14 Proportionnalité et géométrie OMPÉTNS 1. grandir ou réduire une figure avec un facteur donné 2. grandir ou réduire une figure sans connaître le facteur 3. grandir ou réduire une figure en utilisant les angles À la fin de ce chapitre, je vais savoir 4. Reconnaître et appliquer la proportionnalité dans les formules 5. Utiliser la proportionnalité pour les secteurs circulaires vant de démarrer HOISIR L ONN RÉPONS L échelle d une carte Une carte à l échelle 1/250 000 indique que les distances réelles ont été : a. divisées par 1,250000 b. multipliées par 250 000 c. divisées par 250 000 Triangles équilatéraux omparer les angles de deux triangles équilatéraux de 3 cm et 15 cm de côté. a. Les angles du grand sont 5 fois plus grands b. Les angles du petit sont 5 fois plus grands c. Les angles ont tous la même mesure Inégalité triangulaire La figure ci-contre : a. est impossible à réaliser b. n est pas à l échelle mais peut être réalisée c. est à l échelle et peut être réalisée 7 cm 12 cm Une réduction Une réduction convenable de la figure encadrée est : a. b. c. Un agrandissement Une des figures est un agrandissement à l échelle du dessin encadré, laquelle? a. b. c. 246
OUVRTUR SUR... Les formats 4/3 et 16/9 ntre un écran de cinéma et un écran de téléviseur, la différence ne réside pas que dans la taille. ans le domaine de l audiovisuel, le format des images dépend de leur destination. insi, au cinéma, l écran est un «grand» 16/9, comme les téléviseurs du même nom. Mais à la télévision, ou sur un ordinateur, les images sont diffusées en format 4/3. omment passer de l un à l autre? n réalité, il ne suffit pas de modifier les dimensions, car alors on risque de mauvaises surprises! L image de cette sculpture hindoue est bien proportionnée pour une visualisation au format 4/3. lle est déformée si on l étire et la tasse pour obtenir un 16/9. Quelles sont les solutions pour ce problème de changement de format?
ctivités SPÉIL PROF Objectif : faire comprendre à l élève la notion d agrandissement à l échelle. 1 grandir un plan Leïla montre à son ami Lucas un plan de sa maison et de son jardin. 1 cm 2 cm maison arbre 3 cm 1 cm potager 7 cm Malheureusement ce plan est trop petit pour que Leïla puisse décrire les plantations de son potager. lors Lucas décide de refaire un plan en ajoutant à chacune des longueurs mentionnées. «Mais non! lui répond Leïla. Moi, je vais multiplier par 2 toutes ces longueurs!». 1. ffectuer les deux «agrandissements» proposés. 2. Lequel des deux plans est un agrandissement à l échelle? SPÉIL PROF Objectif : faire découvrir la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction. 2 Propriété sur les angles ans le triangle FG ci-dessous, les mesures des angles sont arrondies au degré. F 45 4,2 cm 105 8 cm 5,8 cm 30 1. On décide d obtenir d autres triangles à partir de FG : - 1,5 # 0,6 G ôtés de FG en cm F = 8 FG = 5,8 G = 4,2 ôtés de HIJ en cm HI =... IJ =... HJ =... ôtés de KLM en cm KL =... LM =... KM =... ôtés de OPQ en cm OP =... PQ =... QR =... Recopier et compléter ce tableau. 1. a. Tracer les triangles HIJ, KLM et OPQ. Mesurer leurs angles. b. Parmi les triangles obtenus, lesquels semblent être une reproduction à l échelle de FG? 2. onjecturer une propriété des angles lors d un agrandissement ou d une réduction à l échelle. #2 248
