BTS SN Trasmissio ds doés umériqus Académi d Nats Thèm abordé 1. Problématiqu, situatio d'accroch L but d ctt activité st d étudir l ifluc d la rapidité d trasmissio d u doé umériqu s déplaçat sur ds résaux iformatiqus. Situatio d'accroch : O modélis ctt doé par u simpl impulsio carré (figur 1 ci-dssous) rpréstat l bit 1 trasmis. 1 O prdra 1 T = TB où : T B st la duré d u bit trasmis ; ( F = 1 FB, l théorèm d Shao st vérifié : F 2Fmax ) T st la périod d échatilloag. 2. Frotièrs d l'étud t prologmts possibls Pour crtais étudiats, il s'agira d'obsrvr t d posr l calcul qui prmttrait d justifir, sas l coduir à so trm. Pour d'autrs, crtais calculs pourrot êtr més au bout (avc évtullmt qulqus coups d pouc apportés par l'sigat).
Objctifs pédagogiqus Académi d Nats 1. Discipli impliqué Mathématiqus t Physiqu. 2. Prérquis Savoir utilisr : l symbol Σ t sa maipulatio, la formul doat la somm ds trms d'u suit géométriqu, ls propriétés importats ds ombrs complxs d modul 1, la défiitio d la trasformé d Fourir discrèt à l'aid du symbol Σ, la otio d'échatillo. 3. Capacités tcompétcs Savoir détrmir u échatillo. Ils doivt utilisr la formul défiissat la TFD t maipulr ds calculs avc ds ombrs complxs d modul 1. Ls étudiats motrt lur capacité à chagr d rgistr t à prdr ds iitiativs. L habilté calculatoir st mis ju. Outils Ls étudiats pourrot librmt utilisr ls outils umériqus à dispositio, otammt u logicil d calcul forml, wb. Cotu d la fich La parti I ci-dssous trait du spctr ds fréqucs associé à c typ d sigal élémtair (bit d iformatio). La parti II s itérss à la trasmissio du sigal par lig RTC ou fibr optiqu. Cs activités sot différciés suivat trois mods : - mod débutat ; - mod cofirmé ; - mod xprt. Qustios :
A. Mod débutat I. Trasformé d Fourir discrèt du sigal carré t spctr ds fréqucs. Activité 1 Etud d u prmir xmpl «à la mai» O étudi das ct xrcic u sigal «port». s t = 1 si t ;1 (t s) t sio. O ot s l sigal défii sur R par ( ) [ [ O échatillo c sigal pour [ ;3[ t (t s) à u fréquc F = 2 (F Hz). O obtit la séquc ( x ). 1-O souhait rpréstr l sigal échatilloé. 11-Rpréstr, das u rpèr orthoormé, l sigal t s ( t) 12-Calculr l pas d discrétisatio à partir d la valur d F. x das l mêm rpèr. 13-Rpréstr la séquc ( ) 2-Calcul d la trasformé d Fourir discrèt ( ) d la séquc ( ) O do 5 = xω pour 5 = 21-Complétr l tablau suivat. 2π x. t ω = i 6 t o rappll qu : ω =. 5 = Académi d Nats 1 2 3 4 5 x 1 1? 3 3 i??? 2 2 22-Costruir la séquc ( ) das l pla complx. 3-O souhait costruir l spctr ds fréqucs. 31- Complétr l tablau suivat. 3 3 +i 2 2 1 2 3 4 5 F 1 2 4 5 1 N 3 3 3 3? 3??? 3 32-Das u rpèr orthoormé, costruir l spctr ds fréqucs pour ct échatillo c'st-à-dir F l modul d,, foctio ds fréqucs multipls d N avc N = 6. Activité 2 TFD du sigal carré si t < O cosidèr l sigal «carré», oté s, t défii sur R par : s ( t) = 1 si t < 1. si 1 t O échatillo c sigal à partir d t = (t s) pdat l tmps T = 6 (T s) à la fréquc F = 1 (F Hz). (Par rapport au préambul, o s plac ici das l cas où T B = 1 t A = 1) 1-Qul st l ombr N d échatillos obtus? x d cs échatillos pour N 1. Dor ls valurs ( )
