Commande numérique de ytème Fondement théorique G. Iuliana Bara et Michel de Mathelin Télécom Phyique Strabourg Mater IRIV 3-4
IV Table de matière 4.. Tranmittance échantillonnée de ytème ouvert... 3 4..3 Tranmittance échantillonnée de ytème bouclé... 33 Table de matière Introduction générale Échantillonnage d un ignal 5. Échantillonnage idéal......................... 5. Tranformée de Laplace d un ignal échantillonné.......... 7.3 Spectre du ignal échantillonné.................... 8.3. Ca où ω M ω e..................... 9.3. Ca où ω M > ω e..................... 0.3.3 Théorème de Shannon.................. 0.3.4 Filtre anti-repliement................... 0.4 Recontruction du ignal........................4. Recontruction idéale....................4. Recontruction approchée................. 5 Analye de ytème échantillonné 37 5. Répone de ytème échantillonné................. 37 5.. Pôle........................... 37 5.. Zéro........................... 4 5..3 Répone temporelle de ytème échantillonné..... 4 5. Répone fréquentielle......................... 44 5.3 Stabilité................................ 47 5.3. Critère général de tabilité................ 47 5.3. Critère algébrique de tabilité.............. 47 6 Analye de ytème échantillonné en boucle fermée 5 6. Structure de ytème à commande numérique........... 5 6. Critère de Nyquit.......................... 53 6.. Théorème de Cauchy................... 53 6.. Contour de Nyquit.................... 54 6..3 Critère de Nyquit..................... 54 6..4 Contour de Nyquit pour de pôle ur le cercle unité.. 55 6..5 Critère de Nyquit pour de ytème en BO table... 55 6.3 Lieu d Evan............................. 56 6.3. Définition du lieu d Evan................. 56 6.3. Règle de contruction du lieu d Evan.......... 57 6.4 Préciion de ytème aervi échantillonné............ 6 6.4. Expreion de l erreur................... 6 6.4. Erreur due aux perturbation............... 64 A Table de tranformée en z 65 3 Tranformée en Z 5 3. Définition............................... 5 3. Correpondance entre le plan en et en z............. 6 3.3 Propriété............................... 8 3.4 Tranformée en z invere....................... 9 3.4. Décompoition en élément imple............ 0 3.4. Diviion polynomiale................... 3.4.3 Formule d inverion.................... 3.5 Application à la réolution de équation aux différence...... 3 4 Tranmittance de ytème échantillonné 7 4. Sytème linéaire à temp dicret.................. 7 4. Modéliation de ytème échantillonné.............. 9 4.. Tranmittance échantillonnée............... 9
VI Notation et abréviation CAN CNA δ(t) δ Te (t) L{f(t)} F{f(t)} F {f(t)} Z{f(t)} Z {f(t)} convertieur analogique-numérique convertieur numérique-analogique période d échantillonnage fonction impulion de Dirac fonction peigne (d impulion) de Dirac tranformée de Laplace de f(t) tranformée de Fourier de f(t) tranformée de Fourier invere de f(t) tranformée en Z de f(t) tranformée en Z invere de f(t) V
Introduction générale de actionneur. C() et la fonction de tranfert du correcteur tandi que H() et la fonction de tranfert du ytème de meure (capteur). Chapitre r(t) w(t) ǫ(t) u(t) y(t) C() + G() + Introduction générale ym(t) + v(t) H() La théorie de aerviement et un domaine majeur de l automatique. Elle a comme objectif la conception de loi de commande detinée à garantir une répone atifaiante pour un proceu phyique. Par répone atifaiante on comprend que la ortie du proceu et forcée à uivre ou à pouruivre un ignal de conigne (ou un ignal de référence) et cela : en optimiant le performance de uivi de conigne et en minimiant l effet de perturbation et du bruit de meure. Dan de ca particulier, le ytème de commande peut fonctionner en boucle ouverte à partir d un ignal de conigne. Cependant, uniquement un aerviement en boucle fermée et capable de tabilier un ytème intable en boucle ouverte et de compener le perturbation externe, le bruit de meure et le incertitude interne au proceu phyique lui-même. Le principe général de la boucle d aerviement et montré figure.. Conigne + Correcteur Meure Proceu Perturbation Bruit de meure Figure. Boucle d aerviement Sortie La loi de commande et générée par un ytème de commande qu on appelle correcteur ou compenateur. Comme a mie en œuvre et réalié avec de ytème concret, qui peuvent être analogique ou numérique, alor on parle d aerviement continu ou d aerviement numérique. La boucle d aerviement avec un correcteur continu et illutrée par la figure.. Le bloc G() repréente la fonction de tranfert du proceu continu qui inclut non eulement le équation du proceu phyique proprement dit mai également la dynamique Figure. Aerviement continu Nou rappelon brièvement la ignification de ignaux contituant la boucle de régulation : r(t) et le ignal de conigne ou le ignal de référence, y(t) le ignal de ortie du proceu qui contitue le ignal à contrôler, y m (t) le ignal meuré iu du ytème de meure, ǫ(t) l erreur par rapport à la conigne, u(t) le ignal la commande généré par le correcteur. De no jour, grâce aux développement de l électronique et de l informatique, la plupart de loi de commande ont implémentée ur de micro-ordinateur ou proceeur numérique. L implémentation d algorithme de commande ur ordinateur, comparée à une réaliation analogique, offre de nombreux atout : coût faible, préciion élevée et inenibilité aux bruit, facilité d implémentation et ouplee par rapport aux modification. Par ailleur, le pilotage d un procédé par un même PC implémentant toute le fonction de pilotage (uperviion, régulation, interface homme-machine) et particulièrement confortable pour l opérateur. L objectif de ce cour et d étudier le aerviement numérique c et à dire le problème de l utiliation, en temp réel, de calculateur ou proceeur numérique afin de commander, piloter de proceu phyique. Pour cela, il faut d abord repréenter et étudier le différente interaction qui apparaient entre le ignaux du procédé à temp continu (partie analogique) et le ignaux utilié par un ordinateur numérique qui e préentent ou forme de uite de valeur numérique (partie numérique). Comme il a été chématié ur la figure.3, la commande par ordinateur néceite la mie en œuvre d une interface entre le calculateur et le procédé. Ceci et obtenu à l aide : d un convertieur numérique-analogique (CNA) permettant d envoyer le ordre du proceeur ver l actionneur du proceu, d un convertieur analogique-numérique (CAN) tranmettant au proceeur le meure acquie ur le procédée par le ytème de meure. Ce élément mettent en jeu de ignaux analogique et dicret d ou l opération d échantillonnage et la notion de ytème échantillonné. San entrer dan le détail, pour l intant, de la régulation numérique, noton que la juxtapoition de ignaux aui différent
Introduction générale 3 4 Introduction générale w(t) r(kte) + ǫ(kte) C(z) u(kte) CNA Te + G() y(t) CAN + H() Te v(t) Partie numérique Partie analogique Figure.3 Aerviement échantillonné/numérique engendre de nombreux problème et difficulté. Ce cour mettra en évidence ce difficulté et préentera le différente olution et méthode permettant la mie en œuvre de loi de commande numérique.
6 Échantillonnage d un ignal δ Te (t) δ Te (t) = δ(t k ) Chapitre Échantillonnage d un ignal Comme on a vu au chapitre précédent, le but d un proceu à commande numérique et de remplacer la commande analogique du proceu par de algorithme mi en œuvre ur calculateur. Cependant, un calculateur numérique néceite un certain temp pour effectuer le opération liée à l algorithme de commande. De plu, un proceeur numérique traite de valeur numérique (de nombre) et non de grandeur analogique. Pour ce raion, on introduit un découpage temporel de ignaux au niveau du calculateur. Le découpage temporel de l information, réalié par le CAN, e fait par échantillonnage et quantification. L échantillonnage conite à prélever, à période fixe, la valeur du ignal. La quantification réulte du fait que le donnée ont repréentée ur un calculateur dan un certain format (6 bit, par exemple). Donc, le CAN remplace un ignal analogique par une uite de nombre. Ce nombre ont enuite manipulé par le calculateur qui génère une nouvelle uite de nombre. Comme cette uite ne peut pa exciter le proceu à aervir, il et indipenable d utilier un CNA afin d élaborer un ignal analogique. Cette étape et appelée recontruction.. Échantillonnage idéal Définition... L échantillonneur idéal de période et un opérateur mathématique qui aocie à toute fonction f(t) une fonction f e (t) définie par où δ Te (t) et la fonction peigne (d impulion) de Dirac. f e (t) = f(t)δ Te (t) (..) Commenoupouvonlevoirur lafigure.,lafonctionpeignedediracet unefonction non cauale, périodique de période et compoée d un nombre infini de fonction impulion de Dirac décalée dan le temp : δ Te (t) = où δ(t) et la fonction impulion de Dirac. δ(t k ) Te Te Te Te Figure. Fonction peigne de Dirac Noton que l utiliation de l opérateur échantillonnage idéal ur le ignal f(t) génère un ignal continue f e (t) appelée ignal échantillonné (idéal). La définition (..) peut également écrire : f e (t) = f(t) δ(t k ) = t f(k )δ(t k ). (..) Un exemple de fonction échantillonnée a été illutré ur la figure.. A partir de la relation (..) aini que de la figure., nou pouvon déduire que la fonction échantillonnée f e (t) et une fonction peigne de Dirac modulée en amplitude par la fonction f(t). En effet, on peut conidérer l échantillonnage comme le prélèvement de la valeur du ignal continu aux intant t = k. 4Te 3Te Te Te f e(t) Te Te f e (t) = 4Te 5Te f(t) Figure. Fonction échantillonnée t f(k )δ(t k ) Dan la uite de ce cour, nou utilieron pour l échantionneur idéal le ymbole indiqué ur la figure.3. f(t) Te fe(t) Figure.3 Échantillonneur idéal Remarque... Noton que le terme échantillonné et réervé aux ignaux et aux ytème dicret dan le temp. Le terme numérique applique aux ytème et aux ignaux dicret en temp et en amplitude. Pour obtenir un ignal numérique à partir d un ignal échantillonné on doit effectuer une dicrétiation de l amplitude et cette dicrétiation et faite par quantification. En effet, la quantification réulte du fait que le donnée ont 5
