DOCUMENT 23 Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. 1. Introduction et notations Considérons la fonction f : x sin x définie sur R. La valeur 0 n appartient pas à x l ensemble de définition de f mais il existe dans cet ensemble des éléments aussi proche que l on veut de 0. De ce fait on peut étudier le comportement de cette fonction pour des valeurs de la variable voisines de 0 et obtenir par exemple le tableau suivant : x 0,4 0,3 0,2 0,1 0,01 0,001 f(x) 0,973545 0,985067 0,993346 0,998334 0,999983 0,9999999 Ce tableau montre que lorsque les valeurs de x deviennent proche de 0 alors les valeurs de la fonction se rapproche de 1 et l objectif de ce document est de donner un contenu mathématique précis à cette situation. Pour préciser la position de 0 par rapport à l ensemble de définition de f on introduit plus généralement le concept suivant : Pour toute partie X de R, on définit un ensemble noté X par: x 0 X η > 0, il existe x X tel que x x 0 < η. L ensemble X, appelé adhérence de X, est formé par les éléments de R que l on peut approcher d aussi près que l on veut par des éléments de X et x X si et seulement si il existe une suite de points de X qui converge vers x. Il est clair que : X X, X Y implique X Y et donc X Y X Y. Exemple : si X est une réunion disjointe et finie d intervalles non vides alors X est obtenu en ajoutant à X les bornes finies de ces intervalles qui ne sont pas déjà dans X. En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R 2.1. Limite finie. 2. Limite en un point de R Définition 23.1. Soit f une fonction de D f dans R et x 0 D f. On dit que l R est une ite de f quand x tend vers x 0 si : ɛ > 0, il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η impliquent f(x) l < ɛ. 247
248 23. LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. Proposition 23.1. Soit f une fonction de D f dans R et x 0 D f. La fonction f possède au plus une ite quand x tend vers x 0. Preuve. Soient l 1 et l 2 deux ites de f quand x tend vers x 0 et considérons ɛ > 0. Il existe η 1 > 0 et η 2 > 0 tels que : x D f et x x 0 < η 1 impliquent f(x) l 1 < ɛ/2; x D f et x x 0 < η 2 impliquent f(x) l 2 < ɛ/2. Posons η = min(η 1, η 2 ). Comme η > 0 et x 0 D f, il existe x 1 D f tel que x 0 x 1 < η. On a: l 1 l 2 l 1 f(x 1 ) + f(x 1 ) l 2 ɛ/2 + ɛ/2 = ɛ. et donc l 1 = l 2 (sinon, ɛ = l 1 l 2 /2 conduit à une contradiction). Notations. Si la ite de f existe quand x tend vers x 0, on la désigne par f(x) ou, plus simplement, par x0 f. Exemples. sin x 1) = 1. Une preuve (souvent peu rigoureuse) de ce résultat utilise des considérations géométriques. Si on introduit les fonctions trigonométriques à l aide des séries x 0 x entières alors la fonction sinus est dérivable et (sin x) = cos x. Il en résulte que: sin x x 0 x = sin x sin 0 = cos 0 = 1. x 0 x 0 2) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xe(1/x). On a 0 D f et par définition de la partie entière, E(1/x) 1/x < E(1/x) + 1, d où, pour x R, 0 1 x E( 1 x ) 1 et 0 1 x E( 1 ) 1. On en déduit que x 0 x 1 x E( 1 ) x x et donc 1 f(x) x. En prenant η = ɛ dans la définition d une ite, f(x) = 1. x 0 3) L inégalité x x 0 x x 0 entraine qu en chaque point de R la fonction f de R dans R définie par f(x) = x a une ite et que x = x 0. 