SPÉIL PROF Objectif : faire découvrir une propriété de conservation de parallélisme et d orthogonalité dans un agrandissement / réduction. 3 Perpendicularité et parallélisme Le quadrilatère est un trapèze, il a deux angles droits en et. On effectue une réduction de ce trapèze à l échelle 0,5 et un agrandissement à l échelle 1,5 : grandissement de facteur 1,5 Réduction de facteur 0,5 1. iter tous les angles qui semblent droits dans les nouvelles figures. 2. Quelle semble être la nature des quadrilatères et? 3. Que peut-on conjecturer sur la perpendicularité et le parallélisme lors d un agrandissement ou une réduction? SPÉIL PROF Objectif : démontrer la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction dans le cas d un triangle rectangle. 4 Une démonstration 1. onstruire un triangle rectangle en tel que = 3,6 cm, = 4,8 cm et = 6 cm. 2. alculer cos \ et cos \ (les résultats seront donnés sous forme de fractions). On décide de transformer les dimensions de de manière proportionnelle comme sur la figure ci-contre. Info k est le facteur de reproduction (ou l échelle) : si 0 1 k 1 1 on obtient une réduction si k 2 1 on obtient un agrandissement 4,8 k 3,6 k 6 k 3. émontrer que le triangle ainsi obtenu est rectangle. 4. xprimer cos \ et cos \. 5. omparer les résultats des questions 2 et 4. Que peut-on en conclure? hapitre 14 Proportionnalité et géométrie 249
ours 1 grandissement, réduction éfinition Pour reproduire une figure à l échelle, on multiplie toutes ses dimensions par un nombre strictement positif k (parfois appelé facteur). Si 1 1 k, on effectue un agrandissement à l échelle k. Si 0 1 k 1 1, on effectue une réduction à l échelle k. Propriété Les dimensions de la figure obtenue par agrandissement ou par réduction sont proportionnelles à celles de la figure de départ. xemples : grandissement Réduction agrandissement à l échelle 2,5 fig. 1 6 cm 3 cm fig. 2 15 cm 7,5 cm 10 cm réduction à l échelle 0,7 fig. 1 6 cm 3 cm 4,2 cm 2,8 cm fig. 2 2,1 cm imensions de fig. 1 en cm 6 4 3 imensions de fig. 2 en cm 15 10 7,5 imensions de fig. 1 en cm 6 4 3 #2,5 #0,7 imensions 4,2 2,8 2,1 de fig. 2 en cm 2 Propriétés de conservation Propriétés ans un agrandissement ou une réduction : les mesures d angles sont conservées les droites parallèles restent parallèles les droites perpendiculaires restent perpendiculaires xemple : Sur la figure ci-contre : () // () ( ) // ( ) réduction à l échelle 0,6 250
xercices je découvre, j utilise grandir ou réduire une figure avec un facteur donné Énoncé est un triangle tel que = 3,6 cm, = 5, et = 4,8 cm. Tracer un agrandissement à l échelle 1,5 de (on notera l agrandissement obtenu). ompétence 1 Solution ans un agrandissement à l échelle 1,5 les longueurs sont multipliés par 1,5. où : = 1,5 # = 5, = 1,5 # = 8,1 cm et = 1,5 # = 7,2 cm. On obtient alors à l aide du compas et de la règle le triangle ci-contre. 5, 8,1 cm 7,2 cm ommentaires 1,5 est le facteur d agrandissement. 1 On réduit de moitié un rectangle de 19 cm de longueur et 8 cm de largeur. Tracer le rectangle réduit. 2 MNP est un triangle isocèle tel que : MN = MP = 2 mm et PN = 1,5 mm. Tracer un agrandissement à l échelle 28 de MNP. 3 est un parallélogramme. 4,5 cm 5 HIJ est un triangle rectangle en H tel que : HI = 5 600 m et HJ = 4 200 m. 1. alculer IJ. 2. Tracer une réduction de ce triangle à l échelle 1. 70 000 6 Le triangle des ermudes est un triangle équilatéral de 1 600 km de côté. Îles des ermudes 3,8 cm 2,5 cm Tracer un agrandissement de ce parallélogramme à l échelle 2. Floride mer des sargasses (OÉN TLNTIQU) Porto Rico 4 Tracer une réduction de la figure ci-dessous à l échelle 0,2. 29 cm F 63 cm 50 cm Tracer ce triangle réduit à l échelle 1/20 000 000. 7 Une salle de classe est de forme rectangulaire. Sa longueur est 12 mètres, sa largeur 7 mètres. Un tableau de 4 mètres de large est centré sur un des murs de 7 mètres. La porte d entrée se trouve sur le mur en face du tableau. ette porte est placée au milieu de ce mur et sa largeur est 75 cm. 1 Tracer le plan de cette classe à l échelle (arrondir 125 au millimètre si nécessaire). hapitre 14 Proportionnalité et géométrie 251
