9 Limites à l infini d une fonction On garde les notations du chapitre précédent en supposant ici que a = ou a = + est adhérent à l ensemble I, ce qui signifie que : ou : m R, ], m[ I M R, ]M, + [ I ce qui équivaut à dire que I est non minorée ou non majorée. Dans la pratique I est un intervalle de la forme ], m[ ou ]M, + [. 9. Limite finie en ou + d une fonction La définition d une ite à l infini prend alors la forme suivante. Définition 9. On dit que la fonction f admet une ite finie quand x tend vers [resp. + ] dans I, s il existe un réel l tel que : ε > 0, m R x I et x < m) f x) l < ε [resp. ε > 0, M R x I et x > M) f x) l < ε] on dit aussi que f x) tend vers l quand x tend vers [resp. + ] dans I). Les deux dernières inégalités peuvent être strictes ou larges et il est parfois commode de se iter à m < 0 [resp. M > 0] sans que cela ne soit restrictif. Pour a = + et f définie sur N, on retrouve la définition de la convergence d une suite numérique. Dire que f n a pas de ite finie en [resp. + ] équivaut à dire que pour tout scalaire l il existe un réel ε > 0 tel que : m R, x I x < m et f x) l ε [resp. M R, x I x > M et f x) l ε]. Il est parfois commode de traduire la définition précédente, par exemple dans le cas où a = +, sous la forme : ε > 0, M R x ]M, + [ I, f x) l < ε 85
86 Limites à l infini d une fonction ou encore, pour f à valeurs réelles : ε > 0, M R x ]M, + [ I, f x) ]l ε, l + ε[. Comme dans le cas des ites finies, en utilisant l inégalité triangulaire dans R ou C, on montre que si f admet une ite l en [resp. + ], alors cette ite est unique. On note alors l = f x) [resp. l = f x)] ou plus simplement l = f x) [resp. l = écrira aussi f x) x x I x I x f x)], le domaine de définition de la fonction f étant sous-entendu, cette ite. On l [resp. f x) l]. x Exercice 9. Montrer que, pour tout entier n, x n = 0. Solution 9. Pour ε > 0 donné il existe un entier M > R est archimédien), ce qui n ε implique que pour tout x M, on a x n < ε. On a donc bien M n x = 0. n Exercice 9.2 En utilisant + n = e, montrer que + n + n) x = e. x) Solution 9.2 De et : + n = e, on déduit que : n + n) n + + n) n+ = + ) n + ) = e n + n n + n + n + ) n = n + donc pour ε > 0 donné, il existe un entier n 0 tel que : n n 0, + n+ e n) < ε, + ) n+ n + + n + + n + Pour x > n 0 +, en notant n = [x] la partie entière de x, on a : n 0 < n x < n + = e ) n e. et : soit : e ε < + + x) x n + ) n < + x) n + ) x x + n) x < x > M = n 0 +, e ε < + n) n+ < e + ε + x) x < e + ε. D où le résultat.
Limite finie en ou + d une fonction 87 Quitte à remplacer la fonction f par la fonction x f x), on peut se contenter d étudier les ites en +. On peut aussi se iter à I = ]a, + [ avec a > 0 et on a alors f x) = l si, et ) seulement si, f = l. x 0 x Les résultats obtenus sur les ites finies en un point sont encore valables pour les ites finies à l infini. Théorème 9. S il existe un réel l, un réel δ et une fonction ϕ : J = ]δ, + [ I R + tels que : { x J, f x) l ϕ x) alors f x) = l. ϕ x) = 0 Démonstration. Pour tout réel ε > 0 il existe un réel M tel que : ce qui donne le résultat annoncé. x J I et x > M f x) l ϕ x) < ε Théorème 9.2 Si f, g sont à valeurs réelles et s il existe un réel δ > 0 et deux fonction ϕ et ψ définies sur J = ]δ, + [ I et à valeurs réelles tels que : { x J, ψ x) f x) ϕ x) alors f x) = l. ϕ x) = ψ x) = l Démonstration. Pour tout réel ε > 0 il existe un réel M tel que pour tout x J I tel que x > M, on ait : l ε < ψ x) f x) ϕ x) < l + ε ce qui donne le résultat annoncé. Exercice 9.3 Montrer que Solution 9.3 Se déduit de sin x) x sin x) x = 0. x pour x R. Théorème 9.3 Si f admet une ite finie quand x tend vers +, il existe alors un réel M tel que la restriction de f à J = ]M, + [ I soit bornée. Démonstration. Si ]M, + [ I, on ait : f x) = l, il existe alors un réel M tel que, pour tout x dans f x) = f x) l) + l f x) l + l < + l.