4) La fonction f(x) = E(x) n a pas de ite quand x tend vers 1. En effet supposons que E(x) = l et soit ɛ = 1/4. Il existe η > 0 tel que 1 x < η implique E(x) l < 1/4. x 1 Cela est a fortiori réalisé en supposant de plus η < 1. On a alors E(1 + η/2) l < 1/4 et E(1 η/2) l < 1/4 ou encore, 1 l < 1/4 et l < 1/4 ce qui est contradictoire. Remarques. 1) On a f(x) = l si et seulement si la fonction g(x) = f(x) l a pour ite 0 quand x tend vers x 0. 2) L unicité de la ite en un point est due à l existence, pour tout η > 0, d un élément x 1 de D f tel que x 0 x 1 < η (voir la preuve de la proposition 23.1). Cet élément n existe pas nécessairement, et il n y a alors plus unicité de la ite, si l on modifie la définition de f(x) de l une des façons suivantes :
3. LIMITE ET RESTRICTIONS 249 On ne fait pas figurer la condition x 0 D f. Par exemple, tout nombre réel est ite de f(x) = x quand x tend vers 1 car, en prenant η = 1/2, aucun x ne satisfait x D f et x ( 1) < 1/2. Pour tout l R et tout ε > 0, l implication x D f et x ( 1) < 1/2 f(x) l < ε est donc vraie. On impose 0 < x x 0 < η au lieu de x x 0 < η. Avec cette nouvelle condition, tout nombre réel est ite quand x tend vers 1 de la fonction f définie sur D f = { 1} [0, + [ par f(x) = x. Si l on adopte cette nouvelle définition il faut alors remplacer D f par: D f = {x η > 0, y D f tel que 0 < x y < η} (D f est l ensemble des points d accumulation de D f ) On remarque que 1 n est pas un point d accumulation de { 1} [0, + [ et donc on ne peut plus considérer la ite en 1 de la fonction f définie sur cet ensemble par f(x) = x. 3) On peut aussi obtenir l unicité de la ite en démontrant immédiatement après la définition d une ite, la proposition 23.6 et son corollaire. En appliquant ce corollaire avec f = g on obtient l 1 l 2 et l 2 l 1 et donc l 1 = l 2. Proposition 23.2. Si une fonction f de D f dans R a une ite en un point x 0 de D f alors cette ite vaut f(x 0 ). Preuve. Soit l la ite de f en x 0 D f. Pour tout η > 0, x 0 satisfait les deux conditions x 0 D f et x 0 x 0 < η et donc, pour tout ɛ > 0, f(x 0 ) l < ɛ d où f(x 0 ) = l. Remarques 1). Une fonction qui possède une ite en un point x 0 de son domaine de définition est dite continue en x 0. On verra qu il existe un autre type de ite, la ite par valeurs différentes, qui ne fait pas intervenir la valeur de la fonction en x 0 et donc qui n entraine pas la continuité en ce point. 2). Il est facile de construire des fonctions simples f telles que l ensemble des points adhérents à D f soit strictement plus grand que l ensemble des points d accumulation de D f c està-dire dont l ensemble de définition possède des points isolés. On peut par exemple considérer l application f définie par f(x) = x 2 (x 1)(2 x). Son ensemble de définition est {0} [1, 2] et en généralisant cet exemple on peut obtenir des applications ayant un nombre fini mais arbitraire de points isolés dans leurs ensembles de définition. 3. Limite et restrictions 3.1. Caractère local du concept de ite. On peut considérer la fonction f, définie sur x [ π/2, 0[ ]0, +π/2], qui à x fait correspondre, puis la fonction g définie sur R {kπ k Z} sin x par g(x) = x. La fonction f est une restriction de g, mais peut-on affirmer que ces deux sin x fonctions ont la même ite en 0. La proposition suivante permet souvent de répondre à ce type de questions. Proposition 23.3. Soit f : D f R, A R et x 0 D f. Si f possède une ite quand x tend vers x 0 et si x 0 D f A alors la restriction de f à D f A, notée f A, possède la même
