Les objectifs sont les suivants :

Info Exercices 5 Analyse numérique Les objectifs sont les suivants : création de graphiques sous Python ; mise en œuvre des méthodes étudiées dans le cours d analyse numérique réelle (résolution d équations scalaires, d équations différentielles et calcul intégral) ; Introduction à l analyse numérique matricielle (méthode du pivot pour un système de matrice inversible et méthodes itératives) 5 Analyse numérique 1 1 Suites récurrentes 2 2 Résolution approchée d une équation scalaire 2 3 Calcul intégral approché 4 4 Résolution approchée d une équation différentielle 4 5 Analyse numérique matricielle 5

Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune,,, et Certains énoncés sont tirés des annales des concours (oral et écrit) ; leur provenance est le plus souvent précisée Les exercices notés et sont particulièrement délicats 1 Suites récurrentes 1 [ Suites récurrentes ] ( ind ) Soient f : I I une fonction continue avec I vrai intervalle de R a) Écrire une fonction iteration(f,c,n) effectuant le tracé sur une même fenêtre graphique des graphes des fonctions f, x x et des n premiers escaliers d itération de la suite récurrente définie par u 0 = c et n N, u n+1 = f (u n ) b) Tester la fonction iteration sur les deux exemples suivants : u n+1 = 2 1 + un 2, u n+1 = 6 2 + un 2 2 [ Fractales ] ( ind ) On considère les suites définies par u 0 = c C, n N, u n+1 = u 2 n + c a) On note (m, M) = (30, 30) Construire la fonction f(c) d argument c renvoyant le plus petit entier k m tel que u k > M s il existe, l entier m + 1 sinon b) Construire le tableau des valeurs f (x + i y) où x prend 301 valeurs comprises entre 2 et 0,5 et y prend 301 valeurs entre 1,25 et 1,25 Tracer l image que code ce tableau On pourra utiliser les fonctions imshow et show de la sous-bibliothèque matplotlibpyplot c) On obtient un tracé approximatif de l ensemble de Mandelbrodt : {c C; (u n ) est bornée} Comment modifier les paramètres précédents pour améliorer la résolution du tracé? 2 Résolution approchée d une équation scalaire 3 [ Résolution approchée d une équation par dichotomie ] ( ind ) Appliquer l algorithme de résolution par dichotomie pour déterminer des valeurs approchées à 10 4 - près deux solutions de l équation xe x = 0,3 On commencera par effectuer un tracé de la fonction x xe x 4 [ Méthode de Newton ] ( ind ) Écrire une fonction approx(eps) calculant une valeur approchée à eps-près de l unique racine réele de x 3 2x 5 = 0 par la méthode de Newton LLG PCSI 2 Info Exercices 5 2

5 [ Minimisation par bissection ] ( ind ) Soient I un intervalle de R et f : I R une fonction On suppose qu il existe un réel α I tel que f soit strictement décroissante sur ],α] I et strictement croissante sur I [α,+ [ Le but de cet exercice est de mettre en œuvre un algorithme permettant de calculer α On suppose connus deux nombres réels a < b tels que α [a,b] a) On s inspire dans cette question de la méthode de résolution approchée d une équation par dichotomie Le principe est d itérer la séquence qui suit : On pose x g = a, x m = a + b et x d = b 2 Calculer les milieux m 1 et m 2 de [x g, x m ] et [x m, x d ] On pose A = min(f (x g ), f (m 1 ), f (x m ), f (m 2 ), f (x d )) Si A = f (x g ) ou A = f (m 1 ) alors x d = x m et x m = m 1 Sinon si A = f (x m ) alors x g = m 1 et x d = m 2 Sinon x g = x m et x m = m 2 i) Écrire une fonction minbissection(f,a,b) renvoyant une valeur approchée de α à 10 4 - près ii) Tracer le graphe de la fonction ci-dessous sur [ 1, 0] puis déterminer une valeur approchée du point en lequel elle atteint son maximum global : f : x R x 8 exp(x) b) On suppose à présent que I = R et que a et b ne sont pas donnés Écrire une fonction bornesadmissibles(f) renvoyant un couple (a,b) de réels tels que α [a,b] c) Trouver le maximum sur R de la fonction ( ) 1 g : x exp exp(x/1000) + 1 + (x/1000) 2 6 [ Minimisation par descente de gradient ] ( ind ) Soit f : R R une fonction dérivable On suppose qu il existe un réel α tel que f soit strictement décroissante sur ],α] et strictement croissante sur [α,+ [ Le but de cet exercice est de mettre en œuvre un algorithme permettant de calculer α Le principe est de construire, à partir d un point x 0 initialement choisi, une suite (x k ) qui converge vers α a) On recherche une suite vérifiant x k+1 = x k +δf (x k ) pour tout k N où δ est un réel fixé On arrête l algorithme dès que x k+1 x k / x k 10 5 i) Quel doit-être le signe de δ? ii) Écrire une fonction mingradientpasconstant(f,df,x0,delta) prenant en argument une fonction f, sa dérivée df, un réel x 0, un pas delta et renvoyant une valeur approchée de α selon cet algorithme iii) Tracer le graphe de la fonction ci-dessous sur [ 1, 0] puis déterminer une valeur approchée du point en lequel elle atteint son maximum global : f : x R x 8 exp(x) b) Dans cette question, on suppose de plus que f est deux fois dérivable avec f > 0 On considère cette fois-ci la suite vérifiant x k+1 = x k + δ k f (x k ) pour tout k N où δ k = 1/f (x k ) On choisit le même test d arrêt qu à la question précédente i) Quel algorithme retrouve-t-on? LLG PCSI 2 Info Exercices 5 3