. Tranformée de Laplace d un ignal échantillonné 7 8 Échantillonnage d un ignal repréentée ur un calculateur dan un certain format. Alor, le nombre utilié par le calculateur era entaché d une erreur correpondant au maximum à la moitié de la préciion aociée au format de nombre. L erreur aociée à la quantification, tant qu elle et trè faible, et généralement conidérée comme un bruit, appelé bruit de quantification. L action du CAN étant de fournir une uite de nombre {f(k )}, il revient au même de définir le ignal échantillonné par la uite en k, {f(k)} = {f(k )}. Par conéquent, dan ce cour, nou ne feron pa la ditinction entre le ignal échantillonné et le ignal numérique en uppoant négligeable l effet de la quantification.. Tranformée de Laplace d un ignal échantillonné Dan cette ection, nou préenton deux formulation de la tranformée de Laplace d un ignal échantillonné. Nou conidéron par la uite, auf indication contraire, que le ignaux ont cauaux (càd f(t) = 0 pour tout t < 0). Première formulation Étant donnée qu un ignal échantillonné et une fonction à temp continu, nou pouvon calculer a tranformée de Laplace : F e () = L{f e (t)} = 0 f e (t)e t dt. (..) En utiliant la relation (..) et la caualité du ignal f e (t), nou déduion que F e () = f(k ) k=0 0 δ(t k )e t dt = f(k )L{δ(t k )} où la tranformée de Laplace de l impulion de Dirac et donnée par { e kte i k 0 L{δ(t k )} =. 0 inon Cela implique que : Deuxième formulation F e () = k=0 f(k )e kte. (..) k=0 Comme la fonction δ Te (t) et une fonction périodique de période, nou pouvon effectuer une décompoition de celle-ci en érie de Fourrier : avec c k = Te Te δ Te (t) = πkt j δ Te (t)e Te dt =. c k e j πkt Te oit : En utiliant la définition (..), nou obtenon : f e (t) = f(t)δ Te (t) = f(t) e j πkt Te = Alor, la tranformée de Laplace du ignal échantillonnée et : F e () = 0 ( 0 ) f(t)e j πkt Te e t dt = ( ) πk ( j f(t)e Te )t dt F e () = f(t)e j πkt Te. F ( j πk ). (..3) Remarque... D aprè la relation (..3), la tranformée de Laplace F e () et périodique le long de l axe imaginaire. Le pôle de F e () ont obtenu à partir de ceux de F() par une infinité de tranlation de π (dan le plan complexe ) parallèlement à l axe réel..3 Spectre du ignal échantillonné Soit le ignal à temp continu f(t). Définition.3.. La tranformée de Fourier de f(t) et définie comme : F(jω) = F{f(t)} = f(t)e jωt dt. Le module de la tranformée de Fourier d un ignal F(jω) et appelé pectre du ignal. Noton que le pectre contient de information ur le compoante harmonique préente dan le ignal. Soit lepectre duignal f(t) tel qu il a été indiqué ur la figure.4et oit ω M lapulation maximale préente dan ce pectre. Afin d étudier le pectre du ignal échantillonné f e (t), calculon la tranformée de Fourier du ignal échantillonné. Comme la tranformée de Fourier et un ca particulier de la tranformée de Laplace ( = jω), on peut utilier l expreion (..3) et donc : F e (jω) = F ( jω j πk ). On remarque que le pectre du ignal échantillonné et contitué de la omme d un nombre infini d une ucceion de pectre où chaque pectre correpond au pectre du
.3 Spectre du ignal échantillonné 9 0 Échantillonnage d un ignal F(jω) A M.3. Ca où ω M > ω e Dan ce ca, illutré par la figure.6, le lobe du pectre e uperpoent. Ceci génère l apparition de ditorion dan le pectre du ignal échantillonné par rapport au pectre du ignal f(t). ω M ω M ω F e(jω) AM Figure.4 Spectre d un ignal à temp continu Te ignal de départ décalé en pulation. Par conéquent, le pectre F e (jω) du ignal échantillonné et une fonction périodique de période ω e = π appelé pulation d échantillonnage.examinon ce pectre enfonctiondevaleur de pulationω M et ω e. Onditingue deux ca poible, elon que ω M et inférieur ou upérieur à la pulation ω e appelé pulation de Nyquit..3. Ca où ω M ω e Étant donné le pectre du ignal à temp continu indiqué ur la figure.4, nou déduion le pectre du ignal échantillonné tel qu il a été tracé ur la figure.5. F e(jω) AM Te 0 3ωe ωm ωe ωe bande complémentaire bande de bae 3ωe bande complémentaire Figure.6 Spectre du ignal échantillonnée (avec repliement) Ce phénomène et appelé repliement pectral ( aliaing en anglai) et il correpond au repliement de bande complémentaire dan la bande de bae. Dan ce ca, il n et plu poible de recontruire f(t) à partir du ignal échantillonné..3.3 Théorème de Shannon Le théorème uivant, connu ou le nom de théorème de l échantillonnage ou de Shannon, donne le condition dan lequelle un ignal analogique peut être recontruit à partir de a verion échantillonnée. Théorème.3. (de Shannon, 948). Pour pouvoir recontituer an perte d information un ignal continu à partir de échantillon de période de celui-ci, il faut que la fréquence d échantillonnage, f e =, oit au moin égale au double de la fréquence maximale contenue dan le pectre de ce ignal : ωm ω ωe 3ωe ωe bande complémentaire ωm 0 ωm bande de bae ωe ωe 3ωe bande complémentaire ω f e f M où f M = ω M π. (.3.) Figure.5 Spectre du ignal échantillonnée (an repliement) Remarquon que l information contenue dan le ignal f(t) et préente dan chaqu une de bande de largeur ω e et notamment dan la bande de bae correpondant à de pulation comprie entre ω e et ω e. Par conéquent, il et poible de recontruire le ignal f(t), à partir du ignal échantillonné, par un filtrage pae-ba idéal upprimant le bande complémentaire. La fréquence f N = f e = et appelé fréquence de Nyquit..3.4 Filtre anti-repliement Si pour une fréquence d échantillonnage fixée le ignal comporte de compoante pectrale à de fréquence upérieure à la fréquence de Nyquit (du bruit par exemple) alor il faut filtrer le ignal analogique avant l échantillonnage de manière à aurer que le repliement oit négligeable. Le filtre pae-ba réaliant cette tache et appelé filtre anti-repliement ( antialiaing filter en anglai).
.4 Recontruction du ignal.4 Recontruction du ignal Dan cette ection, on e propoe de recontruire le ignal f(t) à partir de échantillon f(k ) de ce ignal. Pour cela, nou utilieron la tranformée de Fourier invere. Définition.4.. La tranformée de Fourier invere de F(jω) et définie par : f(t) = F {F(jω)} = π.4. Recontruction idéale F(jω)e jωt dω. La recontruction idéale et baée ur l utiliation d un filtre pae-ba idéal de répone harmonique H(jω) qui coupe toute le compoante pectrale correpondant aux pulation upérieure à la pulation de Nyquit. Comme illutré ur la figure.7, cette répone harmonique correpond à une fonction fenêtre rectangulaire, centrée et de largeur ω e. AM Échantillonnage d un ignal Donc, f(t) = où la fonction inc repréente le inu cardinal..4. Recontruction approchée f(k )inc t k La méthode de recontruction approchée utilie un bloqueur d ordre zéro (BOZ) (en anglai zero order hold ). Le BOZ et un ytème qui permet d obtenir un ignal analogique à partir d une uite d échantillon ou d un ignal numérique. En effet, le bloqueur d ordre zéro maintient à a ortie la valeur de l échantillon d entrée, durant la période d échantillonnage qui épare deux échantillon conécutif. Un exemple et montré par la figure.8. Soit f(k ) le ignal numérique à l entrée du BOZ. Alor, le ignal bloqué qui e trouve à la ortie du bloqueur écrit : f BOZ (t) = f(k ) pour t [k, (k +) ). Te AM H(jω) ωe F(jω) ωe Fe(jω) Figure.7 Spectre d un ignal à temp continu Alor, F(jω) = F e (jω)h(jω) et, en utiliant la tranformée de Fourier invere, on obtient : f(t) = F {F e (jω)h(jω)} = (f e h)(t) où h(t) = F {H(jω)} et déigne le produit de convolution. La répone impulionnelle du filtre peut être calculé en utiliant la tranformée de Fourier invere : h(t) = F {H(jω)} = ωe e jωt dω π ωe = ωe jπt (ejt e jt ωe ) = πt in(πt ). En utiliant la définition du produit de convolution, on trouve : (f e h)(t) = f e (x)h(t x)dx = f(k )δ(x k )h(t x)dx = IR f(k )h(t k ) = IR ω f(k ) π(t k ) in(π(t k) ). f(k) f e(t) 0 Te Te 3Te 4Te f BOZ(t) Figure.8 Bloqueur d ordre zéro t B 0 () = e Te Te jω B 0 (jω) = e inω Te ω D aprè ce qui précède, nou pouvon déduire que la répone impulionnelle b 0 (t) du BOZ et une fenêtre rectangulaire de largeur et d amplitude unitaire. Donc, cette répone impulionnelle peut écrire comme : b 0 (t) = U(t) U(t ) ou U(t) et la fonction échelon unitaire. En utiliant la tranformée de Laplace, on déduit la fonction de tranfert du BOZ : B 0 () = e Te. Fonction inu cardinal : incx = inπx, x IR πx
.4 Recontruction du ignal 3 4 Échantillonnage d un ignal et a répone harmonique : B 0 (jω) = e jωte jω = e jωte = e jωte e jωte e jωte jω inω Te. ω Effet du bloqueur dan la bande de bae Suite au bloqueur d ordre zéro et au filtre pae-ba, la tranformée de Fourier du ignal bloqué vaut : F BOZ (jω) = B 0 (jω)f e (jω) = B 0 (jω)f(jω) parce que dan la bande de bae F(jω) = F e (jω). Donc, F BOZ (jω) = e j(ωte ) in( ) ωte ) F(jω). Sachant que ω = π ω ω e on obtient : ( ωte ( ) ωte j ω F BOZ (jω) = e }{{} inc F(jω). ω e déphaage }{{} déformation Il réulte de cette expreion que la répone harmonique du ignal bloqué e déduit de celle du ignal à temp continu initial par : FBOZ(jω) ) inc( ω ωe Fe(jω) ωe 0 ωe ωe ω bande de bae bande complémentaire Figure.9 Spectre d un ignal échantillonné et bloqué une déformation, liée au inu cardinal; un retard pur d une demi période d échantillonnage. Le pectre du ignal bloqué e déduit du pectre du ignal à temp continu conformément au chéma de la figure.9. Le lobe additionnel apparaiant au delà de la pulation de Nyquit peuvent éventuellement être filtré par un filtre pae-ba.