250 23. LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. ite quand x tend vers x 0. Réciproquement, si f A possède une ite quand x tend vers x 0 D f A et si A contient un intervalle ouvert contenant x 0 alors f possède la même ite quand x tend vers x 0. Preuve. La première partie est évidente. Pour la réciproque, soit ]x 0 α, x 0 +β[ l intervalle ouvert contenant x 0 et contenu dans A et l = f A. Considérons ɛ > 0. Il existe η > 0 tel que x D f A et x x 0 < η impliquent f(x) l < ɛ. Il est clair que x 0 D f et considérons η = min(η, α, β). On a η > 0 et x x 0 < η entraine x A. Il en résulte que x D f et x x 0 < η impliquent f(x) l < ɛ et donc f(x) = l. Remarques. 1) Pour la réciproque, il est important que A contienne un intervalle ouvert contenant x 0. Si le résultat était vrai sans cette hypothèse alors toute fonction aurait une ite en chaque point de son ensemble de définition. En effet si A = {x 0 } et si x 0 D f alors f A possède la ite f(x 0 ) quand x tend vers x 0. 2) La proposition précédente montre le caractère local de la notion de ite : seul le comportement de f dans un voisinage de x 0 intervient dans l existence ou la valeur d une ite en x 0. 3.2. Limites à droite, à gauche et par valeurs différentes. On considère f : D f R et x 0 D f. Soit A =]x 0, + [. Si x 0 D f A et si x0 f A existe, on dit que c est la ite à droite de f quand x tend vers x 0 et on la note f(x) ou encore f(x). On définit de x x 0,x>x 0 x x + 0 façon analogue la notion de ite à gauche de f en x 0 en considérant la restriction de f à B =], x 0 [. Si f possède des ites à droite et à gauche en x 0 et si ces ites ont la même valeur l alors: si x 0 D f D f, f possède la ite l en x 0 ; si x 0 D f, f possède la ite l en x 0 si et seulement si l = f(x 0 ). L existence d une ite en x 0 entraine l existence d une ite à droite (resp. à gauche) de même valeur en x 0 si x 0 D f ]x 0, + [ (resp. si x 0 D f ], x 0 [). Considérons maintenant A = R {x 0 }. Si x 0 D f A (autrement dit si x 0 est un point d accumulation de D f ) et si f A existe on dit que c est la ite de f quand x tend vers x 0 par valeurs différentes et on écrit f(x). x x 0,x x 0 Remarquons que : x x 0,x x 0 f(x) = l ɛ > 0, il existe η > 0 tel que x D f et 0 < x x 0 < η impliquent f(x) l < ɛ. Lorsque x 0 D f cette notion concide avec celle de ite quand x tend vers x 0 car alors x D f et 0 < x x 0 < η est équivalent à x D f et x x 0 < η. Exemples.
5. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 251 1) Considérons les fonctions g et h définies sur R par g(0) = 0, h(0) = 1 et g(x) = h(x) = x sin(1/x) si x 0. On a x 0 g(x) = 0, h n a pas de ite en 0 et g(x) = h(x) = 0. x 0,x 0 x 0,x 0 2) Soit f une fonction réelle, monotone sur un intervalle ouvert I. En chaque point x 0 de I, f possède une ite à doite f(x) = inf{f(x) x I, x > x 0 } et une ite à gauche,x>x 0 f(x) = sup{f(x) x I, x < x 0 }. De plus, f(x) f(x 0 ) f(x).,x<x 0,x<x 0,x>x 0 3) Une fonction qui possède en chaque point d un intervalle I une ite à droite et une ite à gauche est dite réglée sur I. Pour qu une fonction f soit réglée sur I il faut et il suffit que, sur tout segment inclus dans I, la fonction f soit ite d une suite uniformément convergente de fonctions en escalier. Parmi les fonctions réglées on trouve les fonctions continues par morceaux, les fonctions monotones, les fonctions à variations bornées (car une fonction à variations bornées est la différence de deux fonctions croissantes). 