Modèles de Taux d Intérêt Vlad Bally

Modèles de Taux d Inérê Vlad Bally 28 Conens 1 Inroducion................................... 1 2 Modèle des aux insananés.......................... 2 3 Modèles de HJM (Heah-Jarrow-Meron)................... 1 4 Taux LIBOR.................................. 19 5 Bibliographie.................................. 29 1. Inroducion Il y a deux ype de aux. En premier emps, le aux sur une période xe, par exemple le aux LIBOR. C es le aux praiqué par les banques pour une période de 3 mois: pour 1 euro invesi aujourd hui on reçoi 1 (1 + L) euros dans rois mois. Le deuxième modèle concerne les aux composées: pour 1 euro invesi aujourd hui on reçoi 1 e rt euros dans rois mois, avec T = rois mois. r es le aux insanané. Le lien enre les deux es donné de la façon suivane. On divise l inervalle [; T ] en sous inervalles de longeur h = T=n e on emplois un aux xe r n sur chaque inervalle de emps [ kt n ; (k+1)t n ]: Donc, si au momen zero on invesi 1 euros, au momen T n on a 1 + r n ; au momen 2T n on a (1 + r n) 2 e ainsi de suie - c es la raisons pour laquelle on appel ce ype de aux "aux composées". Au momen T on aura (1 + r n ) n : On vois que, si on vœu obenir à la limie quelque chose qui n es ni nul ni in nie, on es obligé de prendre r n = rt=n pour un r > : Alors on obien (1 + r n ) n! e rt : Dans ce cours on va suivre la modélisaion en ermes de aux composées qui es plus facile à raier du poin de vue mahémaique - car elle condui à des modèles en emps coninu, qui son raiable par calcul sochasique, équaions sochasiques e EDP. Le modèle 1! 1 e rt es rop simplise pour expliquer les phénomènes observés sur le marché donc on doi considérer les deux généralisaions suivanes. En premier emps on remplace le aux insanané r par r s ; ce qui donne 1! 1 exp( R T r sds): Donc on prend en compe une évoluion du aux insanané qui dépend du emps. En plus, comme le aux insanané au momen s n es pas connu au momen = ; on considère que c es un processus aléaoire r s (!) qui sera "adapé" par rappor à une lraion qui représene l informaion au momen s: Dans la liéraure il y a une muliude de modèles pour la dynamique de s! r s (!) qui es donné en ermes de l EDS véri é par ce processus. Ce son les modèles de "aux cours" qui serons raiés dans la première parie du cours. 1

Modèles de Taux d Inérê 2 Une deuxième généralisaion c es imposé dans la héorie moderne des aux d inérê: c es le modèle de Hah - Jarrow - Meron (HJM). Le poin de vue dans cee héorie es le suiven. On considère les "T bonds" (ou zéro coupons): ce son des conras conclus au momen qui payen un euros au momen T > : On noe p(; T ) le prix du conra. Bien sur qu une insiuion nancière ou une aure peuven employer une formule ou une aure pour calculer le prix p(; T ): Par exemple on peu employer les aux xes e on obien p(; T ) = 1=(1 + L(T )) Ou bien les aux insananés e on obien () p(; T ) = exp( r s ds): Mais rien n es sandardisé dans ce domaine donc chacun fai ce qu il vœu e nalemen ce qu on observe sur le marché c es juse un prix p(; T ) qui re èen l o re e la demande. Vu cee siuaion on par de l idée que le personnage principal c es p(; T ) e que la modélisaion, quelle qu elle soi, doi expliquer l évoluion de ces quaniés. Si on regarde la formule () on voi que @ T ln p(; T ) = r T : On vois donc que le membre gauche de l égalié dépend de e de T alors que le membre droi ne dépend que de T: Donc les modèles de aux cours ne pourrons pas expliquer l évoluion de p(; T ) en oue généralié. On généralise donc la noion de "aux insanané" e on le remplace avec le "aux forward" f(; s); s : La formule () devien () p(; T ) = exp( f(; s)ds) e on aura mainenan la relaion @ T ln p(; T ) = f(; T ): E on précise mainenan la dynamique des aux forward f(; T ) à la place de la dynamique des aux insananés r s : C es le suje de la deuxième parie du cours. Dans la roiséme parie on présene les "Modèles de Marché". Ce son des modèles pour les aux LIBOR ou pour les aux SWAP. 2. Modèle des aux insananés On considère les hypohèse suivane. Il exise un acif sans risque, B ; qui véri e l équaion db = r d B ce qui reviens à B = exp( R r sds): E on suppose que r es un processus sochasique qui véri e l équaion dr = (; r )d + (; r )dw ou W es un mouvemen Brownien e e son des coe ciens su sammen réguliers pour avoir une soluion unique de l EDS. Par exemple Lipschiz e à croissance linéaire.

Modèles de Taux d Inérê 3 En plus on suppose qu il exise un marché de T bonds p(; T ) ou on peu acheer e vendre à n impore quel momen des bonds de n impore quelle maurié T: Cee hypohèse (bien que pas complèemen réalise) es nécessaire pour formuler des argumens d arbirage. Remarque: Si r = r = consan, alors c es claire que B = e r es un acif sans risque. Mais r es un processus aléaoire, donc B lui même es aléaoire. On panse quand même que c es un acif sans risque parce que! B es une foncion di éreniable, en conrase avec! W qui es un processus à variaion in nie - e de même oue sémimaringale (processus d Iô) qui compore une inégrale sochasique. Donc les variaions de B e impliciemen le risque qui en résule es moindre. Par conre, dans la modélisaion de p(; T ) le processus! p(; T ); T es une sémimaringale - donc un processus à risque. On es donc dans un marché ou B es l acif sans risque e les T bonds (p(; T )) T son les acif risqués, qu on négocie. On peu noer qu on a une in nié d acifs risqués: pour chaque maurié T on a un T bond di éren. 2.1. L Equaion de srucure (erm srucure equaion). On fai l hypohèse que pour chaque échéance T le prix p(; T ) au momen < T du T bond ne dépend que de r donc peu êre écri comme une foncion déerminise de r : p(; T ) = F T (; r ): C es une résricion qu on accépe(e qu on va elliminer dans le modèle HJM pour les aux froward). En plus on fai l hypohèse echnique (e moins imporane) que F T 2 C 1;2 c es à dire qu elle es une fois dérivable par rappor au emps e deux fois par rappor à r: C es nécessaire pour appliquer la formule d Iô. Nore bu c es d employer des argumens d arbirage pour déerminer l EDP véri- é par F T (; r); (; r) 2 [; T ] R + : On peu voire immédiaemen qu on aura la condiion nale F T (T; r) = p(t; T ) = 1: On éabli mainenan l équaion di érenielle. Pas 1. On emplois la formule d Iô e on obien (avec la noaion F T = F T (; r ) = p(; T )) df T = @ r F T dw + (@ F T + @ r F T + 1 2 2 @ r 2 F T )d: E on écri cee équaion en forme exponenielle c es à dire df T F T = T dw + T d; avec T = @ rf T F T ; T = @ F T + @ r F T F T + 1 2 2 F T :