88 Limites à l infini d une fonction Théorème 9.4 Supposons f à valeurs réelles et que f x) = l.. Si l > 0 [resp. l < 0] il existe alors un réel M tel que f x) > 0 [resp. f x) < 0] pour tout x ]M, + [ I. 2. S il existe un réel M tel que f x) 0 [resp. f x) 0] pour tout x ]M, + [ I on a alors l 0 [resp. l 0]. Démonstration.. Pour ε = l > 0 il existe un réel M tel que, pour tout x ]M, + [ I, on ait f x) l < 2 l 2 et on a alors : x ]M, + [ I, f x) > l l 2 > l 2 > 0. Pour l < 0, on travaille avec f. 2. Se déduit facilement du premier point. Théorème 9.5 La fonction f admet la ite l quand x tend vers + si, et seulement si, pour toute suite u n ) n N de points de I qui converge vers +, la suite f u n )) n N converge vers l. Démonstration. Si f x) = l, alors pour tout réel ε > 0 il existe un réel M tel que x > M dans I entraîne f x) l < ε et si u n ) n N est une suite de points de I qui converge vers +, il existe alors un entier n 0 tel que u n > M pour tout n n 0, ce qui implique f u n ) l < ε. On a donc bien f u n) = l. n + Pour la réciproque, on raisonne par l absurde. Si f n a pas de ite finie en +, pour tout réel l, il existe alors un réel ε > 0 tel que pour tout entier n on peut trouver u n I tel que u n > n et f u n ) l ε. On a donc ainsi une suite u n ) n N de points de I qui converge vers + pour laquelle la suite f u n )) n N ne converge pas. Exercice 9.4 Montrer que la fonction définie sur R par f x) = cos x) pour tout x R n a pas de ite en +. Solution 9.4 Si u n ) n est la suite définie dans R par u n = nπ pour tout n, on a alors u n = + et la suite f u n )) n + n = ) n ) n est divergente, ce qui prouve que f n a pas de ite en +. Exercice 9.5 Montrer que la fonction définie sur R par f x) = x [x] pour tout x R n a pas de ite en +. Solution 9.5 Pour tout réel λ ]0, [, la suite u n ) n 0 définie dans R par u n = n + λ pour n 0 est telle que u n = + et la suite f u n )) n + n est stationnaire sur λ, ce qui prouve que f n a pas de ite en +.
Opérations algébriques 89 9.2 Opérations algébriques En utilisant la caractérisation séquentielle de la ite à l infini, on a le résultat suivant relatif aux opérations algébriques. Théorème 9.6 Soient f, g deux fonctions de I dans R ou C telles que g x) = l. On a alors : f x) = l et. f x) = l, f x) + g x)) = l + l, f x) g x)) = ll, pour f, g à valeurs réelles, min f x), g x)) min l, l ) et max f x), g x)) = max l, l ) ; 2. si l 0, il existe alors un réel M tel que la fonction soit définie sur J = ]M, + [ I g f x) et g x) = l l ; 3. si f est à valeurs réelles et l > 0, il existe alors un réel M tel que la fonction f soit définie sur J = ]M, + [ I et f x) = l. Exercice 9.6 Soit f : x P x) Q x) = n a k x k k=0 m b k x k k=0 une fonction rationnelle, où P, Q sont des fonctions rationnelles non nulles de degrés respectifs n et m i. e. a n 0 et b m 0). Montrer que : P x). si n = m, alors Q x) = a n ; b n P x) 2. si n < m, alors Q x) = 0 ; 3. si n > m, alors f n a pas de ite finie en +. Solution 9.6 La fonction f est définie sur un intervalle de la forme I = ]M, + [ puisque Q n a qu un nombre fini de racines réelles possibles.. Si n = m, on a pour tout x I : P x) et Q x) = a n. b n 2. Si n < m, on a pour tout x I : f x) = a 0 + a x + + a n x n b 0 + b x + + b n x n a 0 + a x = n + + a n + a x n x n b 0 + b x n + + b n + b x n x n f x) = a 0 + a x + + a n x n b 0 + b x + + b m x m = a 0 + a x n + + a n + a x n x n x m n b 0 + b x n + + b m + b x n x m
90 Limites à l infini d une fonction P x) et Q x) = 0 an = 0. b m 3. Si n > m, on a pour tout x I : soit f x) = a 0 + a x + + a n x n b 0 + b x + + b m x m a 0 = x n m + a x n + + a n + a x n x n b 0 + b x n + + b m + b x n x m f x) = g x) avec x g x) = a n 0. Si n m b f x) = l, on a alors a n = m b m f x) = 0 l = 0, ce qui est impossible. Donc f n a pas de ite finie en +. xn m Exercice 9.7 Soient m, n deux entiers naturels. Étudier la ite en + de la fonction f définie sur I = ], + [ par f x) = x m + x n x. n Solution 9.7 Pour tout x I, on a : ) ) + xn xn + xn + xn f x) = x m + x n + x n 2 = x m x n + x + = 2x m n + x n x + x. n n n Il en résulte que f x) = pour n = m, f x) = 0 pour n > m et f n a pas de ite finie en + pour n < m. Théorème 9.7 Soient f, g deux fonctions de I dans R telles que l. f x) = l et g x) =. Si l > l, il existe alors un réel M tel que f x) > g x) pour tout x ]M, + [ I. 2. S il existe un réel M tel que f x) g x) pour tout x ]M, + [ I on a alors l l. 3. Si M est un majorant [resp. m un minorant] de f sur I, alors l M [resp. m l]. Démonstration. Il suffit d appliquer le théorème 9.4 aux fonctions f g, f M et f m. 9.3 Limite à l infini d une composée de fonctions On se contente ici de la ite à l infini d une composée g f avec f de ite finie l en + et g de ite finie en l. Le cas où l = + ou l = sera étudié au chapitre suivant. Théorème 9.8 Soient f une fonction de I dans R telle que f x) = l et g une fonction définie sur une partie J de R qui contient f I). Dans ces condition, l est adhérent à J et si, de plus, y l g x) = l, alors g f x) = l.