4) Soit f : D f R et K R. On dit que l R est la ite de f quand x tend vers x 0 en restant dans K si x 0 D f K et si ε > 0, η > 0 tel que x x 0 < η et x D f K impliquent f(x) l < ε. Si K = R, on retrouve la notion usuelle de ite et en prenant K =]x 0, + [, K =], x 0 [, K = R {x 0 } on a les notions de ites à droite, à gauche et par valeurs différentes. 4. Limites infinies Définition 23.2. Soit f : D f R et x 0 D f {x 0 }. On dit que f tend vers + (resp. ) quand x tend vers x 0 si : A R, il existe η > 0 tel que x D f et 0 < x x 0 < η impliquent f(x) > A. (resp. A R, il existe η > 0 tel que x D f et 0 < x x 0 < η impliquent f(x) < A.) Remarques. 1) Dans la définition précédente la valeur f(x 0 ) n intervient pas lorsque x 0 D f et c est pour cela qu il faut prendre x 0 D f {x 0 } (sinon une fonction aurait toujours une ite infinie en un point isolé de son ensemble de définition). Dans la plupart des exemples, on a x 0 D f et on pourrait supposer dans la définition que x 0 D f D f. 2) On peut aussi définir la notion de ite infinie à droite ou à gauche d un point. 3) Les propositions 23.1 et 23.3, démontrées pour les ites finies, s étendent au cas des ites infinies. 4) Il existe des relations entre les ites nulles et les ites infinies. Par exemple, si f(x) = + alors (1/f(x)) = 0. Attention! f(x) = 0 entraine seulement 1/f(x) = +. (Cette égalité suppose que x 0 D 1 ) f 5. Opérations sur les ites 5.1. Limites finies. L utilisation de la définition pour vérifier l existence d une ite est souvent fastidieuse. Il est donc utile de voir comment se comporte la notion de ite vis-à-vis des opérations algébriques que l on peut effectuer sur les fonctions afin de pouvoir déduire l existence et la valeur de la ite de fonctions compliquées lorsque l on connait celles de fonctions plus simples qui les composent. Avant d énoncer les résultats concernant la ite d une somme,
252 23. LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. d un produit ou d un quotient de fonctions, il est intéressant de démontrer deux lemmes qui vont simplifier les démonstrations. Commençons en donnant une définition. Une fonction f de R dans R est dite bornée s il existe M R, M > 0 tel que x D f implique f(x) < M. La fonction est dite bornée dans un voisinage de x 0 s il existe une restriction de f à un intervalle ouvert contenant x 0 qui est bornée. Lemme 23.1. Soit f : D f R et x 0 D f. a) Si f possède une ite finie quand x tend vers x 0 alors f est bornée dans un voisinage de x 0. b) Si de plus f 0 alors x 0 D 1/f et 1/f est bornée dans un voisinage de x 0. Preuve. a) Soit l = f(x). Il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η impliquent f(x) l < 1. Comme f(x) l f(x) l on a f(x) l + 1 et donc f est bornée sur le voisinage I =]x 0 η, x 0 + η[ D f de x 0. b) Comme l /2 > 0 il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η impliquent f(x) l < l /2. L inégalité f(x) l f(x) l permet de déduire l /2 < f(x) < 3 l /2 ce qui équivaut à 2 3 l < 1 f(x) < 2 l Soit I =]x 0 η, x 0 + η[. On a I D f D 1/f d où I D f I D 1/f et, comme D 1/f D f, I D f = I D 1/f. La deuxième inégalité de (1) montre que 1/f est bornée sur le voisinage I de x 0. D autre part, x 0 I D f car pour tout ɛ > 0 il existe x D f tel que x x 0 < min(η, ɛ) (car x 0 D f ) et l on a aussi x I D f. Il en résulte que