BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2007 MATHÉMATIQUES - Série S - ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE CORRECTION par Martial LENZEN (martial.lenzen@capes-de-maths.fr) L énoncé est en police grasse, les réponses en police normale. Exercice ( points) L espace est muni du repère orthonormal (O ; i, j, k). Soient (P) et (P ) les plans d équations respectives x + 2y z + = 0 et x + y + z = 0. Soit A le point de coordonnées (0 ; ; ). ) Démontrer que les plans (P) et (P ) sont perpendiculaires. Le vecteur n normal (orthogonal) au plan (P) admet comme coordonnées ( ; 2 ; ). Celui de (P ), noté n 2, a pour coordonnées ( ; ; 0). En faisant alors le produit scalaire de ces deux vecteurs, on détermine que n n 2 = 2 + 2 0 = 0, donc n n 2, impliquant que les plans (P) et (P ) sont perpendiculaires. 2) Soit (d) la droite dont une représentation paramétrique est : x = + t y = où t est un nomre réel. z = t Démontrer que les plans (P) et (P ) se coupent selon la droite (d). On sait que l intersection de deux plans est soit vide, soit une droite, ou alors ils sont confondus. Or pour tout réel t, on a : + t + 2 t + = 2 + + t t = 0 (d) (P), et + t + + t = t + t = 0 (d) (P ). (d) est à la fois dans le plan (P) et dans le plan (P ), donc (d) est dans (P) (P ). Enfin, si ces deux plans étaient confondus, ils auraient la même équation. On peut finalement en déduire que (d) est la seule intersection possile entre ces deux plans. ) Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P ). Correction BAC Scientifique 2007 : Mathématiques (enseignement oligatoire) page /9
On rappelle que la distance d un point A(x A ; y A ; z A ) à un plan p d équation ax + y + cz + d = 0 est donnée par la formule suivante : d(a, p) = ax A + y A + cz A + d a 2 + 2 + c 2. D où : d(a, P) = 0 + 2 + 2 + 2 2 + ( ) 2 = 2 6 et d(a, P ) = 0 + + ( ) 2 + 2 + 2 = 2. 4) En déduire la distance du point A à la droite (d). Notons H, H et K les projetés orthogonaux de A respectivement sur (P), (P ) et (d), de sorte que le quadrilatère AHKH soit un rectangle (trois angles droits). Faisons une figure : (P) H (d) (P ) A K H On cherche donc à calculer AK. Puisque AHKH est un rectangle, on a : AK = HH = AH 2 + AH 2 = d(a, P) 2 + d(a, P ) 2 = 4 6 + 4 = 2. Exercice 2 ( points) ) Restitution organisée de connaissances Démontrer la formule d intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d un produit de deux fonctions dérivales, à dérivées continues sur un intervalle [a ; ]. On rappelle au préalale cette formule : Si ƒ et g sont deux fonctions dérivales, à dérivées continues sur un intervalle [a ; ]. Alors : Correction BAC Scientifique 2007 : Mathématiques (enseignement oligatoire) page 2/9
a ƒ(t) g (t) dt = [ ƒ(t) g(t) ] a a ƒ (t) g(t) dt. La fonction ƒg est dérivale sur [a ; ], et (ƒg) = ƒ g + ƒg. Donc ƒg = (ƒg) ƒ g. Puisque ƒg, (ƒg) et ƒ g sont continues sur [a ; ], on déduit de l égalité précédente que : a ƒ(t) g (t) dt = a (ƒ(t) g (t)) ƒ (t) g (t) dt = a (ƒ(t) g (t)) dt a ƒ (t) g (t) dt (par linéarité de l intégrale) = [ ƒ(t) g(t) ] a a ƒ (t) g(t) dt (car ƒg est une primitive de (ƒg) ) 2) Soient les deux intégrales définies par I = 0 π e x sin x dx et J = 0 π e x cos x dx. a) Démontrer que I = J et que I = J + e π +. Effectuons une intégration par parties sur [0 ; π], avec les fonctions ƒ(t) = sin t et g(t) = e t, qui sont dérivales et à dérivées continues sur [0 ; π]. On a alors ƒ (t) = cos t et g (t) = e t. Donc : I = 0 π ƒ(t) g (t) dt = [e t sin t] π 0 0 π cos(t) e t dt = J (car sin(0) = sin(π) = 0). De même, avec les fonctions ƒ(t) = cos t ( ƒ (t) = sin t) et g(t) = e t (= g (t)), qui sont dérivales et à dérivées continues sur [0 ; π], on trouve : J = 0 π ƒ(t) g (t) dt = [e t cos t] π 0 ( 0 π sin(t) e t dt ) = e π + I, Au final, nous avons ien déterminé que I = J et I = J + e π +. ) En déduire les valeurs exactes de I et de J. Il s agit donc de résoudre le système de deux équations à deux inconnues suivant : I = J I = J + e π J = J + e + π + 2 J = e π. D où J = eπ + 2 et I = eπ + 2. Exercice (5 points) candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Partie A On considère l équation : (E) z (4 + i) z 2 + ( + 4i) z i = 0, où z est un nomre complexe. ) Démontrer que le nomre complexe i est solutions de cette équation. On a : i (4 + i) i 2 + ( + 4i) i i = i + (4 + i) + i 4 i = i ( + + ) + 4 4 = 0, donc i est ien solution de cette équation (E). 2) Déterminer les nomres réels a, et c tels que, pour tout nomre complexe z, on ait : Correction BAC Scientifique 2007 : Mathématiques (enseignement oligatoire) page /9