ii) En déduire une fonction mingradientpasoptimal(f,df,ddf,x0) renvoyant une valeur approchée de α c) Comparer les vitesses de convergence des deux méthodes sur la fonction suivante : g : x [0,1] e x 2x On pourra utiliser la fonction time du module time 3 Calcul intégral approché 7 [ Trapèzes et rectangles ] ( ind ) Comparer les vitesses de convergence des méthodes rectangles et des trapèzes sur l exemple suivant : 1 0 exp ( t 2) dt 4 Résolution approchée d une équation différentielle 8 [ Méthode d Euler ] ( ind ) Appliquer la méthode d Euler pour tracer des approximations sur [0, 1] de l unique solution des problèmes de Cauchy suivants : a) y = y 2 x 2, y(0) = 1 (équation scalaire d ordre un) ; { x = y(1 x) b) y, x(0) = 3, y(0) = 3 (équation vectorielle d ordre un) ; = x(2 y) c) y = sin(y), y(0) = 0, y (0) = 1 (équation scalaire d ordre deux) ; 9 [ Équation du pendule simple ] ( ind ) Le but de cet exercice est d étudier le comportement des solutions de l équation différentielle y + sin(y) = 0 vérifiant une condition initiale de la forme y(0) = 0 et y (0) = y 0 R Pour cela, on écrit l équation sous forme vectorielle : X = F(X), où X = (y, y ) et F : (u, v) (v, sin(u)) sur l intervalle I = [0,L] avec L > 0 et on appliquera la méthode d Euler de résolution approchée d une équation différentielle On rappelle que la solution approchée à n + 1 points est donnée par le polygône d Euler M 0 M 1 M n où M i (u i, v i ) avec u 0 = 0, v 0 = y 0, i {0,,n 1}, (u i+1, v i+1 ) = (u i, v i ) + L n F(u i, v i ) Ce polygône est une approximation de la courbe paramétrée t [0,L] ( y(t), y (t) ) a) Écrire une fonction euler(dy0,l,n) renvoyant sous forme d un tuple les listes [u 0,,u n ] et [v 0,, v n ] pour y 0 = dy0 b) Tracer quelques polygônes d Euler pour la condition initiale y 0 = 1 et pour plusieurs valeurs des paramètres n et L Que conjecture-t-on concernant la solution exacte y? LLG PCSI 2 Info Exercices 5 4

c) Tracer l approximation du graphe de t [0,L] y(t) donnée par le polygône d Euler pour y 0 = 0,5, n = 10000 et L = 10 d) Pour λ [0,1,9], on note f λ l unique solution de y + sin(y) = 0 vérifiant les conditions initiales y(0) = 0 et y (0) = λ i) Vérifier au moyen d un tracé que les f λ sont périodiques ii) Tracer le graphe de la fonction τ : λ [0,1,9] période de f λ 5 Analyse numérique matricielle 10 [ Introduction au calcul matriciel sous Python ] ( ind ) Il existe de nombreuses manières de coder les matrices sous Python Nous utiliserons le type array du module Numpy La syntaxe est A=array([[1,2],[3,4]],dtype=float) pour créer une matrice de M 2 (R) Attention, il faut préciser qu on travaille en arithmétique flottante afin d éviter des erreurs d interprétation On accède aux coefficients par A[i,j] Le «slincing» est possible et régit par les même r gles que dans le cas des listes Les opérations usuelles sont obtenues pat A+B, t*a et numpydot(a,b) On peut créer des matrices nulles par numpyzeros([n,p]) et les matrices identitées par numpyeye(n) 2 3 5 1 0 0 a) Créer les matrices M = 3 3 4 et N = 0 2 0 2 6 02 0 5 3 b) Calculer M + N, MN et M 20 c) La copie de matrices du type array de numpy i) Enregister la matrice I 3 dans une variable A ii) Effectuer L=A[0,:] puis effectuer B=A et B[0,0]=-1 Observer la modification de L iii) Effectuer L=numpycopy(A[0,:]) puis effectuer B=A et B[0,0]=-1 Observer L iv) Effectuer la séquence suivante : L=A[0,:], A=3*A Observer L et expliquer le résultat obtenu 11 [ Résolution par pivot de Gauss ] ( ind ) L objectif de cet exercice est d implémenter la résolution numérique d un système linéaire AX = B avec A GL n (R) et B M n,1 (R) La méthode a été décrite et justifiée dans le cours de mathématiques : on triangularise la matrice augmentée du système M := (A B) par opérations élémentaires (transvections et permutations), puis on résout le système triangulaire «en remontant» a) Écrire des fonctions perm(m,i,j) et trans(m,i,j,t) transformant la matrice M en effectuant respectivement les opérations L i L j et L i L i + tl j b) Écrire une fonction trouverpivot(m,j) renvoyant un indice de ligne i j tel que M i,j 0 Afin de minimiser les erreurs d arrondis, on fera le choix d un coefficient maximal en valeur absolue c) Écrire une fonction echelon(m) renvoyant une matrice échelonnée obtenue en appliquant l algorithme du pivot à M LLG PCSI 2 Info Exercices 5 5

