SESSION 009 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE ENSI FILIERE PC MTHEMTIQUES I.1. Soit z C. I.1.1. x R, exp zx infini. Partie I 1 n z n x n et exp x 1 n n! n n! xn. Ces deux séries ont un rayon de convergence I.1.. On sait que le produit de Cauchy des deux séries entières ci-dessus a un rayon de convergence infini et que pour x, z C, + 1 k z k + Fx, z x k k! k0 l0 E n 1 n p z n p n p! x, z C, Fx, z 1 k z k 1l k! l x n l! k+ln E n x n 1 n 1 p z n p x n p. p!n p! 1 l l l! xl 1p p p! n E n zx n où n z 1 n 1 p z n p p p!n p!. n est un polynôme de degré n et de coefficient dominant 1 n 1 0 0 0!n 0! 1n. Par suite, pour n N, H n est n! un polynôme de degré n unitaire. Pour z C, H 0 z F0, z 1 puis H 1 z 0 1 p z 1 p p p!1 p! z. z C, H 0 z 1 et H 1 z z. I.1.3. Soit z C. La fonction g : x Fx, z est dérivable sur R et que pour x R, g x z + xfx, z. Par suite, + d n zx n z + xfx, z x + z dx Mais on a aussi + d n zx n dx z 0 z z n1 z n+1 zx n+1 n zx n z n+1 z + n z x n+1. n n zx n 1 n zx n+1 n + 1 n+1 zx n 1 z + z n zx n Par unicité des coefficients d un développement en série entière, on en déduit que pour n N, z n+1 z n z n + n+ z. n zx n+1 n + n+ zx n+1. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 009. Tous droits réservés.
On multiplie les deux membres de cette égalité par 1 n n + 1!. On obtient 1 n n +! n+ z 1 n+1 n + 1!z n+1 z 1 n n+1! n z ou encore, en tenant compte de 1 n+ 1 n et n+1! n+1 n!, on obtient H n+ z zh n+1 z n + 1H n z. z C, n N, H n+ z zh n+1 z n + 1H n z. H z zh 1 z H 0 z z 1, puis H 3 z zz 1 z z 3 3z et H 4 z zz 3 3z 3z 1 z 4 6z + 3. z C, H 0 z 1, H 1 z z, H z z 1, H 3 z z 3 3z et H 4 z z 4 6z + 3. I.. I..1. x R, fx e x / puis f x xe x / xfx et f x e x / + x e x / x 1fx. Donc pour tout réel x, f x + xf x + fx x 1 x + 1fx 0. Soit n N. On dérive n fois l égalité précédente et avec la formule de Leibniz, on obtient pour tout réel x, f n+ x + xf n+1 x + nf n x + f n x 0 ou encore x R, f n+ x + xf n+1 x + n + 1f n x 0. I... La fonction f ne s annule pas sur R. Pour x réel donné, on divise les deux membres de l égalité précédente par fx et on multiplie par 1 n 1 n+ 1 n+1. On obtient x R, K n+ x xk n+1 x + n + 1K n x 0. Pour x R, K 0 x fx fx 1 et K 1x xfx x. Puisque R est infini, on a donc H 0 K 0 et H 1 K 1. Montrons fx alors par récurrence que n N, H n K n. C est vrai pour n 0 et pour n 1 et si pour n N, on suppose que H n K n et H n+1 K n+1 alors H n+ XH n+1 n + 1H n XK n+1 n + 1K n K n+. Le résultat est démontré par récurrence. n N, H n K n. I.3. I.3.1. Soit n N. D après la question I.., pour tout réel x on a H n+1 x K n+1 x 1n+1 f n+1 x fx 1 n+1 e x / f n+1 x. En dérivant, on obtient pour tout réel x H n+1 x 1n+1 xe x / f n+1 x + 1 n+1 e x / f n+ x xh n+1 x H n+ x n + 1H n x. n N, H n+1 n + 1H n. I.3.. L égalité est claire pour n 0 et n 1. Soit n. D après la question précédente H n XH n + nh n nn 1H n XnH n 1 + nh n nh n XH n 1 + n 1H n 0 n N, H n XH n + nh n 0. I.4. Soit n N. La formule de Leibniz fournit pour x R ϕ nx 1 n H nxe x /4 + 1 n H nx x /4 + 1 n H e x n x e x /4 + x 1 n H n x xh n x 1 H nx n + 1 ϕ n x + x 4 ϕ nx, 4 ϕ nx 1 n 1 x + e x /4 4 nh n x 1 H nx e x /4 + x 4 ϕ nx http ://www.maths-france.fr c Jean-Louis Rouget, 009. Tous droits réservés.
