Des triangles rectangles aux relations trigonométriques

Des triangles rectangles aux relations trigonométriques saé 10 Mesurer le temps Voici une démarche permettant de tracer les lignes horaires sur le plateau d un cadran solaire qui peut être utilisé à une latitude de. On fixe la ase AO du style à cm. 1. Calculer les dimensions du style. L angle d inclinaison du style doit être de puisqu on l utilise à une latitude de. sin m AO sin sin 1,76 cm m AO. Déterminer la position des points P sur le plateau. Puisque les triangles, ayant pour sommets le point A, le point Q et un point sur la ligne, sont rectangles, on peut étalir certains rapports trigonométriques. Angle Mesure de l angle ( ) Rapport Distance du point P par rapport au point A AQP 1 90 AQP 7 tan 7 tan 7 8,8 cm AQP 60 tan 60 = tan 60 7, cm AQP tan = tan 1,76 cm AQP 0 tan 0 = tan 0 9,1 cm AQP 6 1 6 tan 1 = 6 tan 1, cm AQP 7 0 7 tan 0 = 0 AQP 8 1 8 tan 1 = 8 tan 1, cm AQP 9 0 9 tan 0 = 9 tan 0 9,1 cm AQP 10 10 tan = 10 tan 1,76 cm AQP 11 60 11 tan 60 = 11 tan 60 7, cm AQP 1 7 1 tan 7 = 1 tan 7 8,8 cm AQP 1 90 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 09, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

. Calculer les angles qui permettent de tracer les lignes horaires. Puisque les triangles, ayant pour sommets le point O, le point A et l un des points P déterminés précédemment, sont rectangles, il est possile d étalir certains rapports trigonométriques. Triangle Heure. Représenter les lignes horaires. 10 h 9 h 8 h 7 h Tangente de l angle O AOP 1 6 h 90 11 h 1 h 1 h Mesure de l angle O ( ) AOP 7 h 8,8 71, AOP 8 h 7,,77 AOP 9 h 1,76 8, AOP 10 h 9,1,6 AOP 6 11 h 6, 11,9 AOP 7 1 h 7 0 0 0 AOP 8 1 h 8, 11,9 AOP 9 1 h 9 9,1,6 AOP 10 1 h 10 1,76 8, AOP 11 16 h 11 7,,77 AOP 1 17 h 1 8,8 71, AOP 1 18 h 90 1 h 1 h 16 h 17 h 8,8 7, 1,76 9,1,, 9,1 1,76 7, 8,8 saé Mesurer la pression Voici un exemple de démarche permettant de calculer la pression exercée par la sculpture selon le format du socle choisi : 1. Découper la ase de chaque socle en triangles et mesurer les angles formés. E Format A B Format B F G 88 68 7 86 7 91 1 60 7 9 0 9 11 1 D C 8 A 10 1 70 1 8 0 7 A 1 m C 86 6 1 D 1,10 m. Calculer la mesure de chacun des côtés de chaque triangle. Il est possile de calculer la mesure de chaque côté à l aide de la loi des sinus. Voici un exemple de calcul pour le côté BC du socle A : 1 m BC 1 sin 7 m BC 1,1 m sin 8 sin 7 sin 8 Format A E G 1 11 F Format B Mesure Mesure Côté Côté (m) (m) AB 1 AB 1,10 BC 1,1 BC 1, AC 0,90 AC 1 AG 0,96 AG 0,6 CG 0,76 CG 1,0 CD 0, CD 0,6 CE 1,16 CE 1, DE 1, DE 1,0 EG 0,9 EG 0,8 EF 1,0 EF 0,71 FG 0, FG 0, B 6 h 18 h O 09, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol.

