(exercice : calculer u 2 puis u 5 )

Suites Prérequis : Division euclidienne Soient a et b deux entiers avec b 0. Il existe un unique couple (q, r) Z N tel que a = q b + r et 0 r < b. q s appelle le quotient de la division enclidienne de a par b, et r le reste de cette division euclidienne. division de 13 par 4 ; 13 = 4 3 + 1. : on peut également faire la division euclidienne entre 2 réels. 1 Définitions - Exemples fondamentaux 1.1 Suites Définition On appelle suite réelle toute application de N (ou d une partie de N) dans R : u : N R n u(n) = u n On note u = (u n ) n N ; u n est le terme d indice n de la suite u. Une suite peut être définie : de façon explicite n N\{1}, u n = 2n + 1 n 1 par une formule de récurrence (exercice : calculer u 2 puis u 5 ) u 0 = 1 u 1 = 0 (exercice : calculer u 2, u 3 puis u 5 ) n N, u n+2 = 3u n+1 2u n par une équation (i.e. de manière implicite) : n N, u n est l unique solution de l équation 1 + nx + x 2 + n 2 x 3 = 0 sur R +. (exercice : calculer u 0 ) 1.2 Premières propriétés et vocabulaire Comme les suites sont des applications, on pourra utiliser tout le vocabulaire vu dans le premier chapitre ; par exemple, une suite u sera majorée s il existe A tel que n, u n A. De même pour les suites minorées, bornées. L énoncé des définitions concernant la monotonie se simplifie : La suite (u n ) n N est croissante si n N, u n u n+1 La suite (u n ) n N est décroissante si n N, u n+1 u n Lorsque les inégalités sont strictes, on dit que la suite est strictement croissante ou strictement décroissante. Méthodes pour montrer la monotonie d une suite : soit calculer son accroissement u n+1 u n et montrer qu il est 0 ou 0 soit par récurrence (lorsque la suite est définie par récurrence et que la première méthode ne marche pas!) Exemples méthode 1 : 1. n N, u n = 3n + 2 : u n+1 u n = 3(n + 1) + 2 (3n + 2) = 3 > 0 donc la suite est strictement croissante. 2. n N, u n = 1 1 n! : u n+1 u n = (n + 1)n! 1 n! = 1 n! ( 1 n + 1 1) = 1 n! donc la suite est strictement décroissante. 1 (n + 1) n + 1 = n (n + 1)! < 0 Exemple méthode 2 : Montrer que la suite (u n ) n N définie par u 0 = 2 et n N, u n+1 = u n, est décroissante. Pour cela, montrons par récurrence que la propriété P n : 0 u n+1 u n est vraie pour tout n N. Initialisation : u 0 = 2 et u 1 = u 0 = 2. Or 2 2 = 2( 2 1) 0 car 2 1 2 1 2 1 0 par croissance de la fonction. D où u 0 u 1 0 u 0 u 1. 1

Hérédité : supposons que pour un certain n, u n u n+1 0 et montrons que u n+1 u n+2. Comme u n u n+1 0, par croissance de la fonction sur R +, u n u n+1 0 = 0 c est-à-dire u n+1 u n+2 0. Conclusion : n N, u n u n+1 0 et la suite u est décroissante. 1.3 Exemples de références 1.3.1 Suites arithmétiques Définition La suite u est dite arithmétique s il existe un réel r, appelé raison de la suite, tel que n N, u n+1 = u n + r. Forme explicite : Toute suite arithmétique est totalement caractérisée par sa raison et son premier terme : en effet on a pour tout n N, u n = nr + u 0 (*). Si maintenant le premier terme est u p, pour tout n p, u n = (n p)r + u p. Démonstration de (*) : par récurrence, montrons que pour tout n N, u n = nr + u 0. Cas n = 0 : 0 r + u 0 = 0 + u 0 = u 0. supposons que pour un certain n N, u n = nr+u 0, et montrons que pour ce n, u n+1 = (n+1)r+u 0. Or par