Modèles de Taux d Inérê 4 Pas 2. Par un argumen d arbirage (que je laisse pour la n) on obien l a rmaion suivane. Pour ou S < T on a () S T T T S S = r ; 8 S < T: Je suppose que () es vrais e je coninue. Pas 3. Prime de risque. On réécri () sous la forme T T r = S r : S Ceci vœu dire que le rappor ne dépend pas de S respecivemen de T! On peu donc dé nire () := S r S: S Comme S es arbiraire es dé ni pour ou : Cee quanié s appele la prime de risque e le la moivaion es la suiven. On regarde les équaions suivis par les prix des T bonds (rapplons qu on a F T = p(; T )) : dp(; T ) p(; T ) = T dw + T d e on la compare avec l équaion de l acif sans risque: db B = r d: r représene le "aux de revenu" de l acif sans risque. Au même ire, T représene le aux de revenu de p(; T ). Mais p(; T ) es un acif risqué car il compore aussi le erme T dw : On peu donc inerpréer comme la di érence enre le aux de revenu de l acif risqué moins le aux de revenu de l acif sans risque (donc une prime de risque) normalisé par la volailié de l acif risqué - auremen di exprimé en "uniés de volailié". Pas 4. l EDP. On remplace T e T dans () e on obien ce qui donne @ rf T F T = @ F T + @ r F T F T @ F T + ( )@ r F T + 1 2 2 @ r 2 F T + 1 2 2 @ 2 r F T r r F T = :

Modèles de Taux d Inérê 5 On va mainenan précisé les argumens des foncions qui apparaissen la dedans. Commençons par remarquer que, par sa dé niion, es une foncion de e de r (voire (**)): Cee foncion es inconnue car elle engage F T (; r ) - qui n es pas connu - mais par conre, par nore hypohèse on sai au moins qu il s agi d une foncion! Donc on peu dire qu il exise une foncion : [; 1) R +! R el que = (; r ) e on ecri @ F T (; r ) + ( )(; r )@ r F T (; r ) + 1 2 2 (; r )@ 2 r F T (; r ) r F T (; r ) = : Ici inervien un argumen un peu subile: on sai que sous des hypohèse raisonnables la loi de r charge R + ou enier. Alors si pour une foncion on a (r ) = ; P presque sûremen, ceci implique que (r) = dr presque sûremen. E si en plus es une foncion coninue, alors (r) = pour chaque r 2 R + : Vu cee observaion on en dédui que @ F T (; r) + ( )(; r)@ r F T (; r) + 1 2 2 (; r)@ 2 r F T (; r) rf T (; r) = pour chaque (; r) 2 [; T ] R + : Si on noe = ; on a donc démonré le résula suiven. Theorem 1. (Term srucure equaion) Supposons que le marché n adme pas d arbirage. Alors il exise une foncion el que pour ou T la foncion F T es soluion de l EDP @ F T + ( )@ r F T + 1 2 2 @ 2 r F T (; r) rf T (; r) = ; (; r) 2 [; T ] R + ; F T (T; r) = 1: L argumen d arbirage. Revenons mainenan à la preuve de (): On consrui un porefeuille basé sur p(; T ) e p(; S) : V = T p(; T ) + S p(; S) La relaion d auo nancemen nous donne V = V + Z T s dp(s; T ) + Z On considère les pourcenage invesi dans chaque acif S s dp(s; S): u T = T p(; T ) V ; u S = S p(; S) V

Modèles de Taux d Inérê 6 e on écri V = V + Z V s u T s Donc, compe enu de la dynamique des T dp(s; T ) p(s; T ) + Z bonds V s u S s dp(s; S) p(s; S) : dv V = u T ( T dw + T d) + u S ( S dw + S d) = (u S S + u T T )dw + (u T T + u S S )d: On cherche mainenan une sraégie qui annule le brui dw : On vœu donc avoir u S S + u T T = : On sais aussi que u S + u T = 1; donc, en résolvan ce sysème d équaions on obien u T = T S S ; u S = T T S : Si on fai ce choix la dynamique du porefeuille es donné par dv V = (u T T + u S S )d: V es donc un acif sans risque. Mais on a sur le marché aussi l acif sans risque B : E si on pense deux minues, on voi que, si on a sur le marché deux acifs sans risque, alors forcemen ils on le même aux de revenu - sinon on peu immédiaemen consruire une sraégie d arbirage. On conclu que u T T + u S S = r ce qui revien à S T T S = r : T S On peu donner la généralisaion immédiae suivane. Soi une foncion e soi p (; T ) le prix au momen d un conra qui paye (r T ) à l échéance T: Donc les T bonds représenen le cas pariculier = 1: On noe par F T; une foncion elle que p (; T ) = F T; (; r ): Le même argumen d arbirage qu avan nous donne l EDP suivane. Theorem 2. Supposons que le marché n adme pas d arbirage. Alors il exise une foncion el que pour ou T e ou payo ; la foncion F T; es soluion de l EDP @ F T; + ( )@ r F T; + 1 2 2 @ r 2 F T; (; r) rf T; (; r) = ; (; r) 2 [; T ] R (1) + ; F T; (T; r) = (r):

Modèles de Taux d Inérê 7 On remarque que la prime de risque es la même: c es que pour éablir le résula pour = 1 on a consrui un porefeuille basé sur p(; T ) e p(; S) pour S < T: Mais on peu aussi bien consruire des porefeuilles basés sur p (; T ) e p (; S): E on va oujours obenir S; T; T; S; = r : T; S; Donc la prime de risque ne va pas dépendre de e de au même ire qu elle ne dépendai pas de S e de T: 2.2. Inerpréaion probabilise. On commence par rappeler la formule de Faynman Kac. On considère l EDS E on noe par X ;r T la soluion de X ;r T = ( )(; X )d + (; X )dw : la soluion de l équaion qui par de r au momen ; c es à dire = r + ( )(s; Xs ;r )ds + (s; Xs ;r )dw s : On remarque qu on a la propriéé suivane (propriéé de o): pour ou T e ou r 2 R X T := X ;r T = X ;X;r T : Alors le héorème de Faynman Kac di que la soluion F T; de l EDP (1) ce représene par F T; (; r) = E((X ;r T )e R T Xs ;r ds ): E en employan la propriéé de Markov on obien E((X T )e R T X sds j F ) = E((X T )e R T X sds j X ) (2) = E((X ;r T )e R T Xs ;r ds ) j r=x = F T; (; X ): On éabli mainenan le lien avec la dynamique des aux cours r : On rappelle qu on a dr = (; r )d + (; r )dw = ( )(; r )d + (; r )(dw + d): Si on dé ni dw = dw + (; r )d alors le héorème de Girsanov nous di qu il exise une probabilié P équivalene avec P sous laquelle W es un mouvemen Brownien. Donc, sous P la dynamique de r es donné par dr = ( )(; r )d + (; r )dw :