6 Tranformée en Z Exemple 3... Calculer la tranformée en z de la fonction f(k) = e akte U(k). Chapitre3 Tranformée en Z Dan le ca de ignaux à temp dicret, la repréentation équivalente à la tranformée de Laplace de ignaux à temp continu et la tranformée en Z. F(z) = Z{e akte U(k)} = = e akte z k k=0 ( e ate z ) k = +e ate z + ( e ate z ) +... k=0 Il agit d une érie géométrique de raion e ate z et de premier terme égal à un. La tranformée en z exite i et eulement i la érie converge et cette érie converge en valeur abolue i et eulement i e ate z <. On en déduit que la tranformée en z exite i et eulement i z > e ate. Dan ce condition, elle vaut : F(z) = e ate z = z z e ate. 3. Définition Définition 3... La tranformée en z d un ignal caual à temp dicret f(k) et définie par : F(z) = Z{f(k)} = f(k)z k. (3..) Dan le ca échantillonné, cette tranformée découle de la tranformée de Laplace du ignal échantillonné idéal f e (t). En effet, en utiliant le changement de variable z = e Te dan l expreion (..) de la tranformée de Laplace du ignal échantillonné idéal, on obtient : F e ( = lnz ) = k=0 f(k )z k = F(z). k=0 Par extenion (et par abu de notation), on notera également F(z) la tranformée en z du ignal échantillonné f e (t) (ignal à temp continu) aini que du ignal f(t) : F(z) = f(k )z k = Z{f(k)} = Z{f(k )} = Z{f e (t)} = Z{f(t)}. k=0 La tranformée en z et une fonction de la variable complexe z. La tranformée en z et généralement définie ur une partie du plan complexe pour laquelle z > R 0. La valeur R 0 définiant la limite de convergence et appelée rayon de convergence de la tranformée en z. 3. Correpondance entre le plan en et en z Comme il a été expliqué dan la ection précédente, la tranformée en z d un ignal à temp dicret et la tranformée de Laplace du ignal échantillonné idéal correpondant, en paant par le changement de variable z = e Te. La correpondance entre le plan en et le plan en z et baé ur cette relation et elle et illutrée ur la figure 3.. Remarque 3... Dan le ca d un pôle en réel σ, le point obtenu dan le plan en z era également réel e σte. Dan le ca d une paire de pôle complexe conjugué σ ±jω, le point obtenu dan le plan en z auront comme valeur e σte e ±jωte, donc, un module qui vaut e σte et un argument qui vaut ±ω. L échantillonnage a pour effet de rendre périodique la tranformée de Laplace, conformément à l équation (..) avec une période égale à jω e. On oberve que le pôle obtenu par effet de la périodiation e retrouvent finalement en un eul et même point du plan en z car : e (σ+jω+jkωe)te = e (σ+jω)te e jkπ = e (σ+jω)te. Le droite verticale, correpondante à Re() = σ = contante, e tranforme en de cercle centré ur l origine de rayon e σte. En particulier, l axe imaginaire e tranforme en un cercle de rayon unité. Le droite horizontale, correpondante à Im() = ω = contante, donnent de demi-droite rayonnant depui l origine du plan en z et faiant un angle ω avec la partie poitive de l axe réel. F(z) poède le même nombre de pôle que F(). Le demi-plan en de gauche correpond à l intérieur du cercle unité dan le plan en z, tandi que le demi-plan en de droite devient l extérieur du cercle unité. 5
3. Correpondance entre le plan en et en z 7 8 Tranformée en Z 3.3 Propriété Im() 000 000 Im(z) ωe +ω 00 3ωe ωe Im() 00 000 00 000 000 00 000 Re() 00 000 00 00 00 00 00 00 00 ω 00 00 00000000 00000000 00000000 000 ω ωe ω ωe ωte Re() σ σ e σte σ σ e σte Re(z) ω ωe +ω ωe ω ωe ωe ω 3ωe échantillonnage idéal temp dicret temp continu pôle de F(z) : e jωte pôle de Fe() : σ ±j(ω +kωe) pôle de F() : σ ±jω Nou préenton dan cette ection le propriété de la tranformée en z. La plu part de ce propriété peuvent e déduire de celle de la tranformée de Laplace avec le changement de variable z = e Te. Noton que ce propriété ont valable pour toute fonction ou ignal à temp dicret aini que pour tout ytème à temp dicret. Elle ont donc valable aui dan le ca de ignaux provenant de l échantillonnage de ignaux à temp continu. Soit deux ignaux à temp dicret f(k), g(k) et oit F(z), G(z) leur tranformée en z repective. Linéarité Changement d échelle Z{αf(k)+βg(k)} = αf(z)+βg(z), α,β R ( z Z{α k f(k)} = F, α R α) Retard Dan le ca de ignaux cauaux, le théorème du retard énonce comme uit : Avance Z{f(k n)} = z n F(z), n N En pratique, on doit ouvent étudier de ytème avec de condition initiale non nulle, cequinouamèneàtraiterdeignauxnoncauaux.danlecadeignaux non cauaux, le théorème du retard écrit : Z{f(k n)u(k)} = z n F(z)+z (n ) f( )+...+z f( n+)+f( n), n N Noton que, dan cette expreion, le ignal échelon unitaire U(k) a été rajouté pour ouligner le fait qu on conidère de tranformée en z monolatérale. Par conéquent, le valeur f(k) pour k < n n apportent aucune contribution à la tranformée en z de f(k n). Multiplication par une rampe n Z{f(k +n)u(k)} = z n F(z) f(k) z n k, n N Multiplication par une exponentielle k=0 Z{kf(k)} = z df(z). dz Figure 3. Correpondance entre le plan et z Z{e ak f(k)} = F(ze a ). Théorème de la valeur initiale f(0) = lim k 0 f(k) = lim z + F(z)
3.4 Tranformée en z invere 9 Théorème de la valeur finale Lorque la valeur finale exite alor cette valeur peut être calculé comme : f( ) = lim k f(k) = lim z ( z )F(z). Noton que la valeur finale exite i le pôle de la tranformée F(z) ont tou à l intérieur du cercle unité. L exemple 3.5. nou permettra de mieux comprendre cette remarque. Convolution dicrète Le produit de convolution dicrète et défini par : (f g)(k) = f(n)g(k n). Si f et g ont cauale, alor : n= 3.4 Tranformée en z invere Z{(f g)(k)} = F(z)G(z). (3.3.) La tranformée en z ne contient que de information aux intant d échantillonnage. Par conéquent, la tranformée en z d un ignal f(t), échantillonné à la période, ne permet pa de retrouver le ignal original à temp continu f(t) mai, uniquement le ignal à temp dicret f(k) contitué de échantillon aux intant t = k. Afin d illutrer cela, conidéron deux ignaux à temp continu f(t) et g(t) ayant le même valeur aux intant d échantillonnage t = k. Ce ignaux auront la même tranformée en z alor que le valeur entre le intant d échantillonnage peuvent être différente, comme le montre la figure 3.. f(t) g(t) 0 t 3 4 5 6 7 Figure 3. Signaux à temp continu ayant même tranformée en z aprè échantillonnage Le calcul de la tranformée en z invere peut e faire à l aide de table de tranformation. Une courte table de tranformée et donnée en annexe A. De manière plu générale, la tranformée en z invere peut être calculée par une de méthode uivante : décompoition en élément imple, diviion polynomiale (elon le puiance croiante de z ), formule d inverion. 0 Tranformée en Z 3.4. Décompoition en élément imple Cette méthode et la plu imple et elle conite à faire une décompoition en élément imple de F(z). L idée à la bae de cette méthode conite à faire reortir dan F(z) z de terme dont la tranformée en z invere découle d une imple utiliation de la table de tranformée en z. Soit F(z) = N(z) et uppoon que F(z) a uniquement de pôle imple réel différent de zéro. Alor, oit p i, i =,...n, le pôle de F(z). La décompoition en élément D(z) imple de F(z) nou permet d écrire la tranformée en z ou la forme : z F(z) = N(z) D(z) = A 0 + n i= A i z. z p i Alor, en utiliant la table de tranformée A, on obtient : f(k) = A 0 δ(k)+ n A i p k i U(k). Cette méthode peut également utilier lorque la fonction F(z) a de pôle complexe et/ou de pôle multiple. Exemple 3.4.. On e propoe de calculer la tranformée en z invere de : On remarque que F(z) z F(z) = e factorie en : F(z) z i= z z (c+d)z +cd. = (z c)(z d). et, en utiliant la décompoition en élément imple, on obtient : F(z) = ( z c d z c z ) z d La tranformée en z invere de F(z) et : f(k) = Z {F(z)} = ck d k c d U(k). En poant c = e ate, d = e bte, on peut encore écrire cette tranformée invere comme : e f(k) = e akte bkte U(k). e ate bte e
3.4 Tranformée en z invere Tranformée en Z Exemple 3.4.. Soit F(z) = z3 z +z. La décompoition en élément imple de (z ) (z ) F(z) écrit : z Alor, F(z) z 3.4. Diviion polynomiale = z (z ) + z. f(k) = ( k + k+ ) U(k). Pour utilier cette technique, il faut écrire la tranformée en z ou la forme : m F(z) = N(z) b i z i D(z) = i=0. n a i z i La diviion elon le puiance croiante de z de N(z) par D(z) donne : i=0 F(z) = c 0 +c z +c z +... (3.4.) D aprè la propriété ur le retard de la tranformée en z, on déduit de l équation (3.4.) que : f(k) = c 0 δ(k)+c δ(k )+c δ(k )+... ce qui conduit aux valeur : f(0) = c 0, f() = c, f() = c,... L obtention de coefficient c i, pour i =,,..., qui donnent le valeur du ignal aux intant dicret e fait donc par une imple diviion : b 0 + b z +... a 0 + a z +... ( ) b b0a 0 b a 0 b 0 a (b 0 + z +...) + z +... a0 a }{{} 0 a 0 }{{} 0 + ( ) b b0a z +... a0. ou aux intant d échantillonnage i la tranformée provient d un ignal à temp continu échantillonné. c0 c Exemple 3.4.3. On e propoe de calculer la tranformée en z invere de : F(z) = z +z +3z +z. Onécrittoutd abordf(z)commeunefractionrationnelleenz,lepolynômeordonné elon le puiance croiante de z : F(z) = z +3z +z. enuite on effectue la diviion elon le puiance croiante de z : z + 3z + z + 3z + z 4z + 0z z 3... 4z z 4z z 8z 3 On en déduit que : 0z + 8z 3 0z + 30z 3 + 0z 4 z 3 0z 4... f(0) =, f() = 4, f() = 0, f(3) =,... On peut étendre le calcul de terme de f(k) aui loin qu on le ouhaite. On notera que cette procédure ytématique et aiée à programmer. 3.4.3 Formule d inverion La tranformée en z invere de F(z) écrit : f(k) = Z {F(z)} = F(z)z k dz, πj Γ où Γ et un domaine du plan complexe contenant toute le ingularité de F(z). A l image de la tranformée de Laplace invere, cette intégrale e calcule par la méthode de réidu.
3.5 Application à la réolution de équation aux différence 3 3.5 Application de la tranformée en z à la réolution de équation aux différence Conidéron l équation aux différence : a 0 f(k)+a f(k +)+ +a n f(k +n) = b 0 g(k)+b g(k+)+ +b m g(k +m) avec m n. (3.5.) D aprè le propriété de la tranformée en z, on calcule la tranformée de ignaux décalé en temp : Z{f(k)} = F(z), Z{f(k +)} = zf(z) zf(0), Z{f(k +)} = z F(z) z f(0) zf(),... et de même Z{g(k)} = G(z), Z{g(k+)} = zg(z) zg(0), Z{g(k+)} = z G(z) z g(0) zg(),... Par conéquent, i on applique la tranformée en z à l équation aux différence (3.5.) on obtient : (a 0 +a z + +a n z n )F(z) = (b 0 +b z +... b m z m )G(z)+P n (z), où P n (z) et un polynôme en z d ordre maximal n, dépendant de condition initiale (CI) de ignaux f(k) et g(k) : ( n n ( m m P n (z) = a i z )f(k) i b i z )g(k) i On en déduit que : k=0 i=k+ F(z) = b 0 +b z + +b m z m a 0 +a z +...a n z n k=0 G(z)+ i=k+ P n (z) a 0 +a z +...a n z n. En utiliant la tranformée en z invere on peut donc réoudre l équation aux différence de départ (3.5.). Exemple 3.5.. On e propoe de réoudre l équation aux différence : où : f(k +)+f(k +)+f(k) = 0,8g(k+)+0,4g(k) f(k) et g(k) cauaux, g(0) =, g() = 0,5, g() = 0,5, g(k) = 0,pour k 3. 4 Tranformée en Z La méthode la plu efficace et bien entendu d appliquer la récurrence : On obtient : f(k +) = f(k +) f(k)+0,8g(k+)+0,4g(k). f(0) = 0, f() = 0,8, f() = 0,8, f(3) = 0,6, f(4) = 0,6 f(5) = 0,6. La récurrence qui apparaît et trè imple et on peut en déduire la forme générale de f(k) : f(0) = 0, f() = 0,8, f() = 0,8, f(k) = 0,6( ) k+,pour k 3. Ce réultat pourrait être obtenu à traver un paage par la tranformée en z. On modifie tout d abord l équation aux différence initiale. Alor, f(k)+f(k )+f(k ) = 0,8g(k )+0,4g(k ) pour k. Si on applique maintenant la tranformée en z, on obtient : D aprè le valeur de g(k) : et donc : (+z +z )F(z) = (0,8z +0,4z )G(z). G(z) = +0,5z 0.5z F(z) = (0,8z +0,4z )(+0,5z 0.5z ) +z +z = 0,4z (+z ) 0.5(+z z ) +z +z = 0,z (+z )(+z )( z ) = 0,(4z ). (+z ) z (z +) A partir de la décompoition en élément imple de F(z), nou obtenon : z ( F(z) = 0, 3+ z z 3z ) z +
3.5 Application à la réolution de équation aux différence 5 6 Tranformée en Z En utiliant la table de tranformée, nou trouvon : f(k) = 0,6δ(k)+0,δ(k ) 0,δ(k ) 0,6( ) k U(k). On peut vérifier aiément que cette expreion coïncide avec la olution précédente. Apartirdel expreion def(k),onpeut déduirequela valeurfinale lim f(k)n exite k pa parce que lim f(k) = 0,6 and lim f(k +) = 0,6. k k Cela nou permet de mieux comprendre pourquoi on ne peut pa utilier le théorème de la valeur finale lorque F(z) a de pôle à l extérieur du cercle unité, comme il a été ouligné dan la ection 3.3.
