(R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné tel que : (AxBS) toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure.

MT34 - R en exercices. (R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné tel que : (AxBS) toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Les définitions nécessaires à la compréhension de cet énoncé se trouvent dans [2]. Tous les exercices proposés découlent de cette caractérisation de R ; ils servent à s approprier les propriétés de R. On commence par les plus faciles, ses propriétés algébriques. On se familiarise ensuite avec la notion de borne sup, puis celle de limite qui lui est liée, l axiome de la borne supérieure étant invoqué pour prouver l existence de limite. On passe ensuite aux théorèmes célèbres de l analyse réelle (valeurs intermédiaires, Bolzano & Weierstrass, accroissements finis, R est complet...). On aborde aussi la topologie, pour son vocabulaire imagé (voisinage,...) qui donnera une intuition bienvenue pour les notions de limite et de continuité, et aussi pour l occasion de réinvestir les ensembles (MT33). On termine par la notion de subdivision pointée δ-fine et le lemme de Cousin qui sont à la base de la théorie de l intégrale de Kurzweil & Henstock. Par ailleurs, le lemme de Cousin peut aussi servir de point de départ pour l analyse réelle : il implique l axiome de la borne supérieure et permet de démontrer directement les théorèmes célèbres de l analyse réelle. Table des matières 1 Propriétés algébriques 2 2 Propriétés liées à l ordre 4 3 Borne supérieure, borne inférieure 5 4 Convergence des suites réelles 6 5 Suites de Cauchy, R est complet 7 6 Fonctions : limite, continuité, dérivabilité 9 7 Topologie, compacité, continuité uniforme 12 8 Autour du lemme de Cousin 15 Références bibliographiques 16 1

1 Propriétés algébriques Les propriétés algébriques de R sont celles qui découlent du fait que (R, +, 0,, 1) est un corps commutatif, c est-à-dire : (R, +, 0) est un groupe : (RG1) ( x R) x + 0 = x et 0 + x = x. (RG2) ( x, y, z R) x + (y + z) = (x + y) + z. (RG3) ( x R)( x R) x + x = 0 et x + x = 0. Pour tout x, un tel x est unique (exercice!), s appelle l opposé de x et se note x. (R, +, 0) est un groupe commutatif : (RG4) ( x, y R) x + y = y + x. (R, +, 0,, 1) est un anneau : (RA1) ( x R) x1 = x et 1x = x. (RA2) ( x, y, z R) x(yz) = (xy)z. (RA3) ( x, y, z R) x(y + z) = (xy) + (xz) et (y + z)x = (yx) + (zx). (R, +, 0,, 1) est un anneau commutatif : (RA4) ( x, y R) xy = yx. (R, +, 0,, 1) est un corps (RC1) ( x R \ {0})( x R) xx = 1 et x x = 1. Pour tout x 0, un tel x est unique (exercice!), s appelle l inverse de x et se note x 1 ou 1 x. Exercice 1: (propriétés de l addition) Soient x, y, z R. Montrer que (i) x + z = y + z = x = y (ii) x + y = x = y = 0 (iii) x + y = 0 = y = x (iv) ( x) = x (1) Enoncer ces propriétés dans un groupe (G,, e) quelconque. Exercice 2: (nx dans un groupe additif) Dans un groupe (G, +, 0) quelconque, pour x G et n N, on définit nx G par récurrence : { 1. Montrer que pour tous n, n N, 0x déf = 0 ( n N) (n + 1)x déf = nx + x (2) (n + n )x = nx + n x (3) 2. On étend nx à n Z par nx déf = ( n)x lorsque n < 0. Montrer que la relation précédente s étend à n, n Z. 3. Dans le cas particulier de (R, +, 0,, 1), que dire de nx? 2