Modèles de Taux d Inérê 8 C es la dynamique de X considéré plus hau. Donc X e r on la même lois e (2) s écri p (; T ) = F T; (; r ) = E ((r T )e R T r sds j F ) P p:s: (3) C es la formule de calcul pour les pri des T bonds généralisés (e on prend = 1 pour les T bonds sandard). Remarque. Cee formule représene la formule sandard pour le pris de payo sur l acif r T : Mais on peu ce demander sous quelle probabilié P on doi faire le calcul? Auremen di, quelle es la prime de risque qu on va choisir?. En gros la réponse es: C es le marché qui chosi la prime de risque! Pour voir ça il fau poser le problème de la callibraion. On considère qu on es au momen = e on a sur le marché les prix bp(; T 1 ); :::; bp(; T n ): Le problème c es de rouver un modèle qui explique le mieux possible ces prix la. Donc on voudrai avoir bp(; T i ) = p(; T i ) = E ((r T )e R T rsds ); i = 1; :::; n: (4) E on sai que sous P la dynamique de r es donné par dr = ( )(; r )d + (; r )dw : On vœu donc rouver les foncions ; ; qui donnen (4). On a donc rois foncions inconnues. Mais, si on noe = ; alors l équaion s écri dr = (; r )d + (; r )dw : (5) E la loi de r es déerminé par ; e par le mouvemen Brownien W: On peu donc réformuler le problème de la manière suivene: rouver e pour avoir bp(; T i ) = E((r T )e R T rsds ); i = 1; :::; n avec dr = (; r )d + (; r )dw : E mainenan la prime de risque disparaî - elle es inclue dans qui es calculé par callibraion (donc choise par le marché). Ceci es encore plus éviden si on par de l équaion de srucure: elle dépend de e de = : Donc ce son ces deux foncions la qu on doi rouver. 2.3. Modèles A nes. On considère un modèle de aux cour sous la probabilié risque neure (voir (5): dr = (; r )d + (; r )dw e on noe par F T (; r) la soluion de l équaion de srucure associé. On di que le modèle es a ne si F T (; r) = exp(a(; T ) rb(; T )) (6) ou A e B son des foncions déerminises de e T:

Modèles de Taux d Inérê 9 Lemma 3. Supposons que (; r) = r() + (); 2 (; r) = r() + (): (7) Alors le modèle es a ne e on rerouve A e B comme soluions des équaions suivanes: 1 @ B(; T ) + ()B(; T ) 2 ()B2 (; T ) = 1; B(T; T ) = ; (8) e 1 @ A(; T ) = ()B(; T ) 2 ()B2 (; T ); A(T; T ) = : (9) Preuve. L équaion de srucure associé es @ F T + @ r F T + 1 2 2 @ 2 r F T rf T = ; F T (T; r) = 1: (1) La condiion nale F T (T; r) = 1 implique que A(T; T ) rb(t; T ) = pour ou r 2 R + donc on doi avoir A(T; T ) = B(T; T ) = : D aure par, si on a (6) alors @ r F T = BF T ; @ 2 r F T = B 2 F T e @ F T = (@ A r@ B)F T : On remplace dans l équaion (1) e on remplace aussi e 2 par les expressions données dans (7). E on rerouve @ A r@ B (r + )B + 1 2 (r() + ())B2 r = : Comme cee égalié doi êre vrais pour ou r on obien (8) e (9). Les exemples de modèles de aux cours les plus courans son les suivanes: 1. Vasicek: dr = (b ar )d + dw ; 2. CIR 3. Dohan 4. Black, Derman, Toy dr = (b 5. Ho-Lee (exension Vasicek) 6. Hull-Whie (exenion CIR) ar )d + p r dw dr = ar + r dw dr r = ()d + ()dw ; dr = (() a()r )d + ()dw ; dr = (() a()r )d + () p r dw : Les modèles 1,2,5, 6 son a nes e les modèles 3 e 4 ne le son pas.

Modèles de Taux d Inérê 1 3. Modèles de HJM (Heah-Jarrow-Meron) Dans les modèles de aux cours (insananés) on a supposé qu on peu expliquer la dynamique des zéro coupons en paran de la dynamique des aux cours. Ce qui n es pas le cas en oue généralié. L idée de Heah-Jarrow-Meron es de modéliser direcemen les aux forward (e impliciemen les zéro coupons). Le cadre es le suiven: on considère un mouvemen Brownien d dimensionnel W = (W 1 ; :::; W d ) e pour un processus d dimensionnel u = (u 1 ; :::; u d ) on noe u dw = u i dw i : On suppose que pour ou T > xé, les aux forward véri en df(; T ) = (; T )d + (; T )dw ; T; (11) f(; T ) = f (; T ) ou bien en écriure inégrale f(; T ) = f (; T ) + Z (s; T )ds + Z i (s; T )dw i s T: Ici f (; T ) = @ T p (; T ) c es la courbe des aux forward donné par le marché; elle s appele le "yild curve". E (; T ); (; T ) = ( 1 (; T ); :::; d (; T )) son des processus adapés el que E( (j(; T )j + j(; T )j 2 )d) < 1: On suppose aussi que pour ou xé T! (; T ) e T! (; T ) son des foncions di ereniables. On doi observer qu ici on n a pas à faire avec des équaions sochasiques (comme c éé le cas dans la modélisaion du aux insanané r ) mais juse avec un "cadre". L égalié (11) n es pas une équaion mais juse l a rmaion que! f(; T ); T es un processus d Iô. E en plus on a précisé que e dépanden d une manière di ereniable de T: On vœu mainenan donner la dynamique des zéro coupons. Pour ceci on rappelle l expression p(; T ) = exp( f(; s)ds) e on emplois la formule d Iô pour déerminer la dynamique de! p(; T ): La di - culé c es que! R T f(; s)ds n es pas un processus d Iô dans sa forme habiuelle

Modèles de Taux d Inérê 11 (car apparai dans la limie de l inégrale e dans f(; s) en même emps) donc on aura besoin d une exension de la formule d Iô. Je ne renre pas ici dans les déailles echniques e je me conene de donner direcemen la dynamique qu on obien: avec dp(; T ) p(; T ) = T d + S i (; T ) = A(; T ) = S i (; T )dw i (12) i (; s)ds; i = 1; :::; d; (13) (; s)ds; T = f(; ) + A(; T ) + 1 2 js(; T )j2 : Le problème es mainenan le suiven: quelles son les relaions qui doiven êre véri és par e pour qu il n y a pas d opporunié d arbirage dans le marché? Réponse: la condiion de dérive de HJM - qu on va éablir par la suie. On discue ce problème dans le cadre suiven: 1. Il y a un acif sans risque qui véri e db = r B d ou r es le aux de la banque (qui es un processus sochasique don la dynamique n es pas précisé). E on suppose que r = f(; ): 2. Il y a un marché dans lequel ce négocien les zéro coupons de oue maurié T à ou momen T: Avan de parir en roue on rappel le fai suiven: l absence d opporunié d arbirage es équivalene à l exisence d une probabilié P P; appelé probabilié risque neure, el que les prix des acifs risqués acualisés son des maringales sous P : Dans nore cas les acifs risqué son les zéro coupons donc on suppose que ep(; T ) = B 1 p(; T ); T; son des maringales sous P pour ou T > : Remark 1. Le fai que la probabilié risque neure P es unique es équivalen avec le fai que le marché es comple. Dans nore cas le marché n es pas comple e on n a pas unicié de la probabilié risque neure. Proposiion 4. (Prime de risque) Son équivalenes: A. Il n y a pas d opporunié d arbirage. B. Il exise un processus = ( 1 ; :::; d ) appelé "prime de risque" el que T = r i S i (; T ) 8T > : (14)