Académi d Nats 2-O ffctu la trasformé d Fourir discrèt d ctt séquc t o obtit l spctr ds fréqucs suivat : O do = pour N 1. N 1 2iπ - x N = 21-Lir graphiqumt l amplitud obtu pour la fréquc. Calculr t justifir la valur lu sur l graphiqu. 22-Lir graphiqumt pour qulls valurs d la fréquc o obtit u amplitud d. 2 i π 1 23-O pos ω = t o rappll qu : ω =. Détaillr l calcul d pour la 1 èr fréquc d xtictio, soit. 6 9 = 24-Cojcturr touts ls valurs d pour lsqulls =. A qulls fréqucs corrspodt-lls? 25- Quls calculs faudrait-il mr pour validr ctt cojctur? O xprimra cs calculs foctio d ω. II. Ecombrmt spctral t vitss d trasmissio d l iformatio umériqu O s itérss das ctt parti à dux mods d trasmissio : par lig RTC t par fibr optiqu. Caractéristiqus d la trasmissio par lig RTC Chaqu post téléphoiqu st rattaché à u sul bor d répartitio, cocté à u commutatur local (local switch), dot la distac put allr d qulqus ctais d mètrs jusqu à qulqus ilomètrs, réduisat d autat la bad passat ds sigaux qui puvt trasitr. La faibl bad passat (3 Hz 34 Hz) du RTC, t d autrs part, so rapport sigal/bruit (d l ordr 4 db) limitt la qualité du sigal aalogiqu trasmis. Toutfois, l avèmt d l Itrt à haut débit a motré qu c résau était capabl d assurr ds débits biairs coséquts : 8 Mbits/s pour l ADSL «classiqu» t plus d 2 Mbits/s pour «l ADSL II». Caractéristiqus d la trasmissio par fibr optiqu Ls trois typs d fibrs optiqus
Académi d Nats La fibr à saut d idic 2/38 costitué d u cœur t d u gai optiqu vrr d différts idics d réfractio. Ctt fibr provoqu d par l importat sctio du cœur, u grad disprsio ds sigaux l travrsat, c qui géèr u déformatio du sigal rçu. La fibr à gradit d idic dot l cœur st costitué d couchs d vrr succssivs ayat u idic d réfractio proch. O s approch aisi d u égalisatio ds tmps d propagatio, c qui vut dir qu l o réduit la disprsio odal. La bad passat typiqu st 2 15 MHz/m. C st c typ d fibr qui st utilisé à l itériur ds bâtimts d l Uivrsité (62.5/125) t tr crtais sits dssrvis par ls PTT (5/125). La fibr moomod dot l cœur st si fi qu l chmi d propagatio ds différts mods st pratiqumt dirct. La disprsio odal dvit quasimt ull. La bad passat trasmis st prsqu ifii (>1 GHz/m). Ctt fibr st utilisé sstillmt pour ls sits à distac. Activité 3 applicatio t utilisatio ds résultats d la parti I Défiitio : L combrmt spctral st la loguur d l itrvall compris tr l origi t l absciss du maximum du prmir lob scodair. 1. E supposat qu u sul doé soit trasmis sur u lig RTC. 1.1 Détrmir so combrmt spctral xprimé Hz. 1.2 Qull st la vitss d trasmissio du sigal? 1.3 E déduir ls vitsss d trasmissio d l ADSL classiqu t cll d l ADSL II. 1.4 Justifir, par ds argumts umériqus, l itérêt d la fibr optiqu. 2. U jour d fort coxio sur itrt, à Puyravault Chart-Maritim, o stim qu 8 prsos s sot coctés. Détrmir la vitss d trasmissio dispoibl par itraut.
