C h`a p i tˇr`e 16 : Eṡfi p`a`c e Compétences évaluées dans ce chapitre Intitulé des compétences G60 G61 M13 Reconnaître et construire des solides. Utiliser et construire des représentations de solides. Calculer le volume de solides usuels. Cinquième - Espace Page 0
C h`a p i tˇr`e 16 : Eṡfi p`a`c e I Prisme droit Définition 1 Un prisme droit est un solide dont : deux faces sont des polygones superposables et parallèles ; elles sont appelées bases. les autres faces sont des rectangles ; elles sont appelées les faces latérales. D E F Propriété 1 Les arêtes latérales d un prisme droit ont la même longueur. La hauteur d un prisme est la longueur d une arrête latérale. A B C Exemple 1 Pour le prisme droit représenté ci-dessus, ABC et DEF sont les bases et ABED, BCFE et ACFD sont les faces latérales. Les arêtes [AD], [BE] et [CF] sont les arêtes latérales (toutes de même longueur). La hauteur du prisme droit est donc égale à la longueur AD. Propriété 2 Le volume d un prisme droit est égal à l aire de la base multipliée par la hauteur. V = B h Exemple 2 Considérant le prisme droit ABCDEF représenté précédemment tel que AB = 3 cm, BC = 4 cm, AC = 5 cm et BE = 6 cm, on peut déterminer que son volume est de 36 cm 3 : V = B h = 3 4 6 = 6 6 = 36 cm 3 2 Cinquième - Espace Page 1
II Cylindre de révolution Définition 2 Un cylindre de révolution est un solide dont : deux faces parallèles sont deux disques superposables ; elles sont appelées bases. l autre face est une surface courbe ; elle est appelée face latérale. O M Propriété 3 La hauteur d un cylindre de révolution est la distance entre les centres des deux bases. O N Exemple 3 Pour le cylindre de révolution représenté ci-dessus, les cercles de centre O et O et de rayons respectifs OM et O N sont les bases du cylindre. Propriété 4 Le volume d un cylindre de révolution est égal à l aire de la base multipliée par la hauteur. V = B h = π r 2 h Exemple 4 Considérant le cylindre de révolution représenté précédemment tel que OM = 4 cm et MN = 5 cm, on peut déterminer que son volume est de 251 cm 3 : V = B h = π 4 2 5 = 16π 5 = 80π 251 cm 3 III Pyramide Définition 3 Une pyramide est un solide dont : une face est un polygone : la base ; les autres faces sont des triangles : les faces latérales ; les faces latérales ont un point commun : le sommet de la pyramide. Remarque 1 Il est important de noter que la base de la pyramide peut être n importe quel solide : un triangle, un carré, un pentagone, etc. A D H S B C Cinquième - Espace Page 2
Exemple 5 Pour la pyramide représentée ABCDS ci-dessus, le carré ABCD est la base et ABS, BCS, CDS et ADS sont les faces latérales. Le point S est le sommet de la pyramide et la longueur HS est sa hauteur (elle est perpendiculaire à la base). Propriété 5 Le volume d une pyramide est égal au tiers de l aire de la base multipliée par la hauteur. V = 1 3 B h Exemple 6 Considérant la pyramide ABCDS représentée précédemment telle que AB = 3 cm, HS = 7 cm, on peut déterminer que son volume est de 21 cm 3 : V = 1 3 B h = 1 3 (3 3) 7 = 1 3 9 7 21 cm3 IV Cône de révolution Définition 4 Un cône de révoution est le solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d un de ses côtés droits. Ce solide est composé : d un disque : la base du cône. d une surface courbe appelée face latérale. d un point appelé sommet du cône. Propriété 6 La hauteur d un cône de révolution est la distance entre le centre de sa base et son sommet. O S N Exemple 7 Pour le cône de révolution représenté ci-dessus, le cercle de centre O est la base du cône, le point S est son sommet. Propriété 7 Le volume d un cône de révolution est égal au tiers de l aire de la base multipliée par la hauteur. V = 1 3 B h = 1 3 π r2 h Cinquième - Espace Page 3
Exemple 8 Considérant le cône de révolution représenté précédemment tel que OS = 8 cm et ON = 4 cm, on peut déterminer que son volume est d environ 134 cm 3 : V = 1 3 B h = 1 3 (π 42 ) 8 134 cm 3 V Changement d unités Propriété 8 Pour changer l unité de mesure d un volume, on peut utiliser ce tableau de conversion : km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 On peut aussi utiliser la relation suivante : 1 L = 1 dm 3. Exemple 9 On considère une piscine rectangulaire de longueur L = 732 cm, de largeur l = 366 cm et de profondeur p = 132 cm. Quel est le volume d eau (en L) contenue dans la piscine? Solution : La piscine est un parallélépipède rectangle donc son volume est égal au produit de l aire de sa base par sa hauteur. Soit V = L l p = 732 366 132 = 35 364 384 cm 3. Or 1 dm 3 = 1 000 cm 3 donc V = 35 364,384 dm 3. La piscine contient donc 35 364 L d eau. Cinquième - Espace Page 4