Lycée Hoche Versilles Automtique ystèmes comintoires Philippe Bourzc 2000
Automtique ystèmes comintoires AUTOMATIQUE YTEME COMBINATOIRE. Modèle de fonctionnement logique d un système comintoire. Définition : Un modèle de fonctionnement logique est un ensemle de reltions cusles qui trduisent le fonctionnement du système. Exemple : Modèle de fonctionnement logique d un système de gestion d un croisement. L figure suivnte représente une intersection entre une route principle et une route secondire. A O N E Des cpteurs de présence des voitures ont été plcés le long des voies : c et d pour l route principle ; et pour l route secondire. D C Les sorties de ces cpteurs sont à qund il y des voitures, à 0 qund il n'y en ps. B Les feux de circultion se trouvnt à cette intersection sont commndés pr les règles de décision suivntes : il y des voitures dns l voie C et dns l voie D Alors le feu E-0 est vert. il y des voitures dns l voie C ou dns l voie D et dns l voie A ou dns l voie B mis ps dns les deux Alors le feu E-0 est vert. il y des voitures dns l voie A et dns l voie B et dns l voie C ou dns l voie D mis ps dns les deux Alors le feu N- est vert. il y des voitures dns l voie A ou dns l voie B et ucune dns les voies C et D Alors le feu N- est vert. Reltion cusle : Une reltion cusle s écrit : i «cuse» Alors «effet». Proposition logique : «cuse» et «effet» sont des propositions logiques fisnt intervenir respectivement les entrées et les sorties du système. Une proposition logique est vrie ou fusse. Vriles inires : Pour simplifier l écriture du modèle de fonctionnement logique, on utilise des vriles inires ssociées à des propositions logiques. Proposition logique vrie Vrile inire ssociée Proposition logique fusse Vrile inire ssociée 0 Exemple : Assocition de vriles inires. il y des voitures dns l voie A v il y des voitures dns l voie B v il y des voitures dns l voie C vc il y des voitures dns l voie D vd le feu E-0 est vert E-0 le feu N- est vert N- Fonctions logiques : Pour simplifier encore l écriture du modèle de fonctionnement logique, on utilise l lgère de Boole qui nous permet d exprimer les sorties comme des fonctions logiques des entrées. MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires Exemple : Modèle de fonctionnement logique utilisnt des fonctions logiques. E-O si [vc ET vd] E-O si [(vc OU vd) ET (NON (v ET v))] N- si [v ET v ET (NON (vc ET vd))] N- si [(v OU v) ET (NON vc) ET (NON vd)] Donc : E-O [vc ET vd] OU [(vc OU vd) ET (NON (v ET v))] N- [v ET v ET (NON (vc ET vd))] OU [(v OU v) ET (NON vc) ET (NON vd)] 2. Le temps et les systèmes comintoires. L cuslité à temps nul des modèles logiques Les modèles logiques reposent tous sur une hypothèse temporelle fondmentle : l effet d une cuse se produit à l instnt même où l cuse pprît. Cette cuslité à temps nul est celle de l impliction mthémtique e e Temps de réponse des constitunts logiques 5 V e réelle Les composnts et les constitunts logiques réels, présentent, eux, un retrd entre cuse et effet. Ce retrd résulte de l conjonction de deux types de phénomènes physiques : un seuil de réction Ts (ex : rttrpge de jeu pour un constitunt mécnique; temps interne de tritement pour un constitunt progrmmle etc). un temps de chngement d étt Tm (temps de pssge, pour l sortie réelle, d une vleur initile à une vleur finle). On peut distinguer deux temps de réponse du constitunt : - Tm Ts Tm (temps de montée) - Td similire à Tm (temps de descente) 5 V e logique Tm réelle logique Ts Tm 3. Fonctions logiques comintoires. 