Modèles de Taux d Inérê 12 Remark 2. Supposons que d = 1: Alors (14) donne r = T S(; T ) : Comme T représene le aux de revenu des zéro coupons e S(; T ) représene leurs volailié, on rerouve la même expression que dans les modèles des aux insananés (ce qui es choéren) e la même inerpréaion économique: la prime de risque représene la di érence enre le aux de revenu de l acif sans risque e de l acif risque, en "uniés de volailié" de l acif risqué. On di que la volailié des zéro coupons es S(; T ) e non S(; T ) car on fai la convenion que la volailié doi êre une quanié posiive. Preuve. B =) A: Supposons qu il exise qui véri e (14). On noe e () = exp( dw ;i = dw i Z i d i (s)dw i s 1 2 Z j(s)j 2 d; dp = e (T )dp; e on rappel que le héorème de Girsanov di que W es un P mouvemen Brownain. Le dynamique des zéro coupons acualisés es donné par dep(; T ) ep(; T ) = ( T r )d + = ( T r + = S i (; T )dw i i S i (; T ))d + S i (; T )dw ;i S i (; T )(dw i i d) la dernière égalié éan une conséquence de (14). Comme W es une maringale sous P ; ep(; T ) l es aussi. Donc P es une probabilié risque neure. A =) B: On suppose qu il n y a pas d opporunié d arbirage - donc qu il exise une probabilié P P; el que ep(; T ) es une P maringale. Le héorème de Girsanov nous di aussi que oue probabilié équivalene à P a comme densié une exponenielle sochasique. On peu donc rouver un processus el que dp =

Modèles de Taux d Inérê 13 e (T )dp: La dynamique de ep(; T ) sous P es donné par dep(; T ) ep(; T ) = ( T r )d + = ( T r + S(; T )dw i ;i S i (; T ))d + S i (; T )dw ;i : E comme ep(; T ) es une P maringale la dérive doi êre zéro donc T r = P d ;i S i (; T ): On a donc obenu (14) avec = : Remark 3. On reien aussi la démonsraion de cee proposiion qle fai suiven: pour ou processus on a une probabilié risque neure P ; e inversemen, ou probabilié risque neure P es de la forme P pour un cerain processus qui véri e (14). On donne nalemen le résula principal de ce paragraphe: Theorem 5. (Condiion de dérive de HJM) On suppose qu il n y a pas d opporunié d arbirage Alors sous la probabilié risque neure P la dynamique des forward raes es donné par df(; T ) = (; T )d + (; T ) = i (; T ) i (; T )dw ;i avec (15) i (; s)ds: Preuve. On prend une probabilié risque neure quelconque - comme on la vue avan, cee probabilié es de la forme P = P pour un cerain e en plus on a la relaion (14). Cee relaion s écri f(; ) + A(; T ) + 1 2 js(; T )j2 = r i S i (; T ): On dérive par rappor à T : on a @ T A(; T ) = (; T ) e @ T S i (; T ) = i (; T ) donc on obien (; T ) S i (; T ) i (; T ) = i i (; T ):

Modèles de Taux d Inérê 14 On prend qui es donné par cee égalié e on le remplace dans la dynamique des aux forward: df(; T ) = = S i (; T ) i (; T )d S i (; T ) i (; T )d + i i (; T )d + i (; T )(dw i i (; T )dw i i d): Comme dw i i d = dw ;i on a obenu (15). = dw ;i e P d S i(; T ) i (; T ) = P d i(; T ) R T i (; s)ds 3.1. Pricing dans le modèle de HJM. Soi H une variable aléaoire (posiive, inégrable) F T mésurable. On la regarde comme payo pour un conra d échéance T: On di que H es simulable s il exise un porefeuilles auo nancé V consrui avec des zéro coupons el que V T = H (le marché es incomple donc ce n es pas vrais que ou acif nancier H es simulable). Proposiion 6. Le prix d un acif simulable H es donné par (H) = E (He R T r sds j F ) (16) ou P es une probabilié risque neure. En pariculier le prix des zéro coupons es donné par p(; T ) = E (e R T r sds j F ): (17) Preuve. On considère un porefeuille V el que V T = H e on noe V e = 1 B V la valeur acualisé. Comme V es un porefeuille auo nancé consrui avec des zéro coupons e les prix des zéro coupons acualisés son des maringales sous P ; V e es aussi une maringale sou P ; donc On enlève l acualisaion e on obien E ( e H j F ) = E ( e V T j F ) = e V : (H) = V = E (He R T r sds j F )

Modèles de Taux d Inérê 15 3.2. Changemen de numéraire. La dynamique des zéro coupons acualisés sous la probabilié risque neure P es donné par (le coe cien de dérive doi êre nul car on a des maringales): donc dep(; T ) ep(; T ) = S i (; T )dw ;i ep(; T ) = p(; T )e T () avec e T () = exp( Z S i (s; T )dw ;i s 1 2 Z js(s; T )j 2 ds): Comme e T es une exponenielle sochasique on peu dé nie la probabilié dp T = e T (T )dp = ep(t; T ) p(; T ) dp: Cee probabilié s appele la "probabilié forward" associé au zéro coupon p(; T ): Proposiion 7. (Changemen de numéraire). Le prix d un acif simulable H es donné par (H) = p(; T )E T (H j F ): (18) En pariculier (H) = p(; T )E T (H): (19) L Inérê de cee formule vien enre aure du fai suiven. Supposons qu on vœu calculer le prix (H) en employan la méhode de Mone Carlo. Si on par avec la formule "sandard" (16) on doi simuler le couple (H; R T r sds); donc on doi connaîre la loi joine de H e de R T r sds: E ceci peu êre délica... Par conre, si on emplois (19), il su de connaîre la loi de H seulemen - e la valeur de p(; T ) qui es donné par le marché. Mais aenion: on doi connaîre la loi de H sous la probabilié forward P T : D habiude H dépend d un processus d Iô, donc c es une foncionnelle de W qui es un mouvemen Brownien sous P : Si on vœu ravailler sous P T il fau ou converir en ermes de W T qui es un mouvemen P Brownien sous P T : Pour ça il su de ce rappeler que dw T = dw d S i(; T )dw ;i es un mouvemen Brownien sous P T : Finalemen on explique R pourquoi on appele cee echnique "changemen de numéraire". T Je noe p B (; T ) = exp( r s ds): C es la somme qu on doi mere à la banque au momen pour, obenir un euros au momen T: C es donc un "zéro coupon" basé