8 Tranmittance de ytème échantillonné Définition 4... On appelle fonction de tranfert du ytème à temp dicret ou tranmittance dicrète, la fraction rationnelle : Chapitre4 Tranmittance de ytème échantillonné 4. Sytème linéaire à temp dicret Conidéron un ytème à temp dicret, linéaire, caual et invariant dan le temp. Ce ytème fournit en ortie un ignal à temp dicret y(k) en répone à un ignal à temp dicret d entrée u(k) (voir la figure 4.). Il peut agir, par exemple, d un filtre numérique ou d un correcteur numérique. u(k) U(z) G(z) y(k) Y(z) Figure 4. Sytème à temp dicret Dan ce cour, nou abordon deux type de modèle (appelé modèle externe) pour le ytème dicret. Ce type de modèle peuvent e déduire l un de l autre et il ont décrit oit par de équation aux différence oit par de fonction de tranfert. La modéliation d un ytème à temp dicret conduit à une relation entrée-ortie qui et caractériée par une équation aux différence linéaire à coefficient contant. Il agit de la loi donnant la ortie du ytème, à l intant k, en fonction de l entrée à l intant k et de entrée et de ortie aux intant précédent. Cette relation peut écrire de manière générale : a 0 y(k)+a y(k )+ +a n y(k n) = b 0 u(k)+b u(k )+ +b m u(k m) où encore n m a i y(k i) = b i u(k i). (4..) i=0 Noton que cette équation et également appelée équation récurrente. La tranformée en z, appliquée à l équation aux différence (4..) en uppoant de condition initiale nulle, donne : ( n ( m a i z )Y(z) i = b i z )U(z). i i=0 i=0 i=0 G(z) = Y(z) U(z). Autrement dit, la tranmittance dicrète et définie comme le rapport entre la tranformée en z du ignal de ortie et la tranformée en z du ignal d entrée. En utiliant la relation précédente, cette tranmittance dicrète peut écrire ou la forme uivante : m b i z i G(z) = i=0. (4..) n a i z i i=0 Remarque 4... A partir de l expreion (4..), on peut remarquer qu il exite une relation biunivoque entre la fonction de tranfert et l équation aux différence dan le en que ce modèle peuvent e déduire l un de l autre. Cependant, noton que la fonction de tranfert correpond à l équation aux différence avec de condition initiale nulle. Par définition, le pôle du ytème dicret ont le racine du polynôme dénominateur de la fonction de tranfert et le zéro ont le racine du polynôme numérateur. Le numérateur de la fonction de tranfert et également appelé polynôme caractéritique. Définition 4.. (Gain tatique). Pour une fonction de tranfert dicrète G(z), on gain tatique vaut G(). Cela veut dire que pour un ignal d entrée contant u(k) = u 0 la ortie en régime permanent vaut G()u 0. Remarquon que la fonction de tranfert à temp dicret et la tranformée en z de la répone impulionnelle du ytème. En effet, la répone impulionnelle du ytème numérique et obtenue en prenant : u(k) = δ(k) alor U(z) =. Par conéquent, Y(z) = G(z), ce qui implique y(k) = g(k). Donc, la tranformée en z de la répone impulionnelle du ytème dicret et identique avec la tranmittance dicrète G(z). Noton qu on peut calculer la répone impulionnelle comme g(k) = Z {G(z)}. De plu, la ortie y(k) du ytème à temp dicret réulte du produit de convolution dicret de l entrée u(k) avec la répone impulionnelle g(k), oit : y(k) = (g u)(k) = n=. Répone du ytème à une impulion unité dicrète g(n)u(k n), 7
4. Modéliation de ytème échantillonné 9 30 Tranmittance de ytème échantillonné qui écrit encore : y(k) = k g(n)u(k n) n=0 pour un ytème caual. Ceci découle directement de la définition (4..) de la fonction de tranfert du ytème à temp dicret et de la propriété de la convolution dicrète (3.3.). Exemple 4... Étant donné le ignal à temp dicret f(k) de tranformée en z : F(z) = 0z +5 z,z +0,, calculer f(k). La méthode la plu imple pour calculer f(k) et la décompoition en élément imple de F(z) ou la diviion elon le puiance croiante de z. z Nou propoon de calculer f(k) en utiliant le élément développé dan le paragraphe précédent. Conidéron que F(z) et la fonction de tranfert d un ytème numérique d entrée u(k) et de ortie y(k). On a alor : F(z) = Y(z) U(z) = 0z +5 z,z +0, = 0z +5z,z +0,z, d où l équation aux différence : y(k),y(k )+0,y(k ) = 0u(k )+5u(k ). Finalement, la répone du ytème à une impulion unité dicrète u(k) = δ(k) vaut f(k) = y(k) et obéit à l équation aux différence : On obtient finalement : f(k) =,f(k ) 0,f(k )+0δ(k )+5δ(k ). f(0) = 0, f() = 0, f() = 7, f(3) = 8,4, f(4) = 8,68,... 4. Modéliation de ytème échantillonné 4.. Tranmittance échantillonnée Lorqu on travaille avec de ignaux à temp dicret iu d un procédé d échantillonnage, il et poible de e trouver dan le ca du chéma de la figure 4.. u(t) U() u e(t) U e() U(z) G() y(t) Y() y e(t) Y e() Y(z) Figure 4. Sytème à temp dicret à entrée et ortie échantillonnée En utiliant l équivalence entre le tranformée de Laplace de ignaux échantillonné et le tranformée en z de ignaux à temp dicret, évaluon : D aprè (..3) : Sachant que : Y e () = + Y Y e () = (G()U e ()) e. = + U e () = + ( j πk ) ( G j πk ( )U e j πk ). et périodique, de période jπ, on peut écrire U e On en déduit que : ( Y e () = + ( U j πk ) ( j πk ( G j πk ) ) U e (). Y e () = G e () U e (). ) = U e () et donc : En e baant ur l équivalence entre tranformée de Laplace de ignaux échantillonné et tranformée en z de ignaux à temp dicret (voir ection 3.), on peut également écrire : Y(z) = G(z) U(z). La fonction de tranfert en z du ytème échantillonné en boucle ouverte repréenté à la figure 4. et donc : G(z) = Y(z) = Z{g(t)} = Z{G()}. U(z) Remarque 4.... La fonction de tranfert en z du ytème échantillonné et tout implement la tranformée en z de la tranmittance continue et Z{G()} = Z{L {G()}}.
4. Modéliation de ytème échantillonné 3 3 Tranmittance de ytème échantillonné. On a la relation uivante Z{G()U e ()} = G(z)U(z). 3. Dan le ca où l échantillonneur d entrée et abent (voir figure 4.3) alor Y(z) = Z{G()U()} = G(z)U(z). u(t) U() u e(t) U e() BOZ G() y(t) Y() y e(t) Y e() ynchroniation Y(z) Figure 4.5 Chaîne bloqueur d ordre zéro et procédé Figure 4.3 Sytème à temp dicret à ortie échantillonnée 4.. Tranmittance échantillonnée de ytème ouvert Suppoon que le procédé continu et compoé de deux ou-ytème en érie, comme préenté à la figure 4.4. Dan ce ca, le deux ou-ytème ne peuvent pa être diocié. En effet : u(t) U() u e(t) U e() G () ynchroniation G () y(t) Y() y e(t) Y e() Y(z) Figure 4.4 Sytème continu en érie et échantillonnage Donc : Y(z) U(z) {( ) }} e = Z {L Te G() { { { G() = Z L } L e TeG() }} { { }} { }} G() = Z L Z {L e TeG(). Sachant que le terme e Te traduit un retard de dan le domaine temporel, on obtient la tranmittance échantillonnée uivante pour le ytème continu précédé par un BOZ : { } Y(z) G() U(z) = ( z )Z (4..) { } { { }} G() G() avec la notation Z = Z L. Exemple 4... Conidéron maintenant le ca illutré par la figure 4.6. Y() = G ()G ()U e () et donc Y e () = (G ()G ()U e ()) e = (G ()G ()) e U e (). Cela implique : Y(z) = Z{G ()G ()}U(z) = Z{L {G ()G ()}}U(z). u(t) U() u e(t) G () x(t) x e(t) G () y(t) U e() X() X e() Y() ynchroniation Figure 4.6 Sytème échantillonné en érie y e(t) Y e() Y(z) Donc, de manière générale : (G ()G ()) e (G ()) e (G ()) e. Echantillonnage d un ytème continu précédé par un BOZ Soit le ytème illutré par la figure 4.5, compoé d un proceu précédé par un bloqueur d ordre zéro. L aociation d un BOZ avec un procédé phyique contitue un ytème à temp continu dont la fonction de tranfert et : Y() U e () = B 0()G() = ( ) e Te G(). Alor, X e () = (G ()U e ()) e = (G ()) e U e () ce qui implique X(z) = Z{G ()}U(z). Analogiquement, on a : Y e () = (G ()X e ()) e = (G ()) e X e () = Y(z) = Z{G ()}X(z). On déduit de ce deux équation que Y(z) = Z{G ()}Z{G ()}U(z).
4. Modéliation de ytème échantillonné 33 34 Tranmittance de ytème échantillonné 4..3 Tranmittance échantillonnée de ytème bouclé Conidéron le ytème bouclé de la figure 4.7. Le propriété de linéarité de l échantillonnage nou permettent d obtenir le chéma équivalent de la figure 4.8. r(t) R() + e(t) E() y m(t) Y m() e e(t) E e() G () G () y(t) Y() Figure 4.7 Sytème bouclé y e(t) Y e() Y(z) A partir du chéma équivalent, nou pouvon écrire le équation uivante : Y(z) = Z{G ()}E(z), Y m (z) = Z{G ()G ()}E(z) et E(z) = R(z) Y m (z). Cela nou permet de déduire la tranmittance échantillonnée uivante pour le ytème bouclé : Y(z) R(z) = Z{G ()} +Z{G ()G ()}. r(t) R() r e(t) R e() + R(z) e e(t) E e() y me (t) Y me () y m(t) Y m() G () G () Figure 4.8 Sytème bouclé y(t) Y() y e(t) Y e() Y(z) r(k) R(z) + e(k) u(k) u(t) C(z) BOZ E(z) ym(k) Ym(z) Te ym(t) H() G() y(t) Y() Figure 4.9 Sytème bouclé avec un correcteur numérique En utiliant le équation (4..b), (4..c), (4..d), nou obtenon la fonction de tranfert entre E(z) et R(z) : et donc, E(z) = U(z) = R(z) +Z{H()G()B 0 ()} C(z) C(z) R(z) +Z{H()G()B 0 ()} C(z). Regroupant ce réultat avec l équation (4..a), nou obtenon finalement la tranmittance échantillonnée du ytème bouclé : Y(z) R(z) = C(z) Z{G()B 0 ()} +C(z) Z{H()G()B 0 ()} Si on tient compte de la fonction de tranfert du BOZ, la tranmittance échantillonnée vaut : { } G() ( z ) C(z) Z Y(z) R(z) = { } (4..3) H()G() +( z ) C(z) Z Te ye(t) Ye() Y(z) Exemple 4.. (Tranmittance d un ytème échantillonné bouclé avec correcteur numérique). Conidéron maintenant un ytème bouclé comportant un correcteur numérique C(z). On e propoe de calculer la tranmittance échantillonnée du ytème bouclé. On peut déduire le équation correpondant au chéma de la figure 4.9 : Y(z) = Z{G()B 0 ()} U(z), Y m (z) = Z{H()G()B 0 ()} U(z), U(z) = C(z) E(z) et E(z) = R(z) Y m (z). (4..a) (4..b) (4..c) (4..d) Exemple 4..3 (Tranmittance de ytème bouclé en préence de perturbation). Pour cette exemple, on conidère le ytème de la figure 4.0 oumi à la perturbation externe p(t) et au bruit n(k). On e propoe de calculer la tranmittance échantillonnée pour le ytème bouclé. Une première méthode de calcul de la tranmittance échantillonnée conite à appliquer l algèbre de bloc comme pour l exercice précédant. Alor, E(z) = R(z) ( N(z)+ Y(z) ) et Y(z) = Z{G ()B 0 ()} C(z)E(z)+Z{G ()P()}.
