Qui de nous n ps déjà regrdé le soleil pour une évlution sommire du temps à notre disposition vnt l tomée de l nuit? Avnt l vènement des horloges mécniques et, plus récemment, des montres et horloges digitles, l homme longtemps utilisé le soleil pour svoir l heure. En témoignent les nomreux cdrns solires que l on peut oserver lorsque on prcourt l plnète. Comment sont-ils construits? Vol. 10 été utomne 015 8 Christine Rousseu Université de Montrél DossierLumière Il existe de nomreux types de cdrns solires : cdrn verticl, horizontl, équtoril, etc. Il peut semler simple de construire un cdrn solire : il suffit de plnter un âton dns l Terre et de trcer sur le sol les lignes de l omre du âton ux différentes heures. On pourrit fire l même chose vec un élément porte-omre, ussi ppelé style ou gnomon instllé dns un mur. Effectivement, le lendemin à midi, l omre du âton ou du gnomon ser sur l ligne que vous urez trcée l veille à midi. Mis en ser-t-il encore de même quelques mois plus trd lorsque le Soleil ne ser plus à l même huteur dns le ciel prce qu on chngé de sison? On comprend vite que pour qu un cdrn solire soit exct toute l nnée, il fut être précis dns s construction. Un cdrn solire indique l heure solire. Qu est-ce que l heure solire? Commençons pr le midi solire en un lieu donné sur l Terre. C est le moment de l journée où le Soleil est le plus hut dns le ciel. Concrètement, cel correspond u moment où le Soleil psse dns le pln méridien du lieu. Une première contrinte On veut que, quelle que soit l huteur du Soleil u midi solire, l omre du style soit toujours le long de l même ligne dessinée sur le cdrn. Puisqu u midi solire le Soleil est dns le pln méridien P m du lieu, si le style est ussi dns ce pln, lors l omre du style ser dns ce pln. On donc identifié notre première contrinte : le style doit être dns le pln méridien du lieu. Et les utres heures? Que signifie qu il est 11h solire en un lieu donné? L Terre fit un tour sur elle-même, soit une rottion de 360 degrés, en 4 heures. En une heure, l Terre tourne sur elle-même de 15 degrés. Il est 11h solire en un lieu donné qund il est midi en un lieu situé 15 degrés de longitude plus à l est. Il est 13h solire, lorsqu il est midi dns un lieu situé 15 degrés de longitude plus à l ouest, etc.
Construire un cdrn solire Christine Rousseu Université de Montrél Mis, le Soleil est très loin de l Terre Alors, lorsqu il est 11h solire, on peut presque dire que le Soleil est dns un pln P fisnt un ngle de 15 degrés vec le pln méridien P m du lieu. Appelons P le pln horire de 11h. L intersection de ce pln vec le pln méridien est une droite prllèle à l xe de l Terre. Pour que l omre du Soleil soit toujours le long de l même ligne à 11h solire tout u long de l nnée, le style doit être dns le pln P. Comme le style doit ussi être dns le pln P, le style doit être prllèle à l droite d intersection des deux plns. Le style doit donc être prllèle à l xe de l Terre! Mis, lors on ggné! Le style se trouve simultnément dns tous les plns horires. L contrinte que le style soit prllèle à l xe de l Terre est l seule contrinte incontournle. Les utres sont plus des questions prtiques. Pr exemple, on intérêt à instller un cdrn solire dns un endroit où le style recevr le Soleil le plus longtemps possile pendnt l journée. P m P m P 11h P 11h P ' Sur l figure on voit ussi un cdrn verticl. En fit, comme il est décollé de l Terre, le style pointer vers le sud. L construction élémentire d un cdrn solire On instlle le pln du cdrn et on fixe sur le cdrn le style, de telle sorte qu il soit prllèle à l xe de l Terre. Le style doit pointer vers le nord et fire un ngle de 90 φ vec l horizontle, où φ est l ltitude. Ensuite, pr une elle journée ensoleillée, on trce sur le cdrn les lignes de l omre portée du style à chque heure du jour. Mis, ttention! Il fut utiliser l heure solire et non l heure de votre montre. Vous urez deviné que, lorsque nous sommes à l heure vncée, l heure officielle n est plus l heure solire. Il existe une deuxième cuse d erreur : l heure solire dépend exctement de l longitude du lieu et il fut juster dès qu on se déplce vers l ouest ou vers l est. Il existe une troisième cuse d erreur, eucoup plus sutile : l éqution du temps 1. Nous y reviendrons ci-dessous. 1. Voir ussi «L éqution du temps», Accromth 8, été-utomne 013. Vol. 10 été utomne 015 9 Construire un Cdrn solire