B. Mod cofirmé I. Trasformé d Fourir discrèt du sigal carré t spctr ds fréqucs. Activité 1 Etud d u prmir xmpl «à la mai» O étudi das ct xrcic u sigal «port». s t = 1 si t ;1 t sio. O ot s l sigal défii sur R par ( ) [ [ O échatillo c sigal pour [ ;3[ t (t s) à u fréquc F = 2 (F Hz). O obtit la séquc ( x ). 1-Rpréstr, das u rpèr orthoormé, l sigal t s ( t) 2- O souhait calculr la trasformé d Fourir discrèt ( ) O do 5 = xω pour 5 = 21-Complétr l tablau suivat. aisi qu la séquc ( ) d la séquc ( x ) 2π x. t ω = i 6 t o rappll qu : ω =. 5 = Académi d Nats 1 2 3 4 5 22-Costruir la séquc ( ) 3-O souhait costruir l spctr ds fréqucs. das l pla complx. 31- Complétr l tablau suivat. 1 2 3 4 5 32-Das u rpèr orthoormé, costruir l spctr ds fréqucs pour ct échatillo c'st-à-dir l F modul d,, foctio ds fréqucs multipls d N avc N = 6. Activité 2 TFD du sigal carré si t < O cosidèr l sigal «carré», oté s, t défii sur R par : s ( t) = 1 si t < 1. si 1 t O échatillo c sigal à partir d t = (t s) pdat l tmps T = 6 (T s) à la fréquc F = 1 Hz). (Par rapport au préambul, o s plac ici das l cas où T B = 1 t A = 1) 1-Qul st l ombr N d échatillos obtus? x d cs échatillos pour N 1. Dor ls valurs ( ) (F 2-O ffctu la trasformé d Fourir discrèt d ctt séquc t o obtit l spctr ds fréqucs suivat :
Académi d Nats 21-Lir graphiqumt la valur obtu pour la fréquc. Justifir la valur obtu par l graphiqu. 22- Sur l graphiqu, pour qulls valurs d la fréquc obtit-o u amplitud d? 23-Complétr l tablau suivat : 1 2 3 4 5 6 Cs valurs sot lls cohérts avc l graphiqu? Justifir votr répos. II. Ecombrmt spctral t vitss d trasmissio d l iformatio umériqu O s itérss das ctt parti à dux mods d trasmissio : par lig RTC t par fibr optiqu. Caractéristiqus d la trasmissio par lig RTC Chaqu post téléphoiqu st rattaché à u sul bor d répartitio, cocté à u commutatur local (local switch), dot la distac put allr d qulqus ctais d mètrs jusqu à qulqus ilomètrs, réduisat d autat la bad passat ds sigaux qui puvt trasitr. La faibl bad passat (3 Hz 34 Hz) du RTC, t d autrs part, so rapport sigal/bruit (d l ordr 4 db) limitt la qualité du sigal aalogiqu trasmis. Toutfois, l avèmt d l Itrt à haut débit a motré qu c résau était capabl d assurr ds débits biairs coséquts : 8 Mbits/s pour l ADSL «classiqu» t plus d 2 Mbits/s pour «l ADSL II». Caractéristiqus d la trasmissio par fibr optiqu Ls trois typs d fibrs optiqus La fibr à saut d idic 2/38 costitué d u cœur t d u gai optiqu vrr d différts idics d réfractio. Ctt fibr provoqu d par l importat sctio du cœur, u grad disprsio ds sigaux l travrsat, c qui géèr u déformatio du sigal rçu. La fibr à gradit d idic dot l cœur st costitué d couchs d vrr succssivs ayat u idic d réfractio proch. O s approch aisi d u égalisatio ds tmps d propagatio, c qui vut dir qu l o réduit la disprsio odal. La bad passat typiqu st 2 15 MHz/m. C st c typ d fibr qui st utilisé à l itériur ds bâtimts d l Uivrsité (62.5/125) t tr crtais sits dssrvis par ls PTT (5/125). La fibr moomod dot l cœur st si fi qu l chmi d propagatio ds différts mods st pratiqumt dirct. La disprsio odal dvit quasimt ull.
