2 nde S CALCULS VECTORIELS ET BARYCENTRE Boubacar MANÉ boubacarmane.jimdo.com boubacarmane2@gmail.com 14 janvier 201 Table des matières 1 Calculs vectoriels........................................ 2 1.1 Rappel sur les vecteurs................................... 2 1.1.1 Égalité de deux vecteurs :................................. 2 1.1.2 Addition vectorielle.................................... 2 1.1. Multiplication d un vecteur par un réel :........................ 1.1.4 Expression d un vecteur en fonction de deux autres :................. 4 1.1.5 Norme d un vecteur :................................... 4 1.1.6 Vecteur et milieu :..................................... 5 1.2 Parallélisme et alignement................................. 5 2 Barycentre de deux points................................... 5 Barycentre de trois points................................... 8 4 Fonction vectorielle....................................... 10 1
1 Calculs vectoriels 1.1 Rappel sur les vecteurs 1.1.1 Égalité de deux vecteurs : Soit ABCD un parallélogramme de centre O. A B O D C Deux vecteurs u et v sont égaux si et seulement si : u et v ont même direction. u et v ont même sens. u et v ont même "longueur" Les vecteurs AB et DC sont égaux. Les vecteurs BC et AD sont aussi égaux. AA = 0. AB = 0 si et seulement si A = B. L ensemble des vecteurs du plan est appelé plan vectoriel et est noté V. Pour tout vecteur u et pour tout point O du plan, il existe un unique point M tel que OM = u u O M 1.1. 2 Addition vectorielle Définition On a appelle somme du vecteur u de représentant le bipoint (A, B) et du vecteur v représenté par le bipoint (B, C), le vecteur s de représentant (A, C). On note : s = u + v. 2
u u s s u v v v C B A Pour tout triplet (A, B, C) du plan, AC = AB + BC. Relation de Chasles L addition vectorielle est : L addition vectorielle commutative : u + v = v + u associative : u + ( v + w ) = ( u + v ) + w possède un élément neutre : u + 0 = 0 + u = u Tout vecteur u possède un opposé noté u tel que u + u = u + u = 0. Remarque Le vecteur AB a pour opposé le vecteur AB. Le vecteur AB peut toujours se noter BA : on a alors AB = BA. 1.1. Multiplication d un vecteur par un réel : Pour tout rel k et pour tout vecteur u non nul, le vecteur k u est tel que : u et k u ont la même direction ; ils sont colinéaires. Si k > 0, u et k u ont le même sens et la "longueur" de k u est égale à celle de u, multipliée par k Si k < 0, u et k u sont de sens contraires et la "longueur" de k u est égale à celle de u multipliée par k. Exemple : u 2 u u
Pour construire le vecteur #» u #» v, on effectue la somme entre les deux vecteurs #» u et #» v. Si #» u et #» v sont deux vecteurs non nuls, α et k deux réels alors : 1 #» u = #» u α ( k #» u ) = (α k) #» u α ( #» u + #» v ) = α #» u + α #» v (α + k) #» u = α #» u + k #» u Conséquence : * α #» u = #» 0 si et seulement si α = 0. * 1 #» u = #» u 1.1. 4 Expression d un vecteur en fonction de deux autres : Si u et #» v sont deux vecteurs, α et β deux nombres réels, il existe un unique vecteur #» w tel que : #» w = α #» u + β #» v. Le #» w vecteur est une "combinaison linéaire" des vecteurs #» u et #» v. Exemples Dans un repère orthonormé direct (O, #» i, #» j ), tout vecteur quelconque du plan s écrit en fonction de #» i et de #» j. On pourra alors en exercice, construire le vecteur OM tel que OM = 2 #» i - #» j. 1.1. 5 Norme d un vecteur : On appelle norme d un vecteur #» u de représentant (A, B) la distance entre A et B. On note : #» u = AB = AB = d(a, B). Norme d un vecteur #» u = 0 si et seulement si #» u = #» 0 α #» u = α #» u #» u + #» v #» u + #» v 4