DossierLumière Vol. 10 été utomne 015 10 Peut-on trcer les lignes horires vnt d instller le cdrn? Oui! Mis à condition de ien plcer le cdrn. L fçon de trcer les lignes du cdrn dépend du type de cdrn. Rppelons-nous l règle de se. Les lignes des heures doivent être dns les plns horires qui sont prllèles ux plns méridiens correspondnts. Donc, les lignes des heures sont les droites d intersection des plns horires contennt le style vec le pln du cdrn. Le cdrn équtoril Comme son nom l indique, le pln du cdrn équtoril est prllèle u pln de l équteur. Comme les plns méridiens sont perpendiculires u pln de l équteur, c est églement le cs des plns horires. Les ngles entre deux lignes horires consécutives sont tous de 15 degrés. On peut donc les dessiner à l vnce : ces lignes se coupent en un point qui est l se du style. Le style est perpendiculire u pln du cdrn. Au moment d instller le cdrn, il fut fire ttention à le plcer dns un pln prllèle à l équteur, c est-à-dire perpendiculire u style, et à ien orienter l ligne correspondnt à midi. Le cdrn verticl C est le cdrn le plus commun. Si les lignes horires sont trcées à l vnce, lors il fut instller le cdrn orienté plein sud. Si φ est l ltitude du lieu où le cdrn ser instllé, lors le style doit fire un ngle de 90 φ vec le pln du cdrn. L ligne correspondnt à midi est verticle. Clculons l position des utres lignes horires. Les plns horires sont perpendiculires u pln équtoril et font des ngles de 15 entre eux. Le pln du cdrn fit un ngle φ vec le pln équtoril. Soit α l ngle entre un pln horire et le pln de midi qui est perpendiculire à l droite D. On voit que tnα= et c tn φ=. Soit β l ngle sur le cdrn entre le pln horire et le pln de midi. Alors, on tnβ= = + c c 1+ = 1 c 1+ = tnα. 1+ tn φ 1 Mis, 1+ tn φ =. Donc, on otient cos φ finlement tnβ= tnαcos φ. On prend pour α des multiples de 15 degrés de prt et d utre de l ligne du midi solire. Le cdrn horizontl C est le même principe et nous vous lissons clculer dns l section prolèmes que si α est l ngle entre un pln horire et le pln de midi, lors l ngle correspondnt β dessiné sur le cdrn est tel que tnβ= tnαsin φ. D
Construire un cdrn solire Christine Rousseu Université de Montrél De l heure solire à l heure officielle Tel que mentionné plus hut, il fut juster l heure. Les fuseux horires ont une lrgeur de 15. Le fuseu de Greenwich est centré sur le méridien de longitude 0, et les utres fuseux horires sont en générl centrés sur les méridiens de longitude 15, 30, 45, etc. Il y des exceptions dues, entre utres, u fit qu on évite le plus possile de chnger de fuseu à l intérieur d un pys ou d une province. L heure officielle est déterminée pr le centre du fuseu. Ainsi, l longitude de Montrél est 73,5 ouest, donc à 1,5 à l est du centre du fuseu. Ceci confère à Montrél une vnce de 6 minutes sur l heure officielle du fuseu. Il est fcile d intégrer l correction de longitude dns l construction du cdrn : il suffit de décler les lignes horires de 6 minutes. Il fut ussi ien sûr tenir compte de l heure vncée pendnt l sison estivle et jouter une heure à l heure lue sur le cdrn solire. L dernière correction est eucoup plus sutile. On s entend que les jours durent 4 heures mis, en fit, ce n est que l durée moyenne des jours. L première cuse de ce déclge est le fit que l Terre tourne utour du Soleil sur une ellipse. Lorsqu elle est proche du Soleil, utour du 4 jnvier, elle v plus vite sur son orite et les jours sont plus longs. On ccumule un retrd sur l heure officielle pendnt cette période. L deuxième cuse du déclge est l oliquité de l xe de l Terre. Les détils se trouvent dns l rticle «L éqution du temps» : on ppelle éqution du temps l différence entre le midi officiel (ou midi moyen) et le midi solire. S vleur en tout temps de l nnée est donnée pr le grphique en hut à droite qui illustre ien les deux composntes.. Iid. minutes 15 10 5-5 -10-15 1ê1 ê1 3ê1 4ê1 5ê1 6ê1 7ê1 On remrque l nlemme sur ce cdrn, soit l coure dessinée pr les positions de l omre du style u midi solire en chque jour de l nnée. Il permet de fire visuellement l correction de l éqution du temps mis cel requiert un peu de gymnstique : il fut déterminer sur quel point de l'nlemme on est à midi et ppliquer, pour toutes les lignes horires, le même déclge ltérl que pour l ligne de midi. 8ê1 oliquité ellipticité éqution du temps 9ê1 10ê1 11ê1 On otient donc finlement l éqution Heure officielle = heure solire + correction de longitude (en minutes) + nomre d heures d vnce sur le soleil + éqution du temps 1ê1 1ê1 dte Vol. 10 été utomne 015 11