Académi d Nats La bad passat trasmis st prsqu ifii (>1 GHz/m). Ctt fibr st utilisé sstillmt pour ls sits à distac. Activité 3 applicatio t utilisatio ds résultats d la parti I Défiitio : L combrmt spctral st la loguur d l itrvall compris tr l origi t l absciss du maximum du prmir lob scodair. 1. E supposat qu u sul doé soit trasmis sur u lig RTC. 1.1 Détrmir so combrmt spctral xprimé Hz. 1.2 Qull st la vitss d trasmissio du sigal? 1.3 E déduir ls vitsss d trasmissio d l ADSL classiqu t cll d l ADSL II. 1.4 Justifir, par ds argumts umériqus, l itérêt d la fibr optiqu. 2. U jour d fort coxio sur itrt, à Puyravault Chart-Maritim, o stim qu 8 prsos s sot coctés. Détrmir la vitss d trasmissio dispoibl par itraut.
Académi d Nats C. Mod xprt I. Trasformé d Fourir discrèt du sigal carré t spctr ds fréqucs. Activité 1 Etud d u prmir xmpl «à la mai» O étudi das ct xrcic u sigal «port». s t = 1 si t ;1 t sio. O ot s l sigal défii sur R par ( ) [ [ O échatillo c sigal pour [ ;3[ O obtit la séquc ( x ). t à u fréquc F = 2 (F Hz). 1-Rpréstr, das u rpèr orthoormé, l sigal t s ( t) aisi qu la séquc ( ) 2-O souhait calculr la trasformé d Fourir discrèt ( ) d la séquc ( ) 21-Calculr (, 1, 2, 3, 4, 5 ) foctio d ω. 22-Dor (, 1, 2, 3, 4, 5 ) écritur algébriqu. 23-Das l pla complx, costruir la séquc ( ). x. x. 3-Das u rpèr orthoormé, costruir l spctr ds fréqucs pour ct échatillo ( foctio ds fréqucs multipls d Activité 2 TFD du sigal carré F N où N = 6 pour ct xrcic). O cosidèr l sigal «carré», oté s, t défii sur R par : s ( t) (Par rapport au préambul, o s plac ici das l cas où T B = 1 t A = 1) 1-Qul st l ombr N d échatillos obtus? x d cs échatillos pour N 1. Dor ls valurs ( ) si t < = 1 si t < 1. si 1 t 2-O ffctu la trasformé d Fourir discrèt d ctt séquc t o obtit l spctr ds fréqucs suivat :
21-Lir graphiqumt la valur obtu pour la fréquc. Justifir ctt valur par l calcul. Académi d Nats 2 i π 1 Pour la suit, o pos ω = t o rappll qu : 9 ω =. = 22-Pour qulls valurs d la fréquc obtit-o u amplitud d? Justifir cla par u calcul sur l u d cs fréqucs, dits d xtictio. l l+ 1 1 ω O rappll qu : pour tout ω 1, ω = où l N. 1 ω = II. Ecombrmt spctral t vitss d trasmissio d l iformatio umériqu O s itérss das ctt parti à dux mods d trasmissio : par lig RTC t par fibr optiqu. Caractéristiqus d la trasmissio par lig RTC Chaqu post téléphoiqu st rattaché à u sul bor d répartitio, cocté à u commutatur local (local switch), dot la distac put allr d qulqus ctais d mètrs jusqu à qulqus ilomètrs, réduisat d autat la bad passat ds sigaux qui puvt trasitr. La faibl bad passat (3 Hz 34 Hz) du RTC, t d autrs part, so rapport sigal/bruit (d l ordr 4 db) limitt la qualité du sigal aalogiqu trasmis. Toutfois, l