ANGLES ORIENTES DE VECTEURS I. RAPPEL: LE RADIAN Un angle au centre d'un cercle a pour mesure 1 radian si l'arc de cercle qu'il intercepte a même longueur que le rayon de ce cercle. Ainsi, si le cercle est de rayon 1, l'angle aura pour mesure 1 radian, si l'arc qu'il intercepte est de longueur 1. Correspondance entre degré et radian: Mesure en 0 45 90 3 Mesure en radian 6 3 3 360 II. ORIENTATION DU PLAN Orienter un cercle, c'est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelé sens direct ( ou positif ). L'autre sens est appelé sens indirect (ou négatif ) Orienter le plan, c'est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L'usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d'une montre ( appelé aussi sens trigonométrique ) Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique. III. REPÉRAGE D'UN POINT SUR LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Hélène Trouilhet 1/7
A chaque point M de la droite (OI) correspond un et un seul point M' du cercle trigonométrique en «enroulant» le segment [OM] autour du cercle à partir du point I. Ainsi, à chaque nombre réel (abscisse du point M) correspond un nombre réel de l'intervalle ] ;] (mesure de l'arc IM' ) Inversement, à tout réel de t de l'intervalle ] ;] correspond les réels de la forme tk où k Z. IV. MESURES DE L ANGLE ORIENTE D UN COUPLE DE VECTEURS NON NULS A) Ensemble de mesures Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan orienté, O un point quelconque et C le cercle trigonométrique de centre O. On considère A et B les points définis par OB' =v.les demi-droites [ OA ) et [ OB ) coupent le cercle trigonométrique C respectivement en A et en B. OA'=u et L'angle orienté de vecteurs u ;v est l'angle de la rotation de centre O par laquelle B' a pour image A'. Cet angle admet plusieurs mesures en radians. L'unique mesure α qui appartient à l'intervalle ] ;] est dite mesure principale de l'angle orienté u ;v. Les autres mesures sont de la forme k où k Z. Notation: Par abus de langage, si u ;v a une de ses mesures égale par exemple à, on note: u ;v=. Mais ATENTION!!! Ceci signifie que seulement une de ses mesures est égale à, Hélène Trouilhet /7
les autres sont de la forme: k, k Z. Vocabulaire: Si u ;v a pour mesure principale 0, on dit que u ;v est un angle nul Si u ;v a pour mesure principale, on dit que u ;v est un angle plat Si u ;v a pour mesure principale, on dit que u ;v est un angle droit direct V. PROPRIETES DES MESURES DES ANGLES ORIENTES DE VECTEURS A) LA RELATION DE CHASLES Propriété n 1: Relation de Chasles: Soit u, v et w trois vecteurs non nuls du plan orienté. On a: u,vv, w=u, w B) Conséquences de la relation de Chasles Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan orienté. Alors: u,v= v,u u, v=u,v u, v=u, v u,v=u, v Hélène Trouilhet 3/7
Soit k et k' deux réels non nuls: Si k et k' sont de même signe alors: k u,k ' v=u ;v Si k et k' sont de signes contraires alors: k u,k ' v=u;v C) REPERE ORTHONORMAL Un repère orthonormal O ;i ;j est : direct, si l'une des mesures de i ;j est indirect, si l'une des mesures de i ;j est VI. COSINUS ET SINUS D UN ANGLE ORIENTE DE VECTEURS Sauf contre indication, l unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d un repère orthonormal direct O ;i ;j ; on considère le cercle trigonométrique C de centre O. A) RAPPEL: Cosinus et sinus d un réel x Pour tout réel x, il existe un point M unique du cercle trigonométrique C tel que x soit une mesure de (, ). l'abscisse du point M est le cosinus de x ( noté cos x ) l'ordonnée du point M est le sinus de x ( noté sin x ) Hélène Trouilhet 4/7
B) COSINUS ET SINUS D UN ANGLE ORIENTE DE VECTEURS Soit u et v deux vecteurs non nuls, et α une mesure en radians de u ;v. Alors le cosinus et le sinus de u ;v sont le cosinus et le sinus de α. On les note: cosu ;v et sin u;v. Propriété: Pour tout réel α, et pour tout entier relatif k : cosk =cos sin k =sin cos sin =1 1 cost 1 et 1 sin t 1 C) VALEURS REMARQUABLES DE SINUS ET COSINUS D) ANGLES ASSOCIES Hélène Trouilhet 5/7
cos =cos sin = sin cos = cos sin =sin cos= cos sin = sin cos =sin sin =cos cos = sin sin =cos Hélène Trouilhet 6/7
VII. REPERAGE ET COORDONNEES POLAIRES A) COORDONNEES POLAIRES D UN POINT Le plan est muni d un repère orthonormal direct O ;i ;j Soit M un point du plan ( distinct de O ). On appele cooordonnées polaires de M, tout couple de nombres réels ( ρ, θ ) tel que: ρ = OM et i ;j = θ + k π, k Z Remarque O est appelé le pôle et [ Ox ) l axe polaire. On dit que ρ est le rayon polaire du point M et θ l un de ses angles polaires. Un repère polaire étant choisi, à tout couple de coordonnées polaires correspond un unique point du plan. B ) REPERE POLAIRE ET REPERE CARTESIEN Le plan est muni d un repère orthonormal direct O ;i ;j. Un point M ( distinct de O ) a pour coordonnées cartésiennes ( x; y ) et pour coordonnées polaires ( ρ, θ ). On a : ρ = x y, x = ρ cos θ et y = ρ sin θ Hélène Trouilhet 7/7