x 0 I D 1/f D 1/f. Lemme 23.2. Soient f : D f R, g : D g R et x 0 (D f D g ) a) Si f(x) = g(x) = 0 alors f + g a une ite quand x tend vers x 0 et (f + g)(x) = 0. b) Si f(x) = 0 et si g est bornée dans un voisinage de x 0 alors fg à une ite quand x tend vers x 0 et (fg)(x) = 0. c) Si f(x) = 0 et si, dans un voisinage de x 0, g(x) f(x) alors g à une ite quand x tend vers x 0 et g(x) = 0. Preuve. La preuve de a) est une conséquence de l inégalité triangulaire et celle de c) est immédiate. Pour b), considérons I =]x 0 α, x 0 +α[ un intervalle ouvert sur lequel g est bornée par M > 0. Pour tout ɛ > 0, il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η entrainent f(x) < ɛ/m. Si x I D f D g = I D fg et x x 0 < η alors f(x)g(x) = f(x) g(x) < M.ɛ/M = ɛ. La restriction de fg à I a pour ite 0 quand x tend vers x 0 et la proposition 23.3 entraine que (fg)(x) = 0. Proposition 23.4. Soient f : D f R, g : D g R et x 0 (D f D g ). On suppose que f(x) = l 1 et g(x) = l 2 a) Pour tout (λ, µ) dans R 2, la fonction λf + µg a une ite quand x tend vers x 0 et (λf + µg)(x) = λl 1 + µl 2. (1)
5. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES 253 En particulier, l ensemble des fonctions, définies sur un intervalle ouvert contenant x 0 et qui possède une ite en ce point, forme un sous espace vectoriel de l espace vectoriel des fonctions de R dans R. b) La fonction fg a une ite quand x tend vers x 0 et (fg)(x) = l 1 l 2. Preuve. a) Le lemme 23.2, a) et b), entraine que [λ(f(x) l 1 ) + µ(g(x) l 2 )] = 0 ce qui équivaut à (λf + µg)(x) = λl 1 + µl 2. b) Les lemmes 23.1 et 23.2 montrent que g(x)(f(x) l 1 ) = 0 et l 1 (g(x) l 2 ) = 0. Le lemme 23.2 entraine [g(x)(f(x) l 1 )+l 1 (g(x) l 2 )] = 0 ce qui équivaut à (fg)(x) = l 1 l 2. Proposition 23.5. Soit f : D f R et x 0 D f. Si f possède une ite l 0 quand x tend vers x 0 alors 1/l est la ite de 1/f en x 0. Preuve. Par le lemme 23.1.b) x 0 D 1/f. Il existe un intervalle ouvert I contenant x 0 tel que 1/f soit définie et bornée sur D 1/f I (cf la preuve du lemme 23.1). En utilisant le lemme 23.2.b) on a donc : (1/f(x))(f(x) l) = 0 soit encore (1 l/f(x)) = 0 ce qui équivaut à (1/f(x)) = l. En utilisant les propositions 23.4 et 23.5 on obtient le résultat concernant la ite d un quotient de deux fonctions. On peut remarquer que les résultats précédents ne sont que des conditions suffisantes pour l existence d une ite. Ces conditions ne sont pas, en général, nécessaires. Par exemple, soit f(x) = x sin(1/x). On a f(x) = 0 alors que x sin(1/x) n a pas de ite quand x tend x 0 vers 0. Exemples L application identique de R possède une ite en chaque point. Les résultats précédents entrainent qu en tout point de R les fonctions monômes, et donc aussi les fonctions polynômes, ont une ite. Les fractions rationnelles ont une ite en chaque point où le dénominateur n est pas nul. 5.2. Le cas des ites infinies. Une partie des résultats précédents s étend au cas où l une des fonctions au moins possède une ite infinie. Il y a de nombreux cas particuliers et le tableau suivant en donne quelques uns. On considère deux fonctions f et g de R dans R possédant une ite finie ou infinie en un point x 0 D f D g. Le symbole l désigne un nombre réel et? signifie que l on ne peut pas conclure dans le cas général. f l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 + + g + + + + f + g + + +?? fg + + + + f/g 0 0 0 0????