d) Écrire une fonction resol(m) revoyant sous la forme d une matrice n 1 l unique solution du système de matrice augmentée M e) Tester la fonction resol sur le système f) Quelle est la complexité de la fonction resol? 025x + y + z + t = 3 x + y + 14z + t = 4 2x + 3y + 4z + 5t = 6 x + 2y + 3z + 4t = 1 12 [ Méthode de Jacobi ] ( ind ) Soient A = (a i,j ) M n (R) et B M n,1 (R) On suppose que i 1,n, a i,i > n ai,j On pose D = Diag(a 1,1,, a n,n ) et T = D A On sait que A est inversible (cf le TD de calcul matriciel) Le but de cet exercice est de mettre en œuvre un algorithme itératif de résolution approchée du système linéaire AX = B d inconnue X M n,1 (R) On note X 0 l unique solution de ce système et, pour toute matrice X = (x i ) M n,1 (R), on pose X = max 1 i n x i On note M = D 1 T, N = D 1 B et on considère la suite de vecteurs (v k ) définie par : j =1 j i v 0 = 0 M n,1 (R), k N, v k+1 = Mv k + N a) Vérifier que X 0 est l unique solution de l équation X = MX + N d inconnue vectorielle X M n,1 (R) b) On admet que (v k ) converge Que vaut sa limite? c) Écrire une fonction normeinf(x) renvoyant X pour une matrice carrée X d) En déduire une fonction methodeiterative(a,b) renvoyant une valeur approchée de X 0 On arrêtera d itérer dès que X k+1 X k 10 5 e) Calculer une valeur approchée de AX = B où n = 10 et 3 1 0 0 0 1 1 3 1 0 0 0 1 3 1 0 A =, B = 1 0 0 1 3 1 f) Rappeler l ordre de grandeur de la complexité temporelle de l algorithme de résolution de AX = B par la méthode du pivot de Gauss Comparer avec la méthode précédente LLG PCSI 2 Info Exercices 5 6

13 [ Méthode de Gauss-Seidel ] ( ind ) Soient A = (a i,j ) M n (R) et B M n,1 (R) On suppose que i 1,n, a i,i > n ai,j On note S et I les seules matrices respectivement strictement triangulaire supérieure et triangulaire inférieure telles que A = I S On sait que A est inversible (cf le TD de calcul matriciel) Le but de cet exercice est de mettre en œuvre un algorithme itératif de résolution approchée du système linéaire AX = B d inconnue X M n,1 (R) On note X 0 l unique solution de ce système et, pour toute matrice X = (x i ) M n,1 (R), on pose X = max 1 i n x i On note M = I 1 S, N = I 1 B et on considère la suite de vecteurs (v k ) définie par : On admet que la suite (v k ) converge vers X 0 j =1 j i v 0 M n,1 (R), k N, v k+1 = Mv k + N a) Écrire une fonction normeinf(x) renvoyant X pour une matrice carrée X b) Écrire une fonction resolinf(r,y) renvoyant l unique solution d un système linéaire RX = Y d inconnue X où R est une matrice triangulaire inférieure inversible c) En déduire une fonction methodeiterative(a,b) renvoyant une valeur approchée de X 0 partant du vecteur nul On calculera v k+1 en résolvant le système IX = Sv k + B et on arrêtera d itérer dès que X k+1 X k 10 5 d) Calculer une valeur approchée de AX = B où n = 10 et 5 1 0 0 0 1 2 5 1 0 0 0 2 5 1 0 A =, B = 1 0 0 2 5 1 LLG PCSI 2 Info Exercices 5 7