z (4 + i) z 2 + ( + 4i) z i = (z i)(az 2 + z + c). On a : z (4 + i) z 2 + ( + 4i) z i = (z i)(az 2 + z + c) = az + z 2 ( a i) + z (c i) c i. Par identification des coefficients (en effet, deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux), on trouve : a = a i = (4 + i) c i = + 4i c = a = = 4 c = D où : z (4 + i) z 2 + ( + 4i) z i = (z i)(z 2 4z + ). ) En déduire les solutions de l équation (E). Il s agit encore de trouver les solutions du polynôme z 2 4z +. Or = 6 52 = 6, d où z = 4 + 6i = 2 + i et z 2 2 = z = 2 i. Les solutions de (E) dans sont donc : s = {i ; 2 + i ; 2 i}. Partie B Dans le plan complexe, rapport au repère orthonormal direct (0 ; les points d affixes respectives i, 2 + i et 2 i. u, v), on désigne par A, B et C ) Soit r la rotation de centre B et d angle π. Déterminer l affixe du point A, image de point A 4 par la rotation r. Notons a,, c et a les affixes respectives des points A, B, C et A. Alors on sait que : a = e i π 4 (a ) a = 2 2 + i 2 2 (i 2 i) + 2 + i a = ( 2 + i 2)(2 + 2i) + 2 + i 2 a = ( 2 + 2 i + 2 i 2) + 2 + i a = 2 + ( 2 2) i. 2) Démontrer que les points A, B et C sont alignés et déterminer l écriture complexe de l homothétie de centre B qui transforme C en A. Les affixes de ces trois points ont la même partie réelle, donc les points ont tous les trois la même ascisse dans le plan. Ils sont donc alignés sur une droite parallèle à l axe des imaginaires purs. L homothétie de centre B qui transforme C en A est de rapport BA BC = 2 2 6 = 2. Ainsi, pour tout point M du plan d affixe z, et en notant M d affixe z son image, l écriture complexe de cette homothétie est donnée par : 2 z = (z ) z = 2 (z 2 i) + 2 + i. Correction BAC Scientifique 2007 : Mathématiques (enseignement oligatoire) page 4/9
Exercice 4 (4 points) Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie sans justification. Il sera attriué un point si la réponse est exacte, zéro sinon. Dans certaines questions, les résultats proposés ont été arrondis à 0 près. ) Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude scientifique a permis d étalir que, chaque fois qu il rencontre un client, la proailité qu il vende son produit est égale à 0,2. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La proailité qu il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à : a) 0,4 ) 0,04 c) 0,024 d) 0,2048 nomre de ventes nomre de «non» ventes = 5 2 0,2 2 0,8 = 0,2048 2 ventes parmi 5 proailité de faire une vente proailité de ne pas faire une vente 2) Dans une classe, les garçons représentent le quart de l effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La proailité qu il ait eu son permis du premier coup est égale à : a) 0,04 ) 0,275 c) 0,27 d) 0,0 Soient les événements suivants : G : «c est un garçon» F : «c est une fille» P : «permis du premier coup» Faisons un arre : /0 P /4 /4 G F / P P Donc (P) = 4 0 + 4 = 0,275. P ) Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La proailité que cet élève soit un garçon est égale à : a) 0,00 ) 0,09 c) 0, d) 0,25 Correction BAC Scientifique 2007 : Mathématiques (enseignement oligatoire) page 5/9
On cherche à calculer P P (G). On a donc : (G P) P (G) = = (G) (G P) (P) (P) (G) = (G) (P) G(P) = /4 0,275 0 = > 0,09. 