TSTID CH V : Fonction ponntill A la décovrt d n novll fonction d référnc Ls calclatrics possèdnt n toch On not ctt fonction : p. L imag d n rél par la fonction ponntill st noté qi corrspond à n fonction applé fonction ponntill. p t s lit «ponntill d». L bt d ctt activité st d décovrir crtains propriétés d la fonction ponntill.. Calcl d imags a) Imag d Sr la calclatric on tap la séqnc : ENTER. Affichag : Définition : L imag d par la fonction ponntill st l nombr noté. La valr arrondi à 0 - d st,7. b) Complétr l tabla ci-dssos à l aid d la calclatric : - 4 - - 0, 0 0, 4 Valr arrondi à 0 d p. Corb rprésntativ Sr l écran d la calclatric on obtint la corb sivant rprésntativ d la fonction p. Par lctr graphiq, conjctrr ls résltats sivants : L nsmbl d définition d la fonction ponntill st.. Ls limits d la fonction ponntill a borns d son nsmbl d définition : L sns d variation d la fonction ponntill : L sign d la fonction ponntill : TSTID CH V Fonction ponntill
. Propriété d la fonction ponntill Avc la calclatric on obtint : Ls doits tracés sr cs qatr graphiqs smblnt êtr tangnts à la corb d la fonction ponntill. Complétr l tabla sivant : - 0 p p' Qll conjctr pt-on fair sr la dérivé d la fonction ponntill? TSTID CH V Fonction ponntill
I La fonction ponntill ) Définition La fonction ponntill st la fonction noté p, défini t dérivabl sr tll q : p' p p 0. Por tot rél t ) Sign d la fonction ponntill ( admis) Por tot rél, ) Etd d la fonction ponntill a) Limits (résltats admis ) p 0. lim p t lim p 0 La droit d éqation y 0 st asymptot à la corb rprésntativ d p n. b) Sns d variation Por tot rél, p' p t p 0 donc c) Tabla d variation p' 0. La fonction p st strictmnt croissant sr. p' Variation d p d) Corb rprésntativ 7 y=p() 6 4-4 - - - 0 4 6 - Détrminr ls éqations ds tangnts à la corb rprésntativ d la fonction p a points d abscisss rspctivs 0 t. Tracr cs tangnts dans l rpèr ci-dsss. TSTID CH V Fonction ponntill
4) Notation L imag par d la fonction ponntill st noté. On convint d notr On a donc, por tot rél, En particlir : l imag d par la fonction ponntill. p. 0 p t p 0. Ercic Calclr la dérivé ds fonctions sivants définis t dérivabls sr. a) f : ; b) g : ; c) h : ; d) TSTID CH V Fonction ponntill 4 k: Ercic A l aid ds théorèms sr ls limits, détrminr ls limits sivants : a) lim ; b) lim 4 Ercic ; c) La fonction f st défini sr par variation. ) Propriétés algébriqs Empls Théorèm ( admis ) lim ; d) lim. f Por tos réls a t b t tot ntir rlatif n a a b a b b ab ; ; b b 4... ;... ;... ;. 4... ;... ;...; Ercic 4 ) Simplifir ls prssions sivants définis por tot rél:... ;... ;.. Calclr sa dérivé t n dédir son sns d... ;.... ) Démontrr q por tot rél,. II Eqations, inéqations ) Propriétés La fonction ponntill st strictmnt croissant sr. On n dédit ls propriétés sivants. Por tos réls a, b : a b a b a b a b
) Résoltion d éqations t d inéqations Ercic Résodr ls éqations sivants : E : ; ( ) : 4 E ; E : ;E4 : ;E : 0. Ercic 6 Résodr ls inéqations sivants : I ; ( ) : I : ; I : 0. Ercic 7 ) a) Résodr l éqation : X X 0. b) En dédir la résoltion d l éqation : ) a) En tilisant ) a), factorisr b) En dédir la form factorisés d Ercic 8 X X 0. Soit h la fonction défini sr par h. ) Etd d sns d variation d h. a) Calclr h'. b) Résodr 0 t 0. t étdir son sign.. En dédir l sign d ' h. c) Détrminr l sns d variation d h t précisr l minimm d h. ) a) Jstifir q por tot rél, b) En dédir q lim.. III Complémnts ) Croissancs comparés Qand on obtint ds forms indétrminés concrnant t ds pissancs d, on tilis ls résltats sivants: n Por tot ntir natrl n lim ; lim 0. n On dit q l ponntill l mport sr ls pissancs d. Ercic 9 Calclr ls limits sivants : lim 0 ) Eponntill d n fonction : lim On considèr n fonction défini sr n intrvall I. La fonction qi à tot rél d I associ s not TSTID CH V Fonction ponntill. lim
Empl : On considèr la fonction f défini sr par sr par, on a f. f. En notant la fonction défini a) Ensmbl d définition La fonction b) Dérivé d a l mêm nsmbl d définition q la fonction. Théorèm Soit n fonction dérivabl sr n intrvall I. La fonction st dérivabl sr I t sa dérivé st : ' '. Ercic 0 Calclr ls dérivés ds fonctions sivants définis sr par :, a) f ; b) g ; c) h 4 ; c) Limit On tilis l théorèm donnant la limit d n fonction composé. Ercic Calclr ls limits sivants : lim 0, ; lim d) Etd d fonctions Ercic 0, On considèr la fonction f défini sr par k. f 0, t Cf sa corb rprésntativ dans n rpèr orthonormal. a) Etdir l sns d variation d la fonctions f. b) Calclr ls limits d f n t n. c) Montrr q la droit D d éqation y0, st asymptot obliq à Cf n. d) Etdir la position rlativ d Cf t D. ) Tracr Cf t D. Ercic On considèr la fonction g défini sr par n rpèr orthonormal. a) Etdir l sns d variation d g. b) Calclr la limit d g n. g t C la corb rprésntativ d g dans c) Vérifir q por tot rél, g. En dédir la limit d g n. Q pt-on n dédir por C? d) Drssr l tabla d variation d g. ) Tracr la corb C. TSTID CH V Fonction ponntill 6