TD 1 : Taux d intérêt en univers déterministe

Université Paris VI Master 1 : Introduction au calcul stochastique pour la finance 4M065) TD 1 : Taux d intérêt en univers déterministe 1 Interêts simples / Intérêts composés Définition : a) L intérêt d un prêt est dit simple lorsqu il est calculé à chaque période seulement sur la base de la somme prêtée ou empruntée à l origine b) L intérêt d un prêt est dit composé lorsqu à la fin de chaque période l intérêt s ajoute au capital de début de période pour former la base de calcul de l intérêt pour la période suivante Le montant d intérêt et le capital changent à chaque période On emprunte N sur n périodes, et dans tout l exercice, intérêt et capital seront toujours remboursés et payés à échéance ie à la fin des n périodes) On note r s le taux simple par période et r c le taux composé 1 Quel est le montant dû en n si les intérêts sont simples? 2 Si les intérêts sont composés? 3 Quelle relation doit exister entre r s et r c, en l absence d opportunité d arbitrage et en supposant que l on peut emprunter ou prêter selon les deux modalités? 4 Ces taux peuvent-ils être tous les deux indépendants de n? 5 Si les périodes associées au taux r s sont des mois, et si n est un multiple de 12, quel est le taux simple annuel r s, en l absence d opportunité d arbitrage et en supposant que l on peut emprunter ou prêter en intérêts simples mensuels et annuels? 6 Vous souhaitez effectuer un achat pour un montant de 1000 euros Faute de disponibilités immédiates, vous décidez de financer votre achat par un crédit de durée un an Deux solutions vous sont alors possibles : a) votre carte de crédit vous donne la possibilité d emprunter au taux mensuel simple de 0, 5 %, b) votre banque vous offre une possibilité de financement au taux annuel composé de 6, 1 % Pour quelle méthode de financement opteriez-vous? Que se passe-t-il si vous devez emprunter aux mêmes conditions mais sur deux ans avec remboursement du capital et des intérêt in fine? Solution : 1 En n, on doit alors N + nr s N 2 Soit, pour k = 0,, n, m k le montant total dû à la fin de la période k On a m 0 = N, et pour tout k, m k = m k 1 1 + r c ) Ainsi, m n = N1 + r c ) n 3 En l absence d opportunité d arbitrage, on a alors 1 + nr s = 1 + r c ) n Prouvons-le Supposons que 1+nr s < 1+r c ) n Alors à l instant 0, on emprunte N euros en intérêts simples et les prête en intérêts composés À l instant n, on récupère N1 + r c ) n et rend N1 + nr s ) : gain de N1 + r c ) n 1 + nr s )) > 0 Supposons que 1+nr s > 1+r c ) n Alors à l instant 0, on emprunte N euros en intérêts composés et les prête en intérêts simples À l instant n, on récupère N1 + nr s ) et rend N1 + r c ) n : gain de N1 + nr s ) 1 + r c ) n ) > 0 4 Ces taux ne peuvent être tous les deux indépendants de n, car les couples de solution de l équation 1 + nx = 1 + y) n dépendent de n 5 Un raisonnement par opportunité d arbitrage montre que r s = 12r s 1

6 Ici, en utilisant la question précédente, on peut se ramener à des intérêts simples annuels de r s = 12 0, 5 = 6% Dans le premier cas, on a alors, avec des périodes d une année, n = 1, r s = 0, 06, r c = 6, 1 1 + nr s < 1 + r c ) n, donc il vaut mieux emprunter en intérêt simples Dans le deuxième cas, toujours avec des périodes d une année, n = 2, r s = 0, 06, r c = 6, 1 1 + nr s = 1, 120, 1 + r c ) n = 1, 126, donc il vaut mieux emprunter en intérêt simples aussi 2 Limite continue de la capitalisation par intérêts composés 1 Donner, pour r IR, et v n suite équivalente à tn, avec t > 0, la limite de la suite u n = vn 1 + n) r 2 Dans de nombreux cas, les taux d intérêts sont associés à des longues durées, mais calculés de façon composée sur des durées beaucoup plus courtes On parle par exemple de taux annuel r à composition mensuelle, hebdomadaire, quotidienne, ou de façon plus générale m fois par an Cela signifie précisément que les intérêts sont composés m fois par an au taux r Par exemple, un montant A investi au taux annuel r à composition m mensuelle donc m = 12) rapporte, au bout de respectivement 3, 7, 15 mois : A 1 + r 12 ) 3, A 1 + r 12 ) 7, A 1 + r 12 On dispose de 100 000 euros à investir deux ans Vaut-il mieux l investir au taux annuel de 4,7% calculé composé de façon annuelle, au taux annuel 4,6% composé de façon mensuelle, au taux 4,5% composé de façon hebdomadaire, ou au taux 4,4% composé de façon quotidienne les années sont supposées avoir 365 jours)? 3 Supposons que l on investisse A euros au taux annuel de r à composition m fois par an, avec m très grand Donner la valeur V m t) du capital au bout d un temps t compté en années, mais non forcément entier) Quelle est sa limite lorsque m +? On parle alors de composition continue, et r est alors le taux continu r Solution : 1 ln u n v n, donc u n n n ert 2 Il suffit de comparer les valeurs du capital au bout de 2 ans dans les 4 cas, soit, arrondis à 10 euros, ) 15 1000001 + 0, 047) 2 = 109620; 1000001 + 0, 046/12) 24 = 109660; 1000001 + 0, 045/52) 2 52 = 109410; 1000001 + 0, 044/365) 2 365 = 109200 La deuxième solution est donc la meilleure 3 Soit E la partie entière La valeur du capital au bout d un temps t, est de A 1 + m) r Et/1/m)) Or la suite Et/1/m)) = Etm), encadrée par tm et tm 1, est équivalente à tm Donc par la première question, V m t) m Aert 3 Taux pré-compté / Taux post-compté Un emprunt est à taux pré-compté si les intérêts sont payés en début de période et non en fin comme dans le cas post-compté) 2