254 23. LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. 6. Limites et inégalités Proposition 23.6. Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur D f et x 0 D f. Si f(x) = l et s il existe un voisinage U de x 0 tel que x U D f implique f(x) 0 alors l 0. Preuve. Supposons l < 0. La restriction de f à D f U ayant la ite l en x 0, il existe η > 0 tel que x ]x 0 η, x 0 + η[ D f U implique f(x) l = f(x) l < l 2 = l 2 d où f(x) < l 2 < 0, ce qui est absurde. Donc on a l 0. Corollaire 23.1. Soit f et g deux fonctions à valeurs réelles, définies sur D f et D g, et x 0 D f D g. Si f(x) = l 1, g(x) = l 2 et s il existe un voisinage U de x 0 tel que x U D f D g implique f(x) g(x) alors l 1 l 2. Preuve. On applique la proposition précédente à g f. Proposition 23.7. Soit f, g et h trois fonctions à valeurs réelles, définies sur D f, D g et D h et soit x 0 D f D g D h. Si f(x) = h(x) = l et s il existe un voisinage U de x 0 tel que x U D f D g D h implique f(x) g(x) h(x) alors g(x) existe et g(x) = l. Preuve. Pour x U D f D g D h on a f(x) l g(x) l h(x) l d où g(x) l max( f(x) l, h(x) l ). La suite de la preuve est facile. Remarques et exemples. 1). Les résultats précédents s étendent en général au cas des ites infinies et des ites à l infini. Le cas des ites à l infini contient celui des suites. 2). Si l on sait que pour x > 0, ln x x 1 alors ln x x 1 d où 1 2 ln x < x et, pour x > 1, 0 < ln x x < 2 x. De x + 2 x = 0, on déduit donc ln x x + x = 0. 7. Limites et composition des fonctions Proposition 23.8. Soit f : D f R, g : D g R avec D g = f(d f ) et x 0 D f. Si f possède la ite (finie) l quand x tend vers x 0 alors l D g et si g possède la ite k en l alors (g f)(x) = k. Preuve. Soit ɛ > 0. Il existe η > 0 tel que si x D f et x x 0 < η alors f(x) l < ɛ. Comme x 0 D f il existe x 1 D f tel que x 1 x 0 < η. On a alors f(x 1 ) l < ɛ et f(x 1 ) D g montre que l D g. En utilisant g(x) = k, on trouve η > 0 tel que x D g et x l < η impliquent x l g(x) k < ɛ. Comme f(x) = l il existe η > 0 tel que si x D f et x x 0 < η alors f(x) l < η d où g(f(x)) k < ɛ car f(x) D g. Il en résulte (g f)(x) = k. Remarques et exemples. 1) Si l application g est définie sur un ensemble plus grand que f(d f ) c est en fait sa restriction à f(d f ) qui intervient dans sa composition avec f et c est donc l existence d une ite pour cette restriction qui permet d utiliser de la façon la plus efficace la proposition précédente. Par exemple, soit E + la restriction de la fonction partie entière E à
8. LIMITES ET SUITES 255 R +. On a E + (x) = 0 d où E + ( x) = 0. Comme pour tout x 0, E + ( x) = E( x), x 0 x 0 E( x) = 0. On ne peut pas obtenir ce résultat en appliquant la proposition à E car cette x 0 fonction n a pas de ite en 0. 2) La proposition précédente, telle quelle est rédigée, est fausse pour la notion de ite par valeurs différentes (Elle donc aussi fausse quand on écrit 0 < x x 0 < η dans la définition d une ite.). Par exemple considérons f : R R définie par f(0) = 0, f(x) = x sin(1/x) si x 0 et g : R R tel que g(0) = 0 et g(x) = 1 si x 0. On a f(x) = 0, g(x) = 1 alors x 0,x 0 x 0,x 0 que g f n a pas de ite quand x tend vers 0. Donnons le résultat précis sur la composition des ites par valeurs différentes. Proposition 23.9. Soit f : D f R, g : D g R avec f(d f ) = D g, x 0 un point d accumulation de D f et y 0 un point d accumulation de D g. Si f(x) = y 0, g(x) =,x x 0 x y 0,x y 0 l et si x 0 n est pas un point d accumulation de f 1 ({y 0 }) alors g f(x) = l,x x 0 Preuve. Comme x 0 n est pas un point d accumulation de f 1 ({y 0 }), il existe α > 0 tel que x D f ]x 0 α, x 0 + α[ et x x 0 impliquent