I. Le cercle trigonométrique 1. Définition Le cercle trigonométrique de centre O est le cercle de rayon 1 et qui est muni d un sens direct : le sens inverse des aiguilles d'une montre. On note C le cercle trigonométrique de centre O et (O ; I ; J) un repère orthonormal direct. K est le point de coordonnées (1 ; 1) et on munit la droite (IK) du repère (I ; K). On enroule la droite (IK) sur le cercle C ainsi, tout nombre réel x vient s'appliquer sur un point M de C. On dit que M est le point image du nombre réel x.. Propriétés Si x et x sont des nombres réels tels que x - x' = k π où k est un entier relatif alors x et x' viennent s'appliquer sur un même point du cercle trigonométrique C. Si M est le point du cercle trigonométrique C, image d un nombre réel x, alors M est aussi le point image de tous les nombres réels x + k π où k est un entier relatif. 3. Le radian (définition) Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. Le radian est la mesure de l angle au centre qui intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1. Exemple: C est le cercle trigonométrique du 1. Si M est le point image d un nombre réel x avec 0 < x < π alors a IOM = x rad. touchaptrig 1/6
4. Cosinus et sinus d un nombre réel (définitions) C est le cercle trigonométrique de centre O et (O; I; J) un repère orthonormé direct. x est un nombre réel et M est le point image de x sur le cercle trigonométrique C. Le cosinus de x, noté cos x, est l abscisse de M Le sinus de x, noté sin x, est l'ordonnée de M. Exemple: Le nombre réel π a pour image le point J de coordonnées (0;1), donc cos π = 0et sinπ =1 Propriétés Pour tout nombre réel x et tout entier relatif k, -1 cosx 1-1 sinx 1 cos (x + k π) = cos (x) sin (x + k π) = sin (x) cos²(x) + sin²(x) =1 II. Angles orientés Le plan orienté Sur un cercle, deux sens de parcours sont possibles, l'un est dit direct, l'autre indirect. Par convention, le sens indiqué par la flèche rouge est le sens direct pour tous les cercles du plan. On dit alors que le plan est orienté. Angle orienté de vecteurs Définition des mesures u = OM et v = ON sont deux vecteurs non nuls. Les demi-droites [OM) et [ON) coupent le cercle trigonométrique C de centre O en A et B. Au couple ( OA, OB ) on associe une famille de nombres de la forme α + kπ, k Z, où α est la longueur (donc un nombre positif ou nul) de l'arc de cercle AB, parcouru de A vers B dans le sens direct. touchaptrig /6
Par définition, chacun de ces nombres est une mesure en radians de l angle orienté de vecteurs ( u, v ). L usage est de noter ( u, v ) un angle de vecteurs au lieu de ( u, v ) et aussi de confondre un angle avec l une de ses mesures. On écrit : ( u, v ) = π 6 + kπ ou π 6 mod[π] ou π 6 Mesure principale Parmi toutes les mesures l + kπ, il en est une et une seule dans l'intervalle ]- π, π] Cette mesure est appelée mesure principale de ( u, v ). La valeur absolue de la mesure principale de ( u, v ) est égale à la mesure en radians de l angle géométrique formé par u et v. III. PROPRIETE DES ANGLES ORIENTES Colinéarité u et v étant deux vecteurs non nul, ( u, v ) = 0 et v sont colinéaires et de même sens. ( u, v ) = π u et v sont colinéaires et de sens contraire En effet, d après la définition, ( u, u ) = 0 et ( - u, u ) = π = ( u,- u ) touchaptrig 3/6
Relation de Chasles (admise) Pour tous vecteurs non nuls u, v, w : ( u, v ) + ( v, w) = ( u, w) Exemple : Quelle est une mesure de BA, CD? + π 3-3π 4 BA, CD = BA, BC + BC, CD = - 3π 4 + π 3 = - 5π 1 Conséquences : Pour tous vecteurs non nuls u, v ( v, u ) = - ( u, v ) ( u,- v ) = ( u, v ) + π (- u, v ) = ( u, v ) + π (- u,- v ) = ( u, v ) Illustrations : avec w= - v et z = - u touchaptrig 4/6
Démonstration : Pour tous vecteurs non nuls u, v, w : ( u, v ) + ( v, w) = ( u, w) D où ( u, v ) + ( v, u ) = ( u, u ) = 0 donc ( v, u ) = - ( u, v ) Et aussi ( u, v ) + ( v,- v ) = ( u,- v ) or ( v,- v ) = π d où ( u,- v ) = ( u, v ) + π (- u, u ) + ( u, v ) = (- u, v ) or (- u, u ) = π d où (- u, v ) = ( u, v ) + π Et encore (- u,- v ) = (- u, u ) + ( u, v ) + ( v,- v ) = π + ( u, v ) + π = ( u, v ) + π = ( u, v ) IV. Trigonométrie Cosinus et sinus d angles associés Soit C le cercle trigonométrique de centre O et (O,I,J) un repère orthonormé direct. Propriétés : pour tout réel x, on a les égalités suivantes cos(-x) = cos x sin(-x) = sinx cos(π - x) = - cos x sin(π - x) = sin x cos(π + x) = - cos x sin(π + x) = - sin x cos( π - x) = sin x sin( π - x) = cos x cos( π + x) = - sin x sin( π + x) = cos x touchaptrig 5/6
Equations trigonométriques: L équation cos x = cos α admet pour solutions x = α + k π et x = - α + k π L équation sin x = sin α admet pour solutions x = α + k π et x = π - α + k π touchaptrig 6/6