On note r p le taux par période pré-compté et r le taux post-compté 1 Vous voulez disposer de la somme N sur une période Combien devez-vous emprunter au taux pré-compté? Combien devez-vous rembourser en fin de période? Combien quelqu un qui possède N peut-il prêter en pré-compté? 2 Reprendre la question 1 avec le taux post-compté 3 En l absence d opportunité d arbitrage et en supposant que l on peut emprunter ou prêter selon les deux modalités, quelle relation doit-il y avoir entre les deux taux? Solution : 1 Si on emprunte x, on rembourse immédiatement xr p, et donc on dispose de x1 r p ) x doit donc satisfaire x1 r p ) = N, donc x = N/1 r p ) À la fin de la période, on rembourse le principal emprunté, càd N/1 r p ) Quelqu un qui possède N peut prêter N/1 r p ) en pré-compté En effet, N/1 r p ) > N, mais on a N/1 r p ) = N+r p N/1 r p ) donc la personne qui possède N et prête N/1 r p ) s endette de r p N/1 r p ), mais elle rembourse tout de suite, car elle empoche les intérêts de son prêt 2 Là, c est plus facile, on emprunte N Par contre, on rembourse N1 + r) 3 Considérons la stratégie suivante Début de période : emprunt de N en post-compté, et prêt de N/1 r p ) en précompté le bilan est nul) Fin de période : retour des N/1 r p ) prêtés et payement du principal et des intérêts de l emprunt, soit N1 + r) Le bilan ne peut être positif, sans quoi on aurait une opportunité d arbitrage, donc N1 + r) N/1 r p ) La stratégie inverse implique que N1 + r) N/1 r p ) Donc 1 + r)1 r p ) = 1 4 Taux équivalents On note r k le taux composé à capitalisation toutes les k périodes Quelle relation doit exister entre r k et r pk si p IN? Solution : Un raisonnement par opportunité d arbitrage donne : pour tout capital initial N, N1 + r k ) p = N1 + r pk ) La relation est donc : 1 + r k ) p = 1 + r pk 5 Taux d intérêts et taux de change Considérons une économie à deux dates et deux pays On note par r d le taux d intérêt domestique, et par r e le taux d intérêt étranger sur la période considérée On désigne par τ 0 et τ 1 le taux de change domestique/étranger aux dates 0 et 1, c est à dire : τ i unités en monnaie domestique à la date i 1 unité en monnaie étrangère à la date i On suppose qu il y a parfaite mobilité des capitaux En utilisant un raisonnement d absence d arbitrage, trouver une relation entre r d, r e, τ 0 et τ 1 Solution : Montrons que τ 1 1 + r e ) = τ 0 1 + r d ) Pour simplifier, appelons la monnaie domestique l euro et la monnaie étrangère de yen Considérons la stratégie suivante A la date 0, on emprunte τ 0 euros, que l on convertit en 1 yen, placé au taux sans risque au Japon bilan nul à la date 0) A la date 1, on récupère 1 + r e ) yens, que l on convertit en τ 1 1 + r e ) euros, et on paye τ 0 1 + r d ) pour notre emprunt initial 3