xercices je découvre, j utilise grandir ou réduire une figure sans connaître le facteur Énoncé onstruire un agrandissement du triangle ci-contre tel que le segment [ ] mesure 5,6 cm. Solution Pour que l agrandissement soit à l échelle, il faut que les longueurs des deux triangles soient proportionnelles. 56, = = 16, le facteur d agrandissement est donc 1,6. 35, ôtés du triangle en cm ôtés du triangle en cm 3,5 2,5 4 5,6 4 6,4 #1,6 2,5 cm 3,5 cm ompétence 2 ommentaires On cherche l échelle. On dresse un tableau de proportionnalité et on utilise l échelle. On aurait aussi pu compléter le tableau en utilisant la technique des produits en croix. On a donc la figure suivante : 5,6 cm 6, On trace la figure aux dimensions trouvées. 8 MF est un triangle tel que : M = 1,9 cm, MF = 2,1 cm et F = 1 cm. Tracer un agrandissement de ce triangle tel que son plus grand côté mesure 8,. 9 MNP est un triangle isocèle tel que : MN = 5 cm et MP = PN = 4,5 cm. Tracer un agrandissement de ce triangle tel que la base mesure 6 cm. 10 On a schématisé ci-dessous la façade d un arc de triomphe : 45 m Reproduire ce schéma de telle sorte que la hauteur totale soit 8 cm (on arrondira les distances au millimètre si nécessaire). 50 m 15 m 30 m 15 m 11 FG est un triangle rectangle. Son hypoténuse [F] mesure 3 cm et [G] mesure 2,5 cm. Tracer un agrandissement de FG tel que l hypoténuse mesure 7,8 cm. 12 On a indiqué ci-dessous la situation et les distances à vol d oiseau entre les trois capitales Paris, Londres et erlin : Royaume-Uni Londres 341 km Paris France elgique ruxelles 921 km 868 km Suisse llemagne erlin Rép. Tchèqu Prague Vienne utriche Reproduire ce triangle à l échelle en choisissant 10 cm pour la distance entre Londres et erlin (on arrondira les distances au millimètre si nécessaire). 252
grandir ou réduire une figure en utilisant les angles Énoncé onstruire à l échelle 1,8 des agrandissements et F des deux triangles ci-dessous. 57 51 2,5 cm 58 3,5 cm F ompétence 3 Solution Triangle : 3,5 # 1,8 = 6,3 donc = 6,3 cm. ans un agrandissement, la mesure des angles ne change pas : \ = 51 et \ = 58. Triangle F : 4 # 1,8 = 7,2 et 2,5 # 1,8 = 4,5 donc = 7,2 cm et F = 4,5 cm. ans un agrandissement, la mesure des angles ne change pas : \ F = 57. 7,2 cm 57 51 58 4,5 cm 6,3 cm F 13 Z est un triangle isocèle de sommet tel que Z = = 1 mm et \ Z = 45. Tracer un triangle Z, agrandissement de Z à l échelle 50. 14 RTU est un triangle rectangle en T tel que : RT = 70 cm et TRU \ = 31. Tracer un triangle R T U réduction du triangle RTU tel que R T = 1. 15 OPS est un losange de 2 de côté tel que OPS \ = 70. 1. Quelle est la mesure des trois autres angles de ce losange? 1 2. Tracer une réduction de ce losange à l échelle. 3 16 FGHK est un parallélogramme tel que FG = 5 cm, la hauteur perpendiculaire à [FG] mesure et KFG \ = 50. 1. Faire un schéma à main levée de cette figure en indiquant toutes les mesures de l énoncé. 2. onstruire un agrandissement de FGHK à l échelle 1,5. 17 Tracer le quadrilatère, agrandissement de la figure ci-dessous, tel que = 12 cm. 9,6 cm 8, 79 6,8 cm hapitre 14 Proportionnalité et géométrie 253