4. Modéliation de ytème échantillonné 35 36 Tranmittance de ytème échantillonné p(t) P() G() r(k) R(z) + e(k) u(k) u(t) C(z) BOZ G() E(z) Te ym(k) + ym(t) y(t) Y() Te ye(t) Ye() Y(z) Ym(z) + n(k) N(z) Figure 4.0 Sytème bouclé en préence de perturbation En combinant ce deux équation on retrouve la relation uivante pour le ytème bouclé: Y(z) = C(z) ( z ) Z { G ()} +C(z) ( z ) Z { G () + +C(z) ( z ) Z { G () ( ) R(z) N(z) } } Z{G ()P()} (4..4) où Z{G ()P()} = Z{(g p)(t)}. La deuxième méthode conite à utilier le théorème de uperpoition et à appliquer la formule (4..3) : entrée eule : Y(z) = ( z )C(z)Z { G ()} +( z )C(z)Z { G () } R(z) ; bruit eul : ( z )C(z)Z { G ()} Y(z) = +( z )C(z)Z { G ()} N(z) ; perturbation eule : Z { G ()P() } Y(z) = +( z )C(z)Z { G ()}. En uperpoant, en ommant ce effet, on obtient la fonction de tranfert (4..4).
38 Analye de ytème échantillonné Chapitre5 Analye de ytème échantillonné Par conéquent, à un pôle imple en de valeur p i correpond un pôle en z de valeur e pite. Ce réultat a été déjà illutré dan la ection 3., par la figure 3.. Nou rappelon que dan le ca d un pôle en initial réel = σ, le point obtenu dan le plan en z era réel : z = e σte. Dan le ca d une paire de pôle complexe conjugué σ ±jω, le point obtenu dan le plan en z auront pour affixe e σte e ±jωte. Donc, ceux-ci on pour module e σte et pour argument ω. Sytème du premier ordre Pour le ytème du premier ordre, la correpondance entre le pôle a été illutrée à la figure 5. autant dan le ca d un pôle table que dan le ca d un pôle intable. Im(z) 5. Répone de ytème échantillonné Conidèron un ytème échantillonné claique tel qu il a été rappelé à la figure 5.. Dan cette ection, on étudie la répone temporelle du ytème échantillonné aini que u(t) U() u e(t) U e() U(z) G() y(t) Y() y e(t) Y e() Y(z) p < 0 Im() 000 000 000 000 Re() 000 p > 0 e 000 00000 pte e 00000 pte 000 000 Re(z) Figure 5. Sytème à temp dicret à entrée et ortie échantillonnée la relation entre le ytème continu et le pôle et le zéro dan le plan en z. 5.. Pôle Le pôle en du ytème repréenté à la figure 5. ont le pôle de la fonction de tranfert G() = Y(). Se pôle en z ont le pôle de la tranmittance échantillonnée G(z) = Y(z). Si la fonction G() ne comporte que de pôle imple alor elle e U e () U(z) décompoe en élément imple ou la forme : n A i G() = p i et par conéquent : i= g(t) = L {G()} = n A i e pit U(t). Le pôle en z ont obtenu en appliquant la tranformée en z : G(z) = Z{g(t)} = i= n i= A i z z e pite. Figure 5. Correpondance entre le pôle en et le pôle en z d un ytème ordre A partir de cette correpondance, on peut remarquer que le pôle en z réel négatif n ont pa de correpondant ur l axe réel du plan en. Sytème du econd ordre Soit un ytème de econd ordre de fonction de tranfert : Kω n G() = +ξω n +ωn avec ξ le facteur d amortiement et ω n la pulation naturelle du ytème. Dan le ca d un ytème du econd ordre poédant deux pôle réel, on peut utilier la tranformation précédente. Dan le ca où le ytème poède deux pôle en complexe conjugué : on obtient le pôle en z :, = (ξ ±j ξ )ω n, z, = e ξωnte e ±j ξ ωnte. 37
5. Répone de ytème échantillonné 39 40 Analye de ytème échantillonné Courbe à ξ = contant : Si on conidère de pôle en itué ur deux demi-droite à amortiement contant alor : z, = e ξθ ξ e ±jθ où θ = ξ ω n. Le deux pôle en z correpondant ont donc pour module e ξ ξ θ etpourargument±θ.cela veut direquelorquelepôleenedéplacent ur le deux demi-droite, le pôle en z e déplacent ur une pirale logarithmique (voir la figure 5.3). Courbe ω n = contant : On conidère maintenant la tranformation de cercle correpondant aux pôle en de même pulation naturelle. On montre que le lieu de pôle en z correpondant et contitué de courbe perpendiculaire aux pirale logarithmique de même amortiement (on repréente en fait le courbe de même ω n ). Im(z) 0.8 0.6 0.4 6 o 0. 44 o 9π 0 4π 5 6 o 7π 0 08 o 3π 5 θ = 90 o ωnte = π π 5 π ωnte = π π ξ = 0 0 0 0.8 0.6 0.4 0. 0 0. 0.4 0.6 0.8 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0, 0, ξ = 0 Figure 5.4 Lieu de pôle du plan z pour ξ = ct et ω n = ct. π 5 7 o 3π 0 54 o 36 o θ = 8 o ξ = contante ωn = contante Im() 000 000 000 000 000 000 000 Re() Re(z) un pôle réel poitif en correpond à un pôle réel poitif de valeur upérieure à dan le plan en z; un pôle réel négatif en correpond à un pôle réel poitif de valeur inférieure à dan le plan en z; un pôle complexe en e retrouve ur une pirale logarithmique dan le plan en z; un pôle complexe ayant une partie imaginaire en multiple de π correpond à un pôle réel négatif en z. Figure 5.3 Correpondance entre le pôle en et le pôle en z d un ytème d ordre Im() j π Te Im(z) En reuniant le deux lieux précédent on obtient l abaque de la figure 5.4. Cet abaque et utilié lorqu on cherche à analyer le caractéritique de la répone indicielle du ytème échantillonné par rapport au ytème à temp continu. Sytème d ordre quelconque Dan le ca général d un ytème d ordre quelconque, la correpondance entre le pôle en et le pôle en z et obtenue en combinant le deux ca précédent. En effet, le correpondance entre le différente région du plan et celle du plan z obtient en utiliant la tranformation z = e Te comme indiquée à la figure 5.5. On ditingue pluieur région : la droite imaginaire dan le plan en e traduit par le cercle unité dan le plan en z; Re() z = e Te plan en plan en z Figure 5.5 Correpondance entre le pôle en et le pôle en z Re(z)
5. Répone de ytème échantillonné 4 4 Analye de ytème échantillonné 5.. Zéro Il n exite pa de relation imple entre le zéro de G() et ceux de G(z). G(z) peut poéder de zéro et G() pa, comme on peut le remarquer dan l exemple uivant. Conidéron le ytème : g(t) = e at alor : G() = et +a z G(z) = z e ate. Aini, il exite un zéro en z alor qu il n en exite pa en. Remarque 5... Si la fonction de tranfert G() et à déphaage non minimal, cela n implique pa que la tranmittance échantillonnée G(z) et à déphaage non minimal. Un ytème continu an zéro dan le demi-plan de droite peut donner un ytème échantillonné avec de zéro en dehor du cercle unité. Mode entretenu Re(z) Mode divergent 5..3 Répone temporelle de ytème échantillonné On peut calculer la répone temporelle d un ytème échantillonné : à partir de l équation aux différence. Le modèle par équation récurrente permet de calculer la répone point par point et cette modéliation et directement adaptable à l implémentation dan un ordinateur. à partir de la fonction de tranfert. En effet, i G(z) et la fonction de tranfert et U(z) et la tranformée en z de la équence d entrée alor, ou l hypothèe de condition initiale nulle, la répone du ytème échantillonné et donnée par : y(k) = Z {Y(z)} = Z {G(z)U(z)}. Pour calculer l invere de la tranformée en z on peut e référer aux différente méthode vue au ou-chapitre 3.4. Im(z) Mode convergent 0 Pour calculer la répone d un ytème échantillonné on utilie la décompoition en élément imple de Y(z). Nou étudion cette décompoition dan le ca général. z Soit G(z) la fonction de tranfert du ytème échantillonné et oit p, p,..., p np le pôle de G(z) avec m i, i =,...,n p, l ordre de multiplicité de chaque pôle. On définit également l entrée quelconque U(z) du ytème qui et caractériée par un polynôme dénominateur ayant le racine z, z,..., z q. Alor, la décompoition enélément imple de Y(z) z = G(z)U(z) z permet d écrire : np Y(z) = G i (z)+ i= q U j (z) j= }{{} régime forcé. Figure 5.6 Répone temporelle en fonction de la poition de pôle dan le plan z
5. Répone de ytème échantillonné 43 44 Analye de ytème échantillonné Le dernier terme de cette expreion repréentent le régime forcé du ytème et dépendent eentiellement du type d entrée. Le terme G i (z), même il dépendent du choix du ignal d entrée, décrivent le caractéritique intrinèque au ytème G(z). On intéree par la uite à l expreion de terme G i (z) qui écrivent : La tranformée en z invere écrit : mi A ij z G i (z) = (z p i ) j. j= Z {G i (z)} = P i (k)p k i avec P i (k) un polynôme en k d ordre m i. Comme ce terme contitue une uite géométrique de puiance de p i, l évolution de ce terme dépend eentiellement de la valeur de p i. A chaque pôle p i on aocie un mode et on va décrire la répone du ytème en fonction de ce mode. Noton qu il a autant de mode dan le ytème que de pôle ditinct. Mode réel Un mode réel p i correpond à un pôle réel p i. En utiliant le théorie de uite, nou pouvon trouver la contribution de ce mode à la répone du ytème. Alor, indépendamment du polynôme P i (k), on a : Si p i < alor P i (k)p k i 0 lorque k. On parle d un mode convergent et la vitee de convergence dépend de la valeur de p i (convergence exponentielle). Si p i > 0 alor la uite {P i (k)p k i} garde le même igne et le mode et appelé mode apériodique. Par contre, i p i < 0 alor la uite peut changer de igne et, dan ce ca, on parle d un mode ocillatoire. Si p i = 0 (m i = )alor la uite converge ver zéro en une eule itération et on obtient ce qu on appelle une répone pile. Si p i > alor P i (k)p k i ± lorque k. On parle alor d un mode divergent et la vitee de divergence dépend de la valeur de p i (divergence exponentielle). Si p i = et P i (k) et un polynôme contant alor la contribution de ce mode et un ignal contant. On parle alor de mode entretenu. Si P i (k) et de degré non nul alor P i (k)p k i diverge quand k (divergence polynomiale). Mode complexe Pourunpôlecomplexepilexiteunpôlep complexeconjuguédep,demêmeordrede multiplicité. Alor un mode complexe et aocié à la paire de pôle complexe conjugué. La contribution de ce mode complexe à la répone du ytème et de la forme : P α (k)p k +P β (k)p k.. Cela et poible uniquement lorque l ordre de multiplicité m i = Onpeutmontrerquecetteformepeut écrireégalementcommeétantp(k) p k in(kθ+φ) où P(k) et un polynôme à coefficient réel, θ et l argument du pôle p et φ et un déphaage. Par conéquent, la contribution de ce mode à la répone du ytème et de type ocillant et elle dépend du module du pôle : Si p > la répone aocié à ce mode diverge (divergence exponentielle). Dan ce ca, on parle d un régime ocillant non amortie. Si p < alor la répone converge et le régime tranitoire aocié à cette répone et appelé régime ocillant amortie. Si p = et le pôle et de multiplicité alor on a un pôle entretenu et donc, la répone et ocillante an convergence ni divergence. Si P(k) et de degré non nul alor le mode et divergent. Superpoition de mode Le contribution de différent type de mode ont été regroupée à la figure 5.6. La répone globale du ytème et obtenue en uperpoant le contribution de tou le mode du ytème et de la répone forcée. Remarquon que, alor qu un ytème à temp continu peut avoir qu une eule ource d ocillation, un ytème à temp dicret peut en avoir deux. Celle-ci ont la préence de pôle complexe conjugué et la préence de pôle à partie réelle négative. 5. Répone fréquentielle Pour étudier la répone en fréquence (harmonique) de ytème échantillonné, nou conidéron le ytème de la figure 5.. Nou avon que : Y e () = G e ()U e () et Y(z) = G(z)U(z) avec la relation uivante entre le deux fonction de tranfert G(z) = G e ( = lnz ) et G e () = G(z = e Te ). La répone fréquentielle du ytème échantillonné et obtenue : oit à partir de G e () en remplacent par jω oit à partir de G(z) en remplacent z par e jωte. Par la uite, on étudie la répone harmonique à partir de G(z). En effet, i on conidère une entrée inuoïdale cauale u(t) = U 0 in(πft) U(t) alor u(k) = U 0 in(πνk) U(k) avec ν = f et : y(k) tend ver U 0 G(ν) in(πνk +φ(ν)) et y(k ) tend ver U 0 G(ω )in(ω k +φ(ω)).
