Groupe de travail L'hypothèse de Riemann d'après Deligne

- Groupe de travail L'hypothèse de Riemann d'après Deligne INTRODUCTION F. DÉGLISE Table des matières Rappels sur SGA4 1 1. Cohomologie étale géométrique 2 2. Correspondance de Frobenius 4 3. Hypothèse de Riemann 6 Réérences 7 Rappels sur SGA4 Soit X un schéma noethérien excellent. On note X ét le site étale de X. On xe un anneau Λ et on note Λ ΛX mod la catégorie des aisceaux de Λ-modules sur X ét. Pour un objet F de Λ ΛX mod, rappelons les dénitions suivantes : Si M est un Λ-module, on note M X le aisceau étale sur X associé au préaisceau V/X M. On dit que F est constant resp. ni) sur X si F est isomorphe à un aisceau de la orme M X pour un Λ-module M resp. de type ni). On dit que F est localement constant resp. ni) si il existe un recouvrement étale π : W X tel que π F ) est constant resp. ni). On dit que F est constructible si F appartient à la sous-catégorie abélienne épaisse stable par extension et acteurs directs) de Λ ΛX mod engendrée par les aisceaux localements constants nis. 0.1. Soit K un complexe de Λ ΛX mod. On dit que K est constructible si il est cohomologiquement borné et que ses aisceaux de cohomologie sont constructibles. On utilisera dans le groupe de travail la catégorie triangulée suivante : D b cx ét, Λ), sous-catégorie pleine de la catégorie dérivée de Λ ΛX mod ormée des complexes constructibles. On utilisera sans démonstration le ormalisme des 6 oncteurs de Grothendieck récemment complété par Gabber). En particulier l'existence des oncteurs : Pour un morphisme de type ni : X, les complexes constructibles sont stables par les oncteurs adjoints :, R ). Pour un morphisme de type ni : X, il existe une paire de oncteurs adjoints!,! ) tels que! = si est propre et! = si est une immersion ouverte. Date: Octobre 2009. 1

INTRODUCTION 2 si X est de type ni sur un corps ni ou séparablement clos) Les complexes constructibles sont stables par le produit tensoriel dérivé et le Hom interne. 1 Je passe sur les propriétés ondamentales suivantes : pureté, ormules de changement de base, ormules de projection. 1. Cohomologie étale géométrique 1.1. Soit X un F p -schéma de type ni, Λ un anneau de torsion première à p. Alors, l'algèbre de cohomologie H X ét, Λ X ) est de type ni en tant que Λ-module. 2 En eet, le théorème de constructibilité 3 arme que, si π : X Spec F p ) est le morphisme structural, le complexe suivant Rπ Λ X ) est constructible. Vu que le site étale de F p est trivial, cela signie encore que c'est un complexe parait de Λ-modules, et on conclut par la relation : H n X ét, Λ X ) = R n π Λ X ). Dénition 1.2. Avec les notations qui précèdent, on dénit la cohomologie étale l-adique rationnelle) de X comme le Q l -espace vectoriel de dimension nie : ) H n X ét, Q l ) := lim H n X ét, Z/l n.z) Q. Du ait que le système projecti ci-dessus vérie la condition de Mittag-Leer, la cohomologie étale l-adique de X est représentée par le complexe Q Z lim Rπ Z/l n ) Z) X. On peut le voir aussi comme la partie ) rationnelle du complexe l-complété au sens triangulé du complexe Rπ Z/lZ)X. On notera donc : RΓX, Z l ) = lim Rπ Z/l n ) Z) X RΓX, Q l ) = lim Rπ Z/l n Z) X ) ) Z Q Remark 1.3. Pour un schéma X quelconque, il aut utiliser la limite projective dérivée. Théorème 1.4. Soient X et des F p -schémas propres. Alors, le morphisme canonique : est un isomorphisme. p+q=n H p X ét, Q l ) Ql H q ét, Q l ) H n X Fp ) ét, Q l ) 1. Le produit tensoriel et le Hom interne des aisceaux de Λ-module se dérivent sur la catégorie dérivée non bornée DX ét, Λ). 2. Il n'est pas nécessaire que la torsion de Λ soit première à p. 3. Il est admis dans le paragraphe 0.1. Rappelons que dans le cas propre, il résulte de SGA4, XIV, 1.1 et que le cas général s'en déduit par dévissage en utilisant la résolution par altération à la De Jong.