xercices je découvre, j utilise ompétence 4 Reconnaître et appliquer la proportionnalité dans les formules Énoncé On fait varier la hauteur d une pyramide en gardant inchangée sa base comme illustré ci-contre. On note h la hauteur en cm, l aire de la base en cm 2 et le volume en cm 3. h S h S h S 1. a. xprimer en fonction de et h. n déduire le facteur k qui vérifie = k # h. b. n remarquant que ne change pas, que peut-on en déduire pour les quantités et h? 2. On suppose que = 13 cm 3 quand h = 5 cm. alculer lorsque h = 7 cm. Solution 1. a. = # h 3 donc = 3 # h donc k = 3. b. Puisque la base ne varie pas, k est un nombre fixe. On en déduit que et h sont des quantités proportionnelles. 2. On peut dresser le tableau de proportionnalité : h en cm 5 7 en cm 3 13 L égalité des produits en croix donne : 5 # = 13 # 7 13# 7 d où = = 18,2 (en cm 5 3 ). ommentaires On utilise puis on transforme la formule donnant le volume de la pyramide. es quantités sont proportionnelles lorsqu on obtient l une en multipliant l autre par un facteur fixe. On utilise ici la technique des produits en croix. 18 On fait varier la hauteur d un triangle en gardant inchangée sa base comme illustré ci-dessous. On note h la hauteur en cm, la longueur du côté associé en cm et l aire en cm 2. h 1. a. xprimer en fonction de et h. b. omme est fixé, que peut-on dire des deux quantités et h? h 2. On sait que l aire du triangle est 11,1 cm 2 lorsque la hauteur mesure 3 cm. Que vaut h si = 51,8 cm 2? 19 On fait varier la hauteur d un cylindre en gardant inchangée sa base. On note h la hauteur en cm, l aire de la base en cm 2 et le volume en cm 3. 1. Montrer que si l on fixe la base, alors h et sont proportionnels. 2. Lorsque h = 12 cm alors = 7 cm 3. Quel est le volume si h = 9 cm? 254
Utiliser la proportionnalité pour les secteurs circulaires Énoncé ans la figure ci-contre, l arc rouge a pour longueur 1. éterminer la valeur de x (arrondir à l unité). x O ompétence 5 Solution Soit P le périmètre du cercle. P = 2 # π # R d où P = 2 # π # 4 = 8 # π (en cm) La longueur de l arc est proportionnelle à la mesure de l angle au centre. On peut dresser le tableau de proportionnalité : Mesure de l angle au centre en 360 x Longueur 8 # π 14 de l arc en cm on a donc : 8 # π # x = 360 # 14 360 # 14 d où : x =. 201 8 # π ommentaires On sait calculer le périmètre du cercle. On utilise ensuite la proportionnalité entre l angle et le périmètre pour obtenir x. 360 correspond à l angle au centre du cercle entier. Remarque : la démarche est similaire pour un raisonnement sur les aires. Pour les exercices 20 à 26, on considère la figure suivante : 22 alculer la valeur arrondie à l unité de x si O = 7 cm et l aire de la surface verte est 98 cm 2. x O 23 alculer la valeur arrondie à l unité de x si O = 10 cm et l aire de la surface verte est 218 cm 2. 24 alculer la longueur de l arc rouge pour : O = 6 cm et x = 130 (arrondir au mm). 20 alculer la valeur arrondie à l unité de x si O = 6 cm et la longueur de l arc rouge est 26 cm. 21 alculer la valeur arrondie à l unité de x si O = 8 cm et la longueur de l arc rouge est 16,8 cm. 25 alculer l aire de la surface verte pour : O = 7 cm et x = 80 (arrondir au mm 2 ). 26 On donne O =. 1. alculer la valeur de x si la longueur de l arc rouge est 15 cm (arrondir à l unité). 2. n déduire l aire de la surface verte (arrondir au cm 2 ). hapitre 14 Proportionnalité et géométrie 255
