Cocours Commus polytechiques - Sessio 25 Corrigé de l épreuve de mthémtiques I Filière MP Suites et séries de octios, vribles létoires Corrigé pr M.TARQI Exercice I SiX est ue vrible létoire qui suit ue loi de Poisso de prmètre λ >. Alors o : t [,], G X (t = p(x = kt k = k= k= e λλk k! tk = e λ (λt k k= k! = e λ e λt = e λt λ = e λ(t. Nous obteos lors : t ],], G X (t = λeλ(t et G X (t = λ2 e λ(t. Nous e déduisos : E(X = G X( = λe λ( = λ, et V(X = G X(+G X( ( G X( 2 = λ 2 +λ λ 2 = λ. Exercice II II.. Pour tout N, est cotiue sur[,+ [ et vériie ],+ [. O Doc = ( II.2. O (x = = (xdx = (xdx =. e x dx 2 lim x + x2 (x =, doc est itégrble sur e 2x dx = 2 2 =. ( ( e x 2 e 2x vec e x < et < pour tout x I, doc l série e2x coverge simplemet sur ],+ [ ( somme de séries géométriques. De plus, pour x >, N S(x = (x = e x e x 2e 2x e 2x = e x 2 e 2x = ex + 2 e 2x = e x. Il est + clir que S est cotiue sur[, + [ et S(xdx = lim y y lim x + x2 S(x =, docs est itégrble suri. ( ex e x dx = lim + (y y + l(+ey +l2 = l2.. M.Trqi-Cetre Ib Abdoue des clsses préprtoires-khouribg. Mroc. E-mil : medtrqi@yhoo.r
II.3. L série N ( (x dx est ue série à termes positis, si elle coverge, lors o ur l églité cotrdictoire ( N (x dx = N ( (x dx = ( d près le théorème d itégrtio terme à terme d ue série, doc écessiremet l série N ( (x dx est divergete. Problème PARTIE. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES III.. Supposeros qu il existe ue suite de polyômes (P N qui coverge uiormémet vers h sur l itervlle ], ]. Puisque chque octio polyôme est cotiue sur [, ], lors l limite simple de cette suite déiit ue octio cotiue sur[, ] et coïcide sur], ] vec h, ce qui est bsurde. Doc l octiohe peut ps être pprochée uiormémet pr ue suite de polyômes sur],]. III.2. Soit(P N ue suite d élémets de P N qui coverge uiormémet vers ue octio sur[,b]. Soietε > et N tels que, P,[,b], ε. Alors,, P P,[,b], 2ε. Doc P P = α est u polyôme costt. Aussi, x [,b], (x (P (x + α ted vers, doc α ted vers (x P (x. Doc pour tout x [,b], (x = P (x + lim α = P +( P (. Doc est u polyôme. SoitN u etier turel o ul. D près ce qui précède P N est ue prtie ermée de l espce des pplictios cotiues de[,b] dsr, e coséquece ue limite uiorme d élémets de P N est u élémet de P N, c est-à-dire u polyôme de degré iérieur ou égl àn. III.3. III.3.. O N (P = si, et seulemet si, x [ 2, ], P(x = doc P dmet ue iiité de rcies et pr coséquetp est le polyôme ul. D utre prtn( =. Si λ R et P u polyôme, lors x [ 2, ], λp(x = λ P(x et doc N (λp = λ N (P. Soiet P et Q deux polyômes et x [ 2, ], o (P + Q(x P(x + Q(x et doc N (P +Q N (P+N (Q. III.3.b.. Il est clir que l octio est cotiue sur [ 2,2], doc d près le théorème de Weierstrss, est ue limite uiorme d ue suite de octios polyômes(p N sur[ 2,2]. 2
8 y = x 3 4 y = x 2 y = 2 2 O N (P X 2 = sup P (x x 2 P [ 2,2],. Cette iéglité motre que l x [ 2, ] suite de polyômes(p N coverge vers le polyôme X 2 ds R[X] mui de l orme N. De même o N 2 (P X 2 = sup P (x x 3 P [ 2,2],, doc l suite de polyômes x [,2] (P N coverge vers le polyômex 3 dsr[x] pour l ormen 2. PARTIE 2. APPLICATION : UNE THÉORÈME DES MOMENTS III.4 III.4.. PososP = N k x k, lors k= P(x(xdx = N k x k (xdx =. III.4.b. Puisque tout polyôme est combiiso liéire de moômes, o pour tout polyôme P : k= P(t(tdt = ( l questio précédete. D près le théorème de Weierstrss, il existe ue suite de polyômes(p N qui coverge uiormémet vers sur[,b]. O lors pour N : ((x 2 dx = ((x P (x(xdx (b P [,b], [,b],. Comme l suite( P [,b], N ted vers, o déduit est cotiue sur[,b], =. III.5. Applictio Soit F, lors ( P = III.6 ((x 2 dx =, d où, puisque (xp(xdx = pour tout polyôme P, doc, d près l questio précédete, = et doc F = {}. O e peut ps voir E = F F = F, cr il existe des octios cotiues qui e sot ps des octios polyômes. 3