Exercice 3: (propriétés de la multiplication) Soient x, y, z R. On suppose x 0. Montrer que (i) xy = xz = y = z (ii) xy = x = y = 1 (iii) xy = 1 = y = x 1 (iv) (x 1 ) 1 = x (4) Vos démonstrations sont-elles sensiblement différentes de celles pour l addition? Comment les rassembler dans un cadre commun? Exercice 4: (x n dans un groupe multiplicatif) Dans un groupe (G,, 1) quelconque, pour x G et n N, on définit x n G par récurrence : { x 0 = 1 ( n N) x (n+1) = x n (5) x 1. Montrer que pour tous n, n N, x (n+n ) = x n x n (6) 2. On étend x n à n Z par x n = ( x n) 1 lorsque n < 0. Montrer que la relation précédente s étend à n, n Z. Exercice 5: (propriétés mixtes) Soient x, y R. Montrer que (i) 0x = 0 (ii) (x 0) (y 0) = xy 0 (iii) ( x)y = (xy) = x( y) (iv) ( x)( y) = xy (v) ( 1)x = x (7) 1. Ecrire la contraposée de (ii). 2. Parmi les propositions (i) à (v), lesquelles sont encore valides dans un anneau (A, +, 0,, 1). Exercice 6: (ma formule préférée) 1. Dans un anneau (A, +, 0,, 1) quelconque, calculer en supposant que xy = yx. n 1 (1 x) x k = (8) k=0 n 1 (y x) y n 1 k x k = (9) k=0 2. Dans (R, +, 0,, 1), factoriser y n x n. En déduire une factorisation de y n + x n dans le cas où n est impair. Que dire quand n est pair? [Utiliser la relation d ordre pour répondre à cette dernière question.] 3

Exercice 7: (formule du binôme) Dans un anneau (A, +, 0,, 1) quelconque, soient a, b A tels que ab = ba. Montrer que ( n N) (a + b) n = 2 Propriétés liées à l ordre n k=0 ( ) n a k b n k. (10) k On se concentre ici sur les propriétés liées au fait que (R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné, sans faire usage de l axiome de la borne supérieure (AxBS) qui fera l objet des exercices de la section suivante. Dire que (R, ) est un ensemble ordonné, ou que est une relation d ordre sur R signifie que la relation est réflexive : ( x R) x x ; ( ) antisymétrique : ( x, y R) (x y) (y x) = (x = y) ; ( ) transitive : ( x, y, z R) (x y) (y z) = (x z). Dire que (R, +, 0,, 1, ) est un corps commutatif ordonné signifie que (i) (R, +, 0,, 1) est un corps commutatif : (revoir section précédente) (ii) (R, ) est un ensemble totalement ordonné : (ROT) ( x, y R) x y ou y x. (iii) (R, +, 0,, 1, ) est un anneau commutatif ordonné : (RACO1) ( x, y, z R) ( (x y) = x + z) y + z. (RACO2) ( x, y R) (0 x) (0 y) = 0 xy. Exercice 8: Soient x, y, z R. Montrer que (i) 0 < x x < 0 (ii) (0 < x) (y < z) = xy < xz (iii) (x < 0) (y < z) = xz < xy (iv) x 0 = 0 < x 2 (v) 0 < 1 (vi) 0 < x < y = 0 < y 1 < x 1 (11) Exercice 9: (C n est pas un corps ordonné) Montrer que C peut être muni d une relation d ordre total mais qu il n existe aucune relation d ordre sur C telle que (C, +, 0,, 1, ) soit un corps commutatif ordonné. Exercice 10: (valeur absolue) Pour tout x R, on définit sa valeur absolue x par x déf = max( x, x) = x si 0 x x si x 0 (12) 4