Modèles de Taux d Inérê 16 sur l acif sans risque. Avec cee noaion la formule de pricing avec la probabilié risque neure (16) devien (H) = E (Hp B (; T ) j F ): E la formule avec changemen de numéraire es (H) = p(; T )E T (H j F ) = E T (Hp(; T ) j F ) la dernière égalié éan vrais car p(; T ) es F méasurable. En ce momen les deux formules son complèemen analogues mais la première raie Hp B (; T ) - qui es la valeur de H en uniés (numéraire) 1=p B (; T ) - e la deuxième raie Hp(; T ) - qui es la valeur de H en uniés 1=p(; T ) - qui es le "numéraire" associé au zéro coupon p(; T ): Bien sur l espérance es calculé la première fois sous la probabilié risque neure P alors que la deuxième fois c es sous la probabilié froward P T : Avan de démonrer (18) je vais donner un lemme absrai qui éabli les règles de calcul pour un changemen de numéraire absrai. Je considère un processus Y qui véri e dy Y = Y ()dw = i Y ()dw i : Alors Y = Y e Y () avec e Y () = exp( R R 1 Y (s)dw s j 2 Y (s)j 2 ds): Je vœu employer Y comme numéraire donc je dé ni la probabilié forward associé à Y comme dp Y = e Y ()dp sur F : On noe que sous P Y le Brownien es dw Y;i = dw i Y ()d: Je considère aussi un aure processus X qui véri e X = X ()d + X ()dw : J acualise X dans le numéraire Y e j obien Proposiion 8. La dynamique de X Y X Y = X Y : es donné par Y X Y = X ()d + ( X () Y ())dw Y avec dw Y;i = dw i Y ()d: (2) En pariculier, si X es une maringale sous P alors X = donc X Y es une maringale sous P Y e on a X Y = X Y exp( Z ( X (s) Y (s))dw Y s 1 2 Z j X (s) Y (s)j 2 ds): (21)

Modèles de Taux d Inérê 17 Preuve. je noe e() = 1=e Y () e en appliquan la formule d Iô on obien de() e() = Y ()dw + j Y ()j 2 d: Donc, encore une fois par Iô: Y Y = d(e()x ) = e() + X de() + d hm X ; M e i () = e()x X ()dw + e()x X ()d e()x Y ()dw + e()x j Y ()j 2 d e()x h Y (); X ()i d = e()x ( X () Y ())dw +e()x h Y () X (); X ()i d + e()x X ()d = e()x ( X () Y ())dw Y + e()x X ()d: Comme X Y = Y 1 e()x on obien (2). Preuve de (18). On considère un porefeuille auo nancé V el que H = V T on écri V p(; T ) = e V ep(; T ) : On sai que e V es une maringale posiive donc sa dynamique es donné par e d e V ev = V ()dw : On va employer le lemme précéden avec X = e V e Y = ep(; T ): Donc e V =ep(; T ) = X Y : Comme X es une P maringale, X Y es une P Y = P T maringale donc X Y = E T (X Y T j F ): Ce qui donne V V T p(; T ) = ET ( p(t; T ) j F ) = E T (H j F ): Comme V = (H) on a démonré que (H) = p(; T )E T (H j F ): 3.3. Applicaion: formule de Black Scoles avec aux aléaoires. On considère le cadre suiven. On a un acif sans risque B soluion de db = r B d: On a aussi un marché de zéro coupons p(; T ); T e f(; ) = r(): Finalemen on considère aussi un acif risqué X soluion de l équaion X = r d + dw

Modèles de Taux d Inérê 18 cee équaion éan considère sous la probabilié risque neure. On fai l hypohèse S(; T ) es déerminise. Dans le modèle de Black Schooles classique = es une consane e le aux es xe: r = r; donc S(; T ) = : Donc, bien qu on n es pas dans une siuaion complèemen générale, on a quand même gagné en généralié. Nore bu es de donner une formule pour le calcul du prix d un call sur X T analogue à la formule de Black Schooles. Proposiion 9. On noe q = ( R T j S(; T )j 2 d) 1=2 : Alors le prix du call es donné par := E (e R T rsds (X T K) + ) = x (d 1 ) Kp(; T )(d 2 ) avec d 1 = 1 q (ln(kp(; T ) x ) (d) = Preuve. On écri Z 1 1 p 2 d e x2 2 dx: q 2 2 ); d 2 = 1 q (ln(kp(; T ) x ) + q2 2 ) = E (e R T rsds X T 1 fxt >Kg) KE (e R T rsds 1 fxt >Kg) = x E ( e X T x 1 fxt >Kg) Kp(; T )E ( ep(t; T ) p(; T ) 1 fx T >Kg) = x E ex (1 fxt >Kg) Kp(; T )E ep(:;t ) (1 fxt >Kg) =: x I Kp(; T )J: Calcul de J : On écri e on emplois la formule de changemen de numéraire (21) avec X = e X e Y = ep(; T ) Je noe X T = = Comme () P ep(:;t ) : Donc X T p(t; T ) = x p(; T ) exp( X e T ep(t; T ) = X e ep(:;t ) T (() S(; T ))dw ep(:;t ) Z 1 T j() 2 S(; T )j 2 ds) Z = 1 (() S(; T ))dw ep(:;t ) : q S(; T ) es déerminise, Z es une variable Gaussiene sandard sous J = P ep(:;t ) (X T > K) = P ep(:;t ) ( p(; T ) exp(qz q 2 )) > K) 2 = P ep(:;t ) (Z > 1 Kp(; T ) (ln + q2 q x 2 )) = (d 2): x

Modèles de Taux d Inérê 19 Calcul de I: On va employer le changemen de numéraire avec le numéraire X: On écri X T = X T p(t; T ) = X e T ep(t; T ) = 1 1 ep(t; T )= X e = T ep X e (T; T ) : En employan (21) avec X = ep(:; T ) e Y = e X on obien avec ep ex (T; T ) = p(; T ) x exp( (S(; T ) = p(; T ) x exp(qz q 2 2 ) Z = 1 q (S(; T ) Sous P ex Z sui une loi normale sandard donc I = P ex 1 ( ep X e (T; T ) > K) = P ex (exp( Z X )dw e 1 T j() 2 )dw e X : S(; T )j 2 ds) qz + q2 2 ) > Kp(; T ) x ) = P ex ( Z > d 1 ): Comme Z sui une loi normale sandard la preuve es complèe. 4. Taux LIBOR 4.1. Dé niion e dynamique des aux LIBOR dans le cadre HJM. On dé ni le aux LIBOR forward par L(; S; T ) = p(; S) p(; T ) p(; T )(T S) ; S T: C es le aux sur la période (S; T ) el qu il es vue au momen : E le aux LIBOR spo es donné par L(S; T ) = L(S; S; T ) = 1 p(s; T ) p(s; T )(T S) : La moivaion de cee formule es la suivane: si on es au momen S on peu faire une opéraion qui nous perme d invesir un euros au momen S e d obenir 1+ R(T S) euros au momen T avec R = (p(; S) p(; T ))=p(; T )(T S): La sraégie es la suivane: au momen on vend un S bond e on achèe p(; S)=p(; T ) bonds de maurié T: Opéraion de solde nul. Au momen S on paye un euros (pour honorer le S bond) - donc on invesi un euros. E au momen T on reçoi p(; S)=p(; T ) > 1: On écri p(; S)=p(; T ) = 1 + R(T S) avec R = (p(; S) p(; T ))=p(; T )(T S):