f(x) y 0. Soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que 0 < x y 0 < η et x D g impliquent g(x) l < ε. D autre part, il existe η > 0 tel que 0 < x x 0 < η et x D f entrainent f(x) y 0 < η. Considérons η = min(α, η ). Si 0 < x x 0 < η et x D g f = D f alors x x 0 < α et x x 0 d où f(x) y 0. On a aussi 0 < x x 0 < η d où 0 < f(x) y 0 < η et finalement g(f(x) l < ε ce qui signifie g f(x) = l,x x 0 Dans l exemple ci-dessus l une des hypothèses de cette proposition n est pas vérifiée : 0 est un point d accumulation de f 1 ({0}) = { 1 kπ k Z } {0}. 3) Pour les ites à droite ou à gauche, il existe un résultat analogue à la proposition 23.8 à condition que les deux fonctions soient croissantes. 4) Soit f la fonction de R dans R définie par f(x) = x sin(1/x). Si l on sait que la fonction sinus possède en chaque point une ite, alors les résultats précédents (Propositions 23.4.b), 23.5 et 23.8) permettent de conclure que f possède en chaque point x 0 de R une ite. Dans une démonstration très rigoureuse, on doit d abord remplacer f par sa restriction à un intervalle ouvert contenant x 0, ne contenant pas 0 et appliquer la proposition 23.3 pour terminer la preuve. Corollaire 23.2. Soit f : D f R et x 0 D f. Si f(x) = l alors f possède une ite en x 0 et f (x) = l. Pour la preuve il suffit de dire que la fontion x x a une ite en chaque point et appliquer la proposition 23.8. On peut aussi utiliser l inégalité f(x) l f(x) l. La réciproque du corollaire est fausse. Si f est définie par f(x) = 1 si x Q et f(x) = 1 sinon, alors f n admet de ite en aucun point de R et f a une ite en tout point de R. 8. Limites et suites Proposition 23.10. Soit f : D f R, x 0 D f et soit (t n ) une suite d éléments de D f. Si la suite (t n ) converge vers x 0 et si f possède la ite l quand x tend vers x 0 alors la suite
256 23. LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. (f(t n )) converge vers l. Réciproquement, si pour toute suite (t n ) d éléments de D f qui converge vers x 0, (f(t n )) converge vers l alors f possède la ite l quand x tend vers x 0. Preuve. Soit ɛ > 0. Il existe η > 0 tel que x D f et x x 0 < η implique f(x) l < ɛ et n 0 N tel que n > n 0 entraine t n x 0 < η. Pour n > n 0 on a donc f(t n ) l < ɛ d où n f(t n) = l. Démontrons la réciproque sous sa forme contraposée. Si f ne possède pas la ite l quand x tend vers x 0 alors il existe ɛ > 0 tel que, pour tout n N, il existe t n D f tel que t n x 0 < 1/n et f(t n ) l > ɛ. La suite (t n ) d éléments de D f converge vers x 0 et (f(t n )) ne converge pas vers l. Remarques 1) Pour montrer qu une fonction f : D f R n a pas de ite quand x tend vers x 0, il suffit de trouver deux suites (s n ) et (t n ) d éléments de D f qui convergent vers x 0 et telles que (f(s n )) et (f(t n )) n aient pas la même ite. Il suffit aussi de trouver (t n ) tel que n t n = x 0 et (f(t n )) ne converge pas. 2) Soit f : D f R tel que f(d f ) D f, et (t n ) une suite de points de D f définie par son premier terme t 0 D f et la relation de récurrence t n+1 = f(t n ). Si (t n ) converge vers l alors l D f et si f possède une ite quand x tend vers l alors l = f(l). Ce résultat est plus facile à utiliser quand f est continue sur D f car alors cette fonction possède une ite en chaque point de D f. 9. Fonctions continues Définition 23.3. Soit f : D f R R et x 0 R. On dit que f est continue en x 0 si f possède une ite en x 0. Comme on l a déjà remarqué (Proposition 23.2), si une fonction f possède une ite en un point x 0 de son ensemble de définition alors cette ite est nécessairementf(x 0 ). On peut donc définir la continuité de f en x 0 D f sans faire apparaître explicitement la notion de ite par ε > 0, η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) f(x 0 ) < ε. Le lien étroit entre ite et continuité va être précisé par le paragraphe suivant. 