Les équations différentielles de type y = ay + b avec a et b réels! Comment résoudre une équation différentielle de type y = ay + b? On s assure qu elle est de la forme y = ay + b On applique les formules selon que a = 0 ou non. o Si a = 0, solutions affines de la forme bx + c o Si a non nul, solutions de la forme ke ax b a Comment résoudre une équation différentielle vérifiant une condition initiale donnée? On cherche d abord toutes les solutions de l équation différentielle donné en fonction d un paramètre k, puis On traduit la condition initiale par une équation d inconnue k à résoudre.
Les fonctions Comment peut-on montrer qu une fonction est continue? si c`est en un point a, on applique la définition : f est continue en a si elle est définie en a et lim f(x) = f(a). x a si c`est sur un intervalle, on applique les théorèmes généraux; à l`aide des fonctions de référence, du genre «f est continue sur I comme somme de fonctions continues sur I, ou comme quotient de fonctions continues sur I. avec dénominateur non nul, ou». on montre qu`elle est dérivable. si graphiquement on suit la courbe sans lever le crayon Comment peut-on montrer qu une fonction est dérivable? si c`est en un point a, on applique la définition : f est dérivable en a si son taux f(a+h)-f(a) d accroissement en a admet une limite (lim existe et est finie c est f (a)) h o h si c`est sur un intervalle, on applique les théorèmes généraux à l aide des fonctions de référence. si graphiquement sa courbe admet en tout point une tangente non verticale. Comment peut-on étudier les variations d une fonction? on étudie le signe de sa dérivée on applique les règles de composition Comment peut-on étudier le signe d une fonction? On la factorise et on utilise les règles de signe des fonctions affines (ax + b) ou des fonctions trinômes. On fait une résolution directe d inéquation, lorsque par exemple on travaille avec les fonctions exp ou ln sachant que exp(x) > 0 pour tout réel x et ln (x) < 0 sur ]0 ;1[. Dans certains cas, on pourra se servir des variations de f pour étudier son signe.si par exemple f est croissante sur R avec f(1) = 0 alors f est négative avant 1 et positive après. Comment reconnaître une forme indéterminée? Il en existe 4 cas : «-» ; «0» ; «0 0» ; Comment peut-on lever une forme indéterminée en l infini? On applique la règle des fonctions rationnelles : «en l infini, la limite d une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses termes de plus degré». Si on est en présence de fonctions ln ou exp, on applique les croissances comparées : se rappeler que, «en l infini, l exponentielle l'emporte sur toute puissance de x», et «en l infini, toute puissance de x l'emporte sur le logarithme». Comment peut-on lever une forme indéterminée en a (fini)? On reconnaît un taux de variation On factorise par x - a numérateur et dénominateur On multiplie par la quantité conjuguée...
Comment déterminer les asymptotes à une courbe C f? Asymptote verticale lim f(x) = + ou - la droite verticale d équation x = a est x a alors asymptote à C f Asymptote horizontale lim x oo asymptote à C f en Asymptote oblique lim x oo alors asymptote à C f en f(x) = b la droite horizontale d`équation y = b est alors [f(x) - (ax+b)] = 0 : la droite d`équation y = ax + b est Comment étudier la position de deux courbes? On étudie le signe de la différence f(x) - g(x) o si f(x) - g(x) > 0 sur I. alors C f est au dessus de C g sur I, o si f(x) - g(x) < 0 sur I. alors C f est au dessous de C g sur I, o si f(x) - g(x) = 0 en x 0, alors C f et C g sont sécantes au point d`abscisse x 0 Comment montrer qu une équation admet au moins une solution? on la résout algébriquement si on ne peut pas algébriquement, on applique le théorème des valeurs intermédiaires. on l`aborde graphiquement en cherchant les abscisses des points d`intersection des deux courbes.