définition de la suite u, on sait que u n+1 = u n +r d où (H.R.), u n+1 = nr+u 0 +r = (n+1)r+u 0. Conclure. Soit la suite définie par u 1 = 1 et n N, u n+1 = u n + 2. Alors n N, u n = 2(n 1) + 1 = 2n 1. Cas particulier : r = 0. Alors pour tout n N, u n = u 0 et la suite est constante. Lien avec la somme arithmétique : la somme arithmétique est la somme des premiers termes de la suite u arithmétique de raison 1 et de premier terme u 0 = 0. En effet, dans ce cas pour tout k N u k = u 0 + kr = k et donc n u k = n k. 1.3.2 Suites géométriques Définition La suite u est dite géométrique s il existe un réel q, appelé raison de la suite, tel que n N, u n+1 = q u n. Forme explicite : Toute suite géométrique est totalement caractérisée par sa raison et son premier terme : en effet on a pour tout n N, u n = q n u 0.(*)) Si maintenant le premier terme est u p, pour tout n p, u n = q n p u p. Démonstration de (*) : par récurrence, montrons que pour tout n N, u n = q n u 0. Cas n = 0 : q 0 = 1 donc q 0 u 0 = u 0. supposons que pour un certain n N, u n = q n u 0, et montrons que pour ce n, u n+1 = q n+1 u 0. Or par définition de la suite u, on sait que u n+1 = q u n d où (H.R.), u n+1 = q(q n u 0 ) = q q n u 0 = q n+1 u 0. Conclure. Soit la suite définie par u 1 = 3 et n N, u n+1 = 2u n. Alors n N, u n = 3 2 n 1. Cas particuliers : u 0 = 0 : u est la suite nulle q = 0 : seul le premier terme de la suite peut être non nul 2

q = 1 : la suite est constante (car n N, u n+1 = u n ) donc n N, u n = u 0 (donc une suite constante peut être vue comme une suite géométrique ou arithmétique) q = 1 : la suite est alternée n N, u n = ( 1) n u 0, c est-à-dire u 1 = u 0, u 2 = u 0, u 3 = u 0 etc. Lien avec les sommes géométriques : la somme géométrique de raison q est la somme des premiers termes de la suite u géométrique de raison q et de premier terme u 0 = 1. En effet, dans ce cas pour tout k N u k = q k et donc n u k = n q k. 1.3.3 Suites arithmético-géométriques Définition La suite u est dite arithmético-géométrique s il existe un réel a R\{0, 1} et un réel b 0 tels que : n N, u n+1 = au n + b. Méthode pour trouver la forme explicite d une telle suite : Résoudre l équation de point fixe : α = aα + b d inconnue α. Introduire la suite v définie pour tout n par v n = u n α. Alors v est une suite géométrique de raison a. En effet : v n+1 = u n+1 α = (au n + n) (aα + b) = a(u n α) + b b = av n. En déduire la forme explicite de la suite v (cf section ci-dessus), puis la forme explicite de la suite u via la relation u n = v n + α, vraie pour tout n. Soit la suite u définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = 3u n + 2. on cherche α tel que α = 3α + 2. D où 2α = 2 α = 1. on introduit la suite v définie pour tout n N par v n = u n ( 1) = u n + 1. Alors, on sait que la suite v est géométrique de raison 3. Montrons-le : pour tout n N, v n+1 = u n+1 + 1 = 3u n + 2 + 1 = 3u n + 3 = 3(u n + 1) = 3v n. Comme son premier terme est v 0 = u 0 + 1 = 2, on obtient : n N, v n = 2 3 n. On en déduit que n N, u n = v n 1 = 2 3 n 1. 