xercices faire le point en classe 27 Un triangle a pour dimensions : 7 cm, 8 cm et 10 cm. On l agrandit à l échelle 7. Quelles sont les trois nouvelles dimensions? 28 Un carré de 32 cm de côté est réduit à l échelle un quart. Quelle est la nouvelle longueur des côtés? 29 Un triangle a pour dimensions 10 cm, 5 cm et 7 cm. On l agrandit à l échelle 4, puis on réduit la figure obtenue à l échelle 5 1. Quelles sont les trois nouvelles dimensions finales? 30 ssocier les triangles qui sont des reproductions à l échelle l un de l autre. Préciser le facteur de réduction ou d agrandissement. 2 3 3 4 3 1 1,5 4,5 2 1,5 33 eux triangles équilatéraux ont forcément des longueurs proportionnelles, dit Paul. Pas toujours! lui répond Jane. Qui a raison? 34 Une réduction d un triangle isocèle rectangle est forcément un triangle isocèle et rectangle, dit Jane. Pas toujours! lui répond Paul. Qui a raison? 35 Réduire la figure ci-dessous à l échelle 0,7. 6 cm 12 cm 45 36 1. Le périmètre d un cercle est-il proportionnel au rayon? xpliquer. 2. L aire d un disque est-elle proportionnelle à son rayon? xpliquer. 4 4,5 31 Un rectangle a pour dimensions 15 cm sur 9 cm. st-ce une réduction d un rectangle de 15 km sur 9 km? Si oui, quel est le facteur de réduction? 37 Le périmètre du cercle représenté cicontre est 240 cm. Que vaut x lorsque l arc rouge mesure : a. 60 cm? b. 48 cm? c. 180 cm? x 32 ans la figure ci-dessous, les droites () et () sont parallèles. 2 cm 6 cm 1. Pourquoi le triangle est-il une réduction du triangle? 2. Quel est le facteur de réduction? 38 Reproduire la figure ci-contre sur un papier quadrillé : À l aide du quadrillage, sans justifier, tracer : 1 a. en rouge une réduction à l échelle du triangle 3 noir ; b. en vert une réduction à l échelle 0,5 du triangle noir ; 4 c. en bleu un agrandissement à l échelle du 3 triangle noir. 256
alcul mental ans cette rubrique, les dimensions sont exprimées en cm. 39 Les trois dimensions d un triangle sont 7 ; 9 et 11. Quelles sont ses nouvelles dimensions s il est : a. agrandi à l échelle 8? b. réduit à l échelle 0,5? c. réduit à l échelle 1/10? 40 Les dimensions d un quadrilatère sont 5 ; 8 ; 0,6 et 10. On agrandit ce quadrilatère à l échelle 1,5. Quelles sont ses nouvelles dimensions? 41 La longueur des côtés d un losange est 5. La réduction de celui-ci a des côtés de longueur 3. Trouver le facteur de réduction (il sera donné sous forme décimale). j évalue mes compétences QM hoisir la (ou les) bonne(s) réponse(s). 42 10 cm 5 cm 8 cm a. 9 cm 7 cm b. 5 cm c. 1 cm 0, Une reproduction à l échelle du triangle ci-dessus est : 2,5 cm 0,8 cm 43 Un rectangle de 5 cm de long sur 2 cm de large est agrandi de telle sorte que la longueur mesure 17,5 cm. La largeur est alors : a. 7 cm b. 14,5 cm c. 3,5 cm 44 Une réduction à l échelle 0,5 80 40 10 cm de la figure ci-contre est : a. 40 20 5 cm b. 40 80 5 cm c. 40 20 10 cm 45 2 cm Lorsque h varie, 6 cm le volume de ce parallélépipède rectangle : h a. est égal à 12 # h b. est proportionnel à h c. n est pas proportionnel à h 46 Si la longueur de l arc rouge x est 30 cm, alors l arrondi à l unité de x est : 30 cm a. 57 b. 15 c. 58 pour vérifier les résultats, voir page 275 hapitre 14 Proportionnalité et géométrie 257