5. Répone fréquentielle 45 46 Analye de ytème échantillonné Pour un ytème dicret, la répone fréquentielle en module et en phae et donnée par : G(z) z = e πνj en faiant z parcourir le cercle unité arg(g(z)) z = e πνj c et à dire pour ν [ ; ]. Dan le ca d un ytème échantillonné, la répone fréquentielle en module et en phae et donnée par : G(z) z = e ωtej en faiant z parcourir le cercle unité arg(g(z)) z = e ωtej c et à dire pour ω [ π ; π ]. Le tracée de la répone fréquentielle et également appelé diagramme de Bode. A partir de la formule (..3) qui applique également dan le ca de ytème échantillonné, on déduit que le diagramme de Bode et périodique de période ν = (repectivement ω = π ) et ymétrique par rapport à (repectivement π ). C et pour cela que, géné- ralement, on trace le diagramme de Bode uniquement pour ν [0; π ω [0; ]) avec (ouvent) une échelle linéaire. ] (repectivement Remarque 5... Le règle de contruction du diagramme de Bode aymptotique ne applique pa. Exemple 5... Soit la fonction de tranfert d un ytème à temp continu G() =. Comme le but final et de contruire un correcteur numérique pour ce ytème +5 alor celui-ci era précédé par un BOZ dan la boucle de commande. Pour calculer la tranmittance échantillonnée du ytème on utilie la formule (4..) et donc : { } G() G(z) = ( z )Z = c 5(z c) = 0,07869 z 0,6065 avec c = e 5Te et la période d échantillonnage = 0,. La figure 5.7 montre la répone fréquentielle en module et en phae du ytème continu et du ytème échantillonné. On remarque une ditorion de gain dan la répone fréquentielle du ytème échantillonné due au recouvrement de pectre et une perte de phae due au bloqueur. Amplitude (db) Phae (degré) 0 5 0 5 30 35 40 45 0 0 0 0 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 ω(rad/) π 80 0 0 0 0 0 ω(rad/) G(z) z=e jωte G(z) z=e jωte π G() =jω G() =jω Figure 5.7 Répone fréquentielle d un ytème échantillonné
5.3 Stabilité 47 5.3 Stabilité 5.3. Critère général de tabilité Nou préenton la notion de tabilité entrée bornée-ortie bornée (en anglai bounded input-bounded output ou BIBO) pour le ytème à temp dicret. Définition 5.3. (Stabilité BIBO). Un ytème définit par e entrée-ortie et BIBO table i pour toute entrée bornée la ortie et bornée u(k) = up u(k) < k IN y(k) = up y(k) < k IN Cette définition d ordre trè général et difficile à appliquer en pratique. Le théorème uivant montre que l étude de la tabilité BIBO d un ytème linéaire e réduit à étudier le mode du ytème. Théorème 5.3. (Stabilité). Un ytème linéaire invariant à temp dicret et table i et eulement i tou e pôle ont de module trictement inférieur à un. Lorqu on ne peut pa calculer le pôle par une méthode numérique alor nou pouvon utilier deux autre critère algébrique de tabilité. 5.3. Critère algébrique de tabilité Critère de Jury Le critère de Jury adree le problème de tabilité d un ytème linéaire à temp dicret à partir de la connaiance du polynôme caractéritique. Soit le ytème à temp dicret de fonction de tranfert : G(z) = N(z) D(z) avec D(z) = a 0 +a z + +a n z n et a n > 0. Lorque le coefficient de D(z) ont réel, le critère de Jury permet de conclure ur la tabilité du ytème an calculer le racine du dénominateur ou du polynôme caractéritique D(z). Théorème 5.3. (Critère de Jury). Soit : a 0,i = a i, i = 0,,..., n, a j+,i = a j,0 a j,n j i a j,n j a j,i, j = 0,,..., n et 0 i n j. Le polynome D(z), à coefficient réel, a e racine de module inférieur à l unité i et eulement i le inégalité uivante ont vérifiée : 48 Analye de ytème échantillonné. a 0 a n < 0;. D() > 0; 3. ( ) n D( ) > 0; 4. a j,0 a j,n j > 0, j =,,..., n. Etudion ce critère ur le ca de ytème d ordre inférieur ou égal à quatre : Ca n = : Alor, D(z) = a 0 +a z et le condition du théorème 5.3. ont. a 0 < a ;. a 0 +a > 0; 3. a 0 +a > 0. La condition 4 du théorème 5.3. ne applique pa car n < 3. Ca n = : Alor, D(z) = a 0 +a z+a z et le condition du théorème 5.3. écrivent. a 0 < a ;. a 0 +a +a > 0; 3. a 0 a +a > 0; Comme pour le ca précédent, la condition 4 du théorème 5.3. ne applique pa car n < 3. Ca n = 3 : Alor, D(z) = a 0 + a z + a z + a 3 z 3 et le condition du théorème 5.3. devient. a 0 < a 3 ;. a 0 +a +a +a 3 > 0; 3. a 0 +a a +a 3 > 0; 4. Pour écrire facilement cette quatrième condition on établit le tableau uivant : a 0 a a a 3 a 3 a a a 0 a,0 = a 0 a 3 a 3 a 0 a, = a 0 a a 3 a a, = a 0 a a 3 a La première et la deuxième ligne de ce tableau ont contruite en utiliant le coefficient de D(z) dan l ordre croiant et repectivement décroiant de puiance de z. Par la uite, la troiième ligne contient uniquement troi coefficient et chaque coefficient a,j et calculé comme étant le déterminant de la matrice contruite avec la première et la (n j + )-ème colonne de deux ligne précédente. Alor, la condition 4 écrit a 0 a 3 > a 0a a 3 a qui et équivalente à a 3 a 0 > a 0a a 3 a. Ca n = 4 : Alor,D(z) = a 0 +a z+a z +a 3 z 3 +a 4 z 4 etleconditionduthéorème5.3. écrivent. a 0 < a 4 ;. a 0 +a +a +a 3 +a 4 > 0;
5.3 Stabilité 49 50 Analye de ytème échantillonné a 0 a a a 3 a 4 a 4 a 3 a a a 0 a,0 = a 0 a 4 a a 4 a, = a 0 a 3 a 0 a 4 a, = a 0 a a a 4 a,3 = a 0 a a 4 a 3 a,3 a, a, a,0 Plan en z Im(z) z = +w w Re(z) Im(w) Plan en w Re(w) a,0 = a,0 a,3 a,3 a,0 a, = a,0 a, a,3 a, a, = a,0 a, a,3 a, Table 5. Tableau pour le critère de Jury (n = 4) 3. a 0 a +a a 3 +a 4 > 0; 4. On contruit le tableau 5.. Le troi première ligne de ce tableau ont contruite comme pour le ca précédent. La quatrième ligne et contruite à partir de valeur calculée a,j dan l ordre décroiant de j. Par la uite, la cinquième ligne contient uniquement troi coefficient et chaque coefficient a,j et calculé comme étant le déterminant de la matrice contruite avec la première et la (n j+)-ème colonne de deux ligne précédente. Donc, la condition 4 écrit : { a,0 > a,3 a 4 a 0 > a 0a 3 a a 4 et a,0 > a,. Figure 5.8 Correpondance entre le plan en z et le plan en w La condition de tabilité du théorème 5.3., portant ur l étude du polynôme dénominateur D(z) de la fonction de tranfert, et modifiée. On admet que la tabilité et vérifiée i le polynôme en w : ( ) +w D (w) = ( w) n D w vérifie le critère de Routh (voir [], [9] pour de rappel ur le critère de Routh). Noton que, généralement, cette méthode et trè calculatoire et par conéquent, utiliée uniquement pour de ytème d ordre trè faible. Tranformée en w et critère de Routh Le critère de Routh et utilié pour le ytème à temp continu. Donc, il ne applique pa tel quel aux ytème à temp dicret. Pour pouvoir l appliquer on utilie la tranformée en w : w = z +w z = z + w. Si z = e jωte alor : w = ejωte e jωte + = e j e ωte ωte j = j ) in(ωte co( ωte) = jtan(ω ). e j ωte ωte j e e j ωte ωte j +e Donc, pour ω [ π, π] on obtient w j[, ]. Cela ignifie que le cercle unité et envoyé ur l axe imaginaire. De plu, (+Re(w)) +Im(w) z = ( Re(w)) +Im(w) et z < et équivalent à Re(w) < 0. Par conéquent, la tranformée en w aocie à l intérieur du cercle unité du plan en z le demi-plan gauche du plan en w, comme on peut le voir ur la figure 5.8.