1. Montrer que 2. Montrer que ( x, y R) xy = x y (13) ( x, y R) x + y x + y (14) 3. Montrer que ( x, y R) x y x + y (15) Exercice 11: Résoudre dans R les inégalités suivantes. 1. (1 + x 2 )(x + 7)(x 2 x 6) > 0 x 1 2. x + 1 < 0 Exercice 12: Tracer le graphe de f(x) = x 1 x + 1 et écrire f(x) sans valeur absolue. Exercice 13: Résoudre dans R l équation x 2 + 2 x + 1 = 1. 3 Borne supérieure, borne inférieure Exercice 14: (Caractérisations utiles de la borne supérieure) Soit A R. Montrer que : 1. 2. s = Sup(A) { (i) ( x A) x s (ii) ( ɛ > 0)( x A) s ɛ < x [Indication : dire (en français) ce que signifient les énoncés (i) et (ii)...] s = Sup(A) { (i) ( x A) x s (ii) ( n N)( x n A) lim n = s Exercice 15: (calculs de borne sup) Calculer Sup(A) lorsque A = {u n : n 1} pour chacun des cas ci-dessous : 1. u n = ( 1) n n 1 n 2. u n = ( 1) n n + 1 n [Rép : 1] [Rép : 3 2 ] Exercice 16: (borne inférieure) Montrer que toute partie A non vide et minorée de R admet une borne inférieure. [Indication : On pourra considérer B = { x : x A}...] Exercice 17: (propriété d Archimède et conséquences cruciales) Montrer que 1. ( a, b R) a > 0 = ( n N) b < na [Indication : On pourra supposer que ( n N) na b et considérer A = {na : n N}...] 5

2. ( a, b R) a > 1 = ( n N) b < a n [Indication : On pourra poser a = 1 + α et utiliser la formule du binôme pour se ramener au cas précédent...] 3. ( x R)(!m Z) m x < m + 1. Cet unique entier m s appelle la partie entière de x ; on le notera [x]. 4. Approximation d un réel par une suite de rationnels 5. Q est dense dans R ( a R)( n N \ {0})( u n Z) 0 a u n n < 1 n (16) ( a, b R) a < b = ( q Q) a < q < b (17) Exercice 18: (Q ne vérifie pas l axiome de la borne supérieure) On considère A = {x Q : x 2 2}. Montrer que A est une partie non vide et majorée de Q et qu elle ne possède pas de borne supérieure (dans Q). [Cependant, comme partie de R non vide et majorée, A admet une borne supérieure (dans R) qui est 2.] 4 Convergence des suites réelles Définition 1 (limite d une suite) On dit qu une suite de réels (u n ) n N converge vers l R si ( ɛ > 0)( N N)( n N) u n l ɛ. (18) Dans ce cas, on note lim u n = l, ou bien u n l. On dit qu une suite est convergente s il existe l R tel que (18). Par (AxBS), on prouvera la convergence de certaines suites, en particulier les suites croissantes majorées. Exercice 19: (unicité de la limite éventuelle d une suite) Soit (u n ) n N une suite de réels. Montrer qu il existe au plus un réel l tel que (18). Exercice 20: (suite qui tend vers l infini) En s inspirant de (18), proposer des définitions analogues pour l = +, puis l = (abus de notation usuel!). Exercice 21: (exemple fondamental) 1. Soit un réel a 0. Montrer que a n 0 si 0 a < 1 1 si a = 1 + si 1 < a (19) [Indication : on pensera à Archimède...] 6

2. On suppose a < 0. Que dire de la limite de a n quand n +. 3. Montrer que n k=0 a k [Indication : ma formule préférée...] 1 1 a si a < 1 + si 1 a (20) Exercice 22: (les suites croissantes majorées sont convergentes) Soit (u n ) n N une suite de réels. 1. On suppose que la suite u n est croissante et majorée. Montrer que u n converge vers Sup{u n : n N}. 2. Ecrire et démontrer un énoncé analogue pour les suites décroissantes minorées. Exercice 23: (théorèmes généraux sur les limites des suites) Soient (u n ) n N et (u n) n N deux suites de réels. 1. Si u n 2. Si u n 3. Si u n 4. Si u n l et u n l et λ R, alors λu n l et u n l et u n l, alors u n + u n l + l. λl. l, alors u n u n ll. l avec l 0, alors u n u n Exercice 24: (Théorème des intervalles emboîtés) Soit ([a n, b n ]) n N une suite d intervalles de R tels que 1. Montrer que [a n, b n ]. n N ( n N) [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ]. (21) [Indication : Poser A = {a n : n N} et considérer que Sup(A)...] 2. On suppose de plus que b n a n 0. (a) Montrer qu il existe un unique l R tel que [a n, b n ] = {l}. (b) Faire le lien avec les suites adjacentes et le théorème des gendarmes (vus en Terminale?). n N l l. 5 Suites de Cauchy, R est complet Définition 2 (suite de Cauchy) On dit qu une suite de réels (u n ) n N est une suite de Cauchy si ( ɛ > 0)( N N)( n, n N) u n u n ɛ. (22) 7