Modèles de Taux d Inérê 2 Dans ce qui sui on considère qu on es dans le cadre HJM donc la nappe de volailié (; T ) = ( 1 (; T ); :::; d (; T )); T es donné e elle déermine complèemen la dynamique des zéro coupons (condiion de dérive de HJM). Noammen, sous la probabilié risque neure on a dep(; T ) ep(; T ) = S i (; T )dw i = S(; T )dw avec S i (; T ) = i (; s)ds: Nore premier bu c es de donner la dynamique des LIBORs dans ce cadre. Soi S < T xé. On noe F () = L(; S; T ); = T S e i = 1 + F () F () i avec i = S i (; S) S i (; T ) = S i (; s)ds: (22) Proposiion 1. Soi dw T = dw S(; T )ds le mouvemen Brownien sous la probabilié forward P T associé à p(; T ): On a df () F () = dw T : (23) En pariculier on voi que le numéraire naurellemen associé à L(; S; T ) es p(; T ): Preuve. On applique (2) avec X = p(; S) e Y = p(; S) e, en posan () = X =Y = p(; S)=p(; T ); on obien Comme F () = L(; S; T ) = 1 ( donc d = (S(; S) S(; T ))dw T df () F = dw T : 1) on obien df () = 1 d = 1 dw T = F dw T : Finalemen on observe que = 1 + F e la preuve es complèe. On va mainenan décrire quelques conraces usuels. Coupon Bonds. On xe une grille de emps < T < T 1 < ::: < T n (qu on appel enor srucure) e on ce donne aussi c i > (les coupons) e K > (le pricipal). T c es le emps quand le conra démarre e T i ; i = 1; :::; n son les daes de payemen des coupons c i : Donc au momen T i le déeneur du conra reçoi la somme c i : Au momen nal T n il reçoi le coupon c n e le pricipal K. On peu voire ce conra de la manière suivane: On dépose au momen T à la banque le monan K: E la banque e

Modèles de Taux d Inérê 21 paye des inérês c i sur les périodes (T i 1 ; T i ]: Alors le aux sur la période (T i 1 ; T i ] es donné par l égalié c i = K(T i T i 1 )r i : On va donc appeler r i = c i K(T i T i 1 ) le aux simple sur la période (T i 1 ; T i ]: Noer quand même que r i ne représenen pas des aux exisans sur le marché mais c es un aux qui es précisé par le conra. Il y a deux ypes de conras: ou bien avec des aux r i ; i = 1; :::; n xés d avances (à aux xe) ou bien avec les aux r i indexés sur un indice du marché - d habiude sur le LIBOR: r i = L(T i 1 ; T i ): Dans ce cas on a un conra avec aux oan (inconu au momen T ). Prix d un coupon bond à aux xes. Pour simpli er on va prendre T i T i 1 = e r i = r: Donc c i = Kr: Pour éablir le prix P du coupon bond au momen T on essaye de couvrir le conra avec des zéro coupons achèe au prix du jour sur le marché. Pour pouvoir payer c i = Kr au momen T i on va acheer c i T i bonds donc on paye c i p(; T i ): La même chose pour le principal. Donc! nx nx P = Kp(; T n ) + c i p(; T i ) = K p(; T n + r p(; T i ) : Prix d un coupon bond à aux oan. On considère un conra à aux oan LIBOR donc c i = KL(T i 1 ; T i ) = K 1 p(t i 1; T i ) p(t i 1 ; T i ) 1 = K( p(t i 1 ; T i ) On doi payer cee somme au momen T i : Pour le faire on va employer la sraégie suivane: 1. Au momen on vend K T i bonds e on achèe K T i 1 bonds. Coû: K(p(; T i ) p(; T i 1 )): 2. Au momen T i 1 on reçoi K e on achèe avec cee somme K=p(T i 1 ; T i ) T i bonds. Opéraion de coû nul. 3. Au momen T i on reçoi K=p(T i 1 ; T i ) e on paye K: Donc au oal 1 K( p(t i 1 ; T i ) 1) = c i : On a donc produi c i en invesissan K(p(; T i 1 ) p(; T i )): Le prix oal c es 1): P = Kp(; T n ) + K nx (p(; T i 1 ) p(; T i )) = Kp(; T ):

Modèles de Taux d Inérê 22 Conclusion: pour couvrir un coupon bound à aux oan LIBOR il su de couvrir le principal au momen iniial T : Le résula parai surprenan mais en fai c es naurel: comme les aux du conra son les mêmes que les aux du marché, si on arrive au momen T ; après le marché fai lui, même le ravail. Caps and Floors. On dé ni un caple comme i = K(L(T i 1 ; T i ) R) + : Un conra cap c es un conra qui paye i au momen T i : R s appele le aux du cap. C es un conra d assurance (un call) conre les variaions du LIBOR: le vendeur d un coupon bond à aux oan LIBOR s assure conre le fai que les LIBOR serons plus grandes que le aux R: Le oore es un pu sur le LIBOR donc un oor paye K(R L(T i 1 ; T i )) + aux momens T i : On peu calculer le prix d un caple de deux manières. Méhode I: En employan la probabilié risque neure. La di culé pour pricer un cap c es que le aux LIBOR ne représene pas un acif négocié sur le marché. Donc si on vœu couvrir un el conra il fau exprimer ou en ermes de zéro coupons - qui son négociés. On a donc: Proposiion 11. Le prix i d un caple d échéance T i es équivalen au prix d un pu d échéance T i 1 e de srike 1=(1 + R) sur T i bond. Plus précisémen on a i () = K(1 + R)E (e R T i 1 r sds ( 1 1 + R p(; T i)) + j F ): (24) Preuve. Je noe L = L(T i 1 ; T i ); p = p(t i 1 ; T i ) e R = 1 + R: E on calcule i = K( 1 p p R) + = K( 1 p R ) + = KR p ( 1 R p) + : Pour payer x=p(t i 1 ; T i ) au momen T i il su d avoir x au momen T i 1 : Donc pour payer i au momen T i il su d avoir KR ( 1 R p) + au momen T i 1 : On applique la formule de pricing sous la probabilié risque neure on obien (24). Remarque. Si on suppose que S(; T i 1 ) S(; T i ) es déerminise, on peu appliquer la formule de Black Schooles du paragraphe précéden e on obien une formule fermé pour le prix. Méhode II: en employan les probabiliés forward. Proposiion 12. i () = p(; T i )E T i ((L(T i 1 ; T i ) R) + ) j F ) (25)