. Calculer les aires des ases des deux socles. Puisqu on connaît les mesures de tous les angles et de tous les côtés des triangles, il est possile de calculer l aire de chacun en utilisant la formule de Héron ou la formule trigonométrique. Voici des exemples de calculs pour les triangles 1 et du socle A. Les autres aires ont été calculées selon les mêmes principes. 1 1,1 sin 0 A 1 0, m A 1,1(1,1 0,9)(1,1 0,96)(1, 1 0,76) 0, m Format A Format B Triangle Aire (m ) Triangle Aire (m ) 1 0, 1 0, 0, 0,1 0, 0,0 0,10 0,1 0,0 0,1 Aire de la ase 1,8 m Aire de la ase 1,6 m. Calculer le volume et la masse de chaque socle. Les socles ont la forme d un prisme droit. Leur volume est donc donné par la formule V A ase h. De plus, comme la densité de chaque matériau est donnée en g/cm, il est avantageux de convertir les volumes otenus en cm.or,1 m 1 000 000 cm. Format A Volume (m ) 1,8 0, 0,1 Volume (cm ) 1 00 Masse du socle (g) 1 00,7 86 87 Masse du socle (kg) 86 87 1000 86,87 Masse totale de la sculpture (kg) Pression exercée sur le plancher (Pa) 100 86,87 6,87 9,8 6,87 1,8 18,71 Format B Volume (m ) 1,6 0, 0,8 Volume (cm ) 8 0 Masse du socle (g) 8 0, 718 70 Masse du socle (kg) 718 70 1000 718,70 Masse totale de la sculpture (kg) Pression exercée sur le plancher (Pa) 100 718,70 18,70 9,8 18,70 1,6 1 7,76. Conclusion Le format du socle B est le plus sécuritaire, car il permet que la pression exercée par la sculpture et la ase soit inférieure à 16 000 Pa. RÉVISION Réactivation 1 Page 76 1, a.,9,6 m DE m DF m CD m AF. 1) ) m JK m JL m IJ m GL c. 1) º, car la somme des angles intérieurs d un triangle est 180º. ) 11º, car il s agit d un angle supplémentaire à l angle. ) 90º ; le quadrilatère HIJL est un carré. ) º ; car l angle 6 est supplémentaire à la somme des angles et. d. 1) 1,67 m ) 1 : 16,71 ),80 m Mise à jour Page 79 1. 1 D, A, B, C 70. a) x ou,. ) y, c) z 1,0 d) a 7 ou 7. 6. a) 1) ) ) 9 ) La maquette ), car les rapports des dimensions ne sont pas identiques à ceux de l original. Mise à jour (suite) Page 80. a) ) 79, c) d),7 e) 0. 7 km 6. a) La somme des mesures des angles A et D est toujours égale à 180. Il en est de même pour la somme des mesures des angles B et C. ) 1) m ABD 90, car c est un angle formé par une ase et une hauteur du trapèze. m CBD m BCD 90, car ce sont les deux angles aigus du triangle rectangle BCD. Conclusion : m ABD m CBD m BCD m ABC m BCD 90 90 180 ) m CAE 90, car c est un angle formé par une ase et une hauteur du parallélogramme. m EAF m AFE 90, car ce sont les deux angles aigus du triangle rectangle AEF. Conclusion : m CAE m EAF m AFE m CAF m AFE 90 90 180 6 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 09, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