Une suite convergente est a fortiori de Cauchy. La réciproque n est pas évidente. Il existe des suites de rationnels de Cauchy qui ne convergent pas dans Q. En revanche, les suites de réels de Cauchy sont convergentes : on dit que R est complet. On démontre la complétude de R à l aide du théorème de Bolzano & Weierstrass, qui lui-même est conséquence de (AxBS). Exercice 25: (Valeur d adhérence et Théorème de Bolzano & Weierstrass) 1. On définit d abord la notion de valeur d adhérence pour une suite. Définition 3 (valeur d adhérence d une suite) On dit qu une suite de réels (u n ) n N admet a R pour valeur d adhérence si ( ɛ > 0)( N N)( n N, N n) u n a < ɛ (23) On dit qu une suite possède une valeur d adhérence s il existe a R tel que (23). (a) Traduire en français l énoncé ci-dessus. (b) Vérifier que a est valeur d adhérence de (u n ) n N si et seulement s il existe une soussuite qui converge vers a. (c) Montrer qu une suite convergente n a qu une seule valeur d adhérence. (d) Donner un exemple de suite qui a deux valeurs d adhérence. (e) Donner un exemple de suite qui n a pas de valeur d adhérence. (f) Donner un exemple de suite qui n a qu une seule valeur d adhérence et qui pourtant, ne converge pas. 2. Montrer le Théorème 4 (Bolzano & Weierstrass) Toute suite réelle bornée possède une valeur d adhérence. [Indication 1 : Considérer A = {x R : ( N N)( n N, N n) x u n } et montrer que Sup(A) est valeur d adhérence de (u n ) n N... [Indication 2 : dichotomie, théorème des intervalles emboîtés...] Exercice 26: (Complétude de R) 1. Rappeler la définition d une suite de Cauchy. 2. (Q n est pas complet) Construire une suite de rationnels de Cauchy qui ne converge pas dans Q. 3. Montrer qu une suite convergente est de Cauchy. 4. Montrer qu une suite de Cauchy est bornée. 5. Montrer le Théorème 5 (R est complet) Toute suite réelle de Cauchy est convergente. [Indication : Avec Bolzano & Weierstrass, toute suite de Cauchy admet une valeur d adhérence notée l ; il suffit de montrer que la suite converge vers l...] 8

Exercice 27: (développement décimal illimité) 1. Soit une suite d entiers (a n ) n 1 telle que ( n 1) a n [0, 9]. Montrer que la suite (x n ) n N définie par récurrence { x 0 = 0 ( n N) x n+1 = x n + a n+1 10 (n+1) (24) converge vers un réel x [0, 1]. [Indication : calculer x n et montrer que (x n ) n N est une suite de Cauchy...] 2. Calculer x pour la suite (a n ) n 1 définie par a 1 = 4, puis a n = 9 pour tout n 2. 3. Calculer x pour la suite (a n ) n 1 définie par a n = 3 pour tout n 1. 4. Calculer x pour la suite (a n ) n 1 3-périodique définie par a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 3. 6 Fonctions : limite, continuité, dérivabilité Définition 6 (limite d une fonction, continuité) Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction de I vers R et soit x 0 I. On dit que f tend vers l R quand x tend vers x 0 si ( ɛ > 0)( η > 0)( x I) 0 < x x 0 < η = f(x) l ɛ. (25) Dans ce cas, on note lim f(x) = l, ou bien f(x) l. x x 0 x x 0 On dit que f est continue en x 0 si l énoncé (25) est satisfait pour l = f(x 0 ). On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point x 0 I. On remarquera que (25) ne demande pas que f soit définie en x 0. En revanche, f doit être définie sur I ]x 0 η, x 0 + η[\{x 0 } pour au moins un η > 0. Définition 7 (dérivabilité) Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction de I vers R et soit x 0 I. On dit que f est dérivable en x 0 s il existe un réel, qu on notera f (x 0 ), tel que f(x 0 + h) f(x 0 ) h h 0 f (x 0 ). (26) On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point x 0 I. On remarquera que (26) impose que f soit définie sur I ]x 0 η, x 0 + η[ pour au moins un η > 0, de sorte que la fonction h f(x 0+h) f(x 0 ) h soit définie pour 0 < h < η. On en déduira le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction, les théorèmes de Rolle et des accroissements finis, les théorèmes généraux de dérivabilité. Exercice 28: (limite infinie et/ou intervalle non borné) Proposer des définitions analogues à (25) pour l = + (resp. l = ) et x 0 = + (resp. x 0 = ) (encore cet abus de notation usuel!). 9