4) Un tireur sur cile s entraîne sur une cile circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 0, 20 et 0 centimètres. On admet que la proailité d atteindre une zone est proportionnelle à l aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cile. La proailité d atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à : a) 5 9 ) 9 4 c) 4 7 d) Faisons un schéma : Nous avons : Aire(c ) = 00π Aire(c 2 ) = 400π Aire(c ) = 900π donc a = 00π, a 2 = 400π 00π = 00π et a = 900π 400π = 500π. Faisons alors un taleau de proportionnalité : Surface a a 2 a Total Valeur 00π 00π 500π 900π Proailité 5 9 9 9 0 0 0 c c 2 c a a 2 a La valeur recherchée est donc 5 9. Exercice 5 (5 points) On considère la fonction ƒ définie sur l intervalle ] ; + [ par : ln( + x) ƒ(x) = x + x. La coure c représentative de ƒ est donnée sur le document annexe que l on complètera et que l on rendra avec la copie. Partie A : Étude de certaines propriétés de la coure c ) On note ƒ la dérivée de ƒ. Calculer ƒ (x) pour tout x de l intervalle ] ; + [. Pour tout x de l intervalle ] ; + [, on a : ( + x) ln( + x) + x ln( + x) ƒ (x) = ( + x) 2 = ( + x) 2 = ( + x)2 + ln( + x) ( + x) 2. Correction BAC Scientifique 2007 : Mathématiques (enseignement oligatoire) page 6/9
2) Pour tout x de l intervalle ] ; + [, on pose N(x) = ( + x) 2 + ln( + x). Vérifier que l on définit ainsi une fonction strictement croissante sur ] ; + [. Calculer N(0). En déduire les variations de ƒ. On a N (x) = 2( + x) + pour tout x de l intervalle ] ; + [. + x > 0 > 0 donc N (x) > 0 pour tout x de l intervalle ] ; + [, et donc N est strictement croissante sur cette intervalle. De plus, N(0) = + ln() = 0, ce qui nous permet de dresser le taleau suivant : x 0 + N N(x) 0 + ƒ (x) ƒ 0 + + + 0 Afin de nous permettre de compléter le taleau : ln(x) * D après le cours, lim X 0 X = lim ln( + x) x + x * lim ƒ(x) = + (croissances comparées) x + * ƒ(0) = 0. = lim ƒ(x) = +. x ) Soit d la droite d équation y = x. Calculer les coordonnées du point d intersection de la coure c et de la droite d. Il s agit de résoudre le système suivant : ln( + x) y = x + x ln( + x) ln( + x) x = x = 0 ln( + x) = 0 x = 0. + x + x y = x D où y = 0, et la droite d coupe la coure c en l origine du repère. Partie B : Étude d une suite récurrente définie à partir de la fonction ƒ ) Démontrer que si x [0 ; 4], alors ƒ(x) [0 ; 4]. D après le taleau de variations ci-dessus, ƒ est croissante sur l intervalle [0 ; 4], donc 0 x 4 ƒ(0) ƒ(x) ƒ(4) 0 ƒ(x),68 0 ƒ(x) 4. En effet, si ƒ(x),68, on aura forcément que ƒ(x) 4 (mais attention, ce n est plus vrai dans le sens contraire!!!). Correction BAC Scientifique 2007 : Mathématiques (enseignement oligatoire) page 7/9
2) On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = 4 et u n + = ƒ(u n ) pour tout n de ;. a) Sur le graphique de l annexe, en utilisant la coure c et la droite d, placer les points de c d ascisses u 0, u, u 2 et u. ) Démontrer que pour tout n de ; on a : u n [0 ; 4]. On raisonne par récurrence sur l entier n ;, avec la propriété P(n) : «u n [0 ; 4]» : Initialisation (n = 0) : u 0 = 4 [0 ; 4], donc P(0) est vraie. Hérédité (n n + ) : Supposons que P(n) soit vraie et montrons que P(n + ) l est aussi. On sait par hypothèse de récurrence que u n [0 ; 4]. En appliquant le résultat de la question, on sait alors que ƒ(u n ) [0 ; 4] u n + [0 ; 4]. c) Étudier la monotonie de la suite (u n ). On raisonne encore par récurrence sur n ;. On va montrer que cette suite est strictement décroissante. On choisit donc P(n) : «u n + u n». Initialisation (n = 0) : u 0 = 4 et u = ƒ(u 0 ) = ƒ(4) >,68. Donc u u 0, et P(0) est vraie. Hérédité (n n + ) : Supposons que P(n) soit vraie et montrons que P(n + ) l est aussi. Alors u n + u n hypothèse de récurrence ƒ(u n + ) ƒ(u n ) car f est croissante sur [0 ; 4] u n + 2 u n + par définition de la suite. Donc P(n + ) est vraie. d) Démontrer que la suite (u n ) est convergente. On désigne par l sa limite. Nous venons de montrer aux questions et 2 (c) que la suite (u n ) est minorée (par 0) et strictement décroissante. Par théorème du cours, elle converge donc vers une valeur que l on note l. e) Utiliser la partie A pour donner la valeur de l. Remarquons que ƒ continue et l = lim(u n ) impliquent que : ƒ(l) = ƒ(lim u n ) = lim ƒ(u n ) = lim u n + = l. Cette valeur l est donc solution du système y = ƒ(x), que l on a déjà résolu dans la partie A. Il y = x s en suit que l = 0. Remarque : On aurait pu le constater directement sur le taleau de variations ci-dessus, mais on demandait de «calculer» Correction BAC Scientifique 2007 : Mathématiques (enseignement oligatoire) page 8/9
ANNEXE Exercice 5 y d c o O u u 2 u u 0 x Correction BAC Scientifique 2007 : Mathématiques (enseignement oligatoire) page 9/9