1.1.6 Vecteur et milieu : Dire que le point I est le milieu du segment [AB] équivaut à dire que AI #» + BI #» = #» 0 ou que #» AI = 1 AB. 2 A I B 1. 2 Parallélisme et alignement Dire que les points A, B et C sont alignés équivaut à dire qu il existe un réel k tel que AC = k AB. A B C Définition Dire que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles équivaut à dire qu il existe un réel k tel que AB = k CD. A C D B 2 Barycentre de deux points Les considérations envisagées dans cette partie sont valables dans le plan et dans l espace. L ensemble Ï désignera le plan È ou l espace. On appelle point pondéré tout couple (A, α) où A est un point et α un réel appelé coefficient ou masse. Un système de points pondérés est une collection de points pondérés dans laquelle un même point pondéré peut apparaitre plusieurs fois. La masse d un système de points pondéré est la somme des coefficients. 5
La différence entre un système et un ensemble est que dans un ensemble, un élément ne peut pas apparaitre plusieurs fois. Exemples Soit A, B et C trois points de Ï. {(A, 1),(B, 2),(C, π),(b, 2)} est un système de points pondérés de masse π. Dans toute la suite, M désigne un point variable et A, B, C,... des points fixes. Exercice : Soient A et B deux points. 1. Montrer qu il existe un et un seul point G tel que 2 GA+ GB= #» 0. Placer le point G sur un dessin. Soit M un point. Écrire en fonction du vecteur MG le vecteur 2 MA+ MB. 2. Mêmes questions avec GA+5 GB= #» 0.. On considère deux réels α et β. Existe -t- il un unique point G tel que α GA+β GB= #» 0? Soit A et B deux points, α et β deux réels tels que α+β 0. Il existe un et un seul point G tel que α GA+β GB= #» 0. Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β). On dit aussi que G est le barycentre de A et B affectés respectivement des coefficients α et β. Démonstration : A et B deux points, α et β deux réels tels que α+β 0.. On peut alors écrire que α GA+β GB= #» 0 α GA+β( GA+ AB)= #» 0 α GA+β GA+β AB= #» 0 (α+β) GA+β AB= #» 0 (α+β) GA= β AB (α+β) AG= β AB (α+β) AG=β AB Et puis que α+β 0, on a alors : AG= β AB α+β Les points A et B et les réels α et β étant fixés alors, il existe un unique point G tel que α GA+β GB= #» 0. Si G est le barycentre de {(A, α), (B, β)} avec α+β 0 alors, pour tout point M de Ï on a : α MA+β MB=(α+β) MG. 6
Démonstration : Si α+β 0 et G le barycentre de {(A, α), (B, β)} alors on peut écrire que : α GA+β GB= #» 0 α( GM+ MA)+β( GM+ MB)= #» 0 α GM+α MA+β GM+β MB= #» 0 (α+β) GM+α MA+β MB= #» 0 α MA+β MB= (α+β) GM α MA+β MB=(α+β) MG G étant le barycentre de (A, α) et (B, β), α+β 0, on a α GA+β GB= #» 0 donc pour tout point M de Ï on a : α MA+β MB=(α+β) MG. En appliquant la relation précédente avec M = A, on obtient AG= β AB. α+β Et M = B donne BG= α BA. α+β Dans le cas des coefficients positifs, le barycentre G correspond au "point d équilibre". α G β Propriété Si G est le barycentre de {(A, α), (B, β)} ; α+β 0 alors, pour tout réel k non nul, G est aussi le barycentre de {(A, k.α), (B, k.β)}. Démonstration : α et β étant deux réels tels que α+β 0 et G le barycentre de {(A, α), (B, β)}, si k est un réel non nul alors, par définition on peut écrire que : α GA+β GB= #» 0. En multipliant les deux membres de l égalité par k, on obtient : k.α GA+k.β GB=k #» 0, donc k.α GA+k.β GB= #» 0, et comme k 0 et α+β 0 alors k.α+k.β 0, c est-à-dire, G est le barycentre de {(A, k.α), (B, k.β)}. Le barycentre de {(A, k), (B, k)} avec k 0 est le même que celui de {(A, 1), (B, 1)}, on l appelle isobarycentre. 7