Modèles de Taux d Inérê 23 Preuve. On a le pyo i = K(L(T i 1 ; T i ) R) + : Comme on a vue dans la démonsraion de la Proposiion précédene on peu couvrir ce acif de la manière suivane: on consrui un porefeuille V () el que V (T i 1 ) = KR ( 1 R p(t i 1 ; T i )) + e on a i = V (T i 1) p(t i 1 ; T i ) : On applique le lemme de changemen de numéraire avec X = V () e Y = p(; T i ); T i 1 e on obien la formule. Remarque. On rappel (voire (23)) que dl(; T i 1 ; T i ) L(; T i 1 ; T i ) = i()dw T i pour une ceraine volailié i : Si on fai l hypohèse que i es déerminise alors on aura une dynamique log-normale pour L(; T i 1 ; T i ) sous P T i donc on peu appliquer la formule de Black Schooles e on obien une forme fermé pour le prix. C es l idée des modèles de marché: un modèle de marché dans lequel les volailiés des LIBORs i ; i = 1; :::; n son des foncions déerminises s appel "LIBOR Marke Model". Ces modèles on éé inroduies par Brace, Gahareck e Musiela - on les appellen aussi modèles BGM. On revien plus ard sur ce suje. Précisons pour le momen que ce n es pas possible d avoir en même emps S(; T i 1 ) S(; T i ) e déerminises: sinon L(; T i 1 ; T i ) lui même es déerminise (voir la forme de dans (22)). Donc on ne peu pas avoir des formule fermés pour le prix dans les deux approches en même emps. 4.2. SWAP opions. C es une opion qui perme de changer un aux xe conre un aux oan. Plus précisémen on ce donne T < T 1 < ::: < T n e on ce donne aussi un aux r > arbiraire. Le conra swap garani qu on peu changer (si on le veu) le aux xe r conre le aux oan donné par le LIBORs; donc, à chaque momen T i ; i = 1; :::; n on paye c i = rk e on reçoi L(T i 1 ; T i )K: Pour calculer le prix du conra on observe qu au momen T i le vendeur du conra paye à l acheeur 1 K(L(T i 1 ; T i ) r) = K( p(t i 1 ; T i ) 1 r): Pour couvrir le vendeur achèe au momen T des T i bonds, donc il a besoin de p(; T i ) K( p(t i 1 ; T i ) (1 + r)p(; T i )) = K(p(; T i 1 ) (1 + r)p(; T i )): L égalié es une conséquence de l idenié p(; T i ) = p(; T i 1 )p(t i 1 ; T i ) (cee égalié es vrais: si on dispose de la somme p(; T i 1 )p(t i 1 ; T i ) au momen on peu acheer

Modèles de Taux d Inérê 24 p(t i 1 ; T i ) T i 1 bonds. E au momen T i 1 on reçois p(t i 1 ; T i ) e on achèe un T i bond. Finalemen au momen T i on reçoi un euro). On conclu que le prix oal du conra au momen T es donné par p() = K nx (p(; T i 1 ) (1 + r)p(; T i )) = K(p(; T ) p(; T n ) r nx p(; T i )): De niion 1. (SWAP rae). Le aux swap c es le aux xe qui perme d enrer dans le swap sans rien payer (qui annule le rpix du conra swap), donc Si = T on parle de "aux swap spo": r ;n () = p(; T ) p(; T n ) P n p(; T ; T : i) r ;n (T ) = 1 p(t ; T n ) P n p(; T i) : Remarque: On voi que le numéraire naurel associé au aux swap c es U = P n p(; T i); T : Sous la probabilié P U associé à U le aux swap va êre une maringale. On va mainenan considérer une opion call sur le aux swap. On xe k 2 f; :::; n 1g e on vœu faire un conra qui nous perme d enrer dans le swap au momen T k sans rien payer. Au momen T k le aux swap spo es r k;n (T k ) = 1 p(t k; T n ) P n i=k+1 p(; T i) : Si on accepe de payer r = r k;n (T k )K au momens T i ; i = k + 1; :::; n alors on peu reçevoire L(T i 1 ; T i )K sans avoir rien à payer au momen T k. Mais au momen T k r k;n (T k ) n es pas connu donc on vœu s assurer conre un aux rop élevé. On xe R > e on vœu faire un conra qui nous perme (mais ne nous oblige pas) d enrer dans le swap au momen T k ; avec le aux R e sans rien payer. Un el conra s appele un call de aux R sur le swap rae. Calculons le prix. On commence par préciser le payo. Le vendeur du conra doi produire (r P k;n (T k ) R) + aux momens T i ; i = k + 1; :::; n: Pour ça il doi avoir (r k;n (T k ) R) n + i=k+1 p(t k; T i ) au momen T k : En e e, s il a cee somme, alors il achèe des T i bounds i = k +1; :::; n e il renre grauiemen dans le swap au momen T k avec le aux r k;n (T k ): Au momen T i ; il béné cie du swap; donc il paye r k;n (T k ) e il reçoi L(T i 1 ; T i ): Après il paye L(T i 1 ; T i ) à l acheeur e il reçoin de lui R. Donc au oal il paye (r k;n (T k ) R): Mais cee somme es produie par le T i bond

Modèles de Taux d Inérê 25 qu il a acheé au débu. Bien sur, si r k;n (T k ) R < l acheeur de l opion ne va pas exercer e c es pourquoi la parie posiive apparaî. On conclu que la call es un conra qui paye au momen T k H = (r k;n (T k ) R) + nx i=k+1 p(t k ; T i ) = 1 p(t k ; T n ) R nx i=k+1 p(t k ; T i ): On noe que p(; T i ); i = 1; n son négociables donc H es simulable. On va donc pouvoir le pricer par changemen de numéraire. On noe U k;n () = P n i=k+1 p(; T i); e n;k () = e U k;n ()=U k;n () e dp k;n = e k;n (T k )dp: Alors le lemme de changemen de numéraire nous donne le prix du call au momen T k : On prend un porefeuille el que V Tk = H e on écri k;n () = V = E ( e V Tk ) = U k;n ()E ( e U k;n (T k ) U k;n () e V Tk eu k;n (T k ) ) = U k;n ()E (e k;n (T k ) V T k U k;n (T k ) ) = U k;n()e k;n H ( U k;n (T k ) ) = U k;n ()E k;n ((r k;n (T k ) R) + ): On sai que r k;n es une maringale posiive sous P k;n : On noe donc par W k;n le mouvemen Brownain sous P k;n e on a dr k;n () r k;n () = k;n()dw k;n (): Si on fai l hypohese supplémanaire que les volailiés k;n son déerminsies alors on peu calculer k;n () par la formule de Black Schooles - donc on a une forme fermé pour le prix. Cee facilié a moivé l inroducion "Swap Marke Model": ce son des modèles de marché el que k;n (); k = 1; n son déerminises. Ils on éé inroduis par Jamischdian. On sai que les Swap Marke Models son incompaibles avec les LIBOR Marke Models. Ceci vœu dire la chose suivane: Pour oue srucure de volailié des swap k;n ; k = 1; n donné on peu rouver une srucure de volailié des zéro coupons (; T ); T qui produi k;n ; k = 1; n: E la même chose si on ce donne les volailiés k ; k = 1; n des LIBORS. Mais pour une même srucure de volailié (; T ); T on n obien jamais k e k déerminises simulanémen. On conclu qu on ne peu pas êre en même emps avec un modèle swap e LIBOR. Ceci pose problème: des gens qui veulen prices des produis dans un marché de swap von callibrer en erms de Swap Marke Models - mais alors il ne peuven pas callibrer des produis sur le LIBOR (au moins pas avec des formules fermé donnés par le LIBOR Marke Models).