5 Analye de ytème échantillonné en boucle fermée Chapitre6 Analye de ytème échantillonné en boucle fermée lui-même dicret et qu il n y ait donc pa de converion analogique-numérique à faire. Dan ce chapitre, nou étudion deux critère de tabilité pour le ytème aervi aini que la notion de préciion. Pour cela, remarquon d abord que le ytème de la figure 6. comporte une partie numérique et une partie analogique. Afin d étudier la tabilité du ytème en boucle fermée on doit utilier le même formalime mathématique pour tout le ytème. Alor, le ytème aervi équivalant comportant de tranmittance yr(k) + e(k) ym(k) C(z) H(z) u(k) G(z) y(k) Figure 6. Sytème aervi dicret. 6. Structure de ytème à commande numérique Le pilotage par ordinateur de procédé phyique, notamment leur aerviement, et de plu en plu utilié dan le milieu indutriel pour de raion de coût et de rapidité d implémentation. La commande numérique du procédé et illutrée au chéma de la figure 6.. yr(k) + conigne numérique ε(k) correcteur numérique commande numérique du ytème CAN CNA Te u(t) meure analogique p(t) procédé capteur Figure 6. Commande numérique d un procédé Le principe d un ytème à commande numérique et de remplacer la commande analogique du ytème par de algorithme mi en œuvre ur calculateur. Le calculateur numérique néceitant un certain temp pour effectuer ce opération, on introduit alor un découpage temporel de ignaux au niveau du calculateur. Le ytème à commande numérique conidéré préentent donc un caractère hybride temp continu- temp dicret. Par conéquent, il et néceaire de réalier une interface entre le calculateur et le procédé et cette interface et obtenue à l aide : d un convertieur numérique-analogique (CNA) pour convertir le ignaux numérique iu du calculateur dan de ignaux analogique contituant l entrée du procédé; d un convertieur analogique-numérique (CAN) pour convertir le meure effectuée ur le procédé et le fournir au calculateur. Il peut arriver que le capteur oit b(t) y(t) échantillonné a été repréenté à la figure 6.. Noton que tout ytème à commande numérique peut être repréenté comme le ytème de la figure 6. en calculant le fonction G(z) et H(z) de manière appropriée. En effet, nou avon : { } G() G(z) = ( z )Z et { } G()H() G(z)H(z) = ( z )Z. avec G() et H() le fonction de tranfert du procédé et du capteur. La première fonction de tranfert G(z) repréente la tranmittance échantillonnée de la partie {CNA + G() + échantillonneur} tandi que la deuxième expreion repréente la tranmittance échantillonnée de la partie { CNA + G()H() + échantillonneur}. De ce deux équation, on peut déduire l expreion de H(z) comme étant : { } Z H(z) = { Z G()H() G() }. La fonction de tranfert du ytème en boucle fermée et : F BF (z) = C(z)G(z) +C(z)G(z)H(z) = N BF(z) D BF (z). Étudier la tabilité du ytème aervi revient à étudier le racine du polynôme caractéritique D BF (z) = 0 ou de l équation caractéritique +F BO (z) = 0 où F BO (z) = C(z)G(z)H(z) et la fonction de tranfert en boucle ouverte. Noton que, conformément à la ection 5.3, le ytème en boucle fermée et table i le racine du 5
6. Critère de Nyquit 53 54 Analye de ytème échantillonné en boucle fermée polynôme caractéritique ou de l équation caractéritique ont à l intérieur du cercle unité. Nou préenton, par la uite, deux méthode géométrique (ou harmonique) pour l étude de la tabilité du ytème aervi. 6. Critère de Nyquit Le critère de Nyquit et la première méthode géométrique que nou étudion. Elle et baée ur le théorème de Cauchy. 6.. Théorème de Cauchy Soit F(z) une fraction rationnelle en z : F(z) = K m (z z i ) i= n (z p i ) et oit C un contour fermé orienté qui ne pae par aucun pôle ou zéro de F(z). Théorème 6.. (Théorème de Cauchy). Quand le point z décrit complètement la courbe fermé C dan un en donné, le point F(z) décrit une courbe D qui encercle l origine, dan le même en que le parcourt de z ur C, d un nombre de foi N égal à j= figure 3(a). Le point z e déplace ur le contour C dan le en trigonométrique. Comme le nombre de pôle et de zéro à l intérieur du contour et, repectivement, P = 3 et Z = alor N =. Donc, F(z) décrit une courbe D en entourant deux foi l origine dan le en trigonométrique négatif (parce que N et négatif), comme on peut le voir ur la figure 3(b). 6.. Contour de Nyquit Le contour de Nyquit et défini comme étant le cercle unité parcouru dan le en trigonométrique (voir la figure 6.4). Donc, le contour fermé C écrit comme : C = {z z = e jω, Ω [ π,π]}. Pôle table Im(z) C Pôle intable Re(z) N = Z P où Z et P déignentrepectivement le nombre de zéro et de pôle à l intérieur du contour fermé C (en comptant l ordre de multiplicité de chaque pôle ou zéro). Figure 6.4 Contour de Nyquit. Im(z) Im(F(z)) Parlauite,onvaappliquerlethéorèmedeCauchyàlafonctionF(z)etaucontourde Nyquit. ÉtantdonnéquelafonctionF(z) = +F BO(z),quelqueremarque impoent: (a) Le contour fermé C. C Re(z) D Re(F(z)) (b) Le contour D généré par F(z). le zéro de F(z) ont également le pôle du ytème en boucle fermée F BF (z); le pôle de F(z) ont le pôle du ytème en boucle ouverte F BO (z); comme F BO (z) repréente un ytème caual, le degré de on numérateur et inférieur ou égal au degré de on dénominateur et par conéquent, le nombre de pôle de F(z) et identique à on nombre de zéro; le encerclement de F(z) autour de l origine ont équivalent aux encerclement de F BO (z) autour du point. Figure 6.3 Illutration du théorème de Cauchy. Exemple 6... Afin d illutrer le théorème de Cauchy, conidéron une fonction F(z) ayant quatre pôle et un zéro aini qu un contour C tel qu il ont été repréenté ur la 6..3 Critère de Nyquit Le lieu de Nyquit de F BO (z) et définit comme la courbe décrite par l enemble de point : { (Re(FBO (z)), Im(F BO (z)) z = e jω, Ω [ π; π]) }.
6. Critère de Nyquit 55 56 Analye de ytème échantillonné en boucle fermée Compte tenu de élément précédent, le critère de Nyquit énonce comme uit. Théorème 6.. (Critère de Nyquit). Le ytème dicret en boucle fermée, d équation caractéritique + F BO (z) = 0, et table i et eulement i le lieu de Nyquit de F BO (z) parcouru de Ω = π à Ω = π avec z = e jω, entoure le point dan le en trigonométrique un nombre de foi égal au nombre de pôle intable de F BO (z). Démontration Soit n le nombre de pôle de F BO (z) et P le nombre de pôle table de F BO (z) (le nombre de pôle à l intérieur du contour de Nyquit). Alor, n et aui égal au nombre de zéro de +F BO (z) et au nombre de pôle de F BF (z). Comme le contour de Nyquit tourne dan le en trigonométrique, par le théorème de Cauchy, +F BO (z) encercle l originedan le en trigonométrique N foiavec N = Z P où Z et P repréentent repectivement le nombre de zéro table et de pôle table de +F BO (z). Mai, le ytème bouclé et table i et eulement i le zéro de +F BO (z) ont table donc i et eulement i Z = n. La démontration et terminée i on oberve que N = n P et aui le nombre de pôle intable de F BO (z) et que le encerclement de l origine par +F BO (z) ont équivalent aux encerclement du point par F BO (z). Remarque 6... Lorqu il agit d un ytème échantillonné, le lieu de Nyquit et parcouru de ω = π à ω = π avec z = e jωte. Remarque 6... En pratique, on contruit le lieu de Nyquit pour Ω variant de 0 à π (repectivement pour ω variant de 0 à π pour la ca échantillonné). La partie correpondant à de valeur négative de Ω (repectivement de ω) et tracée en e baant ur la ymétrie du lieu de Nyquit par rapport à l axe réel. 6..4 Contour de Nyquit pour de pôle de la F BO (z) ur le cercle unité Lorque la tranmittance en boucle ouverte comporte de pôle ur le cercle unité alor le contour de Nyquit et obtenu en contournant ce pôle par de demi-cercle de rayonρ 0,itué à l extérieur ducercle unité. Un exemple à été illutré ur la figure 6.5 pour un tranmittance en boucle ouverte ayant troi pôle ur le cercle unité. En effet, lorque la boucle ouverte a de pôle ur le cercle unité, le lieu de Nyquit préente de dicontinuité. En contournant ce pôle par de demi-cercle à l extérieur du cercle unité alor, il réulte pour le lieu de F BO (z) de branche à l infini qui e referment par de demi-cercle de rayon infini. Remarque 6..3. En contruiant le contour de Nyquit de cette manière, le pôle qui e trouvent ur le cercle unité ne eront pa comptabilié dan P. P comptabilie uniquement le pôle table du ytème en boucle ouverte. 6..5 Critère de Nyquit pour de ytème en boucle ouverte table Si la tranmittance du ytème en boucle ouverte comporte uniquement de pôle table alor le critère de Nyquit énonce comme uit. C Pôle table Im(z) Pôle intable Re(z) Figure 6.5 Contour de Nyquit. Théorème 6..3 (Critère de Nyquit pour de ytème en boucle ouverte table). Si le ytème en boucle ouverte et table alor le ytème bouclé et table i et eulement i le lieu de Nyquit de la boucle ouverte n encercle pa le point. Ce critère et également connu ou le nom du critère du rever. 6.3 Lieu d Evan Le lieu d Evan contitue une deuxième méthode géométrique pour l étude de la tabilité d un ytème aervi. Soit le ytème aervi de la figure 6. avec un correcteur proportionnel C(z) = K c. Alor, la tranmittance du ytème en boucle ouverte et : F BO (z) = K c G(z)H(z) = N BO(z) D BO (z) et la fonction de tranfert en boucle fermée écrit : F BF (z) = K c G(z) +K c G(z)H(z) = N BF(z) D BF (z). Nourappelon que lepôle de duytème aervi ont le racine ded BF (z) c et-à-dire le racine de l équation caractéritique : +K c G(z)H(z) = +F BO (z) = 0. On remarque que le racine de cette équation ont fonction de K c. Cela veut dire que le pôle du ytème en boucle fermé ont fonction du gain K c. 6.3. Définition du lieu d Evan Il et intéreant d étudier la poition de pôle du ytème aervi lorque le gain K c varie. On peut alor faire la ynthèe du correcteur proportionnel par placement de pôle c et à dire on peut déduire le valeur de K c pour lequelle l aerviement atifait un cahier de charge (par exemple : aerviement table, rapide ou uffiamment amorti...).
6.3 Lieu d Evan 57 58 Analye de ytème échantillonné en boucle fermée Définition 6.3.. Le courbe décrite par le pôle du ytème aervi lorque K c varie correpondent aux courbe décrite par le racine de l équation caractéritique (de l aerviement) lorque K c varie. L enemble de ce courbe et appelé lieu de racine ou lieu d Evan. Il et poible de tracer approximativement l emplacement de pôle de la fonction de tranfert en boucle fermée en fonction du gain K c avec de règle imple. Ce règle ont préentée par la uite. 6.3. Règle de contruction du lieu d Evan Le règle de contruction du lieu de racine e baent uniquement ur la fonction de tranfert en boucle ouverte F BO (z) qui écrit ou forme factoriée comme : F BO (z) = K c G(z)H(z) = K c K g }{{} K m (z z i ) i=. n (z p j ) avec z i pour i =,...,m et p j pour j =,...,n le zéro et repectivement le pôle de la boucle ouverte. Par la uiteoneplace danl hypothèe ouk IR +. Alor, lelieud Evan repréente l enemble de point du plan convexe défini par le racine de +F BO (z) = 0 lorque K varie de 0 à. Cette équation peut être réécrite ou la forme : m (z z i ) i= = n K (z p j ) j= j= (6.3.) et elle et également appelée équation caractéritique du lieu d Evan. D aprè l équation (6.3.), un point M d affixe z M appartient au lieu de racine i et eulement i le condition uivante ont atifaite : m z M z i.. i= = n appelée la condition du module; K z M p j j= m n arg(z M z i ) arg(z M p j ) = π(+λ) avec λ IN quelconque, appelée i= j= la condition de l angle. Le règle de contruction du lieu de racine ont énoncée par la uite. Noton que, dan l application de ce règle, le zéro et le pôle ont compté avec leur ordre de multiplicité. Règle : Nombre de branche du lieu : n branche; Le nombre de branche et identique au nombre de pôle de la boucle ouverte. Point de départ : le n branche partent, pour K = 0, de n pôle {p j } de F BO (z). Point d arrivée : le n branche aboutient, pour K, aux m zéro {z i } et aux n m zéro à l infini de F BO (z). Donc, le lieu comporte n m branche qui vont à l infini. Règle : Le lieux de racine et ymétrique par rapport à l axe réel. Règle 3 : Branche du lieu appartenant à l axe réel : unpoint M del axe réel appartient au lieu i le nombre de pôle et zéro réel de la boucle ouverte, compté avec leur ordre de multiplicité, et itué à la droite du point M, et impair. Règle 4 : Aymptote de branche à l infini: le n m aymptote de branche partant à l infini font avec l axe réel de angle : α λ = (λ+)π n m, λ = 0,,...,(n m ). Ce n m aymptote interectent avec l axe réel en un eul point d abcie : n m p j σ a = j= n m Règle 5 : Point de éparation : correpondent à l interection du lieu avec l axe réel; Un point de éparation ur l axe réel traduit l exitence d une racine réelle multiple qui a la propriété d annuler la dérivée de F BO (z) : d F BO (z) d z i= = 0. Noton que cette condition et une condition néceaire mai pa uffiante. Par conéquent, pour trouver un point de éparation il faut réoudre l équation précédente et enuite vérifier que la (ou le) olution () de cette équation appartient au lieu de racine. Angle de branche au point de éparation : i N branche du lieu d Evan e coupent en un point de éparation alor l angle entre deux demi-branche voiine et égal à π N. Règle 6 : Dan certain ca, par exemple lorque la fonction de tranfert en boucle ouverte comporte de zéro ou de pôle complexe conjugué, on a beoin de connaître l angle de départ ou d arrivée d une branche afin de contruire correctement le lieu de racine. Ce angle e déterminent en utiliant la condition de l angle. Angle de départ d une branche : oit p k un pôle de multiplicité n k, alor le n k branche partant de p k font de angle β k par rapport à l horizontale et β k = ( m n arg(p k z i ) arg(p k p j ) π(+λ) ), λ = 0,,...,(n k ). n k i= j=,j k z i.
