Séance Algèbre Linéaire : corrections. Remarque générale : les exercices qui suivent ne pourront sans doute pas tous être traités dans les 3 heures ; mais un certain nombre pourra être cherché à la maison. 1 Montrer qu un espace est (ou n est pas) un espace vectoriel Méthode : Pour montrer qu un espace n est pas un espace vectoriel : il est souvent utile de développer une intuition de ce qu est un espace-vectoriel (non courbe, non borné, contenant 0). Pour montrer que E n est pas un espace vectoriel, on peut montrer que 0 / E, ou qu il existe a et b dans E avec a + b non dans E, ou en montrant qu il existe a E avec λa / E pour un certain λ R. Exercice 1 Montrez que les espaces suivants ne sont pas des espaces vectoriels : a) E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}. b) F = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0 ou x = 0} c) G = {f : R R : 1 0 f 2 (x)dx = 1}. d) H est l ensemble des matrices de taille 2 2 inversibles. Correction a) (0, 0, 0) / E. b) (0, 1, 0) F, (1, 1, 0) F, et la somme (1, 0, 0) / F. pour c) et d), regarder l élément nul. Exercice 2 Soit E un R-espace vectoriel, et A et B deux parties de E. Montrez l équivalence entre (i) et (ii) : (i) A B est un s.e.v. de E. (ii) A B ou B A. Correction (ii) implique facilement (i). Si (i) vrai et pas (ii), on peut trouver a A et b B avec a / B et b / A. Mais alors a + b A B : faire deux cas et arriver à une contradiction. Méthode : Pour montrer qu un espace E est un espace vectoriel : on peut montrer que E est un sous-espace vectoriel d un espace dont on sait qu il est un espace vectoriel. Exercice 3 Montrez que les espaces suivants sont des sous-espaces vectoriels : a) F = {f : R R : 1 0 f(x)dx = 0}. b) G = {f : R R : lim x + f(x) = f(1)}. c) H = {(u n ) n N : u n + u n+1 = 2u n+2 }. d) H = {f : R R : 2π périodique }. Correction On sait que l ensemble des fonctions de R dans R est un espace vectoriel : reste à montrer (pour a), b) et d)) que F, G et H contiennent 0 et sont stables par combinaisons linéaires (facile). Pour b) similaire. 1
Méthode : Pour montrer qu un espace E est un espace vectoriel : on peut montrer que E peut s écrire V ect(...). Exercice 4 Montrez que les espaces suivants sont des sous-espaces vectoriels, dont on précisera une base : a) E = {(x, y, z, t) R 4 : x + y + z = 0, y + 2z + t = 0}. b) G est l ensemble des matrices carrées de taille 3 dont la diagonale est nulle. Correction a) On trouver E = V ect(( 1, 1, 0, 1), ( 1, 0, 1, 2)). b) G est engendré par les matrices dont les coefficients sont nuls, sauf un des coefficients, non sur la diagonale, qui est égal à 1. Méthode : Pour montrer qu un espace E est un espace vectoriel : Ecrire E comme le noyau d une application linéaire. 2 Ecritures équivalentes d un espace vectoriel Méthode : On peut écrire un espace vectoriel sous forme d équations ou sous la forme de Vect(...). Il faut savoir passer d une forme à l autre. Si E = {(x 1,..., x n ) vérifiant certaines equations...} ; on élimine certaines coordonnées de (x 1,..., x n ) à l aide des équations. Si E = V ect(u 1,..., u k ) ; on écrit x E si et seulement si il existe un unique a 1,..., a k tel que x = a i u i. On résoud alors le système précédent (à paramètre x). Exercice 5 a) Ecrire sous forme d équations l espace E = V ect{(1, 1, 1), (0, 1, 0)}. b) Ecrire sous forme de Vect l espace E = {(x, y, z) : x + y + z = 0}. Correction a) On trouver E = {(x, y, z) : x = z}. Pour b) on trouve E = V ect((1, 0, 1), (0, 1, 1)). 3 Famille libre, liée,base Méthode : Pour montrer qu une famille à n éléments est liée, on peut effectuer un pivot, et montrer que le nombre de pivots est < à n ; cela fournit en même temps une base de l espace. Exercice 6 1) Montrez que la famille F = ((1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 0), (4, 3, 1, 2)) est liée, et trouver une base de l espace engendré par cette famille. 2) Trouver le paramètre k réel tel que la famille H = ((1, 1, 1), (1, 2, 3), (1, 2, k)) soit liée. Correction Pour 1), une base est ((1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 0)). Pour 2), on trouve k = 5. Méthode : Pour montrer qu une famille est libre, on écrit qu une combinaison linéaire à coefficients quelconques de cette famille est nulle, et l on montre qu alors les coefficients de cette combinaison sont 2