Exercice 29: (unicité de la limite éventuelle d une fonction en un point) Soient a, b R tels que a < b. Soit f : [a, b] R une application et soit x 0 [a, b]. Montrer qu il existe au plus un réel l tel que (25). Exercice 30: (caractérisation de la continuité en un point par les suites) Soient a, b R tels que a < b. Soit f : [a, b] R une application et soit x 0 [a, b]. Alors f est continue en x 0 si et seulement si pour toute suite u : N [a, b] telle que u n x 0, on a f(u n ) f(x 0). Exercice 31: (continuité et suites) On considère la fonction f : [ 1, 1] R définie par f(x) = 1 si x > 0 et f(x) = 0 si x 0. 1. Trouver une suite (u n ) tendant vers 0 et telle que f(u n ) 1. 2. Trouver une suite (v n ) tendant vers 0 et telle que f(v n ) 0. 3. Trouver une suite (w n ) tendant vers 0 et telle que la suite (f(w n )) ne converge pas. Exercice 32: (Théorème de la borne atteinte) Soient a, b R tels que a < b. Soit f : [a, b] R une application continue. Montrer que : 1. f est bornée : 2. f atteint ses bornes : ( M R)( x [a, b]) f(x) M (27) ( x 1, x 2 [a, b]) f(x 1 ) = Inf(Im(f)) et f(x 2 ) = Sup(Im(f)) (28) Exercice 33: (dérivable = continue) Montrer qu une fonction dérivable en x 0 est forcément continue en x 0, mais qu il existe des fonctions continues en x 0 qui ne sont pas dérivables en x 0. [Donner des exemples.] Exercice 34: (dérivée et variations) Soit f :]a, b[ R une application dérivable sur ]a, b[. Montrer que ( ) 1. f est croissante = ( x ]a, b[) f (x) 0. ( ) 2. f est décroissante = ( x ]a, b[) f (x) 0. ( ) 3. f est constante = ( x ]a, b[) f (x) = 0. 4. Donner un exemple de fonction dérivable strictement croissante sur ]a, b[ dont la dérivée s annule pourtant en un point de ]a, b[. Exercice 35: (Théorème de Rolle) Montrer le Théorème 8 (de Rolle) Soient a, b R tels que a < b. Soit f : [a, b] R une application continue. On suppose de plus que f(a) = f(b) et que f est dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ tel que f (c) = 0. 10

[Indication : Utiliser le théorème de la borne atteinte et montrer que la dérivée s annule en un extremum ]a, b[...] Exercice 36: (Théorème des accroissements finis) Montrer le Théorème 9 (des accroissements finis) Soient a, b R tels que a < b. Soit f : [a, b] R une application continue. On suppose de plus que f est dérivable sur ]a, b[. Montrer qu il existe c ]a, b[ tel que f (c) = f(b) f(a) b a. [Indication : On posera g(x) = f(x) f(a) f(b) f(a) b a (x a) pour se ramener au théorème de Rolle...] Faire un dessin, et interpréter tout cela graphiquement! Application : montrer les réciproques des trois implications de l Exercice 34. Exercice 37: (Théorèmes généraux de dérivabilité) Démontrer que 1. Si f et g sont dérivables en x 0, alors f + g est dérivable en x 0 et (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). 2. Soit λ R. Si f est dérivable en x 0, alors λf est dérivable en x 0 et (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ). 3. Si f et g sont dérivables en x 0, alors fg est dérivable en x 0 et (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). 4. Si f est dérivable en x 0 et si f(x 0 ) 0, alors 1 f est dérivable en x 0 et ( ) 1 (x 0 ) = f (x 0 ) f (f(x 0 )) 2. 5. Si f et g sont dérivables en x 0 et si g(x 0 ) 0,, alors f g est dérivable en x 0 et ( ) f (x 0 ) = g(x 0)f (x 0 ) g (x 0 )f(x 0 ) g (g(x 0 )) 2. 6. Si f est dérivable en x 0 et si g est dérivable en f(x 0 ), alors g f est dérivable en x 0 et (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). 7. Si f est dérivable en x 0 et si g est dérivable en f(x 0 ), alors g f est dérivable en x 0 et (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). 8. Si f est dérivable en x 0 et f (x 0 ) 0, si f est bijective, alors sa réciproque f 1 est dérivable en y 0 = f(x 0 ) et ( f 1 ) 1 (y0 ) = f (f 1 (y 0 )). 11