xercices je m entraîne onstructions 47 Soit un triangle tel que : = 6 cm, = 5 cm et = 7 cm. 1. onstruire un agrandissement du triangle à l échelle 1,2. 2. onstruire une réduction de à l échelle 0,8. 48 1. onstruire un agrandissement à l échelle 1,4 du triangle RST. 2. onstruire une réduction à l échelle 0,7 de RST. S 35 5 cm R 48 49 onstruire une réduction F G du triangle FG telle que F G = 6 cm. 16 cm F 12 cm 50 Reproduire la figure ci-contre sur un papier quadrillé : 2 À l aide du quadrillage, tracer : a. un agrandissement à l échelle 3 de ce triangle b. une réduction à l échelle 5 3 de ce triangle T G 52 1. Prouver que le triangle rouge est une réduction du triangle noir. S 32 cm 42 46 cm 31 cm 44 P 25,6 cm 24,8 cm 36,8 cm L 2. onner, en justifiant les réponses, la mesure des angles du triangle PF. 53 Soit un triangle tel que = 4,5 cm, = 6 cm et = 7,5 cm. 1. Tracer le triangle. 2. Prouver que est un triangle rectangle. 3. On nomme une réduction du triangle à l échelle 0,002. Sans calcul, donner la nature de. Justifier. 54 ans la figure ci-dessous, on a : = 11 cm, = 8,5 cm et = 6 cm. F 1. alculer F, et F. Justifier. 2. iter tous les triangles qui sont une réduction à l échelle 0,5 de. je trouve de l aide page 267 55 Les deux droites () et () sont parallèles. F c. un agrandissement à l échelle 3 7 de ce triangle. 3 cm Utilisation de propriétés 9 cm 51 Un triangle a pour dimensions : = 1 mm ; = 0,8 mm et = 1,5 mm. omment peut-on mesurer avec précision les angles du triangle? Quelles sont leurs mesures? je trouve de l aide page 267 1. Montrer que les dimensions du triangle sont proportionnelles à celles de. 2. n déduire que est une réduction de. Préciser le facteur de réduction. je trouve de l aide page 267 258
3,5 cm Variation d une dimension 56 On considère les trois triangles ci-dessous : G J K 4,1 cm L F 1,5 cm H 5, I M 1. Quelle caractéristique commune ces trois triangles possèdent-ils? 2. Recopier et compléter le tableau suivant : Triangle FG HIJ MLK Longueur en cm du côté horizontal ire (en cm 2 ) 3. Que peut-on dire des deux dernières lignes du tableau? Était-ce prévisible? 57 1. Quelle est la nature des trois quadrilatères ci-dessous? 1 cm F H 2. Recopier et compléter le tableau suivant : Quadrilatère F GH Hauteur relative à [] (en cm) ire (en cm 2 ) 3. Que peut-on dire des deux dernières lignes de ce tableau? Était-ce prévisible? 58 est un carré de 3 cm de côté. G 59 1. Prouver, en utilisant la formule du volume que si la base est fixée, le volume d un cône est proportionnel à sa hauteur. 2. Les deux cônes ci-dessous ont des bases de même rayon. Le petit a pour hauteur 5 cm et le grand a pour hauteur 12 cm. Le volume du petit cône est 25 cm 3. alculer le volume du grand cône. Justifier. 60 eux cônes ont pour hauteur 8 cm. L un a une base de rayon et l autre a une base de rayon 6 cm. 1. Représenter ces deux cônes en perspective sur un quadrillage. 2. alculer le volume des deux cônes. 3. Le volume d un cône est-il proportionnel au rayon de sa base? 61 On fait varier la hauteur d un prisme en gardant sa base inchangée. On note h la hauteur en cm, l aire de la base en cm 2 et le volume en cm 3. 1. Montrer que si l on fixe la base, les quantités h et varient proportionnellement. 2. Lorsque h = 16 cm alors = 50 cm 3. Quelle est la hauteur si = 120 cm 3? Proportionnalité et secteurs circulaires Pour les exercices 62 à 64, on utilise la figure ci-contre. On note de plus L la longueur en cm de l arc rouge et l aire en cm 2 du secteur vert. R x F G 1. alculer les aires des quadrilatères suivants : a. b. c. F d. G 2. Y a-t-il proportionnalité entre les aires et les longueurs des côtés opposés à []? 62 On donne R = et x = 50. alculer L et (arrondir à l unité). 63 On donne L = 22 cm et R = 6 cm. alculer x (arrondir à l unité). 64 On donne = 32 cm 2 et R = 7 cm. alculer x (arrondir à l unité). hapitre 14 Proportionnalité et géométrie 259
