Devoir commun de seconde, mars 006 calculatrices autorisées On rappelle que le soin et la qualité de rédaction entrent pour une part non négligeable dans l appréciation de la copie. Eercice (7 points). On considère la fonction f définie sur [ ; ] dont la représentation graphique est donnée ci-contre. On utilisera le graphique pour répondre au questions suivantes. Aucune justification n est demandée.. Donner la valeur de f(0) et de f( ).. Résoudre graphiquement l équation f() = 0.. Résoudre graphiquement l inéquation f() < 0.. Quel est le maimum de f sur [ ; ]? 5. Dresser le tableau de variation de f. 6. Sur quels intervalles f est-elle à la fois décroissante et positive? 7. (a) Tracer, sur le dessin de l énoncé, la courbe de la 5 fonction g définie sur [ ; ] par g() = 5 5. (b) Résoudre graphiquement l équation f() = g() Eercice (9 points). On considère un triangle ABC isocèle en A et M un point quelconque de [BC], distinct de B et C. (Voir figure) Par M on mène la perpendiculaire à (AB) qui coupe (AB) en P, et la perpendiculaire à (AC) qui coupe (AC) en Q. Par C, on mène la perpendiculaire à (MP), qui coupe (MP) en R.. Démontrer que les triangles BMP et RMC sont semblables. A. Justifier que BCA = MCR.. Démontrer que les triangles QCM et RM C sont isométriques.. On note H le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC. Démontrer que PRCH est un rectangle 5. Déduire de ce qui précède que la quantité MP + MQ est égale à CH. 6. Calculer l aire A ABM et A ACM des triangles ABM et ACM en fonction de AB, MP, MQ. 7. Calculer l aire A ABC de ABC en fonction de AB et CH. A l aide de 6. retrouver le résultat de la question 5.. B P H M Q R C Eercice ( 9,5 points).. Résoudre les équations suivantes : a. = (5 ) b. = 5 c. + =. Dresser le tableau de signes des epressions suivantes : a. 5 + b.( )( ). Résoudre les inéquations suivantes (on écrirera les ensembles solutions à l aide d intervalles) : a. > 7 b.( + ) (5 ) c. >
Eercice (8 points). On considère la fonction f dont on donne le tableau de variations : Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est eacte. L élève indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. -5-0 5 f() - - - Une réponse eacte rapporte point. Une réponse ineacte enlève 0,5 point. L absence de réponse n apporte ni n enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l eercice est ramenée à 0.. On a : (a) : f() = (b) : f() = 5 (c) : f() [ ; ] (d) : On ne peut pas connaitre f().. On est sûr que : (a) : f() = 0 (b) : f() < 0 (c) : f() [ ; ] (d) : f() > 0.. Le minimum de f est (a) : (b) : (c) : 5. L équation f() = 0 possède : (a) : une seule solution. (b) : trois solutions eactement. (c) : deu solutions eactement. 5. Comparaison des nombres f() et f( ) on a : (a) : f() < f( ) (b) : f() = f( ) (c) : f() > f( ) 6. Comparaison des nombres f() et f() on a : (a) : f() < f() (b) : f() = f() (c) : f() > f() 7. Comparaison des nombres f() et f() on a : (a) : f() < f() (b) : f() = f() (c) : f() > f() 8. Si parcourt l intervalle [ ; 5] alors l ensemble des valeurs prises par f est : (a) : [ 5; 5] (b) : [ ; ] (c) : [ ; ] (d) :[ ; ]. Eercice 5 (6,5 points). On considère le triangle ABC isocèle en A, avec AB = AC = 0 on note BC =. On appellle I le milieu de [BC]. A Le but de l eercice est de déterminer pour quelle valeur de l aire du triangle ABC est maimale.. Epression de l aire de ABC en fonction de. (a) Justifier l encadrement : 0 0 (b) Calculer la longueur AI en fonction de. (c) En déduire que l aire S ABC de ABC est égale à 00 B I C. On note f la fonction définie sur [0; 0] par f() = 00. (a) Compléter le tableau suivant ( On donnera les arrondis à 0, près) : 0 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 f() (b) Représenter la courbe de f dans un repère orthogonal avec cm pour unités pour les abscisses et cm pour 5 unités sur les ordonnées. (c) D après la représentation graphique, quelle semble être la valeur pour laquelle f atteint son maimum? Conclure.
