1 Produit scalaire de deux vecteurs ctivité : Kitesurf "planche + cerf-volant" 1.1 Produit scalaire et normes Définition 1 (Norme). Produit scalaire Soit u un vecteur et et deux points du plan tels que u =. On appelle norme de u la distance (réel positif ou nul), notée : Par exemple, dans un plan : u = u = x 2 +y 2 u = = Définition 2 (Produit scalaire). Pour tous vecteurs u et v non nuls, tels que u = et v =, le produit scalaire noté v est un réel défini par : u v cos( u; v ) u v cos Démonstration : L angle est aigu. = cos or : v = = = cos donc : cos > 0 MK 1 ere S 2015 2016 1/6 h10 - Produit scalaire
L angle est otus. Posons α = π v = = v = cosα v = cos(π ) v = cos carcos(π x) = cosx. donc : cos < 0 L angle = 90, on parle alors d orthogonalité u v donc v = 0 cos = 0 Propriété P1 : Orthogonalité de deux vecteurs : Deux vecteurs vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si : l un des deux vecteurs est nul. aucun des deux vecteurs n est nul et leurs directions sont perpendiculaires.. Si u v alors v = 0 1.2 utres expressions du produit scalaire Propriété P2 : Produit scalaire exprimé avec des normes : Pour tous vecteurs u et v, on a : v = 1 2 [ u + v 2 u 2 v 2 ] Démonstration : On sait que u + v 2 = ( u + v ) ( u + v ) u + v 2 = u + v + v u + v v u + v 2 = u 2 +2 v + v 2 u + u v = v = 1 2 [ u + v 2 u 2 v 2 ] u MK 1 ere S 2015 2016 2/6 h10 - Produit scalaire
Propriété P3 : Produit scalaire exprimé analytiquement : Dans un repère orthonormé, pour tous vecteurs u ( ) x et v y ( x y ), on a : v = xx +yy Démonstration : On sait que u + ( ) x+x u y +y. On a alors v = 1 2 [ u + v 2 u 2 v 2 ] 1 ( (x+x v = 2 ) 2 +(y +y ) 2 x 2 +y 22 x 2 +y 22) =... = xx +yy 2 Propriétés Pour tous vecteurs u, v et w du plan et pour tout réel k, on a : P4 Symétrie v = v u P5 Linéarités : ( v + w) = v + w P6 Linéarités : (k v ) = (k u) v = k( v ) Identités remarquales : P7 ( u + v ) 2 = u 2 +2 v + v 2 P8 ( u v ) 2 = u 2 2 v + v 2 P9 ( u v ) ( u + v ) = u 2 v 2 3 pplications au calcul de longueurs et d angles 3.1 Théorème d L-Kashi ou de Pythagore généralisé est un triangle quelconque. On pose = a, = et = c, alors : a 2 = 2 +c 2 2ccos a c Démonstration : On sait que 2 = = ( + ) ( + ) = ( ) ( ) = 2 + 2 = 2 2 + 2 = 2 2 cosâ + 2 Donc a 2 = 2 +c 2 2ccos MK 1 ere S 2015 2016 3/6 h10 - Produit scalaire
3.2 Théorème de la médiane est un triangle et I milieu de []. On pose = a, =, = c et la mesure de la médiane issue de est notée m : 2 +c 2 = 2m 2 + a2 2 a c I m Démonstration : faire ide : 2 + 2 = + On sait aussi que = I + I et... 4 Orthogonalité 4.1 Projection orthogonale Propriété P10 : Soit, et trois points distincts du plan et est le projeté orthogonal de sur la droite (). On a alors : et ont le même sens : = et sont de sens opposés : = = = = MK 1 ere S 2015 2016 4/6 h10 - Produit scalaire
Propriété P11 : Si u et v sont colinéaires, alors : u v si u et v sont de même sens. v = u v si u et v sont sens opposés. 4.2 Vecteur normal à une droite Définition 3. Dans un plan, on dit qu un vecteur non nul n est normal à une droite () s il est orthogonal à un vecteur directeur de () (par exemple ). n est alors orthogonal à tout vecteur directeur de (). Propriété P12 : Dans un repère orthonormé du plan : Si une droite d d équation cartésienne ax+y + c = 0, avec (a 0 et 0) alors n vecteur normal de d. Réciproquement, Si n un vecteur non nul de coordonnées une équation cartésienne de la forme ax+y +c = 0. ( ) a est un ( ) a est normal à une droite d, alors d a 4.3 Équations cartésiennes de cercles Propriété P13 : Dans un repère orthonormé, une équation cartésienne du cercle de centre Ω et de rayon R > 0 est : (x x Ω ) 2 +(y y Ω ) 2 = R 2 Propriété P14 : Le cercle de diamètre [] est l ensemle des points M tels que M M = 0. Dans un repère orthonormé, une équation cartésienne du cercle s écrit alors : (x x )(x x )+(y y )(y y ) = 0 MK 1 ere S 2015 2016 5/6 h10 - Produit scalaire
5 Trigonométrie 5.0.1 Les formules d addition Pour tout réels a et : cos(a+) = cosacos sinasin sin(a+) = sinacos+cosasin cos(a ) = cosacos+sinasin sin(a ) = sinacos cosasin Démonstrations : faire 5.0.2 Les formules de duplication et de linéarisation Pour tout réel a on a : : cos2a = cos 2 a sin 2 a = 2cos 2 a 1 = 1 2sin 2 a sin2a = 2sinacosa Démonstrations : faire MK 1 ere S 2015 2016 6/6 h10 - Produit scalaire