3.. Définition. i à tout instnt l sortie d une fonction logique peut être exprimée pr une cominison de ses entrée e, e2,... : f(e, e2,...), on dit que cette fonction logique est comintoire. MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires 3.2. Tle de vérité d'une fonction logique. Définition : C est un tleu donnnt l'étt des sorties d'un modèle logique en fonction des étt possiles des entrées. Exemple : Entrées orties X Y 0 0 0 0 0 0 0 3.3. Opérteurs logiques de ses. 3.3.. L opérteur OUI e Tle de vérité Logigrmme U e Digrmme temporel e chém électrique 5 V 0 V e 3.3.2. L opérteur NON (e rre) Aussi ppelé : Fonction complément ou inverse. Tle de vérité Digrmme temporel e Logigrmme U e e MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires chém électrique 5 V 0 V /e 3.3.3. L opérteur ET Aussi ppelé : Produit logique Tle de vérité Digrmme temporel & Logigrmme U chém électrique 5 V 0 V 3.3.4. L opérteur OU Aussi ppelé : omme logique Tle de vérité Digrmme temporel Logigrmme U MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires chém électrique 5 V 0 V 3.3.5. L opérteur OU EXCLUIF Tle de vérité Digrmme temporel Donc Logigrmme U chém électrique 5 V / 0 V / 3.3.6. L opérteur IDENTITE Aussi ppelé : Opérteur Eglité Tle de vérité Logigrmme U Donc MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires chém électrique 5 V 0 V / / 3.4. Propriétés des fonctions logiques de se. Commuttivité :.. Associtivité : (.).c.(.c) ()c(c) Distriutivité :.(c)(.)(.c) (.c)().(c) Eléments neutres : 0.00. Asorption :. Idempotence :. Complémenttion : /./0 Remrque : l opérteur ET est prioritire pr rpport à l opérteur OU. 3.5. Théorèmes de De MORGAN. 3.5.. er théorème : Fonction NON OU (NOR). Le complément d une somme logique de plusieurs vriles est égl u produit du complément de chcune des vriles. Exemple : Tle de vérité Logigrmme U chém électrique 5 V 0 V R /r MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires 3.5.2. 2 ème théorème : Fonction NON ET (NAND). Le complément d une produit logique de plusieurs vriles est égl à l somme du complément de chcune des vriles. Exemple : Tle de vérité Logigrmme & U chém électrique 5 V 0 V R /r 3.5.3. Intérêt des théorèmes de De Morgn. Toute fonction logique peut-être rélisée en utilisnt uniquement des cellules NOR ou NAND. Cel permet de réduire les types de composnts nécessires et d optimiser les circuits électroniques retenus. En effet, sur un circuit électronique, on trouve générlement un minimum de qutre cellules identiques. Les opérteurs NOR et NAND sont dits complets. Exemple : Rélistion du circuit n utilisnt que des cellules NOR. Logigrmme correspondnt : Rélistion du circuit n utilisnt que des cellules NAND. Logigrmme correspondnt : & & & 3.6. Fonctions logiques d une vrile. Il s git de lister toutes les fonctions logiques d une vrile. MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires Pour les 2 étts différents (0 et ) de l entrée, l sortie peut prendre les vleurs 0 ou. Il existe donc. 2 2 4 fonctions logiques d une vrile : ( ) e 0 0 0 0 Fonction nulle 2 0 2e Fonction OUI 3 0 3/e Fonction NON 4 4 Fonction unité 3.7. Fonctions logiques de deux vriles. Pour les 4 étts différents des entrées, l sortie peut prendre les vleurs 0 ou. Il existe donc 4 2 6. fonctions logiques de 2 vriles différentes : ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Nulle 2 0 0 0 2 Et 3 0 0 0 3 Inhiition 4 0 0 4 5 0 0 0 5 Inhiition 6 0 0 6 7 0 0 7 Ou Exclusif 8 0 8 Ou 9 0 0 0 9 Nor 0 0 0 0 Identité 0 0 2 0 2 Impliction 3 0 0 3 4 0 4 Impliction 5 0 5 Nnd 6 6 Unité 3.8. Expressions cnoniques d une fonction logique. Elles sont utilisées pour trouver l expression logique d une fonction à prtir de l tle de vérité. 3.8.. omme de produits cnoniques. Toute fonction d une vrile s écrit : ( ) Exemple : ( ) Toute fonction de deux vriles s écrit : ( ) Exemple : ( ) 3.8.2. Produit de sommes cnoniques. Toute fonction d une vrile s écrit : ( ) [ ][ ] Exemple : [ ][ ] MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires Toute fonction de deux vriles s écrit : ( ) [ ][ ][ ][ ] Exemple : [ ][ ][ ][ ] [ ][ ] 4. implifiction des fonctions logiques. 