Intégration. Comment peut-on déterminer une primitive? On nous donne une fonction F possible donc il suffit de la dériver et de comparer à f On reconnaît une formule de référence du style u'u n, u 'e u... (voir tableau). On applique une intégration par parties. Comment peut-on calculer une intégrale f? On détermine une primitive F de f et a b f(x) dx = F(b) - F(a). On se rappelle que 1`intégrale correspond à une aire algébrique On peut utiliser la relation de Chasles : a c f(x) dx = a b f(x) dx + b c f(x) dx On peut utiliser la linéarité : b [f(x)+g(x)] dx = a b f(x) dx + a b g(x) dx a et a b k f(x) dx = k a b f(x) dx Comment peut-on montrer des inégalités avec des intégrales? Pour monter que b f(x) dx < a b g(x) dx, on peut monter que sur [ab], f(x) < g(x). a Pour monter que ab f(x) dx 0, on peut monter que sur [a,b], f (x) 0. Inégalité de la moyenne : o si m f(x) M sur [a ;b] alors m(b a) ab f(x) dx M(b a) Comment peut-on calculer une aire sous une courbe? On détermine le domaine et le signe de la fonction. o Si f(x) 0 pour a x b alors aire = a b f(x) dx Comment une intégrale par la méthode d intégration par parties? On l utilise si on ne connaît pas directement une primitive de la fonction à intégrer. (En principe cette méthode est indiquée par l énoncé). Dans tous les cas, il s agit d un produit de fonctions. Il faut bien choisir u et v pour appliquer la formule. En général elle est utile quand l un des facteurs est une fonction sin ou cos ou exp ou ln. Formule : u v' = [uv] - u' v
Probabilités. Comment dresser un arbre pondéré (en probabilité conditionnelle)? Bien lire l énoncé qui le plus souvent donne des p(a), p(b), P A (B), Comment calculer une probabilité p(a)? On regarde s`il elle est donnée dans l`énoncé. nombre de cas favorables à A On applique la formule p(a) = nombre de cas possibles Dans le cadre des probabilités conditionnelles, on applique la formule des probabilités totales : p(a) = p(b 1 A) + p( B 1 A) + p(b 2 A) + p( B 2 A) Comment calculer une probabilité P B (A)? On regarde s`il elle est donnée dans l`énoncé. p(b A) On applique la formule p(b) Comment calculer une probabilité p(a B)? On regarde s`il elle est donnée dans l`énoncé. Si on a un arbre, on multiplie les probabilités au dessus de la branche où apparaissent A et B. Autrement dit, on applique la formule : o p(a B) = p(a) p A (B) ou p(b) p B (A) Si A et B sont indépendants. on applique la formule p(a B) = p(a) p(b). Comment calculer une probabilité dans le cas d expériences répétées? Si p est la probabilité de réaliser un événement lors d une expérience aléatoire, la probabilité de réaliser n fois cet événement lorsqu on répète n fois de suite de façons indépendantes l expérience, est p n Comment déterminer la loi d une variable aléatoire? On tente de reconnaître une loi classique : loi de Bernoulli, loi binomiale, Sinon. on cherche les valeurs k que peuvent prendre la variable aléatoire et on donne tous les P(X = k). Comment reconnaît-on une loi binomiale? on repère des mots clés dans l'énoncé, par exemple : «X la variable aléatoire qui compte le nombre de..», «on répète de manière identique et indépendante l expérience...» si au cours d`un énoncé on étudie la probabilité qu`une pièce soit défectueuse, puis un peu plus loin, on étudie le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 10 suggère aussi un schéma de Bernoulli. Comment déterminer une moyenne ou une espérance d une variable aléatoire discrète? Si c`est une loi binomiale de paramètre n et p, on a E(X) = n p Dans tous les cas E(X) = k P(X = k) où k parcourt l`ensemble des valeurs prises k par la variable aléatoire.
Comment calculer une probabilité pour une loi continue de densité f? P(a X b) = a b f(x) dx P(X b) = P(X < b) P(X b)=1 - P(X < b) Si X est continue sur R, alors P(X = a) = 0
Nombres complexes. Comment passer d une écriture algébrique à l écriture trigonométrique et réciproquement? Dans z = a + ib, o on calcule z = a² + b² o on factorise z par z, z = z ( a z + i b z ) o on cherche θ tel que cos θ = a z b et sin θ = z o z = z e iθ o Dans z = r e iθ o on calcule z = r(cosθ + i sinθ) = rcosθ + i rsinθ Comment interpréter le quotient Z = z B - z I z A - z I? On passe au module : Z = z B - z I z A - z = IB I IA o si IB = 1 alors AIB est isocèle en I. IA On passe à l`argument: arg(z) = arg z B - z I z A - z I o Si ( IA, IB ) = π alors AIB est rectangle en I. 2 = ( IA, IB ) [2π] Comment montrer que le triangle AIB est rectangle en I? On calcule Z = z B - z I et on montre que Z est imaginaire pur, c'est-à-dire Z = k i où z A - z I k est un réel. On calcule IA = z A z I, IB = z B z I, BA = z B z A et on applique la réciproque de Pythagore. On détermine les affixes des vecteurs IA (z A z I ) et IB (z B z I ), puis leurs coordonnées cartésiennes donc sans i! et on calcule le produit scalaire. Comment déterminer un ensemble de points (dans le plan) tel que...? Si on voit des M un peu partout dans l écriture, on fait intervenir les barycentres pour se ramener à quelque chose de la forme GM = k ou AM = BM. o Pour GM = k, k >0, on a le cercle de centre G et de rayon k, o Pour AM = BM, on a la médiatrice de [AB]. Si on a o ( MA, MB) = 0 [2π] alors M (AB) privée de [AB] o ( MA, MB) = π [2π] alors M ]AB[ o ( MA, MB) = 0 [π] alors M (AB) privée de A et B