6.3 Lieu d Evan 59 60 Analye de ytème échantillonné en boucle fermée Angle d arrivée d une branche : oit z k un zéro de multiplicité m k, alor le m k branche arrivant en z k font de angle γ k par rapport à l horizontale et γ k = m k ( m i=,i k arg(z k z i )+ n arg(z k p j ) π(+λ) ), λ = 0,,...,(m k ). j= Règle 7 : Graduation du lieu en valeur de K : La valeur de K en tout point M, d affixe z M, du lieu d Evan e calcule en utiliant l équation caractéritique ou la condition du module. Remarque 6.3.. Le interection du lieu d Evan avec le cercle unité peuvent e déterminer en utiliant le critère de Jury. La détermination de ce point d interection permetdetrouverlavaleurdek àlalimitedetabilitéoulevaleurdek pourlequelle le ytème aervi rete table. Exemple 6.3.. Soit la fonction de tranfert en boucle ouverte : z +0,5 F BO (z) = K (z )(z 0,5). Le règle du lieu de racine appliquent comme uit. Règle : Nombre de branche : n = branche; Point de départ : le pôle de la boucle ouverte {; 0,5}; Point d arrivée : le zéro de la boucle ouverte { 0,5} et le zéro à l infini = branche à l infini. Règle 3 : Branche du lieu appartenant à l axe réel : tout point M d abcie z M avec z M [0,5 ] ( 0,5]. Règle 4 : Aymptote de la branche à l infini : α 0 = π; Règle 5 : Point de éparation : d F BO (z) d z = 0 = z = 0,7 et z =,7. Le angle de branche aux point de éparation ont ± π. Le lieu de racine à été tracé à la figure 6.6. Axe imaginaire.5 0.5 0 0.5.5 3.5 3.5.5 0.5 0 0.5 Axe réel Figure 6.6 Lieu de racine.
6.4 Préciion de ytème aervi échantillonné 6 6.4 Préciion de ytème aervi échantillonné L erreur d aerviement et définie comme étant l écart entre la conigne et la grandeur à régler. L analye de l erreur en régime permanent et trè importante parce qu elle nou donne une meure de la qualité de l aerviement en terme de préciion tatique. Dan cette ection nou étudion l erreur permanente d aerviement en uppoant que le ytème bouclé et BIBO table. 6.4. Expreion de l erreur Soit le ytème à commande numérique préenté à la figure 6.. Ce ytème et décrit de manière détaillé par le chéma équivalent de la figure 6.7. yr(k) Yr(z) + ε(k) C(z) u(k) BOZ u(t) E(z) ym(k) Ym(z) Te ym(t) H() G() y(t) Y() Te ye(t) Ye() Y(z) Figure 6.7 Sytème en boucle fermée avec un correcteur numérique Le ignal d erreur et : ε(k) = y r (k) y m (k). En utiliant le réultat de l exercice 4.., la tranformée en z du ignal d erreur vaut : Y r (z) E(z) = { }. (6.4.) G()H() +C(z)( z )Z Expreion générale de l erreur D aprè le théorème de la valeur finale pour le ytème à temp dicret (voir le propriété de la tranformée en z, ection ection 3.3), on peut calculer l expreion de l erreur en régime établi par : z ε = lim E(z). (6.4.) z z Rappelon que cette relation et valable à condition que l enemble de pôle de E(z) oient à l intérieur du cercle unité. En utiliant (6.4.) et (6.4.), l expreion de l erreur du ytème aervi et : ε = lim z z z Y r (z) +F BO (z). (6.4.3) { } G()H() avec la fonction de tranfert en boucle ouverte F BO (z) = C(z)( z )Z. 6 Analye de ytème échantillonné en boucle fermée Clae du ytème Dan le ca d un ytème à temp dicret, une intégration et caractériée par la préence d un pôle en z = e 0 =. Aini, i la omme de coefficient du dénominateur de la fonction de tranfert du ytème conidéré et nulle alor le ytème comporte au moin un intégrateur. Metton maintenant en évidence le pole z = de multiplicité c de la fonction de tranfert en boucle ouverte : F BO (z) = A(z) (z ) c B(z) (6.4.4) avec A(z), B(z) de polynôme de degré approprié. Soit la contante K définie par A(). L entier c et appelé la clae du ytème en boucle ouverte. B() La préciion du ytème aervi peut être calculée de manière ytématique à l aide de (6.4.3) et (6.4.4) pour différent type d entrée : Entrée échelon : Dan ce ca l erreur tatique et également appelée écart permanent d ordre 0. Alor, l éntrée écrit comme : et donc ε = lim z E 0 Y r (z) = E 0z z +F BO (z) = Entrée rampe : L entrée écrit comme : et donc Y r (z) = V 0z (z ) E 0 +K i c = 0 0 i c > 0 V i c = 0 0 ε = lim z (z )(+F BO (z)) = V 0 i c =. K 0 i c > Dan ce ca l erreur tatique et appelée écart permanent d ordre. Ce réultat peuvent étendre au ca de entrée polynomiale de degré upérieur ou égal à deux. Le tableau 6. regroupe le réultat pour de entrée polynomiale de degré inférieur ou égal à deux. Remarque 6.4.. A partir du tableau 6., nou pouvon déduire que la préciion tatique vi-à-vi de la conigne dépend de la clae du ytème en boucle ouverte c et à dire du nombre d intégrateur de la boucle ouverte. On peut annuler un écart permanent d ordre n i et eulement i la clae de la boucle ouverte et au moin n+..
6.4 Préciion de ytème aervi échantillonné 63 64 Analye de ytème échantillonné en boucle fermée 6.4. Erreur due aux perturbation Soit le ytème bouclé précédant oumi à une perturbation externe p(t), comme repréenté à la figure 6.8. Soit c le nombre d intégration dan G ()H() (inférieur à la clae c du ytème en boucle ouverte). On montre que pour un échelon de perturbation d amplitude E 0 : Entrée Echelon Rampe Parabole clae 0 Y r (z) = E 0z z Y r (z) = V 0z Y (z ) r (z) = W 0z(z +) (z ) 3 y r (k) = E 0 U(k) y r (k) = V 0 ku(k) y r (k) = W 0 k U(k) E 0 +K clae 0 V 0 K clae 0 0 W 0 K où K et K ont de contante. ε = E 0 K lim z (z ) c c lim z (z )c +K Remarque 6.4.. Pour obtenir une erreur tatique nulle en préence d une perturbation de type échelon (rejet de la perturbation), il faut et il uffit que c > c, c et-à-dire qu il y ait au moin un intégrateur en amont du point d application de la perturbation (oit dan C(z), oit dan G ()). Ce réultat étend évidemment au ca de perturbation de type rampe, parabole... Table 6. Préciion de ytème à commande numérique en fonction de leur clae P() Yr(z) + E(z) ε(k) C(z) U(z) BOZ CNA U() G() + + G() Y() Ym(z) Te H() Figure 6.8 Commande numérique en préence de perturbation
66 Table de tranformée en z AnnexeA in(ωt) U(t) ω +ω in(ωk ) U(k) zin(ω ) z zco(ω )+ Table de tranformée en z co(ωt) U(t) +ω co(ωk ) U(k) z(z co(ω )) z zco(ω )+ f(t) F() f(k ) F(z) δ(t) δ(k) e at in(ωt)u(t) e at co(ωt)u(t) ω c k in(ωk )U(k), c = czin(ω ) (+a) +ω e ate z zcco(ω )+c +a (+a) +ω c k co(ωk )U(k), c = e ate z(z cco(ω )) z zcco(ω )+c U(t) U(k) z z a kte in(ωk ) U(k) a Te zin(ω ) z za Te co(ω )+a Te t U(t) k U(k) z (z ) a kte co(ωk ) U(k) z(z a Te co(ω )) z za Te co(ω )+a Te t U(t) 3 (k) U(k) T ez(z +) (z ) 3 e at U(t) +a c k U(k), c = e ate z z c te at U(t) k c k U(k), c = e ate c z (+a) (z c) ( e at ) U(t) a (+a) ( c k ) U(k), c = e ate z( c) (z )(z c) 65
Bibliographie [] K.J. Atröm and B. Wittenmark. Computer controlled ytem : theory and deign. Prentice-Hall, 984. [] B. Bayle. Sytème et aerviement à temp continu. Cour ère année, Ecole Nationale Supérieure de Phyique, 004-005. [3] P. de Larminat. Automatique : commande de ytème linéaire. Herme, 996. [4] G.F. Franklin, J.D. Powell, and L.M. Workman. Digital control of dynamic ytem. Addion-Weley Serie in Electrical and Computer Engineering: Control Engineering, 990. [5] E Godoy and E. Otertag. Commande numérique de ytème. Technoup, 004. [6] J.R. Leigh. Applied digital control : theory, deign and implementation. Prentice-Hall, 99. [7] R. Longchamp. Commande numãl rique de ytãĺme dynamique. Pree Polytechnique et Univeritaire Romande, 995. [8] R.H Middleton and G.C. Goodwin. Digital control and etimation : a unified approach. Prentice-Hall, 990. [9] E. Otertag. Sytème et aerviement continu. Technoup, 004.
70 Index de concept Index de notion Aerviement numérique, 5 Mode d un ytème dicret, 43 Bloqueur d ordre zéro, Bruit de quantification, 7 Clae du ytème, 6 Condition de l angle, 58 Condition du module, 57 Contour de Nyquit, 54 Convertieur analogique-numérique, 5 Convertieur numérique-analogique, 5 Critère de Jury, 47 Critère du rever, 56 Diagramme de Bode, 45 Ecart permanent d ordre 0, 6 Ecart permanent d ordre, 6 Equation aux différence, 7 Equation récurrente, 7 Fonction de tranfert d un ytème à temp dicret, 8 fonction de tranfert échantillonnée en boucle Échantillonneur idéal, 5 ouverte, 30 Équation aux différence, 3 Fréquence de Nyquit, 0 Gain tatique d un ytème dicret, 8 Lieu d Evan, 57 Lieu de Nyquit, 54 Lieu de racine, 57 Polynôme caractéritique, 8 Pulation d échantillonnage, 9 Pulation de Nyquit, 9 Rayon de convergence, 5 Repliement pectral, 0 Répone en fréquence, 44 Spectre d un ignal, 8 Stabilité BIBO, 47 Stabilité de ytème dicret, 47 Sytème continu précédé par un BOZ, 3 Théorème de Cauchy, 53 Théorème de l échantillonnage, 0 Tranformée de Fourier, 8 Tranformée de Fourier invere, Tranformée en w, 49 Tranformée en z, 5 Tranformée en z invere, 9 Tranmittance dicrète, 8