4.. Le code GRAY. Le code Gry, encore ppelé code inire symétrique ou réfléchi, permet de coder les nomres en utilisnt les chiffres inires 0 et. Le codge est tel que : Il permet de psser d un nomre u suivnt ou u précédent en ne chngent d étt qu un seul digit de l expression. Des «symétries» dns le code conduisent à l même remrque pour deux nomres «symétriques». Le tleu suivnt donne l correspondnce vec les nomres inires nturels, décimux et hexdécimux : Hexdéciml Déciml Binire Gry 6 0 0 0 0 2 3 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 6 0 6 0 0 0 0 7 0 7 0 0 0 0 8 0 8 0 0 0 0 0 9 0 9 0 0 0 A 0 0 0 B 0 0 C 2 0 0 0 0 D 3 0 0 E 4 0 0 0 F 5 0 0 0 4.2. Tleu de KARNAUGH d une fonction logique. C est une tle de vérité mtricielle de l fonction logique. Le codge des lignes et des colonnes se fit selon le code gry. Les cses de l mtrice contiennent l étt de l fonction logique. Exemple : (! )!! 0 0 0 0 c d 0 0 0 0 0 0 0 0 4.3. implifiction pr l méthode de KARNAUGH. On exploite les prticulrités du code Gry. oit un système à q entrées. On considère les regroupements de 2 n cses «symétriques» à l étt dns le tleu de Krnugh. Chque regroupement représente le produit logique des (q-n) vriles MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires d entrée qui ne chngent ps d étt. Les utres vriles sont indifférentes pour le regroupement considéré. Remrques : Les regroupements peuvent se superposer. Il fut prendre en compte, pr des regroupements, l ensemle des cses à l étt. Il fut chercher les regroupements les plus gros. Ils donnent des produits logiques les plus simples. En risonnnt sur les cses à l étt 0, on otient l expression du complément de l fonction considérée. Exemple : c d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (!) 5. Rélistion prtique des opérteurs logiques de se. 5.. Technologie électrique. 5... Le relis électromgnétique. Le relis électromgnétique (ou plus simplement relis) est utilisé pour réliser des réseux à contcts. Le schém de principe d'un relis est donné figure. Il est constitué d'un électro-imnt et d'une rrette moile qui supporte des pires de contcts (une seule pire est représentée sur le schém). Ces pires de contcts sont donc couplées mécniquement, mis elles sont électriquement indépendntes. Chque pire est constituée de deux contcts qui ont un point commun. On distingue le contct trvil et le contct repos (cf. figure.). Il y deux types de ornes électriques : les 2 ornes d'limenttion de l oine, notées A et A 2, les 3 ornes de chque pire de contcts, notées, 2, et 3. Lorsqu'un cournt électrique trverse l oine (ornes A et A 2 sous tension), l prtie moile est ttirée et le contct trvil est fermé (un cournt électrique peut circuler entre les ornes et 3 ), tndis que le contct repos est ouvert (ucun cournt ne peut circuler entre les ornes 2 et 3 ). Lorsqu'ucun cournt ne trverse l oine, l prtie moile est rppelée pr le ressort et le contct trvil est ouvert, tndis que le contct repos est fermé. MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires Dns un schém électrique de réseux de contcts, on dopter l'une des deux conventions représentées sur l figure 2 dns lquelle représente un contct trvil et / un contct repos. Exemples : ur le schém de l figure 3, l lmpe ser llumée si, c'est-à-dire si le contct trvil est fermé et, pour cel, si l oine A (non représentée ici) est limentée (A ). On donc rélisé l fonction logique L. Pr contre, sur le schém de l figure 3, l lmpe ser llumée si /, ou 0, c'est-à-dire si le contct repos est fermé et, pour cel, si l oine A n'est ps limentée (A 0). On rélisé l fonction L /. Remrque : Nous vons volontirement distingué l'limenttion de l oine et de s commnde de celle de l lmpe. Cel correspond à l rélité de nomreuses pplictions. En effet, le relis est ussi un mplificteur de puissnce, et, pr exemple, l'limenttion de l oine pourr se fire en sse tension, lors que celle de l lmpe se fer sous une tension eucoup plus élevée. De plus, ces tensions peuvent être continues ou lterntives. 