o ( MA, MB) = π 2 [2π] alors M demi-cercle de diamètre [AB] privé de A et B. o ( MA, MB) = - π 2 [2π] alors M demi-cercle de diamètre [AB] privé de A et B. Comment reconnaître une transformation (translation, rotation, homothétie)? on cherche l existence éventuelle d un point invariant Ω d affixe ω, puis on donne l écriture complexe de la transformation. o Si un tel point existe, on a une rotation donc z - ω = e iθ (z - ω) ou une homothétie et z - ω = k (z - ω) o Sinon c est une translation z = z + b
Les suites Comment montrer qu une suite est géométrique? on montre que le quotient u n+1 est constant (indépendant de n) ou encore qu`il existe un réel q indépendant de n tel que u n+1 = q u n u n si on échoue, on calcule le quotient u 2 u 1 pour connaître la raison, on admet le résultat et on continue avec la bonne valeur de q. Comment montrer qu une suite est arithmétique? on montre que le quotient u n+1 - u n est constant (indépendant de n) ou encore qu`il existe un réel r indépendant de n tel que u n+1 = u n + r si on échoue, on calcule la différence u 2 u 1 pour connaître la raison, on admet le résultat et on continue avec la bonne valeur de r. Comment peut-on montrer qu une suite est monotone? on étudie le signe de u n+1 - u n on le démontre par récurrence. o Par exemple, on calcule les premiers termes de la suite pour conjecturer les variations de la suite (croissante ou décroissante). o S il semble que la suite est croissante, on cherche à montrer la proposition P(n) = «u n+1 > u n» Comment peut-on montrer qu une suite converge? si u n est donné explicitement en fonction de n, on calcule directement la limite. si on a déjà prouvé qu elle était minorée (par exemple u n 0), on vérifie qu`e1le est décroissante. idem avec une suite croissante et majorée. si on a des encadrements dans l`exercice, on tente le théorème des gendarmes. Comment peut-on calculer la limite d une suite qui converge? si u n est donné explicitement en fonction de n, on calcule directement la limite. si on a des encadrements dans l`exercice, on tente le théorème des gendarmes. si la suite est de la forme u n+1 = f(u n ), avec f continue et (u n ) convergente, on cherche la limite de f parmi les éventuels points fixe de f, à savoir les solutions de f(l) = L. Comment montrer que deux suites sont adjacentes? on montre que l une est croissante et l autre décroissante, puis que la limite de leur différence est nulle en + Comment utiliser le raisonnement par récurrence? L initialisation : on vérifie la propriété P(n) au rang initial n 0 L hérédité : pour un entier n quelconque, tel que n n 0 on montre que P(n) P(n + 1). On peut alors affirmer que P(n) est vraie pour tout n n 0
Géométrie (analytique) dans l espace. Comment déterminer une équation de plan? On cherche un vecteur normal n (a,b,c) (il peut être suggéré dans l`énoncé), o Méthode 1 : On sait a1ors que P a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0. On détermine d en remplaçant dans l`équation les coordonnées d`un point qu`on sait être dans ce plan. o Méthode 2 : si A est dans le plan P, on écrit que M est dans P si et seulement si AM. n = 0 ce qui donnera une équation de P. Comment déterminer une représentation paramétrique de droite? On cherche un vecteur directeur u (a,b,c) (il peut être suggéré dans l énoncé). o Méthode 1 : On sait alors que D a une représentation paramétrique de la forme x= at + x A y = bt + y A où A est un point de D. z = ct + z A o Méthode 2 : si A est sur D. on écrit que M est sur D si et seulement si il existe t tel que AM = t u ce qui donnera une représentation de D. Si D est définie par l`équation de deux plans, on pose un paramètre, par exemple z = t et on résout le système en fonction de t. Comment déterminer l intersection d une droite et d un plan 7 si on connaît une représentation paramétrique de D, on l`utilise dans l`équation cartésienne de P et on cherche t: o s il n y a aucune solution (par exemple 0t = 3), D // P strictement. o s il y a une unique solution, on obtient la valeur de t puis les coordonnées du point d`intersection. o s il y a une infinité de solution (par exemple 0t = 0). D P. Si D est donnée par l`équation de deux plans, on tente de résoudre un système 3 3 avec la méthode du pivot de Gauss. Comment montrer que deux plans sont orthogonaux? on peut montrer que n. n = 0 [vecteurs normaux], Comment montrer que deux plans sont parallèles? on peut montrer que n et n sont colinéaires, c'est-à-dire que leurs coordonnées sont proportionnelles.
Comment montrer que D est orthogonale à P? on peut montrer que u et n sont colinéaires, c'est-à-dire que leurs coordonnées sont proportionnelles. Comment montrer que H est le projeté orthogonale de A sur P? on peut montrer que o (AH) est orthogonale à P c'est-à-dire que AH est colinéaire à n o H est sur P Comment calculer la distance de A à P? ax A + by A + cz A + d On applique la formule d(a,p) = a² + b² + c² Si on connaît le projeté orthogonal H de A sur P, on calcule AH.
Tableau des primitives usuelles
Tableau des formules de primitives