7 Topologie, compacité, continuité uniforme Le cadre général dans lequel les mathématiciens donnent un sens précis à ouvert, fermé, voisinage, compact, connexe, etc., est celui d espace topologique. Définition 10 (topologie) Ω désigne un ensemble (quelconque). Une topologie T sur Ω est un ensemble T de parties de Ω (on a donc T P(Ω)) vérifiant ces trois propriétés : (i) T et Ω T ; (ii) T est stable par réunion quelconque : ( α I, A α T ) = α I A α T ; (iii) T est stable par intersection finie : (Ω, T ) s appelle un espace topologique. (A T et B T ) = A B T Dans un espace topologique (Ω, T ), les éléments de T s appellent les ouverts et leurs complémentaires (dans Ω) s appellent les fermés. On dit que V Ω est un voisinage de a Ω s il existe U T tel que a U V. On désignera par V(a) l ensemble des voisinages de a. Comme tout ensemble, R peut être muni de (nombreuses) topologies. Parmi celles-ci, on distingue celle définie par la valeur absolue, qu on appelle la topologie usuelle de R. Le cadre des espaces topologiques est aussi celui de la continuité des applications. Définition 11 (continuité) Soit f : Ω Ω une application d un espace topologique (Ω, T ) vers un espace topologique (Ω, T ). On dit que f est continue en a Ω si pour tout voisinage V de f(a), son image réciproque par f, f 1 (V ) est un voisinage de a. ( V V(f(a)))( U T ) f(u) V (29) On dit que f est continue sur Ω si f est continue en tout point a Ω. On verra que pour la topologie usuelle de R, la notion de continuité en a R donnée par cette nouvelle définition coïncide avec celle déjà donnée ( ( ɛ > 0)... ). Dans un espace topologique, la compacité est une propriété recherchée car elle permet une réduction au cas fini. Définition 12 (sous-ensemble compact) Soit (Ω, T ) un espace topologique. On dit que K Ω est compact si, de tout recouvrement de K par des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini. 12

On verra (théorème de Borel & Lebesgue) que les sous-ensembles compacts de R sont ses sous-ensembles fermés et bornés. La continuité uniforme est une propriété qui s exprime seulement dans des espaces topologiques particuliers : les espaces métriques. R muni de sa topologie usuelle est un espace métrique, la distance est définie par d(x, y) = x y. Définition 13 (continuité uniforme) Soit I R. Soit f : I R une application. On dit que f est uniformément continue sur I si ( ɛ > 0)( η > 0)( x, x I) x x < η = f(x) f(x ) ɛ. (30) On verra (théorème de Heine) qu une application continue sur un compact I est uniformément continue sur I. Exercice 38: (les fermés en général) Soit (Ω, T ) un espace topologique. 1. Montrer que et Ω sont des fermés. 2. Montrer qu une intersection quelconque de fermés est encore un fermé. 3. Montrer qu une réunion finie de fermés est encore un fermé. Exercice 39: (La topologie usuelle de R) Pour tout a R et tout r > 0 on définit On définit ensuite B(a, r) = {x R : x a < r} =]a r, a + r[. (31) T déf = { U R : ( a U)( r > 0) B(a, r) U } (32) 1. Vérifier que T est une topologie sur R. 2. Montrer que tout a R et tout r > 0 on a B(a, r) T. 3. Montrer que ]0, 1[ T, et plus généralement que ]a, b[ T pour tous a, b R tels que a < b. 4. Soit a R. Montrer que ]a, + [ et ], a[ sont des ouverts. En déduire que [a, + [ et ], a] sont des fermés. 5. Soit a R. Montrer que V R est un voisinage de a si et seulement s il existe r > 0 tel que B(a, r) V. 6. Montrer que et R sont à la fois ouverts et fermés ; montrer que ce sont les seuls sousensembles de R à posséder cette propriété [(plus difficile ; on dit que R, muni de sa topologie usuelle, est connexe.)]. 7. Donner un exemple de famille d ouverts dont l intersection est un fermé. [Rép. exemple : ] 1 n, 1 + 1 [ = [0, 1]. ] n n 1 13