DossierLumière Chque jour l omre de l extrémité du style décrit une conique ou une droite. Vol. 10 été utomne 015 Mintennt, poussons l gymnstique un peu plus loin. Le Soleil est si loin de l Terre que nous pouvons considérer que le Soleil tourne utour de l pointe du style. L demi-droite joignnt le Soleil à l pointe du style lie donc un cône à peu près en 4 heures. Le prolongement de chque demi-droite correspond précisément ux points qui sont dns l omre portée du style en un instnt donné. Les prolongements de ces demi-droites décrivent ussi un cône, que nous ppellerons le cône d omre. 1 Cône d omre du style en été. Sur quel type de cdrn? Nous verrons que c est sur tous les types de cdrn! Pour cel, il nous fut fire un peu de gymnstique, du même type que celle utilisée lors de l étude de l éqution du temps 3. Imginons un repère centré u centre de l Terre, dont les xes x et y sont dns le pln de l équteur, l xe x pointnt vers l longitude 0, et dont l xe des pôles est verticl. Alors, pendnt une journée, nous voyons le Soleil fire un tour utour de l Terre. Pendnt cette rottion, le Soleil fit un ngle fixe vec le pln équtoril. Cet ngle est ppelé l déclinison. Il vrie selon l sison de 3,5 à 3,5, prennt l vleur 0 ux équinoxes. L demi-droite joignnt le Soleil u centre de l sphère décrit un cône. Et mintennt, nous vons ggné : l coure décrite pr l omre de l extrémité du style est l coure d intersection du cône d omre vec le pln du cdrn. L coure d intersection d un cône vec un pln est une conique. 4 Quelles coniques pouvons-nous otenir? 3. Iid. 4. Voir «Les sphères de Dndelin», Accromth 6, été-utomne 011.
Construire un cdrn solire Christine Rousseu Université de Montrél Regrdons mintennt l sitution en hiver dns l hémisphère nord. Cel dépend de l forme du cône, en prticulier de son ngle u sommet, et de l ngle du pln vec l xe du cône. Supposons que l ngle u sommet du cône soit θ et que le pln fsse un ngle de β vec l xe du cône et ne psse ps pr le sommet du cône. Si β < θ, lors l intersection est une rnche d hyperole. Si β = θ, l intersection est une prole. Si β > θ, lors l intersection est une ellipse. Il y ussi le cs limite où l déclinison est nulle, ce qui correspond à un cône plt (soit θ = 180 ). Dns ce cs-ci, l intersection est simplement une droite. Aux équinoxes, pendnt une journée l omre de l extrémité du style prcourt un segment de droite. Regrdons mintennt un cdrn verticl comme sur l figure précédente. Si φ est l ltitude du cdrn, nous vons vu que le cdrn fit un ngle de φ vec le pln équtoril, donc un ngle de β = 90 φ vec l xe du cône d omre. De plus, si δ est l déclinison lors, θ = 90 δ. On donc : une rnche d hyperole, si φ > δ ; une prole, si φ = δ ; une ellipse, si φ < δ. Nous vons triché un peu ici, cr nos ngles, tnt l ltitude que l déclinison, ont un signe. Le dessin précédent et les conditions ci-dessus sont vlles pour l été dns l hémisphère nord. Cône d omre du style en hiver. Il fut rjouter des vleurs solues pour couvrir toutes les sisons et les deux hémisphères. On donc : une rnche d hyperole, si φ > δ ; une prole, si φ = δ ; une ellipse, si φ < δ. Puisque l déclinison ne dépsse ps 3,5 en vleur solue, lors on est limité à une rnche d hyperole (et le cs limite d une droite) en dehors de l zone entre les tropiques du Cncer et du Cpricorne, soit lorsque φ > 3,5. Pr contre, entre les tropiques, on peut oserver toute l pnoplie des coniques selon l sison de l nnée. À vous mintennt de déterminer dns l section prolèmes l forme des coures décrites pr l omre de l extrémité du style pour les cdrns équtoriux et horizontux, insi que les conditions prticulières (période de l nnée et ltitude) pour lesquelles on peut oserver des proles et des ellipses. Vol. 10 été utomne 015 13