1.3.4 Suites récurrentes linéaires d ordre 2 Définition La suite u est dite récurrente linéaire d ordre 2 lorsqu il existe deux réels a et b tels que : n N, u n+2 = au n+1 + bu n. Une telle suite est totalement déterminée par les valeurs de ses deux premiers termes u 0 et u 1. Méthode : Résolution de l équation caractéristique de la suite : x 2 ax b = 0 sur R. 3 cas sont alors possibles : 1. l équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes r 1 et r 2 ( i.e. a 2 + 4b > 0). Alors!(λ, µ) R 2 / n N, u n = λr n 1 + µr n 2 λ et µ sont alors les uniques solutions du système : (équations obtenues pour n = 0 et n = 1) { λ +µ = u0 λr 1 +µr 2 = u 1 2. l équation caractéristique admet une solution unique r (i.e. a 2 + 4b = 0). Alors!(λ, µ) R 2 / n N, u n = λr n + µnr n λ et µ sont alors les uniques solutions du système : (équations obtenues pour n = 0 et n = 1) { λ = u0 λr +µr = u 1 3

3. l équation caractéristique n admet pas de solutions réelles. La détermination de la suite (u n ) est dans ce cas hors-programme. Exercice : Déterminer la forme explicite des suites définies de la manière suivante : a) u 0 = 0, u 1 = 1 et n N, u n+2 = 6u n+1 9u n. b) u 0 = 2, u 1 = 3 et n N, u n+2 = 3u n+1 2u n (cf TD sur la récurrence, section récurrence double). 2 Limite d une suite. 2.1 Suites convergentes Définition 1. On dit qu une suite u a pour limite le nombre réel l R si u n est aussi proche que l on veut de l dès que n est suffisamment grand. On note lim u n = l ou u n l 2. On dit qu une suite u tend vers + (resp. - ) si u n est aussi grand (resp. petit) que l on veut dès que n est suffisamment grand. 1. Lorsqu une suite a une limite finie réelle, on dit qu elle est convergente. Si lim u n = l, on dit qu elle converge vers l ou qu elle tend vers l. 2. Une suite qui ne converge pas est dite divergente ; c est le cas : d une suite qui n a pas de limite, par exemple : u n = ( 1) n d une suite qui tend vers l infini, par exemple : u n = 2n + 1 3. Etudier la nature d une suite, c est déterminer si elle est convergente ou divergente. La suite ( 2n + 1 2n + 1 n(2 + 1/n) ) converge vers 2. En effet, = n 1 n 1 n(1 1/n) = 2 + 1/n 1 1/n 2. Propriétés : Si une suite converge, alors sa limite est unique (ce qui autorise la notation lim). Toute suite convergente est bornée. Attention la réciproque est fausse : un contre-exemple est u n = ( 1) n. Si la suite u tend vers l R alors pour tout nombre entier p, lim u n+p = l. En particulier, lim u n+1 = l. Plus généralement, toute sous-suite d une suite convergente est convergente de même limite : par exemple, si la suite (u n ) converge vers l, lim u 2n = l. (u n ) converge vers 0 ( u n ) converge vers 0. (faux en-dehors de 0). 2.2 Suites de références 2.2.1 suites arithmétiques Soit (u n ) n N une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. Si r = 0 alors la suite (u n ) est constante et converge vers u 0 Si r > 0 alors lim u n = + Si r < 0 alors lim u n = 2.2.2 suites géométriques Théorème 1. Si q > 1 alors lim qn = +. 4

2. Si q = 1 alors la suite (q n ) n N, suite constante égale à 1, converge vers 1. 3. Si 1 < q < 1 alors la suite (q n ) n N converge vers 0. 4. Si q 1 alors la suite (q n ) n N n a pas de limite. Pour étudier une suite u géométrique de raison q, il suffit d appliquer ce théorème et de tenir compte de la valeur et du signe de u 0 car n N, u n = u 0 q n. Si u 0 0, une suite géométrique converge SSI 1 < q 1. 