Corrigé du devoir commun de seconde, mars 006 Eercice.. f(0) = et f( ) =.. L équation f() = 0 a pour ensemble de solutions : S = {, 5; }. L inéquation f() < 0 a pour ensemble de solutions : S = [ ;, 5[ ]; ]. Le maimum de f sur [ ; ] est (ce maimum est atteint pour = ). 5. Tableau de variations de f : Valeurs de - - - Variations de f dessin ne sont pas les points mathématiques : les points dessinés avec votre crayon peuvent être considérés comme des disques avec un petit rayon, alors que le point mathématique est de «dimensions nulles». Pour la précision de vos tracés, il est donc utile en général de placer trois ou quatre points pour le tracé d une droite. (b) L équation f() = g() a pour ensemble de solutions : S = { ; } 6. f est décroissante et positive sur l intervalle [ ; ] ainsi que sur l intervalle [; ]. Attention, ne pas écrire que f est décroissante et positive sur [ ; ] [; ] : c est fau. 7. (a) La fonction g définie sur [ ; ] par g() = 5 est une fonction affine, elle est donc représentée par une droite. Il suffit donc de placer 5 deu points de cette droite sur le dessin puis de tracer cette droite. 5 Remarque : mathématiquement, par deu points passe une unique droite. Toutefois sur un dessin, cela est fau : il est facile de «faire passer» plusieurs droites par deu points d un dessin. Cela est dû au fait que les points d un Eercice.. On a BP M = M RC puisque ces deu angles sont droits. On a BMP = ĈMR puisque ces deu angles sont opposés par le sommet. On a donc aussi MBP = MCR (la somme des angles dans un triangle étant constante). On en déduit que les triangles BMP et CMR sont semblables avec la correspondance des sommets : B P M C R M.. BCA = ĈBA puisque le triangle ABC est isocèle en A. De plus ĈBA = MBP a la même mesure que M CR d après la question précédente. On en déduit l égalité d angles demandée.. On a MQC = MRC puisque ces deu angles sont droits. On a MCQ = MCR d après la question précédente. On a donc aussi QMC = ĈMR (la somme des angles dans un triangle étant constante). MCQ = MCR QMC = ĈMR donc les triangles MQC et MRC MC = MC sont isométriques avec la correspondance des sommets : M Q C M R C.. Le quadrilatère PRCH a trois angles droits : c est un rectangle. 5. MQ = MR avec l isométrie des triangles MQC et MRC. Donc MP + MQ = MP + MR. Or M est un point du segment [PR] donc MP + MR = PR. Comme PR = CH puisque PRCH est un rectangle, on peut conclure : MP + MQ = CH. 6. 7. et A ABM = AB MP A ACM = AC MQ = AB MQ Comme on a aussi : on en déduit : A ABC = AB CH A ABC = A ABM + A ACM AB CH = AB MP + AB MQ soit d où AB CH = AB (MP + MQ) CH = MP + MQ
Eercice.. (a) (b) (c). (a) = (5 ) = 5 9 = 8 = 8 { } 8 L ensemble des solutions de cette équation est S a = = 5 5 = 0 ( 5) = 0 = 0 ou = 5 L ensemble des solutions de cette équation est S b = {0; 5} L ensemble des solutions de cette équation est S c = {6} + = + = avec + = = 6 avec Valeurs de 5 + 5 + 0 + 5 + + (b) Valeurs de + 0 + + + + 0 ( )( ) 0 + 0. (a) (b) > 7 5 > 0 > ] L ensemble des solutions de cette inéquation est S a = ; [. ( + ) (5 ) ( + ) (5 ) 0 ( + ) (5 ) (( + ) (5 ))(( + ) + (5 )) 0 ( + ) (5 ) ( + )(7 + ) 0 (c) Valeurs de 7 + + ( + )(7 + ) L ensemble des solutions de cette inéquation est S b = Donc : 7 0 + + + + 0 0 + 0 ] ; ] [ [ 7 ; +. > > 0 > ( )( + ) > 0 > 0 +
Valeurs de 0 + 0 + + 0 + + + 0 + + ( )( + ) 0 + 0 + L ensemble des solutions de cette inéquation est S c = ] ; 0[ ]; + [. Eercice.. (a) : f() =.. (c) : f() [ ; ].. (a) :.. (b) : trois solutions eactement. 5. (a) : f() < f( ). 6. (c) : f() > f(). 7. 8. (d) :[ ; ]. Eercice 5.. Epression de l aire de ABC en fonction de. (a) = BC est une longueur donc 0. L inégalité triangulaire donne : BC BA + AC, soit 0 + 0. D où l encadrement demandé : 0 0 (b) Le triangle ABC est isocèle en A donc la médiane (AI) est aussi médiatrice du segment [BC] et on peut appliquer le thm de Pythagore dans le triangle AIB. D où : AI + IB = AB (c) soit et ou encore soit ( AI = 00 ) AI = 00 S ABC = IA BC = S ABC = 00 S ABC = 00 00 = 00. On note f la fonction définie sur [0; 0] par f() = 00. (a) 0 5 6 7 8 9 0 f() 0 5 9,9,8 9,6, 8,6,8 6,7 0,, 5 6 7 8 9 0 f() 5,9 8 9, 50 9,6 8,8 9, 9,7 0 (b) Représentation.
50 9 8 7 6 5 0 9 8 7 6 5 0 9 8 7 6 5 0 9 8 7 6 5 0 9 8 7 6 5 0 0 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 (c) La fonction f semble avoir un maimum d environ 50 atteint pour =. L aire du triangle ABC sera donc maimale pour une valeur de BC d environ. Remarque : les outils vus en première vous permettront d établir que le maimum est en fait eactement de 50 et qu il est atteint pour = 0.