8. Donner un exemple de famille de fermés dont la réunion est un ouvert. [Rép. exemples : = ]0, 1[ ; x ]0,1[{x} [ 1 n, 1 1 ] = ]0, 1[. ] n n 1 Exercice 40: (La topologie induite sur un sous-ensemble de R) Soit A R. Montrer que déf = { U A : U T } (33) T A est une topologie sur A. On l appelle la topologie induite (sur A par la topologie usuelle de R. Attention : [0, 1] est un fermé pour la topologie usuelle de R, mais il est un ouvert pour la topologie induite sur lui-même. Exercice 41: (limite et continuité revisitées) Soit une application f : [a, b] R et soient x 0 [a, b] et l R. 1. Montrer que f(x) l si et seulement si l image réciproque de tout voisinage (dans x x 0 R) de l est un voisinage (dans [a, b]) de x 0 éventuellement privé de x 0. 2. Montrer que f est continue en x 0 si et seulement si l image réciproque de tout voisinage (dans R) de f(x 0 ) est un voisinage (dans [a, b]) de x 0. 3. Montrer que f est continue sur [a, b] si et seulement si l image réciproque de tout ouvert de R est un ouvert (de [a, b]). Exercice 42: (obstruction à la compacité) On munit R de sa topologie usuelle. 1. Soient a, b R tels que a < b. Montrer que l intervalle ]a, b[ n est pas compact. + ] [Indication : on pourra considérer le recouvrement ouvert ]a, b[= a + 1 n, b 1 [. ] n 2. Plus généralement, montrer qu un compact de R est fermé. [Indication : montrer que K c = R \ K est voisinage de chacun de ses points. ] 3. Soit a R. Montrer que l intervalle [a, + [ n est pas compact. [Indication : on pourra considérer le recouvrement ouvert [a, + [ n=1 + n=1 ]a 1, a + n[. ] 4. Plus généralement, montrer qu un sous-ensemble non borné de R ne peut être compact. Exercice 43: (caractérisation des compacts de R) On munit R de sa topologie usuelle. 1. Soient a, b R tels que a < b. Montrer que l intervalle [a, b] est compact. [Indication : par l absurde, dichotomie et théorème des intervalles emboîtés...] 2. Soit K un compact de R et soit F un fermé tel que F K. Montrer que F est compact. [Indication : ce résultat vaut pour un espace topologique (Ω, T ) quelconque...] 3. Montrer le Théorème 14 (Borel & Lebesgue) K R est compact si et seulement si K est fermé et borné. 14