xercices j approfondis Lire et comprendre 65 Maxime trace un rectangle dont la longueur est quatre fois plus grande que la largeur. S il agrandit ce rectangle à l échelle 6, la longueur devient 1,08 m. Trouver l aire du rectangle initial de Maxime. Prendre des initiatives 66 Format numérique, format argentique Le texte ci-dessous est extrait d un site Internet : «Parce que historiquement la bonne vieille pellicule 24-36 permettait de faire des photos au format 10 # 15, on parle encore aujourd hui de format «argentique» lorsque le ratio longueur sur largeur est de 3/2. n revanche, on parle de format «numérique» lorsque ce ratio est de 4/3 comme sur votre ancien téléviseur, votre écran d ordinateur ou pour la majorité des appareils photo numérique grand public.» http://www.photoreflex.com À l aide de ces informations, classer les formats suivants dans la catégorie «argentique» ou «numérique» : 2 272 # 1 704 1 800 # 1 350 51 # 34 1 125 # 1 500 1 024 # 768 975 # 1 300 20 # 30 1 275 # 1 700 15 # 20 52 # 39 30 # 45 67 Formats du papier Le tableau ci-dessous indique les dimensions de certains formats de papier : Format 0 1 2 3 4 5 6 Largeur 841 595 421 297 210 148 105 en mm Longueur 1 189 841 595 421 297 210 148 en mm 1. Les différents formats ont-ils des dimensions proportionnelles? 2. a. onner l arrondi au centième du facteur d agrandissement qui permet de passer du format 4 au format 3. b. st-ce le même facteur pour passer du format 3 au format 2? 3. Représenter ces sept rectangles les uns dans les autres à partir d un même sommet, à l échelle 10 1 le format 1 dans le format 0, le format 2 dans le format 1, etc.). une discipline à l autre 68 Maths et chimie ans un livre de chimie, on a représenté une molécule d eau comme ci-dessous. H r R O 104 R Il est précisé que OH = OH = 96 pm, r = 25 pm et R = 60 pm. Représenter cette molécule à l échelle 10 9. Info 1 pm = 10-12 m. r H rcs de cercle et proportionnalité 69 alculer x (arrondi à l unité) de telle manière que le cercle de gauche ait la même longueur que l arc rouge. 3 cm 70 Trouver la valeur de x (arrondie à l unité) pour que la longueur de l arc rouge soit égale à la longueur de l arc bleu. x 5 cm x 3 cm 47 260
71 S Patron de cône La hauteur SH du cône cicontre est. Le rayon de la base est 3 cm. Le but de cet exercice est de construire un patron de ce cône. 1. Si est un point du cercle défini par la base, quelle est H la nature du triangle SH? n déduire la longueur du segment [S]. 2. Le patron d un cône est composé d un disque et d un secteur de disque (voir page 233). L objectif de cette question est de calculer x pour le patron représenté ci-dessous. 74 La figure ci-dessous est composée de deux cercles concentriques 1 et 2 de rayons respectifs et 6 cm.,, O, et sont alignés. e plus, = 4,8 cm et F = 7,2 cm. F O 1 2 z cm x y cm a. Préciser y et z à l aide de la question 1. b. Que peut-on dire des longueurs des arcs rouge et bleu? c. alculer x (arrondir à l unité). 3. onstruire le patron du cône. 1. onstruire cette figure. 2. a. Montrer que et F sont des triangles rectangles. b. n déduire et F. 3. xpliquer pourquoi F est un agrandissement de. Préciser le facteur d agrandissement. 75 est un triangle rectangle de dimensions = 3,6 m ; = 4,8 m et = 6 m. 72 onstruire le patron d un cône de hauteur 5 cm et dont la base a un rayon de 2,5 cm. Résoudre des problèmes 73 Photocopies Pour effectuer des agrandissements et réductions sur une photocopieuse, il faut indiquer le facteur sous forme de pourcentage. 