Limites de fonctions Limites en + Définitions : On dit qe f () tend ers l lorsqe tend ers + lorsqe tot interalle oert contenant l contient totes les alers de f () por sffisamment grand. On note f () = l. On dit qe f () tend ers + lorsqe tend ers + lorsqe tot interalle d type ] A ; + [ contient totes les alers de f () por sffisamment grand. On note f () = + On dit qe f () tend ers lorsqe tend ers + lorsqe tot interalle d type ] ; A [ contient totes les alers de f () por sffisamment grand. On note f () =. Même type de définitions qand tend ers. Propriétés Limites de fonction selle en + 0 = + et = + où *. et 0 où *. Propriétés Limites de fonction selle en = lorsqe est n entier natrel impair et = lorsqe est n entier natrel pair non nl. 0 où *. Définitions Limites en n réel, ite à gache, ite à droite Soit f ne fonction définie sr n oisinage de a saf éentellement en a. On dit qe f () tend ers l lorsqe tend ers a lorsqe tot interalle oert contenant l contient totes les alers de f () por sffisamment proche de a. On note f () = l. On dit qe f () tend ers + lorsqe tend ers a lorsqe tot interalle d type ] A ; + [ contient totes les alers de f () por sffisamment proche de a. On note f () = + On dit qe f () tend ers lorsqe tend ers a lorsqe tot interalle d type ] ; A [ contient totes les alers de f () por sffisamment proche de a. On note f () =. Propriétés a a a Limites de fonction selle en n réel 0 Por entier natrel impair, on a 0 0 et 0 0.
Por est n entier natrel pair, on a 0 0 et 0 0 donc 0
Illstration graphiqe asymptotes Graphiqement, on obsere q ne droite est asymptote à ne corbe lorsqe la corbe se rapproche atant q on le et de la droite. Définitions asymptote horizontale Soit f ne fonction telle qe f () = l (o f () = l) La droite d éqation y = l est dite droite asymptote à la corbe représentatie de f a oisinage de + (o de ). asymptote erticale Soit f ne fonction telle qe f () = + (o f () = ) où a est n réel. a La droite d éqation =a est dite droite asymptote à la corbe représentatie de f. a
Propriétés Somme f () = l et si g() = l alors (f () + g()) = l + l Dans le cas où l ne a moins des fonctions a ne ite infinie en α, les résltats sont donnés par le tablea siant : La ite de la somme f () + g ( ) g() = a f () = a + + + Forme indéterminée Forme indéterminée l + Propriétés Prodit f () = l et si g() = l alors (f () g()) = l l Dans le cas où l ne a moins des fonctions a ne ite infinie en α, les résltats sont donnés par le tablea siant : La ite d prodit f () g () g() = a + f () = a Propriété qotient g( ) a f ( ) a 97 + + + l ( l > 0) + l ( l < 0) + 0 Forme indéterminée Forme indéterminée La ite d qotient + 0 + 0 l (l > 0) l (l < 0) + + + + + l (l > 0) + + l (l < 0) + + ' 0 0 0 0
Propriétés Limites et inégalités : théorèmes de comparaison Si f () g() et si g( ) alors f ( ). Si f () g() et si g( ) alors f ( ). Théorème des gendarmes Si g() f () h() et si g( ) h( ) = l alors f ( ) l. 3. Continité d ne fonction Définition Soit f ne fonction définie sr n interalle I contenant n réel a. On dit qe f est contine en a si f () = f (a). a On dit qe f est contine sr I si elle est contine en tot réel de I. Propriétés Les fonctions polynomiales, rationnelles, racine carrée, aler absole, sins, cosins ainsi qe les sommes, prodits, qotients et composées de telles fonctions sont contines sr tot interalle incls dans ler ensemble de définition. Tote fonction dériable sr n interalle est contine sr cet interalle. Sites et composée Soient f ne fonction définie contine sr n interalle I, ( n ) ne site de réels appartenant à l interalle I de terme général n + = f ( n ) Si ( n ) conerge alors sa ite est soltion de l éqation f () =. Théorème des alers intermédiaires Soit f ne fonction définie et contine sr n interalle n interalle [a ; b] où a < b. Por tot réel compris entre f (a) et f (b), l éqation f () = admet a moins ne soltion sr l interalle [a ; b]. Théorème Soit f ne fonction définie, contine et strictement monotone sr n interalle n interalle [a ; b] où a < b. Por tot réel compris entre f (a) et f (b), l éqation f () = admet ne niqe soltion sr l interalle [a ; b]. Remarqe Le théorème est érifié dans le cas où f est définie sr n interalle oert ] a ; b [ o semioert [ a ; b [ o ] a ; b ] aec a o b finis o infinis. Dans ce cas, l énoncé des théorèmes est à adapter en considérant les ites en a o en b a lie des images de ces réels.
Dériation Formlaire fonction fonction dériée a où a est ne constante 0 n (où n ) n n n n (o n 0) n Soit et de fonctions définies et dériables sr n même interalle I. fonction fonction dériée Somme + + Prodit par n réel où est ne constante réelle Prodit + ' Inerse ' ' Qotient Soit est ne fonction définie et dériable sr n interalle I. fonction g fonction dériée de g Remarqes éentelles n (où n ) n n ne s annle pas sr I si n < 0 n n ' (o n 0) n ne s annle pas sr I ' ne s annle pas sr I ' est strictement positie sr I Dans le cas général, si est ne fonction définie et dériable sr n interalle I et f ne fonction définie et dériable sr n interalle J tel qe por tot de I, () appartient à J alors la fonction g définie par g() = f [()] est dériable sr I et por tot de I, g'() = '( ) f '[()] Définition Tangente à ne corbe en n point La tangente à C a point A (a ; f (a)) est la droite passant par A de coefficient directer f (a). Théorème L'éqation rédite de la tangente T à C a point d abscisse a est
y = f (a) ( a) + f (a)