9.1. Prolongement par continuité. Proposition 23.11. Soit f : D f R, a D f \ D f (ce qui signifie : a D f et η > 0, x D f tel que x a < η). La fonction f possède une ite en a si et seulement si il existe un prolongement de f à D f {a} continu en a. Lorsque ce prolongement existe, il est unique et est appelé le prolongement par continuité de f en a. Sa valeur en a est f(x). Si la fonction x a f est continue en x 0 D f alors il en est de même pour son prolongement par continuité en a. Preuve. Supposons que f possède un prolongement f à D f {a} continu en a. On a D b f {a} = D f et donc a D b f {a} (a n est pas isolé dans l ensemble de définition de f) et la continuité de f en a entraine f(a) = f(x) = f(x). x a,x a x a
9. FONCTIONS CONTINUES 257 Réciproquement, supposons que f possède une ite en a. On peut définir un prolongement f de f à D f {a} par f(a) = x a f(x). On a : f(x) = f(x) = f(a) x a,x a x a ce qui montre que f est continue en a. Considérons maintenant x 0 D f. Si f est continue en x 0 alors sa restriction f l est aussi. Réciproquement, supposons f continue en x 0, posons η = x 0 a et soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) f(x 0 ) < ε. Soit η = min(η, η ). On a η > 0 et x x 0 < η entraine x a. Il en résulte que si x x 0 < η et x D b f alors f(x) f(x 0 ) < ε et la fonction f est continue en x 0. (On peut aussi dire que D f étant ouvert dans D f {a}, la continuité de f en un point de D f équivaut à celle de f.) Pour l unicité du prolongement, soit g un prolongement de f à D f {a}, continue en a. Comme a n est pas isolé dans D f {a} (tout voisinage de a contient des éléments de D f et donc des éléments de D f {a} distincts de a) la continuité de g en a entraine : d où g = f. g(a) = g(x) = f(x) = f(a) x a,x a x a Exemples. 1) Une fonction f, definie sur un intervalle I, est dérivable en un point x 0 de I si et seulement si la fonction x0 definie sur I {x 0 } par x0 (x) = f(x) f(x 0) x x 0 est prolongeable par continuité à I. De plus, on a f (x 0 ) = x0 (x 0 ). 2) On définit la fonction f sur R + par f(x) = x ln x. On sait que x 0 f(x) = 0 et donc on peut prolonger f par continuité en 0 par la fonction f en posant f(0) = 0. Remarque. En général, on introduit la notion de ite avant celle de continuité. L inverse est aussi possible en utilisant les équivalences suivantes où f : D f R et a D f : si a D f, f admet une ite en a f est continue en a si a D f, f admet une ite en a il existe un prolongement de f à D f {a} continu en a. 9.2. Propriétés des fonctions continues. Chaque résultat sur les ites a un analogue concernant la continuité. Par exemple : (1) Si une fonction f est continue en x 0 alors f est bornée dans un voisinage de ce point. (2) Soit f et g deux fonctions continues en x 0. Les fonctions f + g et fg sont continues en x 0. De plus, si g(x 0 ) 0 alors la fonction f g est continue en x 0. (3) Soit f une fonction continue en x 0 et g une fonction continue en f(x 0 ). La fonction g f est continue au point x 0. (4) La fonction f : D f R est continue au point x 0 si et seulement si pour toute suite (x n ) de points de D f qui converge vers x 0, la suite (f(x n )) converge vers f(x 0 ).
258 23. LIMITE D UNE FONCTION EN UN POINT DE R. FONCTIONS CONTINUES. Il n est pas nécessaire de démontrer ces résultats qui ne sont que le cas particulier x 0 D f de résultats sur les ites. Pour une étude plus détaillée de la continuité, on consultera le document 24.