Modèles de Taux d Inérê 26 4.3. LIBOR Marke Models. On considère un cadre HJM associé à un mouvemen Brownien W = (W 1 ; :::; W d ) e de volailié (; T ) = ( 1 (; T ); :::; d (; T )); T: On ce donne aussi une grille de emps T < T 1 < ::: < T n qui sera xé dans la suie e on noe par L(; T i 1 ; T i ) les LIBORs associés. Alors on sai que (voire (23)) dl(; T i 1 ; T i ) L(; T i 1 ; T i ) = j i ()dw T i ; i = 1; :::; n (26) j=1 ou W T i es le mouvemen Brownien associé au numéraire p(; T i ) e j i () = 1 + L(; T Z i 1; T i ) Ti j i L(; T i 1 ; T i ) () avec j i () = Sj (; T i 1 ) S j (; T i ) = j (; s)ds: T i 1 On rappel aussi qu un modèle el que = ( j i (); i = 1; :::; n; j = 1; :::; d) son déerminises s appel LIBOR Marke Model ou BGM. Nore bu c es de ce donner arbiraire (en pariculier déerminise) e de consruire un nappe de volailié (; T ); T el que dans le cadre HJM associé à la volailié des LIBORs soi donné par : Comme conséquence on démonre que, si les LIBORs suiven la dynamique donné dans (26), on obien un modèle ou il n y a pas d opporunié d arbirage (car sinon il y aura un arbirage dans HJM): J observe aussi que l hypohése que les LIBORs suiven la dynamique donné dans (26) avec des volailié déerminises éé implicie dans des praiques de pricing employé sur le marché. E nalemen pourquoi ne pas prendre déerminises? Vue qu on va passer par une procédure de callibraion ceci revien juse a resreindre la classe des paramères qu on emplois pour rerouver les prix de marché à des paramères déerminises. Sauf qu il fau véri er que le modèle qu on propose ne produi pas d opporunié d arbirage. Le problème de l arbirage peu êre posé en dehors du cadre HJM : on oublie la dynamique des zéro coupons e on suppose juse que les LIBORs suiven la dynamique donné dans (26) avec des volailié déerminises. E on démonre direcemen que ce modèle ne produi pas d arbirage - ce ype d approche es donné dans Brigo-Mercurio ou Hun-Kennedy par exemple. Dans (26) la dynamique de chaque L(; T i 1 ; T i ) es donné sous une probabilié di érene P T i : On vœu obenir la dynamique de ous les LIBORs sous une même probabilié. Ceci peu êre n impore laquelle des P T i ; i = 1; :::; n mais d habiude on emplois P Tn :

Modèles de Taux d Inérê 27 Proposiion 13. Sous P Tn les LIBORs F i () := L(; T i 1 ; T i ) véri en df i () F i () i;n () = = i ()dw Tn nx j=i+1 i (); i;n () d avec (27) j F j () 1 + j F j () j() e n;n = : Preuve. On a dw T i = dw S(; T i )d donc On a aussi donc On iêre e on obien dw T i dw T i dw T i+1 = (S(; T i+1 ) S(; T i ))d = i+1 ()d: i+1 () = 1 + i+1f i+1 () i+1 F i+1 () i+1 () dw T i = dw T i+1 + i+1f i+1 () 1 + i+1 F i+1 () i+1()d: = dw Tn + i;n ()d: E on remplace dans (26). Proposiion 14. Supposons que T < T 1 < ::: < T n e = ( j i (); i = 1; :::; n; j = 1; :::; d) son donnés. Alors il exise une nappe de volailié (; T ); T el que les LIBORs L(; T i 1 ; T i ) suiven la dynamique (26). En pariculier, le modèle BGM ne produi pas d opporunié d arbirage. Preuve. On consrui en plusieurs éapes. Eape. On s insalle sur un espace de probabilié ou un mouvemen Brownien W = (W 1 ; :::; W d ) es donné. Il va jouer le rôle de W Tn : On ce donne aussi, d une manière arbiraire, un processus S n () borné e adapé. Il va jouer le rôle de S(; T n ): Eape 1. Je résou l équaion df n () F n () = n()dw n (); S n () d avec F n () = L(; T n 1 ; T n ) (qui es donné sur le marché). La soluion es F n () = L(; T n 1 ; T n ) exp( Z n (s)dw s Z ( n (s); S n (s) + 1 2 j n(s)j 2 )ds): On doi êre sur que n véri e la condiion de Novikov pour pouvoir dé nir l exponenielle sochasique - mais ceci es assurémen vrais si n es une foncion déerminise.

Modèles de Taux d Inérê 28 En ce momen on a Eape 2. Résou l EDS n 1;n () = nf n () 1 + n F n () n(): df n 1 () F n 1 () = n 1 ()dw n 1 (); n 1;n () d n F n () = n 1 ()dw n 1 (); n () d; T n 2 ; 1 + n F n () avec F n 1 () = L(; T n 2 ; T n 1 ): La soluion es donné par F n () = L(; T n 2 ; T n 1 ) exp( Z Z n F n (s) n 1 (s)dw s ( 1 + n F n (s) n 1 (s); n (s) + 1 2 j n(s)j 2 )ds): On noe que la foncion x! x=(1 + x) es borné pour x > e que F n (s) > : Donc il n y a pas de problème pour dé nir l exponenielle sochasique. En ce momen on a n 2;n () = nf n () 1 + n F n () n() + n 1F n 1 () 1 + n 1 F n 1 () n 1(): Eape i. On a déjà i;n () e on résou df i () F i () = i()dw i () i;n ()d; F i () = L(; T i 1 ; T i ) e on calcule i 1;n (): On coninue e nalemen on obien la soluion du sysème df i () F i () i;n () = = i ()dw i (); i;n () d; i = 1; :::; n (28) nx j=i+1 j F j () 1 + j F j () j() e n;n = : On dé ni mainenan S(; T ) de la manière suivane. On me S(; T n ) = S n (): Après on vœu avoir S(; T i 1 ) S(; T i ) = i () if i () 1 + i F i ()

Modèles de Taux d Inérê 29 ce qui revien à i Pour obenir cee égalié je prend T i 1 (; s)ds = i () if i () 1 + i F i () : (; s) = i () F i() 1 + i F i () pour T i ; s 2 (T i ; T i+1 ): Pour T i 1 s T i je prend une valeur arbiraire pour (; s) par exemple la même: (T i 1 ; s). Finallmen on consrui la probabilié risque neure dw = dw + S(; T n )d: E on ce me dans le HJM correspondan. Donc sous la probabilié risque neure on a la dynamique des forward raes donné par df(; T ) = (; T )d + (; T )dw avec donné par la condiion de dérive de HJM: Dans ce modéle HJM on aura dw Tn = dw donc (28) nous donne la dynamique voulu. Remarque. Si es déerminise, alors es aléaoire. On peu véri er aussi que pour aucun des modèles de aux cours on n obien déerminise. 5. Bibliographie 1. Brigo D., Mercurio F. (2) Ineres Rae Models, Theory and Pracice, Springer Finance. 2. Lamberon D., Lapayre B. (1991) Inroducion au calcul sochasique appliqué à la nance. Ellipses. 3. Musiela M., Rukowski M. (1997) Maringale Mehods in Financila Modeling. Sprnger: 4. Bjork T. (1998) Arbirage Theory in Coninuous Time, Oxford Universiy Press. 5. Hun Phil J., Kennedy J: (1999).Markov-Funcional Ineres Rae Models, Available a SSRN: hp://ssrn.com/absrac=4924 or DOI: 1.2139/ssrn.4924