2.3 Opérations sur les limites Une suite étant un cas particulier de fonction, toutes les opérations sur les limites vues dans le chapitre précédent, s appliquent : produit, somme, quotient... Et les méthodes pour lever les formes indéterminées sont les mêmes! Exemples : ( 2 5 ) 3 1. Déterminer la limite de la suite n n 3. n N 3 n + 1 3 n 0 5 3 n 0 2 5 3 n 2 2 5 et n 3 +. Par conséquent lim 3 n n 3 = 0 ( n 3 1 ) 2. Déterminer la limite de la suite (u n ) n N = n 2 + 1 : F.I. n N On peut écrire u n = n3 (1 1/n 3 ( ) ) 1 1/n 3 n 2 (1 + 1/n 2 ) = n 1 + 1/n 2. D où lim u n = +. n 3. Limite de la suite ( n( 1 2 )n). F.I. 0. Mais n( 1 2 )n = n 2 n = n e n ln(2). C est le théorème des croissances comparées qui permet de conclure! 3 Premiers critères de convergence 3.1 Limites et inégalités. Proposition Si u est une suite positive ( n N u n 0) qui converge vers l alors l 0. Même si pour tout n N, u n > 0, la conclusion reste l 0. Contre-exemple : la suite u définie pour tout n 1 par u n = 1 n. Proposition (Passage à la limite dans les inégalités) Soient u et v deux suites telles que n 0, u n v n. 1. Si les suites u et v convergent vers l et l alors l l. 2. Si la suite v tend vers + alors u tend vers +. 3. Si la suite u tend vers alors v tend vers Le premier point devient faux si l on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes. Par exemple, n 1, 1 + 1 n > 1 1 n Or lim 1 + 1 n = 1 = lim 1 1 et bien entendu 1 1! n Pour le second point, si la suite u tend vers + cela n implique absolument rien pour v. Par exemple n 1 n. La suite (n) n 0 tend vers + alors que celle de droite tend vers 0. 5

Théorème (théorème d encadrement ou des gendarmes) Soient u, v, w trois suites telles que pour tout n 0, u n v n w n. Supposons que les suites u et w convergent vers un même réel l. Alors la suite v converge vers l. 3.2 Convergence des suites monotones Lorsque n +, une suite monotone n a que deux possibilités : soit elle tend vers l infini (+ si elle est croissante et si elle est décroissante), soit elle converge. Théorème Toute suite croissante et majorée, est convergente. Toute suite décroissante et minorée, est convergente. Le majorant de la suite n est pas nécessairement la limite!! mais il majore la limite. la suite (2 1 n ) est croissante et majorée par 5. Mais elle converge vers 2 (la limite est le plus petit majorant de la suite.) Suites adjacentes Définition Les suites (u n ) n N et (v n ) n N sont adjacentes si 1. (u n ) n N est croissante 2. (v n ) n N est décroissante 3. v n u n 0 (ce qui équivaut à u n v n 0!) Proposition Deux suites adjacentes sont convergentes et de même limite. Démonstration 1 ere étape : montrons que n N, u n v n. Posons x n = v n u n. On a x n+1 x n = (v n+1 v n ) + (u n u n+1 ) 0. (x n ) n N est donc une suite décroissante qui tend vers 0 (par 3) : on en déduit que n N, x n 0 (raisonner par l absurde). On a donc n N, u 0 u n v n v 0. La suite (u n ) croissante et majorée par v 0 converge ; de même la suite (v n ) décroissante et minorée par u 0 converge. 2 e étape : montrons que la limite est la même. Soient l et l les limites respectives des suites (u n ) et (v n ). Alors d après les opérations sur les limites, v n u n l l. Or 3) est vérifiée : donc par unicité de la limite, l l = 0 soit l = l. Si u et v sont deux suites adjacentes, on a donc (cf preuve ci-dessus) la propriété : n N, u n l v n 6