1. Préciser l échelle qui correspond à chacun des pourcentages suivants : a. 50 % b. 200 % c. 500 % 2. Une image carrée de 11 cm de côté doit être agrandie à la photocopieuse pour obtenir un carré de 21 cm de côté. onner le pourcentage qu il faut saisir. je trouve de l aide page 267 1. alculer l aire de. 2. ans cette question on veut calculer. a. n considérant que = x m, donner une expression de l aire de en fonction de x. b. Justifier que x vérifie l équation 3x = 8,64. c. Résoudre l équation. 3. Montrer que = 2,16 m. 4. n déduire la mesure de []. 5. Montrer que et sont des réductions du triangle. Préciser les facteurs des réductions. SPÉIL PROF : les deux réductions ne sont pas orientées de la même manière que. hapitre 14 Proportionnalité et géométrie 261
xercices evoirs à la maison 76 urope La irective 94/25/ du parlement européen du 16 juin 1994 précise l utilisation du marquage par les fabricants : 78 Parallélisme 6 cm 6,3 cm «Le marquage de conformité est constitué des initiales selon le graphisme suivant : n cas de réduction ou d agrandissement du marquage, les proportions telles qu elles ressortent du graphisme gradué figurant ci-dessus doivent être respectées.» Reproduire le marquage de telle manière que la hauteur des lettres soit 12 cm. 77 vec trois couleurs 1. Tracer un triangle équilatéral de 15 cm de côté. 2. Tracer à l intérieur du triangle, à partir du sommet, sa réduction à l échelle 0,6 comme ci-contre : 3. Recommencer l opération à partir de et. 4. Refaire la même construction dans les trois triangles équilatéraux ainsi formés. 5. On a ainsi délimité 25 polygones à l intérieur de. n utilisant seulement trois couleurs, colorier les 25 polygones sans que des polygones de même couleur aient un côté commun. 1,5 cm 2,1 cm 5,1 cm 1,7 cm 1. Montrer que est un agrandissement de. 2. Que peut-on en déduire pour les angles \ et \? Pourquoi? 3. Que peut-on en déduire pour les droites () et ()? Justifier. 79 asse-tête Le petit triangle est-il une réduction du grand? Petits exposés Réaliser un plan d une maison ou du collège à l échelle. Réaliser un plan d un terrain de sport à l échelle. grandir des photos : proportionnalité des dimensions? proportionnalité des tarifs? PROLÈM OUVRT On donne = 8 cm, = 7 cm et = 10 cm. Étape 1 : on obtient le triangle 1 1 1 en prenant les milieux des côtés du triangle. Étape 2 : on obtient le triangle 2 2 2 en prenant les milieux des côtés du triangle 1 1 1 et ainsi de suite rrivé à l étape 10, donner les dimensions du triangle 10 10 10. 1 2 1 2 2 1 262
ide à... l utilisation de abri géomètre On cherche à tracer un triangle et une reproduction à l échelle de ce triangle à partir d un point M donné avec le logiciel de géométrie dynamique abri géomètre. 1 Tracer un triangle à l aide de l icone. 2 Faire mesurer les trois dimensions du triangle à l aide de l icone «distance ou longueur». 3 Pour multiplier les longueurs par 0,6, insérer l expression 0.6*y en utilisant la fonction «xpression» :. (remarque : le signe * représente l opération #) 4 ppliquer l expression aux trois dimensions du triangle en utilisant la fonction «ppliquer une expression» : Info Les mesures du triangle sont un exemple, il ne faut pas forcément avoir les mêmes. 5 Placer un point M. vec le compas, tracer le nouveau triangle avec les trois mesures trouvées : 6 Mesurer les angles des deux triangles pour vérifier une propriété du cours. 7 hanger le facteur 0,6 par un autre pour observer l évolution. pplication Refaire la même démarche avec un quadrilatère en faisant apparaître une diagonale. hapitre 14 Proportionnalité et géométrie 263