et donc n N, x R, ϕ nx x 4 ϕ nx n + 1 ϕ n x. I.5. I.5.1. Soit p, q N. La fonction H p H q f est continue sur R. De plus, puisque H p et H q sont des polynômes, 1 H p xh q xfx H p xh q xe x / d après un théorème de croissances comparées. On en déduit que ± o la fonction H p H q f est intégrable sur R et donc que I p,q existe. x I.5.. Soit p, q N. On note que H p+1 H q+1 f 1 q H p+1 f q+1. Soient alors et B deux réels tels que < B. Les deux fonctions H p+1 et f q sont de classe C 1 sur le segment [, B]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient B H p+1 xh q+1 xfx dx 1 q+1 B [ ] B H p+1 xf q+1 x dx 1 q+1 H p+1 xf q x [ H p+1 xh q xfx] B + B H p+1 xh qxfx dx H p+1 BH q BfB + H p+1 H q f + p + 1 B B H p xh q xfx dx. H p+1xf q x dx Quand tend vers + et B tend vers, H p+1 BH q BfB + H p+1 H q f d après un théorème de croissances comparées. Quand tend vers + et B tend vers, on obtient donc 1 H p xh q xfx dx puis H p+1 xh q+1 xfx dx p + I p+1,q+1 1 p+1+q+1 H p+1 xh q+1 xfx dx p + 1 1 p+q H p xh q xfx dx p + 1I p,q. Par symétrie des rôles de p et q, on a aussi I p+1,q+1 q + 1I p,q. Soient p et q deux entiers naturels tels que p q. D après ce qui précède, p+1i p,q q+1i p,q et donc p qi p,q 0 puis I p,q 0 car p q 0. D autre part, pour p N, I p+1,p+1 p + 1I p,p et donc pour p N, I p,p p!i 0,0 π p!. p, q N, I p,q δ p,q π p!. Partie II II.1. Soit ν R. On note g ν la fonction t exp iπνt t. Puisque la fonction g ν est continue sur R et que g ν f, la fonction g ν est intégrable sur R et donc fν existe. Soit G : R R C de sorte que ν R, fν Gν, t dt. ν, t exp iπνt t Pour chaque ν R, la fonction t Gx, t est continue par morceaux sur R. Pour chaque x R, la fonction x Gx, t est continue sur R. Pour chaque x, t R, Gx, t exp t ϕ 0 t où ϕ 0 est une fonction continue par morceaux sur R et intégrable sur R. D après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, f est continue sur R. f est définie et continue sur R. http ://www.maths-france.fr 3 c Jean-Louis Rouget, 009. Tous droits réservés.
II.. vec les notations de la question précédente, Pour chaque ν R, la fonction t Gx, t est continue par morceaux et intégrable sur R. La fonction G admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable sur R et ν, t R, G ν, t iπt exp iπνt t. ν De plus, - pour chaque ν R, la fonction t G ν, t est continue par morceaux sur R, ν - pour chaque t R, la fonction ν G ν, t est continue sur R, ν - pour chaque ν, t R, G ν, t ν π t exp t ϕ 1 t où ϕ 1 est une fonction continue et intégrable sur R car négligeable devant 1 en ±. t D après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres théorème de Leibniz, f est de classe C 1 sur R et ν R, f ν iπ t exp iπνt t dt. II.3. II.3.1. Puisque deux des trois intégrales ci-dessous existent, la troisième existe et t exp iπνt t dt car iπνt exp t exp [ exp iπν t exp iπνt t dt + iπν ] + iπνt t + iπν fν iπν fν t et donc lim exp iπνt t t ± Par suite, pour ν R, f ν iπ iπν fν 4π ν fν. II.3.. f0 exp t dt π puis ν R, f ν 4π ν fν. 0. exp iπνt t dt ν R, f ν + 4π ν fν 0 ν R, e π ν f ν + 4π νe π ν fν 0 f ν R, e π ν ν 0 ν R, e π ν fν e 0 f0 ν R, fν π e ν. ν R, fν π e ν. Partie III III.1. III.1.1. On note tout d abord que f est décroissante sur R + et croissante sur R. Soit alors n N tel que n π. Soit x [, ]. lors x + nπ + π 0. insi, la fonction x + nπ est π croissante sur [, ] à valeurs dans [0, + [ et f est décroissante sur [0, + [. On en déduit que la fonction x fx+nπ est décroissante sur [, ]. De même, x nπ π 0. insi, la fonction x nπ est croissante sur [, ] à valeurs dans ], 0] et f est π croissante sur ], 0]. On en déduit que la fonction x fx nπ est croissante sur [, ]. III.1.. On en déduit que pour x [, ], nπ 0 fx nπ + fx + nπ f nπ + f + nπ exp. http ://www.maths-france.fr 4 c Jean-Louis Rouget, 009. Tous droits réservés.