III.6.. Pososu (x = x e ( ix. Lesu sot cotiues sur[,+ [ et o x [,+ [, u (x = x e x = + o(x 2, doc les u sot itégrbles sur [,+ [. A l ide d ue itégrtio pr prties, o obtiet : I + = = [ x + x + e ( ix dx i e ( ix = + i I. ] +8 + + i x e ( ix dx Comme I = e ( ix dx = i, lors I! = ( i +. ( III.6.b. x 4k e x x 3 sixdx = Im x 4k+3 e ( ix dx = Im(I 4k+3. Mis doc Im(I 4k+3 = et pr coséquet III.6.c Pour tout k N, o (4k +3! I 4k+3 = ( i 4(k+ = (4k +3! 2 2(k+ R, e (k+πi x 4k e x x 3 sixdx =. x 4k e x x 3 sixdx = 4 predre : u e u 4 siu 4, déiie sur[,+ [. u k e u4 siu 4du =, doc il suit de III.6.d Si c est le cs o ur, e suivt le même risoemet de l questio III.4.b, = sur[,+ [ ce qui est bsurde. PARTIE 3. EXEMPLE VIA UN THÉORÈME DE DINI III.7 Questio prélimiire Soit x [,] ixé. Pr récurrece sur N, motros que u + u et que u x. E eet, le résultt est vri pour =. Soit, et supposos le résultt vri u rg. Motros qu il est vri u rg+. O u 2 x et De plus, u + = u + 2 (x u2 u. u + x = (u x( 2 (u + x Le premier cteur du membre de droite de cette iéglité est égti ou ul. Le secod terme est u mois x, qui est positi sur[,]. Docu + x. Pour tout x [,], l suite croisste mjorée (u N ds [, x] coverge vers L(x, qui vériie pr pssge à l limite L(x = L(x+ 2 (x L(x2. D oùl(x = x. III.8. Si[,b] = [,] et pour >, o cosidère [ (+x si x, ] (x = (+x+ 2(+ [ si, 2 ] [ ] 2 si x, 4
L suite de octios cotiues( N coverge simplemet ( vers l octio ulle. Mis l covergece est ps uiormémet puisque : [,], = =. III.9 Applictio III. III.. III.9.. D près ce qui précède l suite de octios (P N coverge simplemet vers l octio x x sur[,]. III.9.b Toujours d près ce qui précède, P (x P + (x pour tout x [,], doc d près le théorème de Dii, l covergece simple de (P N vers : x x est e it uiorme sur [,]. PARTIE 4. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME D APPROXIMATION DE WEIERSTRASS III.. S est ue vrible létoire réelle de loi biomile B(,x. AlorsP(S = k = k xk ( x k pour k, E(S = x et Vr(S = x( x. L vrible létoire T = S vériie doc E(T = x, Vr(T = x( x, et doc, d près l iéglité de Bieymé-Tchebytchev, o : ( α > P( T x > α Vr(T α 2 = x( x α 2. L étude de l octiox x( x sur[,], motre que x [,],x( x 4. Filemet : P( S x > α 4α 2. III..b D près le théorème du trsert, o : [ ( ] S ( k E = p(s = k = k= k= ( k k xk ( x k = B ((x. III... ett uiorémet cotiue sur [, ] (Théorème de Heie. Doc pour tout ε >, il existe u réelα > tel que : ( [,] ( b [,] b α etrîe ( (b α. ( Doc k (x ε pour toutk [,] vériit k x α. III..b O k x >α ( ( k (x P(S = k k x >α 2 ( = 2 ( k + (x P(S = k k x >α P(S = k T E(T >α ( S = 2 P x > α. P ( T = k 5
III..c B ((x (x = k x α ( ( k (x P(S = k+ ( k x >α ε P(S = k+2 P( S x > α k x α ε P(S = k+2 4α 2 k ε+2 4α 2 ( k (x P(S = k Mis il existe u etier turel tel que pour tout et tout réelx [,],2 4α 2 ε et doc, x [,], B ((x (x 2ε. E coclusio, il existe N tel que, B ( 2ε. Ceci motre que l suite des octios polyomes(b ( N coverge uiormemet vers sur[,]. 6