Corrigé du Baccalauréat S Antilles-Guane 8 juin EXERCICE Commun à tous les candidats points Les justifications n étaient pas demandées, elles sont données ici à titre purement pédagogique.. On tire au hasard une carte d un jeu de cartes. Dans un tel jeu, il a 8 piques et as, dont l as de pique, le nombre de cartes qui ne sont ni des as ni des piques est donc 8+ =. Comme il a équiprobabilité sur les cartes, la probabilité de n obtenir ni un as, ni un pique, est donc égale à : Réponse B. On tire au hasard et simultanément deu cartes d un jeu de cartes. Il a cette fois-ci équiprobabilité sur les façons de tirer simultanément cartes parmi. La probabilité de n obtenir ni un as, ni un pique, est donc égale à : = = 5 Réponses A et B 8. La durée d attente à un guichet de service, eprimée en heure, suit la loi uniforme sur l intervalle [;]. La probabilité que la durée d attente d une personne prise au hasard soit comprise entre 5 min soit h et min soit h est, d après le cours : = Réponse C. On considère appareils identiques, de même garantie, fonctionnant indépendamment les uns des autres. La probabilité pour chaque appareil de tomber en panne durant la période de garantie est égale à,5. On est donc dans le cadre d un schéma de Bernoulli. Notons X le nombre d appareils tombant en panne durant la période de garantie. Alors X suit la loi binomiale B ;,5. La probabilité pour qu eactement 9 appareils soient en parfait état de marche à l issue de la période de garantie est donc égale à celle qu il ait eactement appareil en panne, soit : px = =,5,85 9 =,5,85 9,5 à près. Réponses A et D. EXERCICE Réservé au candidats n aant pas suivi l enseignement de spécialité Le plan est muni d un repère orthonormal direct O, u, v d unité cm. 5 points. Restitution organisée de connaissances a. La relation se traduit par z ω z ω = z ω, ou encore z ω =. z ω La relation se traduit par : arg = θ π. z ω
b. Le nombre complee z ω a pour module et pour argument θ, on z ω peut donc écrire, en utilisant la forme eponentielle, que : z ω z ω = eiθ. On en déduit alors que z ω=e iθ z ω d où : z = e iθ z ω+ω.. L équation : z z+ 6 = a pour discriminant = 6 <. Il a donc deu solutions complees conjuguées : z = i = i et z = z = +i.. a. On a b = +i= + i = cos π 6 + i sin π 6 = e i π 6. On en déduit que a= b= e i π 6. b. Voir figure. c. Comme a et b sont conjugués, les points A et B sont smétriques par rapport à l ae réel et l on a donc O A= OB = a =. Par ailleurs AB = +i i = i =. Ainsi O A = OB = AB, le triangle O AB est donc équilatéral.. D après la question : d = e i π c += + i 8i= +i. 5. On constate que d = b, autrement dit : OD = OB, ce qui signifie que D est l image de B par l homothétie de centre O et de rapport. 6. OB = AB car le triangle O AB est équilatéral ; de même BD = OB car B est le milieu de [OD] puisque OD = OB. On a donc BO = B A = BD et les points O, B et D sont alignés, donc le point A appartient au cercle de diamètre [OD] et de centre B. Le triangle O AD est donc rectangle en A. Autre méthode : d a AO ; AD = +6i arg a i = π +i π. EXERCICE Réservé au candidats aant suivi l enseignement de spécialité 5 points. Soit s une similitude indirecte d écriture complee z = az+b. Soit C un point d affie c, D et E deu points d affies respectives d et e, distincts de C. Soient C = sc, D = sd, et E = se. Notons c, d et e les affies respectives des points C, D et E. Alors modulo π : C D ; C e E c d c d après la prop. ae+ b ac b d après la prop. ad+ b ac b ae c ad c e c d c e c = arg d c = CD ; CE. Une similitude indirecte transforme donc un angle orienté en son opposé. Antilles-Guane 8 juin
. a. Voir figure. b. S est la smétrie d ae O ; u, son epression complee est z = z.. a. S est une similitude directe, son écriture complee est donc de la forme z = az+b, avec a C et b C. De plus C = S C et D = S D donc : { +i = a+ b L +i = a+i+b L L L donne : +i= a i, d où a = +i i = i i = i. En remplaçant a par i dans L on a alors : +i=i+b d où b = +i. L écriture i complee de S est donc : z = iz+ +i. b. La similitude directe S a pour : rapport : k = i = ; angle α=argi = π ; centre le point Ω d affie ω telle que : ω= +i i = i. on peut remarquer que S n est rien d autre que le quart de tour direct de centre Ω.. Soit M un point quelconque d affie z, M = S M d affie z et M = S M d affie z. D après les questions