Exercice : définie sur ]0,+ [ les points A et B appartiennent à (C) la droite (AB) est la tangente à (C) en A (C) admet au voisinage de + une branche parabolique de direction ( O, j) la droite d équation : x=0 est une asymptote à (C) ) par une lecture graphique : a) f(), f(e), f () f(x) b) lim f (x); lim, lim f (x) x + x + x x 0 + c) justifier que f admet une fonction réciproque f définie sur un intervalle J que l on précisera ) on désigne par C la courbe représentative de f ; tracer C dans le repère ( O,i, j) 00 0 wwwzribimathsjimdocom Page 3) on admet que la fonction f est définie par f(x)=+xlnx (lnx)² soit D la partie du plan limitée par C et C a) hachurer D
Exercice : b) calculer, à l aide d une intégration par parties, = = ( ) c) en déduire l aire A de D e I x ln x dx et J ln x dx e définie sur ]0,+ [ les points A et B, + ln deux point de (C) C(0,ln) ; (BC) est la tangente à (C) en B (C)admet au voisinage de + une branche parabolique l axe ( O, j) est une asymptote verticale ) par une lecture graphique : f(x) a) déterminer f(), f(), f (), f () ; lim x + x b) dresser le tableau de variations de f 00 0 wwwzribimathsjimdocom Page
Exercice 3: ) on admet que la fonction f est définie par f(x) = + lnx > ; on désigne x par A( ) la mesure de l aire de la partie du plan limitée par (C) ; l axe des abscisses et les droites x= et x= a calculer A( ) b) déterminer pour que A( )= 3) soit g la fonction définie sur ]0,+ [ par g(x)=f(x) x a) montrer que lim g(x) = x + b) montrer que g est une bijection de ]0,+ [ sur IR c) calculer g() et en déduire que pour tout x, ; f x x d) on note g la réciproque de g ; montrer que g est dérivable en 0 et calculer ( g ) ' (0) définie sur ]0,+ [ ; (D) la droite d équation x=y 00 0 wwwzribimathsjimdocom Page 3
) par une lecture graphique : a) déterminer f(), f () b) étudier le signe de f(x) x, pour x 0 f(x) = x x²lnx x> 0 ) on admet que la fonction f est définie par f (0) = 0 f(x) f(0) x x²lnx lim = lim = lim x ln x = montrer que f est dérivable x x x 0 + x 0 + x 0 + en 0 ; et vérifier que D est la tangente à (C) au point d abscisse 0 3) un réel appartenant à ]0,[ ; on désigne par A( ) la mesure de l aire de la partie du plan limitée par (C) ; la droite (D) et les droites d équation x= et x= a) calculer en utilisant une intégration par partie A( ) b) calculer lim A( α ) α 0 + U0 = 4) soit U la suite définie par Un+ = f(u n) ;n IN Exercice 4: a) montrer que, pour tout n IN ; 0<U n < b) montrer que la suite U est décroissante c) en déduire que U est convergente et calculer sa limite définie sur [0,+ [ \{e} (OA) est la tangente à (C) au point d abscisse (D) :x=y est une asymptote à (C) au voisinage de + la droite d équation x=e est une asymptote verticale pour (C) 00 0 wwwzribimathsjimdocom Page 4
) Par une lecture graphique : f(x) a) Déterminer lim f (x); lim f (x); lim f (x) x ; lim x e x + x + x x b) Etudier le signe de f(x) x ) soit I = (xlnx)dx a) en utilisant une intégration par parties, montrer que J= ln 3 8 6 b) en déduire la valeur de J= (x + xln x) dx f(x) = x+ si x 0 3) on admet que f est la fonction définie sur [0,+ [ par lnx f(0) = 0 montrer que f est continue à droite en 0 4) a) montrer que pour tout x, ; x f(x) x+ xlnx c) soit A l aire de la partie limitée par (C), l axe des abscisses et les droites x= montrer que 3 7 ln A 4 6 8 x = et 00 0 wwwzribimathsjimdocom Page 5
Exercice 5: ) on donne ci dessous, le tableau de variations de la fonction g définie sur ]0,+ [ par g(x)= x² x+lnx x 0 + g g a) calculer lim g(x) et lim g(x) x + x 0 + b) calculer g() et en déduire le signe de g(x) pour x>0 c) un réel tel que 0< < ; montrer que 3 α 7 g(x)dx = α + +α αlnα α 3 6 ) Soit f la fonction définie sur ]0,+ [, par f(x)=(x )²+ln²x a) calculer lim f (x) et lim f (x) x 0 + x + b) montrer que pour tout x>0 ; f (x)= g(x) x c) dresser le tableau de variations de f 3) on donne (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonrmé 00 0 wwwzribimathsjimdocom Page 6
α On pose ; A( α ) = f (x)dx Donner une interprétation géométrique de A( ) α 4) Soit I = (xf '(x))dx Exercice 6: a) Montrer à l aide d une intégration par partie que I = α² A b) Montrer que I= g(x)dx α c) En déduire A définie sur [0,+ [ la droite (AC) est la tangente à (C) au point A d abscisse e ) par une lecture graphique : a) déterminer f(), f(e) ; f () et f (e) b) on désigne par g la restriction de f sur [,+ ; montrer que g est une bijection de [,+ [ sur [,+ [ c) montrer que g est dérivable en 0 et calculer ( ) ' g (0) f(x) = x( ln x) si x 0 ) on admet que f est la fonction définie par f(0) = 0 a) montrer que f est continue en 0 00 0 wwwzribimathsjimdocom Page 7
b) étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter le résultat obtenue c) montrer que f (x)= lnx, (C ) la courbe représentative de g 3) tracer dans le repère ( O,i, j) 4) soit A l aire de la partie du plan limitée par (C), (C ) et les axes du repère e a) en utilisant une intégration par partie calculer I = (xlnx)dx b) justifier que A=+ e f(x)dx c) calculer alors A 00 0 wwwzribimathsjimdocom Page 8