avèmt d l Itrt à haut débit a motré qu c résau était capabl d assurr ds débits biairs coséquts : 8 Mbits/s pour l ADSL «classiqu» t plus d 2 Mbits/s pour «l ADSL II». Caractéristiqus d la trasmissio par fibr optiqu Ls trois typs d fibrs optiqus La fibr à saut d idic 2/38 costitué d u cœur t d u gai optiqu vrr d différts idics d réfractio. Ctt fibr provoqu d par l importat sctio du cœur, u grad disprsio ds sigaux l travrsat, c qui géèr u déformatio du sigal rçu. La fibr à gradit d idic dot l cœur st costitué d couchs d vrr succssivs ayat u idic d réfractio proch. O s approch aisi d u égalisatio ds tmps d propagatio, c qui vut dir qu l o réduit la disprsio odal. La bad passat typiqu st 2 15 MHz/m. C st c typ d fibr qui st utilisé à l itériur ds bâtimts d l Uivrsité (62.5/125) t tr crtais sits dssrvis par ls PTT (5/125). La fibr moomod dot l cœur st si fi qu l chmi d propagatio ds différts mods st pratiqumt dirct. La disprsio odal dvit quasimt ull. La bad passat trasmis st prsqu ifii (>1 GHz/m). Ctt fibr st utilisé sstillmt pour ls sits à distac. Activité 3 applicatio t utilisatio ds résultats d la parti I Défiitio : L combrmt spctral st la loguur d l itrvall compris tr l origi t l absciss du maximum du prmir lob scodair. 1. E supposat qu u sul doé soit trasmis sur u lig RTC. 1.1 Détrmir so combrmt spctral xprimé Hz. 1.2 Qull st la vitss d trasmissio du sigal? 1.3 E déduir ls vitsss d trasmissio d l ADSL classiqu t cll d l ADSL II. 1.4 Justifir, par ds argumts umériqus, l itérêt d la fibr optiqu.
Académi d Nats 2. U jour d fort coxio sur itrt, à Puyravault Chart-Maritim, o stim qu 8 prsos s sot coctés. Détrmir la vitss d trasmissio dispoibl par itraut. Prologmt : O put prologr c travail Elémts d réposs : Activité 1 1) Echatillo 2) 5 xω 3 = où iπ = ω = t x = x1 = 1 ; x2 = x3 = x4 = x5 =. 1 = 1+ pour 5. ω 3 3 1 3 = 2 ; = + i ; = i ; 1 2 3 = ; 4 2 2 2 2 Rpréstatio graphiqu ds 1 3 = + i ; 5 2 2 3 3 = + i. 2 2 3) = 2 ; 1 = 3 ; 2 = 1 ; 3 = ; 4 = 1 ; 5 = 3.
Académi d Nats Activité 2 1) N = T F = 6. x = 1 pour 9 t x = pour 1 59. 2) O lit graphiqumt = 1. = x = x = 1 59 9. = = O obtit u amplitud pour { 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9} F. 2imπ 1 1 2 6 m 1 9 iπ m 9 2iπ 2imπ 1 6 1 6m 2iπ 2iπ = = 1 1. = = = = = 1 1 Notios : ls otios d échatillo t d TFD itrvit das ctt fich. Activité d l étudiat : l étudiat st amé à aalysr l graphiqu proposé, à motrr sa compréhsio d c qu st u échatillo, à fair l li avc la formul d TFD vu class (altrativmt, o put adaptr ctt activité pour srvir d itroductio à la formul d TFD), à posr ds calculs t évtullmt à ls mr à bi. Cosidératios didactiqus : ls activités sot différciés. Poits méthodologiqus : ds coups d pouc puvt êtr aticipés.