INTRODUCTION 3 Démonstration. Pour le démontrer, on commence par le cas des coecients Λ = Z/l n.z. On considère le diagramme cartésien : Z p q posant h = p q. On peut aire le calcul suivant : X p Spec F p ) Rh Λ Z ) = Rq Rp q Λ X ) L Λ p Λ )) 1) = Rq Rp q Λ X ) L Λ Λ ) 2) = Rq q Rp Λ X ) L Λ Λ ) 1) = Rp Λ X ) L Λ Rq Λ ) où les identications 1) résultent de la ormule de projection et l'identication 2) de la ormule de changement de base propre. Après complétion l-adique on obtient un isomorphisme de la orme : RΓZ, Z l ) RΓX, Z l ) ˆ L ΛRΓ, Z l ) qui ait intervenir a priori un produit tensoriel complété. Or, le morphisme canonique : RΓX, Z l ) L Λ RΓ, Z l ) RΓX, Z l ) ˆ L ΛRΓ, Z l ) est un isomorphisme vu que les complexes en jeu sont paraits. Prenant ensuite la partie rationnelle, on en déduit un isomorphisme de complexes : RΓZ, Q l ) RΓX, Q l ) ˆ L ΛRΓ, Q l ) q comme attendu. 1.5. On ne le démontrera pas ici, mais la cohomologie étale l-adique dénit une cohomologie de Weil au sens classique et même au sens mixte). Rappelons que cela signie l'existence d'une classe de cycles vériant une condition de normalisation) et d'une dualité de Poincaré pour les schémas projectis lisses - dans le cas mixte, on demande l'existence d'une cohomologie à support compact et d'un accouplement de dualité entre cohomologie et cohomologie à support compact. D'ailleurs, ces propriétés sont conséquences du théorème précédent et des calculs élémentaires suivants pour X = A 1 Fp, G m : H i X ét, Q l ) { Q l si i = 0 ou i = 1, X = G m ), 0 sinon. On déduit des axiomes d'une cohomologie de Weil la ormule des traces de Leschetz ou plutôt une première orme de cette ormule) : Proposition 1.6. Soit X un F p -schéma projecti lisse de dimension n et φ : X X une correspondance. Alors, la ormule suivante est vraie : deg[φ].[ X ]) = 2n i=0 trφ, H i X ét, Q l )) où le membre de gauche désigne le degré du cycle de CH 0 X X) obtenu par intersection dans l'anneau de Chow de X X.

INTRODUCTION 4 2. Correspondance de Frobenius 2.1. Rappelons que pour une F p -algèbre A, l'endomorphisme de Frobenius : F A : A A, p est un morphisme entier, injecti si A est intègre. Le morphisme induit sur X = SpecA), noté F X, est l'identité sur les espaces sous-jacents. Ce morphisme est évidemment naturel en A, ce qui se traduit par un diagramme commutati 2.1.1) F X FX X pour tout morphisme de schémas ane. Par ailleurs, l'endomorphisme de Frobenius est compatible à la localisation dans le sens où, dans le cas où est une immersion ouverte, le diagramme ci-dessus est cartésien. Ainsi, pour un F p -schéma X quelconque, les endomorphismes de Frobenius des ouverts anes de X se recollent et induisent un morphisme F X : X X. Dénition 2.2. Avec les notations qui précèdent, on appelle F X l'endomorphisme de Frobenius de X. Notons que F X est encore entier et il satisait la propriété de onctorialité donnée par le diagramme 2.1.1). Si de plus X/F p est séparé de type ni, de diagramme joint au ait que F Fp est l'identité montre que F X est de plus ni en appliquant EGA I, 6.3.4 v)). On peut aussi décrire F X comme le morphisme d'espace annelés 1 X, F X ) où F X est le morphisme de aisceaux d'anneaux O X U) O X U), p. 2.3. Soit X un F p -schéma et K un corps de caractéristique p. Le morphisme induit par F X sur l'ensemble des K-points de X F X : XK) XK) est égal au morphisme FK induit par le Frobenius de K d'après le diagramme commutati 2.1.1). Comme F K est injecti, on en déduit que F X est injecti : F X est donc radiciel. Comme on a déjà vu qu'il est entier et surjecti, on a donc obtenu : Proposition 2.4. Pour tout F p -schéma X, l'endomorphisme de Frobenius F X est un homéomorphisme universel. 2.5. Considérons un morphisme : X de F p -schémas. On lui associe un schéma par la ormule : p/x) := F 1 X ).