précédentes : z = z et z = iz + +i= iz+ +i. L epression complee de S est donc : z = iz+ +i. a. S C=S S C=S C = C. De même, S D=S S D=S D =D. b. h c = e i π h c d c et d c donc : d c = ei π. On en déduit que : h c CD ; C H =arg = π HC et que : d c DC = h c d c = donc DC = HC. Le triangle C DH est donc équilatéral direct. c. S = S S, or S est une similitude indirecte et S est une similitude directe, donc S est une similitude indirecte. Par ailleurs, dans cette similitude indirecte S, le triangle équilatéral direct C DH a pour image C D H. Ce dernier triangle est donc équilatéral indirect. EXERCICE Commun à tous les candidats On définit la fonction F sur I, par F =. a. F = f tdt =. f tdt. points b. Soit [ ; ]. Sur l intervalle [ ; ] la fonction f est positive donc, comme, d après le cours : f tdt, c est-à-dire F. Soit [ ; ]. Sur l intervalle [ ; ] la fonction f est négative donc, comme, on a : On a donc : f tdt d où : f tdt, autrement dit F. f tdt. c. Sur l intervalle [ ; ], la fonction f est positive, l intégrale f tdt représente donc l aire de la portion du plan délimitée par l ae des abscisses, la courbe représentative de f et les droites verticales d équations Antilles-Guane 8 juin
respectives = et = en bleu sur la figure ci-dessous. Par ailleurs, cette aire est inférieure à l aire mauve du rectangle O ABC, autrement dit : F O A AB, c est-à-dire : F. A B O C - - - 5 6 7 8 -,5 - -,5 - De même, l aire F est supérieure à celle du triangle ODC de hauteur [DH] en jaune sur la figure ci-dessous donc F DH OC, c està-dire F 6. D O H C - - - 5 6 7 8 -,5 - -,5. a. Soit I. La fonction f est continue sur I, donc F : f tdt représente la primitive de f sur I qui s annule en. - b. D après ce qui précède, la fonction F est dérivable sur I et F = f. Le signe de f s obtient par lecture graphique. On peut donc dresser le tableau de variation de F : 8 Signe de F = f + F F Variation de f F 8. On dispose de deu représentations graphiques sur I. Courbe A Courbe B 8 8 6 6 - - - 5 6 7 8 - - 5 6 7 8 - - Les variations des courbes A et B sont en accord avec le tableau de variation précédent, cependant : Antilles-Guane 8 juin
La courbe A ne peut représenter la fonction F puisqu on doit avoir F = ce qui n est pas le cas pour la fonction représentée sur cette courbe. La courbe B ne peut représenter la fonction F puisqu on doit avoir 6 F ce qui n est pas le cas pour la fonction représentée sur cette courbe. EXERCICE Commun à tous les candidats Partie A 6 points. Limite en. D après le théorème des croissances comparées lim ln =, donc, par opérations sur les limites : lim g =. Limite en+. On peut écrire, pour tout réel > : g = ln. Or lim = + et + lim ln =, donc, par produit des limites : lim g =. + +. La fonction g est dérivable sur l intervalle ] ; + [ comme combinaison simple de fonctions qui le sont, et, pour tout > : g = ln + = ln.. Soit >, on sait que ln > > ; d où le tableau de variations de g : Partie B + g + g. À l aide de la calculatrice, on obtient les valeurs suivantes : n 5 6 7 8 9 u n,78,87,7,,7 865, 78, 78, On peut donc conjecturer que : a. la suite u n est décroissante ; b. la suite u n converge vers.. a. Pour tout n N : e n v n = lnu n =ln n n = ln e n ln n n = n ln e n ln n= n ln n=g n. b. Soit n N, alors n < n+, et comme la fonction g est strictement décroissante sur [;+ [, alors : g g n> g n+ ce qui équivaut à v n > v n+. Ceci prouve que la suite v n est décroissante. c. Pour tout n N, v n = lnu n, donc u n = e v n. De plus, d après la question précédente, v n > v n+, donc par application de la fonction eponentielle strictement croissante sur R : e v n > e v n+, c est-à-dire u n > u n+ et la suite u n est donc décroissante.. La suite u n est postive de façon évidente, elle est donc minorée. La suite u n est décroissante, elle est donc majorée par son premier terme u = e. La suite u n est donc bornée. Antilles-Guane 5 8 juin
. La suite u n est décroissante et minorée, elle est donc convergente. Par ailleurs, pour tout n N : u n = e v n = e g n. D après la partie A, lim g n= et lim n + X ex =, donc, par composition des limites, lim n + eg n =, ce qui prouve que la suite u n a pour limite. Antilles-Guane 6 8 juin
Baccalauréat S A. P. M. E. P. FIGURE Eercice non-spé 6 5 D B v O u 5 6 7 8 9 A 5 6 7 8 C 9 H FIGURE Eercice spé 5 C D D Ω v O u C C D H Antilles-Guane 7 8 juin