En absence d arbitrage, le bilan ne peut être positif, donc τ 1 1 + r e ) τ 0 1 + r d ) Considérons maintenant la stratégie suivante A la date 0, on emprunte 1 yen, que l on convertit en τ 0 euros, placé au taux sans risque en Europe bilan nul à la date 0) A la date 1, on récupère τ 0 1 + r d ) euros, que l on convertit en τ 0 1 + r d )/τ 1 yens, et on paye 1 + r e yens pour notre emprunt initial En absence d arbitrage, le bilan ne peut être positif, donc 1 + r e τ 0 1 + r d )/τ 1 6 Taux forward, courbe de taux et zéro-coupons Cet exercice porte sur les taux d intérêt ou d emprunt à l état, appelés taux sans risque, dans leur version discrète On se place à un instant qui correspondra à la date 0 et on note, pour 0 k l entiers, r k,l la valeur actuelle le taux composé sur la période [k, l] pour un placement effectué à la date k Ce taux s appelle le taux forward actuel pour la période [k, l] 1 Exprimer, en l absence d opportunité d arbitrage, r k,l en fonction des r i,i+1 2 On note, pour k 0, rk) = r 0,k le taux d intérêt composé correspondant à un emprunt de maturité k à capitalisation par période la fonction k rk) est appelé courbe des taux) Exprimer r k 1,k en fonction de cette fonction Donner le taux forward mensuel actuel on se place début janvier 2008) pour le mois de juin 2008 si les taux d intérêt mensuels pour des placements effectués aujourd hui à maturités respectives fin mai 2008 et fin juin 2008 sont 0,5% et 0,6% Pouvait-on prévoir sans calcul que ce taux serait supérieur à 0,6%? 3 Calculer rk) dans le cas particulier où r i,i+1 = r ne dépend pas de i 4 On vous propose de vous donner 1 euros en k contre le paiement en j d un montant Bj, k), j < k Que vaut Bj, k)? En déduite que connaître la fonction k B0, k) courbe zéro-coupon) est équivalent à connaître la fonction k rk) l 1 Solution : 1 On a 1 + r k,l ) l k = 1 + r i,i+1 ) l arbitrage se construit facilement si i=k cette propriété n est pas vérifiée) k 1 2 On a 1 + rk)) k = 1 + r i,i+1 ), donc 1 + r k 1,k = 1+rk))k Dans l exemple, 1+rk 1)) k 1 i=0 on cherche r 5,6 pour r5) = 0, 005 et r6) = 0, 006 Le calcul est aisé, on obtient un taux de 1,1% 3 Si r i,i+1 = r ne dépend pas de i, 1 + rk)) k = 1 + r) k, donc rk) = r 4 On a Bj, k)1 + r j,k ) k j = 1, donc Bj, k) = 1 + r j,k ) k j) La conclusion est immédiate 7 Taux instantané, courbe des taux instantanés Cet exercice porte sur les taux d intérêt ou d emprunt à l état, appelés taux sans risque, dans leur version continue On travaille ici avec les taux annuels continus, c est à dire que dire "le taux annuel continu pour un investissement I de durée T est r" signifie que un investissement de N euros dans I de durée T rapporte Ne T r euros à la fin de l investissement T est compté en années, et n est pas forcément entier, c est l avantage de la notion de "taux continu" 4

On a maintenant un repérage du temps continu On se place à un instant qui correspondra à la date 0 et on note, pour 0 t t non forcément entiers), r t,t la valeur actuelle le taux annuel continu sur la période [t, t ] pour un placement effectué à la date t Ce taux s appelle le taux forward annuel continu actuel pour la période [t, t ] 1 Exprimer, pour 0 t t t, en l absence d opportunité d arbitrage, la relation entre r t,t, r t,t et r t,t 2 On note, pour t 0, rt) = r 0,t la fonction t rt) est appelé courbe des taux continus) Exprimer r t,t en fonction de cette fonction Donner le taux forward annuel continu actuel on se place début janvier 2008) pour le mois de septembre 2008 si les taux d intérêt annuels pour des placements effectués aujourd hui à maturités respectives fin août 2008 et fin septembre 2008 sont 3,00% et 3,07% Pouvait-on prévoir sans calcul que ce taux serait supérieur à 3,07%? 3 On suppose la fonction t rt) dérivable Donner la limite r F t) de r t,t quand t tend vers t, appelée taux forward annuel instantané à maturité t 4 Soit 0 t < t On vous propose de vous donner 1 euros en t contre le paiement en t d un montant Bt, t ) Que vaut Bt, t )? En déduite que connaître la fonction t B0, t) courbe zéro-coupon) est équivalent à connaître la fonction t rt) Solution : 1 On a e t t)r t,t = e t t)r t,t e t t )r t,t, ie t t)r t,t = t t)r t,t + t t )r t,t l arbitrage se construit facilement si cette propriété n est pas vérifiée) 2 D après la relation précédente, t rt ) = trt) + t t)r t,t, donc r t,t = t rt ) trt) t t = rt) + t rt ) rt) t t Dans l exemple, on cherche r 8/12,9/12 pour r8/12) = 0, 03 et r9/12) = 0, 031 Le calcul est aisé, on obtient un taux de 3,9% 3 D après la formule r t,t = rt) + t rt ) rt), r t t F t) = rt) + tr t) 4 On a Bt, t )e t t)r t,t = 1, donc Bt, t ) = e t t)r t,t La conclusion est immédiate 8 Taux swap On considère une économie à n périodes Le taux composé pour la période [k 1, k] est r k 1 Soit k un entier positif Rappeler le prix, à l instant 0, d un flux de N euros à recevoir à l instant k 2 On vous propose d échanger les flux suivants : a vous recevez rn à chaque fin de période pendant n périodes, 0 < r < 1 b vous payez c k N en fin de chacune des périodes [k 1, k], 0 < c k < 1, k = 1,, n Donner l équation que doit vérifier r pour que a et b soient équivalents la solution est appelé taux swap du flux b) Indication : on calculera le prix, à l instant 0, de chacun des deux flux Solution : 1 Le prix, à l instant 0, d un flux de N euros à recevoir à l instant k est 1 NBk), avec Bk) = 1+r 1 )1+r 2 ) 1+r k ) 2 Le prix du premier flux est rnbk), 5