Exercice 44: (théorème de Heine) Montrer le Théorème 15 (Heine) Soit K R un compact et soit f : K R une application continue sur K. Alors f est uniformément continue sur K. 8 Autour du lemme de Cousin Commençons par ces définitions utiles pour l intégrale de Kurzweil & Henstock 1. Soient a et b deux réels tels que a b. Une application δ : [a, b] ]0, + [ s appelle une jauge sur [a, b]. On notera J (a, b) l ensemble des jauges sur [a, b]. Définition 16 (subdivision pointée δ-fine) Une subdivision pointée D de [a, b] est un ensemble fini de couples ([a k, a k+1 ], x k ) vérifiant { a = a0 a 1 a n 1 a n = b (34) ( k [0, n 1]) x k [a k, a k+1 ] On notera D = {([a k, a k+1 ], x k ) : k [0, n 1]}. Les x k s appellent les points de marquage de D. On dit que la subdivision D est fine selon la jauge δ J (a, b), ou encore δ-fine, si ( k [0, n 1]) 0 a k+1 a k δ(x k ). (35) On désignera par F ine(δ, [a, b]), ou simplement F ine(δ) s il n y a pas ambiguïté, l ensemble des subdivisions pointées δ-fines de [a, b]. Pour tout intervalle de R et pour toute jauge δ sur cet intervalle, il existe des subdivisions δ-fines. C est ce qu affirme le lemme de Cousin. Lemme 17 (Cousin) Pour tout intervalle [a, b] et toute jauge δ J (a, b), il existe des subdivisions pointées δ-fines de [a, b], autrement dit : F ine(δ, [a, b]). En retour on verra que le lemme de Cousin entraîne (AxBS), l axiome de la borne supérieure. Le lemme de Cousin est donc une propriété caractéristique de R et, compte-tenu du pouvoir expressif des jauges, pourrait être pris à la base d un cours d analyse réelle. Exercice 45: (théorie des ensembles) A partir de l existence de l ensemble R, justifier dans le cadre de la théorie des ensembles (MT33), l existence de subdivisions pointées pour tout intervalle [a, b] où a, b R tel que a b. Exercice 46: (démonstration du lemme de Cousin par compacité) Utiliser la compacité de [a, b] pour démontrer le lemme de Cousin. 1. Et a fortiori pour l intégrale de Riemann! 15

Exercice 47: (lemme de Cousin et axiome de la borne supérieure) Soit (K, +, 0,, 1, ) un corps commutatif bien ordonné pour lequel le lemme de Cousin est valide. Montrer que K satisfait alors l axiome de la borne supérieure : (AxBS) toute partie non vide et majorée de K admet une borne supérieure. (36) Exercice 48: (forçage des points de marquage) Soient a, b R tels que a < b et soit c [a, b]. 1. Considérons la jauge δ c J (a, b) définie par ( x [a, b]) δ c (x) = 1 si x = c 1 2 x c si x c (37) Montrer que toute subdivision pointée δ c -fine de [a, b] admet c comme point de marquage. 2. Soit une jauge δ J (a, b) et soient c i [a, b] pour i [1, n]. Comment obtenir une subdivision pointée δ-fine de [a, b] qui admette c 1,..., c n comme points de marquage (parmi d autres éventuellement!)? Exercice 49: (le lemme de Cousin comme point de départ?) 1. Voyons d abord le pouvoir expressif de la notion de jauge. Vérifier ces énoncés : (a) f est continue sur [a, b] si, pour tout ɛ > 0, il existe une jauge δ J (a, b) telle que ( x, x [a, b]) x x δ(x) = f(x ) f(x) < ɛ. (38) (b) f est uniformément continue sur [a, b] si, dans l énoncé précédent, on peut choisir la jauge constante. (c) O R est ouvert s il existe une jauge δ J (a, b) telle que ( x O) ]x δ(x), x + δ(x)[ O. (39) 2. (théorème des valeurs intermédiaires) (a) Soit f : [a, b] R une fonction continue ne s annulant pas sur [a, b]. Montrer f(a)f(b) > 0 (i.e. f(a) et f(b) sont de même signe). (b) Soit I un intervalle de R et soit f : I R une fonction continue. Alors f(i) est un intervalle. 3. (théorème de Heine) Montrer qu une fonction continue sur [a, b] y est uniformément continue. Références bibliographiques [1] Jean-Yves Briend. Petit traité d intégration. Riemann, Lebesgue et Kurzweil-Henstock. EDP sciences, 2014. [2] Vincent Robin. R : Définition axiomatique & structures. MT34, UTC/HuTEX, Compiègne, Printemps 2017. https://sites.google.com/site/mt34techar/ [3] Lee Peng Yee et Rudolf Výborný. The Integral : An Easy Approach after Kurzweil and Henstock. Australian Mathematical Society Lecture Series 14. Cambridge University Press, 2000. 16