7. a) Mesures des côtés du triangle : u,,7 u et e. 1) 1,19, 1,191 et 1,191. 6, u. ) Les rapports sont à peu près égaux dans chaque cas. Mesures des côtés du triangle : 6, u,,69 u et ) TAN 0 1,19 7,81 u. ) La tangente d un angle permet de calculer la valeur Mesures des côtés du triangle : 7,81 u,,86 u longueur du côté opposé à un angle aigu et 9,77 u. du rapport longueur du côté adjacent à cet angle aigu Mesures des côtés du triangle : 9,77 u, 7, u lorsque cet angle est associé à un triangle rectangle. et 1,1 u. ) 0,1 c) 88,67 u Technomath Page 8 section.1 Les rapports trigonométriques Prolème Page 81 Les élèves pourraient fournir des explications semlales à celles données ci-dessous. En ce qui a trait à chaque rampe : 1. l employée doit mesurer les trois côtés du triangle formant la ase de la rampe ;. elle doit ensuite s assurer que ces trois mesures vérifient la relation de Pythagore. Si c est le cas, alors la ase a ien la forme d un triangle rectangle et l employée peut passer à l étape. Si ce n est pas le cas, la rampe ne satisfait pas aux conditions énoncées ;. l employée doit calculer le rapport mesure du côté opposé à l angle de 1 et vérifier que 1,6 ce rapport est égal à, soit celui otenu avec les mesures 7,7 du modèle fourni. Si c est ien le cas, alors la ase a ien la forme d un triangle rectangle ayant un angle de 1. a. 1) Respectivement 0,7, 0,, 0, et 0,. ) Oui.. 1) Respectivement 0,66, 0,91, 0,91 et 0,9. ) Non. Le rapport semle diminuer, au contraire. c. 1) Il tend vers 1. ) Il tend vers 1. Mise au point.1 1. m R sin R cos R tan R 1 0,6 0,97 0,7 0 0, 0,87 0,8 0,71 0,71 1 60 0,87 0, 1,7 7 0,97 0,6,7 Page 8. a) sin G 0,81 cos G 0,8 tan G 1, ) sin G 0,9 cos G 0,7 tan G, c) sin G 0,81 cos G 0,8 tan G 1, 6 d) sin G 0,86 cos G 0, tan G 1,66 7 e) sin G 0, cos G 0,87 tan G 0,8 f) sin G 0,8 cos G 0, tan G 1,6 8 Activité 1 Page 8 a. Plusieurs réponses possiles. Exemple : Des triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semlales.. 9, m, 10,89 m et 1, m. c. 1) 0,766, 0,766 et 0,766. ) Les rapports sont à peu près égaux dans chaque cas. ) SIN 0 0,766 ) Le sinus d un angle permet de calculer la valeur longueur du côté opposé à un angle aigu du rapport longueur de l hypoténuse lorsque cet angle est associé à un triangle rectangle. d. 1) 0,6, 0,6 et 0,6. ) Les rapports sont à peu près égaux dans chaque cas. ) COS 0 0,6 ) Le cosinus d un angle permet de calculer la valeur longueur du côté adjacent à un angle aigu du rapport longueur de l hypoténuse lorsque cet angle est associé à un triangle rectangle. Mise au point.1 (suite). a) m C m AB,9 cm m BC,0 cm ) m D 7 m,7 DE cm c) m H 0 m GI, cm m DF,9 cm m HI, cm d) m J m JL,0 cm m JK,68 cm e) m N 6 m MN,68 cm Page 86 m MO,1 cm f) m P m PR, cm m PQ,67 cm. a) À environ 6,18 m. ), m c) À environ 1 m. s sin S r s cos S r t s t. a) Fausse, car ; et. sin T t cos T s s t s t r s cos T r s s s ) Vraie, car tan S ; et. t cos S t t t t r s t s t s s t s c) Fausse, car ; tan S et. r r r t r t t r s 09, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 7

r d) Vraie, car sin R 1. r e) Vraie, car l hypoténuse est la plus grande mesure dans n importe quel triangle. section. La recherche de mesures manquantes Mise au point.1 (suite) 6. 9,19 cm 7. a) ) c) d) 8. Arre 1 : 68,6 m Arre : 69,17 m Arre : 81, m Mise au point.1 (suite) 9. a) Angle D Angle F sinus ) 1. La tangente d un angle équivaut au rapport. cosinus. Le sinus d un angle équivaut au cosinus de son complément.. Le cosinus d un angle équivaut au sinus de son complément. a a c c) 1. tan A, sin A,cos A c a sin A a tan A cos A c c a a. sin A et cos C. c c. cos A et sin C. 10. Non, car l emarcation a franchi une distance de 7,6 m environ. 