels solutions de l inéqution est l réunion des intervlles ] ; 1[ et ]7; + [, on note S =] ; 1[ ]7;+ [. Géométriquement : sur l droite numérique, soient A et M les points d scisses respectives 3 et x. Pour tout réel x, x 3 > 4 AM > 4. Il existe deux points M 1 et M 2 vérifint l églité AM = 4, ils ont pour scisses respectives 1 et 7. Le point M décrit donc l droite (M 1 M 2 ) privée du segment [M 1 M 2 ]. 11
M 1 O A M 2 1 0 3 7 d( 1; 3)=4 d(3; 7)=4 ➅ On se propose de résoudre, dnsr, l inéqution x+ 2 > 1. L vleur solue d un réel est une grndeur toujours positive ou nulle, elle est donc toujours strictement supérieure à 1. L inéqution est donc toujours vérifiée, on note S =R. 3.4 Vleurs solues et intervlles On peut, en s ppuynt sur ce qui été dit précédemment, énoncer l proposition suivnte. Propriété 3.6 Soient et x deux réels et r un réel positif ou nul. Les ssertions suivntes sont équivlentes. (i) x r. (ii) d(x ; ) r. (iii) r x + r. (iv) x [ r ; + r ]. 4 Encdrements et vleurs pprochées 4.1 Encdrements Définition 4.1 Soit x un réel. Réliser un encdrement de x, c est trouver deux réels et tels que x. Le réel est l mplitude de l encdrement. Exemples. 1 3 2 est un encdrement de 3 d mplitude 1. 3,141 π 3,142 est un encdrement de π d mplitude 10 3. 4.2 Vleurs pprochées Définition 4.2 Soient et x deux réels et α un réel strictement positif. On dit que est une vleur pprochée (ou pproximtion) de x à α près si x α. Exemple. Comme on vient de le voir, on sit que 3,141 π 3,142. Si on prend le réel 3,1415 comme vleur pprochée de π, lors il vient : 3,141 π 3,142 3,141 3,1415 π 3,1415 3,142 3,1415 0,0005 π 3,1415 0,0005 π 3,1415 5 10 4. D près l définition 4.2, 3,1415 est une vleur pprochée de π à 5 10 4 près. Remrque. On vu précédement que : x α r x + r. On otient lors un encdrement de x d mplitude 2α. Définition 4.3 Soient et x deux réels et α un réel strictement positif. On dit que : est une vleur pprochée de x à α près pr défut si x + α ; est une vleur pprochée de x à α près pr excès si α x. 12
Exemples. On sit que 1,414 2 1,415, soit encore 1,414 2 1,414+0,001. 1,414 est donc une vleur pprochée de 2 à 10 3 près pr défut. De même, il vient 1,415 0,001 2 1,415. 1,415 est donc une vleur pprochée de 2 à 10 3 près pr excès. 13