alors que celui du deuxième est On doit donc avoir c k NBk) r = c k Bk) Bk) 9 Taux actuariel Vous voulez disposer de N sur n périodes Vous avez le choix entre a Emprunter auprès d une banque au taux composé r b Dans ce cas, la banque vous demande de payer immédiatement des frais de gestion égaux à α la somme empruntée, α ]0, 1[ b Emprunter sur le marché au taux composé r Calculer r qui rend a et b équivalents c est le taux actuariel associé à l opération a) Solution : Même genre de calculs que dans l exercice précédent 10 Remboursement d emprunt 1 Soit u n une suite de réels telle qu il existe λ, µ, b IR, avec λ µ,tels que pour tout n, u n+1 = λu n + bµ n Exprimer u n en fonction de n et u 0 on pourra diviser la formule précédente par λ n+1 ) 2 On considère un prêt d un montant V 0 au taux d intérêt composé) r, pour une durée de n périodes On note par I k et D k l intérêt et le remboursement du capital à payer à la fin de la période k On désigne par A k = I k + D k l annuité de la période k Calculer les I k, D k et A k dans les cas suivants a Les annuités suivent une progression de la forme : A k+1 = 1 + β)a k et A 1 = a, où β est une constante donnée strictement supérieure à r b Les flux de remboursement du capital suivent une progression de la forme : D k+1 = 09 D k et D 1 = d Solution : 1 Soit v n = u n λ n On a v n+1 v n = b/λ)µ/λ) n Donc n 1 v n = v 0 + b/λ) µ/λ) i = v 0 + b 1 µ/λ)n λ µ i=0 2 Soit V k le capital dû durant la période [k, k+1[ On a I k = rv k 1 et V k = V k 1 D k = 1 + r)v k 1 A k 6

a Ici, A k = a 1+β 1 + β)k, donc on a V n = 1 + r)v n 1 a 1 + β 1 + β)n La formule précédente donne V k I k et D k en découlent b Ici, D k = d 0,9 0, 9k, donc on a V n = V n 1 d 0, 9 0, 9n La formule précédente donne V k I k et D k en découlent Bibliographie sommaire pour découvrir le vocabulaire de la finance : Les premiers TDs porteront sur la découverte de "l approche financière" des questions traitées et sur l apprentissage de points de vocabulaire Le polycopié du cours et les TD avec corrigés suffisent, mais au besoin, j ai ajouté ici un bibliographie Options, futures, et autres actifs dérivés, John Hull, chez Pearson Les mathématiques financières : évaluation des actifs et analyse du risque, Poucet, Portait, Hayat Mathématiques financières, Edith Ginglinger, Jean-Marie Hasquenoph, chez Economica Méthodes mathématiques pour la finance, Argaud, Dubois, chez Ellipses Pour le reste la partie plus mathématique) du cours, le livre suivant est très bien : Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, D Lamberton, B Lapeyre, chez Ellispes A Course in Financial Calculus, Alison Etheridge, chez Cambridge University Press ; 1 edition July 15, 2002) De plus, les corrigés ainsi que, éventuellement, des exercices supplémentaires devoirs à faire librement, non corrigés) seront régulièrementrendus disponibles à l adresse suivante : http://wwwcmapxpolytechniquefr/~benaych/ 7