11. a) En 10,9 s environ. ) En 1,1 s environ. c) À environ 1,67 m/s. Mise au point.1 (suite) 1. m 1.,1 10 1 km 1. a) 7 68,18 km ) 8199,7 km Mise au point.1 (suite) 1. 1,96 m 16. La vitesse de cet avion est environ de 96,7 m/s (Mach 1,) ou de 18, km/h. Page 87 Page 88 sinus sinus cosinus tangente cosinus Page 89 Page 90 Prolème L angle d émission CBD doit mesurer environ 11,17. Activité 1 a. 1) 0,06 ),º ) Oui.. 1) La mesure d un angle à partir de la valeur du sinus associé à cet angle. ) 60º c. 1) 0,999 ) º ) Oui. Activité 1 (suite) d. 1) La mesure d un angle à partir de la valeur du cosinus associé à cet angle. ) 7º e. 1) 0,06116 ), ) Non. f. 1) La mesure d un angle à partir de la valeur de la tangente associée à cet angle. ) 0º g. 1) 0º pour chacun des angles A. ) Dans tout triangle rectangle, si la mesure du côté opposé à un angle vaut la moitié de celle de l hypoténuse, alors cet angle vaut 0º. Inversement, dans tout triangle rectangle ayant un angle de 0º, la mesure du côté opposé à cet angle vaut la moitié de celle de l hypoténuse. Technomath Page 91 Page 9 Page 9 Page 9 a. Ce sont tous des triangles 0 60 90. Dans chaque triangle, le plus petit des côtés mesure la moitié de l hypoténuse.. 1) Rapport trigonométrique Écran Écran mesure du côté opposé à l angle de 0 mesure du côté adjacent à l angle de 0 mesure du côté opposé à l angle de 60 mesure du côté adjacent à l angle de 60 0, 0, 0,87 0,87 0,87 0,87 0, 0, 8 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 09, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

) La mesure du côté opposé à un angle de 0 est égale à la moitié de celle de l hypoténuse. c. 1) Plusieurs réponses possiles. ) Il n y a qu une seule mesure d angle dont le sinus vaut 0,, soit 0. d. Plusieurs réponses possiles. Mise au point. 1. a) 9,79º ) 0º Page 96 c) 60,6º d),9º e),77º f) 7,9º g),99º h) º. ), d) et f).. a) 19,88º ) 7,7º c) 8,11º d) 8,11º e) 1,8º f) 88,00º. Mesure du Mesure du Mesure de côté adjacent côté opposé l hypoténuse à l angle A à l angle A (cm) (cm) (cm). 1,º Rapport trigonométrique Écran Écran 6 mesure du côté opposé à l angle de 0 mesure du côté adjacent à l angle de 0 mesure du côté opposé à l angle de 60 mesure du côté adjacent à l angle de 60 0, 0, 0,87 0,87 0,87 0,87 0, 0, Triangle 1 1,88 Triangle 1,96 0 60 Triangle 11, 1, 19, Triangle,76 6,,8 Triangle 0, 0,0 0, Triangle 6, 6 7, Mesure de Mesure de l angle A l angle B ( ) ( ) Triangle 1 69,9,0 Triangle 0 60 Triangle,67 6, Triangle 0 60 Triangle 6 7 Triangle 6,1 6,87 Mise au point. (suite) 6. a) m A 8,89 m C 1,11 m AB 6,11 cm ) m E 60 m F 0 m DF 17, cm c) m O 0 m MN, cm m MO 7,79 cm d) m H 0,0 m G 9,98 m HI,8 cm e) m L 66 m KL 1,6 mm m JL,8 mm f) m Q 76,66 m R 1, m PR 7,98 cm 7. a) 6,87 ) 6,1 8. 8,69º Mise au point. (suite) 9. a) 9,99 ) 0,11º c) 7,6º, 7,6º, 6,8º 10. 8,7 cm 11. 8,16 m Mise au point. (suite) 1. 69,89 m 1. a) km ),8º c),0º, 1,7º Mise au point. (suite) 1. a) 1,97 km ) Avion A : 18,88º ; avion B : 0º. c) 100,97 m 1. a) º ),7 m Mise au point. (suite) 16. a) 6,78 m ), m c) 1, m d),9 m 17. a) 7,1º ) 7,1º c) 9 1,76 km Page 97 Page 98 Page 99 Page 100 Page 101 09, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 9