Définition On appelle isobarycentre des points A et B, le barycentre de A et de B affectés d un même coefficient non nul. Lorsqu on parle de l isobarycentre de A et B, il n est pas utile de préciser les coefficients affectés à A et B. L isobarycentre de A et B est le milieu I du segment [AB]. Barycentre de trois points Exercice : On considère trois points A, B et C. 1. Montrer qu il existe un et un seul point G tel que GA GB+5 GC= #» 0. On pourra exprimer AG en fonction de AB et AC. Placer le point G sur un dessin. 2. Mêmes questions avec 2 GA+ GB 5 GC= #» 0.. Existe -t- il un ou plusieurs point(s) G tel que 2 GA+ GB 5 GC= #» 0? Soit A, B et C trois points,α, β et γ trois réels tels que α+β+γ 0. Il existe un et un seul point G tel que α GA+β GB+γ GC = #» 0 Ce point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α), (B, β) et (C, γ). On dit aussi que G est le barycentre de A, B et C affectés des coefficients α, β et γ. Si G est le barycentre de (A, α), (B, β) et (C, γ) avec α+β+γ 0 alors, pour tout point M de Ï on a : α MA+β MB+γ MC=(α+β+γ) MG. En appliquant la relation avec M = A, on obtient AG= β AB+γ AC. Ce qui permet de placer le point α+β+γ G. 8
Si G est le barycentre de (A, α), (B, β) et (C, γ) avec α+β+γ 0 alors, pour tout réel k non nul, G est aussi le barycentre de (A, kα), (B, kβ) et (C, kγ). Isobarycentre de trois points On appelle isobarycentre de trois points A, B et C, le barycentre de A, B et C affectés d un même coefficient non nul. L isobarycentre de trois points non alignés A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC (point d intersection des médianes). Démonstration Isobarycentre de trois points Soit G l isobarycentre des points non alignés A, B et C, on a : GA+ GB+ GC= #» 0. Pour tout point M on a MG= MA+ MB+ MC. En appliquant cette relation avec A milieu de [BC], on obtient A G= A A+ A B+ A C, A étant le milieu de [BC], on a A B+ A C= #» 0 donc A G= 1 A A. On en déduit que G est sur la droite (AA ), médiane issue de A du triangle ABC. En appliquant cette relation avec B milieu de [AC], on obtient B G= 1 B B, B étant le milieu de [AC], on a donc B G= 1 B B. On en déduit que G est sur la droite (BB ), médiane issue de B du triangle ABC. En appliquant cette relation avec C milieu de [AB], on obtient C G= 1 C C, C étant le milieu de [AB], on a donc C G= 1 C C. On en déduit que G est sur la droite (CC ), médiane issue de C du triangle ABC. G est donc le centre de gravité du triangle ABC. Soit G le barycentre de {(A, α), (B, β), (C, γ)}, α+β+γ 0. Soit G le barycentre de {(A, α), (B, β)}, α+β 0 alors G est le barycentre de {(G, α+β), (C, γ)}. 9
Pour chercher un barycentre, on peut donc remplacer deux points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients. Cette propriété permet de démontrer facilement que l isobarycentre des trois sommets d un triangle est le point d intersection des trois médianes. C est-à-dire, le centre de gravité du triangle. La propriété de l associativité peut aussi être utilisée dans l autre sens : si G est le barycentre de {(G, α+β), (C, γ)}, et si G est le barycentre de {(A, α), (B, β)} alors, G est le barycentre de {(A, α), (B, β), (C, γ)}. La notion de barycentre et les propriétés peuvent se généraliser à quatre points et plus. La propriété d associativité peut alors être utilisée avec le barycentre pluriel de 2,, 4 points ou plus. 4 Fonction vectorielle Définition La fonction vectorielle Soit {(A i, α i ) i [1,n]} un système de points pondérés. La fonction vectorielle qui lui est associée est la fonction, #» f, qui, à tout point M de Ï associe le vecteur #» f (M) défini par :. #» f (M)=α1 MA1+α 2 MA2+ +α n MAn= n i=1 α i MAi Exemples Soit A et B deux points de Ï, I le milieu du segment [AB] et #» f la fonction vectorielle associée au système {(A, 2), (B, 2)} pour tout point de Ï : #» f (M)=2 MA+2 MB=2( MI+ IA)+2( #» MI+ IB)=2 #» MI+ 2 IA+2 #» MI+2 IB=4 #» MI #» f (M)=2 MA+2 MB=4 MI En particulier : #» f (I)= 0, #» f (A)=4 AI=2 #» AB et #» f (B)=4 BI= 2 #» AB 10
Théorème Soit {(A i, α i ) i [1,n]} un système de points pondérés de masse m et #» f la fonction vectorielle qui lui est associée. Si m 0, il existe un unique point G de Ï vérifiant #» f (M)= 0. Pour tout point M de Ï : #» f (M)=m MG. Si m= 0 alors, #» f est une fonction vectorielle constante. NB : La fonction vectorielle est aussi appelée fonction vectorielle de Ä äò Þ. 11