Limites à l infini des fonctions monotones 9 Démonstration. Si u n ) n N est une suite de points de I qui converge vers +, alors f u n )) n N est une suite de points de J puisque f I) J) qui converge vers l, ce qui prouve que l est adhérent à J. Pour ε > 0 donné, il existe un réel δ > 0 tel que y J et y l < δ entraîne g y) l < ε et en désignant par M un réel tel que x I et x > M entraîne f x) l < δ, on a : x I et x > M) f x) f I) J et f x) l < δ) Ce qui donne le résultat annoncé. Avec y l y = pour l 0 et l y l g f x)) l < ε. y = l pour l > 0, on retrouve que f x) = l si f x) = l 0 on a f x) 0 sur un ensemble J = ]M, + [ I et est la composée la f restriction de f à J avec la fonction y ) et que y f x) = l si f x) = l > 0 on a f x) > 0 sur un ensemble J = ]M, + [ I et f est la composée la restriction de f à J avec la fonction y y). 9.4 Limites à l infini des fonctions monotones Le résultat qui suit est analogue a celui obtenu pour les suites monotones bornées. On se ite aux cas où I = [a, + [ ou I = ], b] Théorème 9.9 Si f : I = [a, + [ R [resp. f : I = ], b] R] est une fonction croissante et majorée [resp. décroissante et minorée], elle admet alors une ite finie en + [resp. en ] Cette ite est la borne supérieure [resp. inférieure] de f sur I. soit : f x) = sup f x) x I [ resp. f x) = inf f x) x x I Démonstration. On suppose que f : I = [a, + [ R est croissante et majorée. L autre cas se traite de manière analogue. Comme f est majorée sur I, elle admet une borne supérieure l = sup f x) sur cet intervalle x I f I) est non vide majorée, donc admet une borne supérieure). Pour ε > 0, on peut trouver, par définition de la borne supérieure, un réel x 0 > a tel que l ε < f x 0 ) l et comme f est croissante, on en déduit que : x [x 0, + [, l ε < f x 0 ) f x) l < l + ε. ] Remarque 9. Si f est croissante et non majorée sur [a, + [, elle n a pas de ite finie en + puisqu une fonction admettant une ite finie en + est bornée au voisinage de +. On verra plus loin que dans ce cas, on a f x) = +. Dans le cas où I = N, f définit une suite numérique et on retrouve le théorème sur les suites croissantes majorées.
92 Limites à l infini d une fonction 9.5 Le critère de Cauchy Comme pour les suites numériques, on dispose du critère de Cauchy qui permet de montrer qu une fonction admet une ite finie à l infini sans connaître nécessairement cette ite. Théorème 9.0 La fonction f admet une ite finie quand x tend vers + dans I si, et seulement si pour tout réel ε > 0 il existe un réel M tel que : Démonstration. Supposons que M tel que : et en conséquence : x, y) ]M, + [ I) 2, f x) f y) < ε. 9.) f x) = l. Pour tout réel ε > 0 il existe alors un réel x J = ]M, + [ I, f x) l < ε 2 x, y) J 2, f x) f y) f x) l + f y) l < ε Réciproquement, supposons 9.) vérifié pour tout ε > 0 donné. Si u n ) n N est une suite de points de I qui converge vers +, pour ε > 0 et M tel que 9.) soit satisfait, il existe un entier n 0 tel que u n ]M, + [ I pour tout n n 0, ce qui implique que f u n ) f u m ) < ε pour tout couple n, m) d entiers tels que n n 0 et m n 0. La suite f u n )) n N est donc de Cauchy et en conséquence convergente. En désignant par u n ) n N et v n ) n N deux suites de points de I qui convergent vers + et en notant l = f u n), l = f v n), pour ε > 0 et M tel n + n + que 9.) soit satisfait, il existe un entier n 0 tel que u n v n soient dans ]M, + [ I pour tout n n 0, et en conséquence : l l = n + n n 0 f u n ) f v n ) ε. Le réel ε > 0 étant quelconque, on nécessairement l = l. C est-à-dire que pour toute suite u n ) n N de points de I qui converge vers +, la suite f u n )) n N converge vers un réel l, ce qui équivaut à dire que f x) = l.