nuls. Exercice 7 Montrez que les familles suivantes sont libres : 1) F = (e x, ln(x), x), famille de l espace des fonctions de R + dans R. 2) H = ((1, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 1, 2)). 3) Si (e 1,..., e n ) est une famille libre, montrez que (f 1,..., f n ) est libre, où f 1 = e 1, f 2 = e 1 + e 2,..., f i = e 1 +... + e i pour i = 1,..., n. Correction Pour 1) Si a.e x + b.ln(x) + c.x = 0 pour tout x > 0 : on divise par e x puis on fait tendre x vers + d où a = 0. Puis on prend x = 1, d où c = 0. Puis en prenant x = 2, b = 0. Pour 2) simple résolution de système. Pour (3), on utilise la définition de libre, et on résoud. Méthode Pour montrer qu une famille est une base : si on est en dimension finie, on montre que c est une famille libre de n éléments d un espace de dimension n. Sinon, on ecrit l espace comme Vect de la famille en question. Exercice 8 Montrez que la famille suivante est une base ( ) ( ) ( 0 1 1 0 0 0 F = (,, 1 0 0 famille de l espace des matrices symétriques carrées de taille 2. Correction Si l on sait que la dimension de cet espace est trois, il suffit de montrer que le système est libre. Exercice 9 Soit F = { trouver une base et la dimension. a b c 0 d e 0 0 f ) ), : a, b, c, d, e, f réels}. Montrer que F est un espace vectoriel, en Correction On trouve 6 pour la dimension. Cet espace est engendré par les matrices à coefficients nuls sauf un coefficient, non en dessous de la diagonale, qui est 1. 4 Inverse d une matrice Méthode : Pour trouver l inverse d une matrice, soit on utilise la méthode du pivot, soit on utilise une équation polynômiale vérifiée par la matrice... Exercice 10 1) Soit A = 1 0 2 0 1 1 1 2 0. Calculer A 3 A. En déduire que A est inversible, et calculer son inverse. 2) Soit A une matrice carrées de taille n telle que A 3 + A 2 + I n = 0. Montrez que A est inversible et trouver son inverse. Correction 1) On trouver A 3 A = 4I 3. Donc A (A2 I 2 ) 4 = I 3 d ou l inversibilité et l inverse de A. Pour 2) on remarque A( A 2 A) = I 3 d où l inverse de A est A 2 A. 3
Exercice 11 Soit A une matrice carrée d ordre 2 à coefficients dans R. 1) Montrer que A 2 tr(a)a + det(a)i 2 = 0. 2) En Supposant que A est inversible, calculer l inverse A 1 de A. Correction Pour 1) simple calcul. Pour 2) méthode similaire à l exercice précédent. 5 Résolution d un Système linéaire Méthode : La principale difficultée pour les étudiant est d éviter de faire disparaître une équation par des manipulations non autorisée. Une bonne manière de travailler cela est de considérer des systèmes à paramètres, qui synthétisent une bonne partie des difficultés. Exercice 12 Déterminer les valeurs du réel a tel que le système suivant : i) n admet pas de solution ii) admet une et une seule solution iii) admet une infinité de solutions. x + y z = 1 x + 2y + az = 2 2x + ay + 2z = 3 Correction Ce système admet une et une seule solution si et seulement si a est différent de 3 et de 2, n admet pas de solution pour a = 2 et admet une infinité de solutions pour a = 3. Exercice 13 Déterminer les valeurs des réels a, b, c tel que le système suivant admet au moins une solution : Correction Si et seulement si c 8a + 2b = 0. x + 2y 3z = a 3x + 8y 14z = b 2x + 4z = c 6 Calcul de Puissance n-ème de matrice Méthode : Calculer la puissance n-ème d une matrice : On écrit la matrice M = A + B avec AB = BA et on utilise la forume de binôme de Newton, en espérant que pour k assez grand, A k ou B k soit nul. On tente de deviner l expression de M k en regardant les premiers termes, puis l on fait une récurrence (ceci est particulièrement facile si la matrice M est solution d un équation algébrique). 4
Exercice 14( ) ( ) 3 2 1) Soit A =. Montrer que A 2 2 n = 1 2 n+2 ( 1) n 2 n+1 2( 1) n 3 2 n+1 + 2( 1) n 2 n + 4( 1) n. 1 1 3 2) Soit A = 0 1 2. Calculer A n pour tout entier n. Calculer A 1. Correction Pour 1) récurrence. Pour 2), on écrit A = I 3 + N, où N nilpotente, et on utilise le binôme 1 n n 2 + 2n 1 1 1 de Newton. On trouve A n = 0 1 2n. Pour A 1 on trouve 0 1 2, en faisant une analogie avec le D.L. de 1 1+x... 7 Calcul de Noyau, d image. Méthode : Déterminer l image d une application linéaire. Ecrire sous forme de Vect l image d une application linéaire : ecrire Imf=Vect{f(e 1 ),..., f(e n )} où (e 1,..., e n ) est une base de l espace de départ ; pour trouver une base de cet espace, effectuer par exemple un pivot. Méthode : Déterminer le noyau d une application linéaire f : résoudre l équation f(x) = 0. Exercice 15 Trouver une base de Imf et de Kerf, avec : 1) f : R 3 R 2 définie par f(x, ( y, z) = )(x + y + z, x). a b 2) f : M 2 R 3 définie par f( ) = (a + b, a + c, b c). c d Correction Pour 1) on trouver ((1, 0), (0, 1)) comme base de l image, et (0, 1, 1) comme base du noyau. Pour 2), on trouver ((1, 1, 0), (1, 0, 1)) pour l image, et ( 1, 1, 1) pour le noyau. Exercice 16 Soit E un espace vectoriel. Soit f un endomorphisme de E. Montrez les équivalences suivantes : 1. Kerf 2 = Kerf si et seulement si Ker(f) Im(f) = {0}. 2. Imf 2 = Imf si et seulement si Ker(f) + Im(f) = E, où l on définit Ker(f) + Im(f) = {x + y : x Ker(f), y Im(f)}. Correction Raisonner, la plupart du temps, par double inclusion. 5