5..2. Opérteurs de se (ET, OU). Avec des contcts, on rélise simplement les opérteurs de se. Dns le réseu de l figue 4, l lmpe s llume si et seulement si les deux contcts et sont fermés. Ce réseu rélise donc l fonction L.. Dns le réseu de l figue 4, l lmpe s llume si et seulement si l un des deux contcts ou u moins est fermé. Ce réseu rélise donc l fonction L. 5.2. Technologie électronique. Les systèmes digitux modernes, tels que ceux que l on trouve dns les ordinteurs, sont constitués d un très grnd nomre de composnts qui contiennent chcun un très petit nomre d éléments différents. Ces éléments de se sont les portes logiques. Elles ont un nomre fixé d entrées et rélisent une opértion logique sur ces entrées. Afin de pouvoir réliser n importe quelle expression logique, il fut disposer d un ensemle de portes cples de réliser toutes les opértions de l lgère inire. Le premier ensemle qui vient nturellement à l esprit est constitué des trois opérteurs de se de l lgère inire : NON, ET, OU. Nous verrons églement qu il existe d utres ensemles, plus réduits et surtout eucoup plus utilisés, qui permettent églement de réliser toutes les fonctions logiques ; ce sont les opérteurs NAND et NOR. 5.2.. Le trnsistor. Le module de se de l technologie électronique est le trnsistor (figure 5). Les trois électrodes sont (figure 6) : L émetteur E ; L se B Le collecteur C. MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires L flèche indique toujours l émetteur. Les sens de l flèche permet de reconnître le type : NPN (ne pénètre ps) ou PNP (pénètre) Fonctionnement : Le cournt collecteur IC dépend du cournt se IB (figure 7 et 8). Fisons vrier le cournt se IB et notons les vritions correspondntes de IC. Trnsistor sturé : à prtir d une certine vleur de IB, le cournt IC se stilise et reste constnt, même si IB continue à croître. Le trnsistor conduit totlement, il se comporte comme un interrupteur fermé. On dit qu il est sturé (VCE 0). Trnsistor loqué : pour un cournt IB nul, le cournt collecteur est églement nul. Le trnsistor se comporte comme un interrupteur ouvert. On dit qu il est loqué (VCE VCC). Utilistion en composnt logique (figure 9) est l vrile d entrée et l fonction de sortie. i 0, U CE 5 v (le trnsistor est loqué) et ; i, U CE 0, à 0,8 v (le trnsistor est sturé) et 0. Dns ces conditions de rnchement, un trnsistor se comporte donc comme une fonction NON. 5.2.2. Opérteurs NAND et NOR. Le trnsistor, module de se, permet de constituer, sous forme intégrée, différentes fonctions logiques ppelées portes. Les plus utilisées sont les portes NAND et NOR : Dns le réseu de l figure 0, l sortie est ctive si ou est ouvert. Ce réseu rélise donc l fonction : MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires Dns le réseu de l figure, l sortie est ctive si et sont ouverts. Ce réseu rélise donc l fonction : 5.2.3. Les composnts technologiques. Les composnts élémentires (trnsistors, résistnces ) peuvent être montés sur une crte et constituer insi un circuit imprimé. L soudure de ces composnts est cependnt longue et délicte, ussi préfère-t-on utiliser des circuits intégrés miniturisés. Il sont emrochles et comportent générlement plusieurs portes. Exemples : MPI-PCI Pge
Automtique ystèmes comintoires 5.3. Technologie pneumtique. (D près Télémécnique) MPI-PCI Pge