INTRODUCTION 5 On note ce schéma simplement p) lorsque X est clair. Considérant le diagramme commutati 2.1.1), on obtient un unique morphisme F /X s'insérant dans le diagramme commutati suivant : 2.5.1) F F /X p) X F X X X F X X. Dénition 2.6. Avex les notations qui précèdent, F /X est appelé le morphisme de Frobenius relati associé à /X. Le diagramme précédent montre que si /X est séparé de type ni, alors F /X est de type ni c. EGA I, 6.3.4 v)). Exemple 2.7. Dans le cas de la projection : A n X X de la droite ane sur un F p -schéma, le schéma A n X )p) s'identie à A n X et le Frobenius relati An X An X )p) s'identie au morphisme qui envoie l'indéterminée t i sur t p i. Notons que ce morphisme est plat ni et même libre de rang p n. Notons pour nir la proposition suivante : Proposition 2.8. Soit X un F p -schéma et un X-schéma localement de présentation nie. i) Les conditions suivantes sont équivalentes : i) /X est étale. ii) F /X est un isomorphisme. ii) Si /X est lisse de dimension relative n, alors F /X est ni et plat, localement libre de rang p n. Notons que le point 2) résulte du point 1) compte tenu de l'exemple précédent. On renvoie à SGA5, XV, prop. 2 pour le point 1). 4 2.9. Considérons un schéma projecti lisse X de dimension n. Alors l'endomorphisme de Frobenius F de X induit une action sur la cohomologie : F : H X ét, Q l ) H X ét, Q l ). La proposition 1.6 appliquée à la correspondance F r donne la ormule des traces suivantes 2.9.1) N r = 2n i=0 trf r ), H i X ét, Q l )) où N r est le nombre des points xes de F r agissant sur X, soit le cardinal de XF p r). 5 Au passage, on déduit de ce qui précède le résultat suivant : 4. Touteois, le ait que ii) implique i) est une conséquence immédiate de EGA4, 17.3.4. C'est la seule implication utilisée pour prouver 2). 5. En eet, du ait que df = 0, Γ F est transverse à la diagonale X autrement dit, Γ F X X X est un schéma lisse ici une somme de corps). Il en est de même de F r.

INTRODUCTION 6 Lemme 2.10. Sous les hypothèses qui précèdent, le morphisme est l'identité. Si X est de dimension n, est la multiplication par p n. F : H 0 X ét, Q l ) H 0 X ét, Q l ) F : H 2n X ét, Q l ) H 2n X ét, Q l ) Démonstration. On se ramène au cas où X est connexe. Soit p : X Spec F p ) le morphisme structural. Le premier point résulte de la commutativité du diagramme : H 0 F p, Q l ) p H 0 X ét, Q l ) F H 0 F p, Q l ) p F Fp H 0 X ét, Q l ) et du ait trivial que p est un isomorphisme. Considérons le deuxième point. Soit ϕ le Frobenius de F p. C'est un automorphisme. Le diagramme commutati 2.5.1) montre que F est le composé suivant : X F X/ Fp p) ϕ X X où X p) = ϕ 1 X) et ϕ est le morphisme induit par ϕ. Ainsi, la proposition précédente montre que F est plat ni localement libre de rang p n. La ormule du degré s'applique donc à F et on en déduit la relation suivante : 2.10.1) F F = p n.id. Or par dualité de Poincaré, H 2n X ét, Q l )n) est un Q l -espace vectoriel de rang 1 engendré par la classe ondamentale η de X, qui est caractérisée par la propriété : π η) = 1. On en déduit : 2.10.2) F η) = η. A priori, F η) = µ.η et les deux relations précédentes impliquent donc µ = p n. 3. Hypothèse de Riemann 3.1. Soit X 0 un F p -schéma de type ni. Rappelons qu'on associe à X une onction : ZX, t) = 1 1 t δx x X 0 où la somme parcourt les points ermés x de X et δ x = [κ x : F p ] désigne le degré résiduel de x. 6 Une propriété remarquable de cette onction est la ormule suivante : t. d dt log ZX, t) = r>0 N r.t r où N r est le nombre de points ermés de X à valeurs dans F q r. 7 Comme on l'a déjà vu, on déduit de cette relation et de la ormule des traces de Leschetz pour les puissance du Frobenius c 2.9.1)) l'interprétation cohomologique des onctions zêta : 6. Cette onction est liée à la ocntion Zêta de Weil par la relation ζ X s) = ZX, p s ). 7. On la déduit de la ormule suivante : N r = δ x. x X 0,δ x r

INTRODUCTION 7 Théorème 3.2 Grothendieck). Supposons avec les notations qui précèdent que X est projecti lisse. Soit l un premier diérent de p. Pour un entier i [0, 2n], on note ϕ i l'endomorphisme induit par le Frobenius F de X sur H i X ét, Q l ) et on dénit le polynôme en t suivant : Alors, l'égalité suivante est vraie : P i t) = det1 t.ϕ i ). 8 ZX, t) = P 1t)P 3 t) P 0 t)p 2 t) On déduit de là toutes les conjectures de Weil exceptée l'hypothèse de Riemann. C'est le premier objecti de ce groupe de travail ; autrement dit, on démontrera le théorème suivant d'après [Del74] : Théorème 3.3 [Del74, 1.6]). Avec les notations du théorème précédent, pour tout entier i, P i t) est un polynôme à coecients entiers indépendants de l et ses racines ont pour valeur absolue p i/2. Il s'agira en ait de démontrer le résultat suivant : Lemme 3.4 [Del74, 1.7]). Avec les notations du théorème précédent, pour tout i [0, 2n], les valeurs propres de F agissant sur H i X ét, Q l ) sont des entiers algébriques de valeur absolue p i/2. Réérences [Del74] Pierre Deligne. La conjecture de Weil. I. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 43) :273 307, 1974. 8. Autrement dit, P i t) = ±t n χ ϕi t 1 ).