Pour n N, posons alors u n sup u n x. Puisque chaque u n est une fonction continue sur le segment [, ], x [,] nπ chaque u n existe dans R. De plus, d après la question précédente, pour n grand on a u n exp et en particulier u n n + o 1 n. insi, la série numérique de terme général u n converge ou encore la série de fonctions de terme général u n converge normalement sur [, ]. III.. III..1. En particulier, pour tout > 0, la série de fonctions de terme général u n converge simplement sur [, ] et donc la série de fonctions de terme général u n converge simplement sur R. III... Soit > 0. Chaque u n est continue sur [, ] et la série de fonctions de terme général u n converge normalement et donc uniformément vers U sur [, ]. Par suite, pour tout > 0, la fonction U est continue sur [, ] et donc la fonction U est continue sur R. III..3. La fonction f est paire et donc la fonction u 0 est paire. Ensuite, pour n N et x R, u n x f x nπ + f x + nπ fx + nπ + fx nπ u n x. insi, chaque fonction u n est paire. On en déduit que chaque fonction U n est paire en tant que somme de fonctions paires. Soit alors x R. On a montré que U x lim n + U n x lim n + U nx Ux. la fonction U est paire. III..4. Soient n N et x R. U n x+π n k n fx+π kπ n k n fx k 1π n 1 k n+1 fx kπ U n x+fx+n+1π fx nπ. Quand n tend vers +, x étant fixé, fx + n + 1π et fx nπ tendent vers 0. Par suite, quand n tend vers + à x fixé dans l égalité précédente, on obtient Ux + π Ux. On a montré que x R, Ux + π Ux et donc que la fonction U est π-périodique. III.3. III.3.1. La fonction U est π-périodique et de classe C 1 sur R. D après le théorème de Dirichlet, on sait que la série de Fourier de U converge vers U sur R. x R, Ux a 0U + n1 a n Ucosnx. III.3.. Soit k, n N. U k xcosnx dx k l k l 1π k l k fx lπcosnx dx l+1π III.3.3. Soit k, n N. Uxcosnx dx U k xcosnx dx ftcosnt dt k lπ l k lπ k+1 k+1 ftcosnt + kπ dt ft cosnt dt. Ux U k x cosnx dx π sup Ux U k x. x [,π] http ://www.maths-france.fr 5 c Jean-Louis Rouget, 009. Tous droits réservés.
Puisque la suite de fonctions de terme général U n converge uniformément vers U sur [, π] d après la question III.1., cette dernière expression tend vers 0 quand k tend vers + à n fixé. On a montré que n N, lim U k xcosnx dx Ux cosnx dx. k + Comme d autre part, k N, est une intégrale convergente et que U k xcosnx dx k+1π fxcosnx dx, on en déduit que k+1π fx cosnx dx III.3.4. Soit n N. Ux cosnx dx lim U k xcosnx dx fx cosnx dx. k + a n U 1 Uxcosnx dx 1 fx cosnx dx π π 1 π Re fxe inx dx 1π Re exp inx x 1 π Re exp iπ n x x dx 1 f π π Re 1 π π e n/π d après la question II.3. / π e n n N, a n U π e n /. dx n π On en déduit encore x R, n x nπ exp 1 + e n / cosnx. π π n1 http ://www.maths-france.fr 6 c Jean-Louis Rouget, 009. Tous droits réservés.