section. Le calcul de l aire d un triangle quelconque d. La formule de Héron permet de calculer relativement rapidement l aire d un triangle dont il est fastidieux ou impossile de calculer la hauteur, à la condition de connaître les mesures de ses trois côtés. Prolème Page 10 Thomas gagne environ,66 en se postant au point B plutôt qu au point A. Activité 1 a. L oservation de Michèle est exacte, car, dans le triangle ABC, 8, cm, 6 cm et 1, cm, et dans le triangle DEF, 107, cm, 1 1,6 cm et 7 1, cm.. Les égalités sont fausses (la propriété fondamentale des proportions n est pas respectée). c. Non, car les deux exemples mentionnés infirment cette conjecture. Activité 1 (suite) Page 10 Page 10 d. L oservation de Louis-Joseph est exacte, car, dans le triangle ABC, sin 8 0,99, sin 6 0,88 et sin 0,7, et dans le triangle DEF, sin 107 0,96, sin 1 0,66 et sin 0,. e. Les égalités sont vraies (la propriété fondamentale des proportions est respectée). f. Oui, car les deux exemples mentionnés vont dans le sens de la conjecture. g. 1) 0,6 et 0,6. ) 0, et 0,17. ) 0,71 et 0,71. ) 0,87 et 0,87. ) 1,00 et 0,9. h. 1) Non, car les résultats précédents montrent qu il y a plusieurs angles dont le sinus est inférieur ou égal à celui d un angle de plus petite mesure. ) Oui, car les résultats précédents ne contiennent aucun contre-exemple qui infirmerait l oservation d Audrey. Activité (suite) e. 1. L aire d un triangle est égale au demi-produit de la ase du triangle multiplié par sa hauteur.. BD est la hauteur relative à la ase AC et lui est donc perpendiculaire.. Dans un triangle rectangle, le sinus d un angle est égal au rapport entre la mesure du côté opposé à cet angle et celle de l hypoténuse.. Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.. Dans une égalité, on peut sustituer un terme à une expression qui lui est équivalente. f. 0, cm m DE m DF sin D g. 1) A m DE m EF sin E ) A m EF m DF sin F ) A h. Il faut connaître les mesures de deux côtés ainsi que la mesure de l angle compris entre ces deux côtés. Technomath a. 1) u, 6 u, 7 u ) 8 u ) 16 u. 1) 17, cm ),60 dm c. ) 71,8 m Page 106 Page 107 Activité a. 1),86 cm ),86 cm. 1),6 cm ),6 cm c. 1) On ne peut pas calculer l aire de ce triangle, car il n y a pas assez de renseignements pour pouvoir déterminer la mesure d une de ses hauteurs. ),8 cm Page 10 Mise au point. 1. a) 7,9 ) 61,8 Page 109 c) 68, d) 1, e),7 f) 8,70. a) 11,9 cm ) 1,0 cm c) 8,81 cm d) 6,68º e),60º f) 11,º g) 96º h), cm i) 1,8º 0 Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 09, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée

. a) ) c) m BC m C m B Aire du Δ ABC,8 cm 66º 8º 8,6 cm 10 cm 6,01º 87,99º,99 cm cm 61,8º,7º 9, cm 17. a) 11,6 m ) 8,16 m c) 6,6 m d) 1, m e) 8,1 m RUBRIQUES PARTICULIÈRES Mise au point. (suite). a) 1) Vraie. ) Fausse. ) Vraie. ) 1) Le sinus d un angle et celui de son supplément sont équivalents. ) Le cosinus d un angle et celui de son supplément sont de signes contraires. ) La tangente d un angle et celle de son supplément sont de signes contraires.. a) Fausse. ) Fausse. c) Fausse. 6. a) 1, cm ) 8, cm c), cm 7. 0,6 cm Mise au point. (suite) 8. a) 61,90 m ),77 m 9. a) 9,9 cm ) 9,9 cm c) 6,97 cm 10. 10 6,7 $ 11. 11,8 1. À environ 18,9 m. Mise au point. (suite) 1. a) Non, car elle otient une mesure inférieure à 90 pour l angle B, et supérieure à 90 pour l angle C, alors que le dessin montre que ça devrait être le contraire. ) Dans ses calculs, cette élève a oulié de prendre en considération le fait que l angle B est otus. c) m B 19,9 m C,06 m AB,06 cm 1. 7, m 1. a) 91, m, 91, m, 1,89 m ) 17,91 m Mise au point. (suite) 16. 8,79 m Page 110 Page 111 Page 11 Page 11 Chronique du passé 1. a) 1,8 ) 89,1 c) 00 001, km. Mesure Mesure Sinus Longueur de de l angle de l angle de l angle la corde AB au centre au centre m AC (dm) AOB ( ) AOC ( ) 0 0,00 0 0. Les mathématiciens araes ont pu construire une tale des sinus en déterminant, pour un angle donné, la moitié de la corde qui était associée au doule de cet angle dans la tale des cordes d Hipparque. Le monde du travail 1. a) À environ 8,7 m. ) À environ 1,6 m. c) Oui, car son ateau est situé à environ 17,6 m du rivage.. a) 8,9º ) 0,88 km Page 11 AOC ( m AO ) 10 0,17 0,087 0,7 10 0,17 0 0,18 1 0,9 0 0,68 0, 0 0,8 0, 60 1 0 0, 70 1,17 0,7 80 1,86 0 0,6 90 1,1 0,707 100 1, 0 0,766 110 1,68 0,819 1 1,7 60 0,866 10 1,81 6 0,906 10 1,879 70 0,99 10 1,9 7 0,966 160 1,97 80 0,98 170 1,99 8 0,996 180 90 1 Page 117 09, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 1

A c) 7 0 milles marins D C x milles marins B Vue d ensemle 1. a) x,10 cm et y,09 cm. ) x 60,89º et y, cm. c) x 7,º et y,8º. d) x 68,6º et y, cm. e) x,7 cm et y,09 cm. f) x 10,6º et y, cm.. a),1 cm ) 10,81 cm c) 11, cm d),78 cm e) 7,9 cm f),11 cm. 19, m Page 118 1. 199 7,67 $ 1. a) 1,6 ) N importe quelle longueur de pagaie conviendra, car la distance minimale entre l extrémité de la pagaie et le deuxième kayakiste sera environ de 106,07 cm. 16. a) 6,11 m ) 90º,,º, 66,6º 17. a) À environ 9,7 m de hauteur. ) 1) 600 m ) 0,76º 18. 17,0 m Page 1. a) 8, cm ) 98,0 mm c) 0, km d) 18 96,76 cm. a),8º ) 17,8 m c) 8,86 m 6. a) 178,77 m ) 11 898,8 m 7. a) 18,81 m ) 17,97 m c) 19, m 8. 10,1 cm 9. a) À environ 1,81 m. ) 1,º 10. À environ, km/h. 11. 8,78 m 1. 71,89 m Page 119 Page 1 19. a) 19,66 m ) 19, m. a) À environ,8 m de hauteur. ), m 1. a) À environ 101,08 cm. ) 1,90º c),81 cm. 1,9 km. 70,7 cm Banque de prolèmes Page 1 Page 1 Page 1 Page 16 1. a) Téléphérique de l aiguille du Midi ) 1) 0,06º ) 0,8º c) 19,87 m Page 11 1 er tronçon e tronçon Longueur (m) 867 Dénivellation verticale (m) 179 170 Altitude de départ (m) 108 17 Altitude d arrivée (m) 17 787. Le volume du silo est environ de 6,99 m.. La longueur du lac est environ de 118,61 m. 6. Plusieurs réponses possiles. Banque de prolèmes (suite) Page 17 7. L altitude du point B est environ de 1,68 m. 8. Le parachutiste A doit partir dans un angle d environ 9,9 par rapport au nord, et parcourir une distance d environ 8,81 m. Vision Ressources supplémentaires Corrigé du manuel Vol. 09, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée