Cours de mathématiques ECS 1 ère année. BÉGYN Arnaud

Cours de mathématiques ECS 1 ère année BÉGYN Arnaud 12/11/2012

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Introduction Ce manuscrit regroupe des notes de cours de mathématiques pour une classe d ECS première année. J ai écris ces notes lors de mes enseignements au lycée Fermat pendant les années 2010-?. Ce document n est absolument pas figé et va beaucoup évoluer. N hésitez pas à m envoyer toutes vos remarques et critiques ou à me signaler d éventuelles erreurs à l adresse "arnaud.begyn@prepas.org". Vous pouvez utiliser ce cours à toutes fins utiles, à condition de signaler son origine. Je vous demande seulement de ne pas trop le diffuser pour le moment, car ce n est qu un premier jet qui comporte encore trop d erreurs et d imprécisions. Les mises à jour sont disponibles tout au long de l année sur le site http ://arnaud.begyn.free.fr/. 3

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Table des matières 1 Logique - Théorie des ensembles 13 1.1 Notation.......................................... 13 1.2 Logique........................................... 14 1.3 Ensembles......................................... 17 1.3.1 Définitions..................................... 17 1.3.2 Opérations sur les ensembles.......................... 20 1.4 Applications........................................ 23 1.4.1 Définitions..................................... 23 1.4.2 Loi de composition................................ 24 1.4.3 Injection, surjection, bijection......................... 25 1.4.4 Fonctions caractéristiques........................... 27 1.4.5 Images directe et réciproque.......................... 27 1.5 Exercices.......................................... 29 2 Dénombrement et calculs de sommes 33 2.1 Ensemble de nombres usuels.............................. 33 2.2 Ensembles finis - Dénombrement........................... 33 2.2.1 Ensembles finis.................................. 33 2.2.2 Dénombrement des ensembles finis...................... 34 2.2.3 Dénombrement des applications entre ensembles finis.......... 35 2.2.4 Coefficients binômiaux............................. 37 2.2.5 Techniques de dénombrement......................... 38 2.3 Calculs de sommes et de produits........................... 40 2.3.1 Sommes...................................... 40 2.3.2 Sommes usuelles à connaître.......................... 41 2.3.3 Formule du binôme de Newton........................ 41 2.3.4 Sommes doubles................................. 42 2.3.5 Généralisation des formules de dénombrement............... 44 2.3.6 Produits...................................... 45 2.4 Exercices.......................................... 47 3 Nombres complexes 51 3.1 Propriétés des nombres complexes.......................... 51 3.1.1 Construction rapide de C............................ 51 3.1.2 Notions de base.................................. 51 3.1.3 Rappels de trigonométrie............................ 53 3.1.4 Forme trigonométrique d un nombre complexe............... 56 3.1.5 Applications des formules de De Moivre et d Euler............. 57 3.2 Équations polynômiales complexes.......................... 58 3.2.1 Racines n ièmes d un nombre complexe................... 58 5

6 TABLE DES MATIÈRES 3.2.1.1 Racines n ièmes de l unité....................... 58 3.2.1.2 Racines n ièmes d un nombre complexe.............. 59 3.2.1.3 Cas particulier des racines carrées.................. 60 3.2.2 Équations du second degré à coefficients complexes............ 61 3.2.2.1 Cas général............................... 61 3.2.2.2 Cas où a, b et c sont réels....................... 61 3.2.2.3 Factorisation du trinôme et théorème de Viet........... 61 3.3 Exercices.......................................... 63 4 Suites réelles 65 4.1 Propriétés générales de suites réelles......................... 65 4.1.1 Rappels sur les propriétés de R......................... 65 4.1.1.1 Relation d ordre............................ 65 4.1.1.2 Valeur absolue............................. 65 4.1.1.3 Intervalles................................ 66 4.1.1.4 Partie entière.............................. 67 4.1.2 Les suites réelles................................. 67 4.1.3 Propriétés des suites réelles........................... 68 4.2 Limite d une suite..................................... 69 4.2.1 Suites convergentes - Suites divergentes................... 69 4.2.2 Propriétés des suites convergentes....................... 71 4.2.3 L ensemble R................................... 72 4.2.4 Théorèmes généraux sur les limites...................... 72 4.2.5 Suites d indices pairs et impairs........................ 74 4.2.6 Bornes supérieure et inférieure dans R.................... 75 4.2.7 Propriétés des suites monotones........................ 76 4.3 Limites usuelles...................................... 77 4.3.1 Suites géométriques............................... 77 4.3.2 Croissances comparées............................. 78 4.4 Exercices.......................................... 79 5 Systèmes linéaires 83 5.1 Définitions......................................... 83 5.2 Le pivot de Gauss..................................... 85 5.3 Rang et résolution d un système linéaire....................... 88 5.3.1 Résolution des systèmes linéaires....................... 88 5.3.2 Rang d un système linéaire........................... 89 5.3.3 Rang et systèmes linéaires échelonnés.................... 90 5.4 Exercices.......................................... 91 6 Compléments sur les suites réelles 93 6.1 Suites récurrentes..................................... 93 6.1.1 Définition..................................... 93 6.1.2 Étude des suites vérifiant u n+1 = f (u n ).................... 93 6.1.2.1 La suite est-elle bien définie?..................... 93 6.1.2.2 Recherche des points fixes de f................... 94 6.1.2.3 Détermination d intervalles stables par f............. 94 6.1.2.4 Étude de la monotonie de (u n ).................... 94 6.1.2.5 Détermination des valeurs possibles de limu n.......... 94 6.1.2.6 Représentation graphique...................... 95

TABLE DES MATIÈRES 7 6.1.3 Suites arithmétiques............................... 95 6.1.4 Suites géométriques............................... 96 6.1.5 Suites arithmético-géométriques........................ 97 6.1.6 Suites récurrentes linéaires d ordre 2..................... 97 6.2 Comparaison des suites................................. 99 6.2.1 Notations de Landau............................... 99 6.2.2 Suites équivalentes................................ 100 6.2.3 Comparaison des suites usuelles........................ 103 6.3 Exercices.......................................... 105 7 Espaces vectoriels et applications linéaires 109 7.1 Généralités sur les espace vectoriels.......................... 109 7.1.1 Espace vectoriel sur K.............................. 109 7.1.2 Sous-espaces vectoriels............................. 111 7.2 Familles de vecteurs................................... 112 7.2.1 Combinaisons linéaires............................. 112 7.2.2 Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs........ 113 7.2.3 Familles génératrices............................... 114 7.2.4 Familles libres................................... 116 7.2.5 Bases........................................ 119 7.3 Sommes de sous-espaces vectoriels.......................... 121 7.3.1 Sommes de sous-espaces vectoriels de E................... 121 7.3.2 Sommes directes de sous-espaces vectoriels................. 122 7.4 Applications linéaires.................................. 124 7.4.1 Définitions et première propriétés....................... 124 7.4.2 Opérations sur les applications linéaires................... 126 7.4.2.1 Somme et multiplication par un scalaire.............. 126 7.4.2.2 Composition.............................. 126 7.4.2.3 Bijection réciproque.......................... 127 7.4.3 Noyau et image d une application linéaire.................. 128 7.4.4 Image d une famille de vecteurs........................ 129 7.4.5 Projections et symétries............................. 130 7.4.5.1 Projections............................... 130 7.4.5.2 Symétries................................ 131 7.5 Exercices.......................................... 133 8 Généralités sur les fonctions numériques 137 8.1 Étude d une fonction réelle d une variable réelle................... 137 8.1.1 Fonction réelle d une variable réelle...................... 137 8.1.2 Ensemble de définition............................. 137 8.1.3 Représentation graphique de f......................... 138 8.1.4 Monotonie..................................... 142 8.1.5 Extremums d une fonction........................... 144 8.2 Fonctions usuelles.................................... 146 8.2.1 Fonction racine n-ième............................. 146 8.2.2 Fonctions trigonométriques.......................... 147 8.2.3 Fonctions logarithmes et exponentielles................... 148 8.2.4 Fonctions puissances réelles.......................... 150 8.2.5 Fonctions logarithmes et exponentielles en base a............. 152 8.2.6 Croissances comparées............................. 153

8 TABLE DES MATIÈRES 8.3 Exercices.......................................... 154 9 Limites et comparaison des fonctions numériques 157 9.1 Limite en un point de R................................. 157 9.1.1 Voisinages d un point de R........................... 157 9.1.2 Limite finie en un point x 0 R......................... 157 9.1.3 Limite infinie en un point............................ 160 9.1.4 Limite finie/infinie en±........................... 162 9.1.5 Extensions dans le cas d une limite finie................... 164 9.1.6 Unicité de la limite................................ 164 9.2 Théorèmes généraux sur les limites.......................... 165 9.2.1 Opérations algébriques sur les limites..................... 165 9.2.2 Composition de limites............................. 166 9.2.2.1 Fonction composée de deux fonctions............... 166 9.2.2.2 Suite composée d une suite et d une fonction........... 166 9.2.3 Limites et inégalités............................... 167 9.2.3.1 Limite et inégalités locales...................... 167 9.2.3.2 Calculs de limites par inégalité.................... 168 9.2.4 Limites des fonctions monotones....................... 168 9.2.5 Étude des branches infinies........................... 170 9.3 Comparaison de fonctions................................ 173 9.3.1 Fonctions équivalentes............................. 173 9.3.2 Équivalents usuels................................ 175 9.3.3 Notations de Landau............................... 176 9.3.4 Croissances comparées............................. 178 9.4 Développements limités................................. 178 9.4.1 Développement limité d ordre n en un point x 0 R............. 178 9.4.2 Développements limités usuels en 0...................... 180 9.4.3 Opérations sur les développements limités.................. 182 9.4.4 Développements limités et recherche de fonction équivalente...... 184 9.5 Exercices.......................................... 185 10 Séries numériques 189 10.1 Généralités......................................... 189 10.1.1 Définitions..................................... 189 10.1.2 Propriétés des séries............................... 191 10.2 Séries à termes positifs.................................. 193 10.2.1 Règles de comparaison............................. 193 10.2.2 Convergence absolue.............................. 196 10.3 Séries de référence.................................... 197 10.3.1 Séries de Riemann................................ 197 10.3.2 Séries géométriques et leurs dérivées..................... 198 10.3.3 Séries exponentielles............................... 199 10.4 Exercices.......................................... 200 11 Polynômes 203 11.1 Généralités......................................... 203 11.1.1 Définitions..................................... 203 11.1.2 Opérations sur les polynômes......................... 205 11.1.3 Parité........................................ 206

TABLE DES MATIÈRES 9 11.2 Racines d un polynôme................................. 207 11.2.1 Arithmétique dans K[X ]............................. 207 11.2.2 Racines d un polynôme............................. 208 11.2.3 Théorème de d Alembert-Gauss........................ 209 11.3 Formule de Taylor..................................... 210 11.3.1 Dérivée d un polynôme............................. 210 11.3.2 Calculs de polynômes dérivés.......................... 211 11.3.3 Formule de Taylor et application........................ 212 11.4 Exercices.......................................... 213 12 Espaces probabilisés 215 12.1 Vocabulaire et axiomatique des probabilités..................... 215 12.1.1 L univers...................................... 215 12.1.2 Évènements.................................... 216 12.1.3 Opérations sur les évènements......................... 217 12.1.4 La tribu des évènements............................. 218 12.1.5 Système complet d évènements........................ 219 12.2 Probabilité sur un espace probabilisable....................... 220 12.2.1 Probabilités.................................... 220 12.2.2 Construction de probabilités.......................... 221 12.2.2.1 Cas d un univers fini.......................... 221 12.2.2.2 Cas d un univers infini dénombrable................ 223 12.2.3 Propriétés de continuité monotone pour une probabilité......... 224 12.2.4 Évènements négligeables............................ 224 12.3 Probabilités conditionnelles............................... 225 12.3.1 Définition..................................... 225 12.3.2 Formule des probabilités composées..................... 226 12.3.3 Formule des probabilités totales........................ 227 12.3.4 Formule de Bayes................................. 229 12.4 Indépendance....................................... 230 12.4.1 Indépendance de deux évènements...................... 230 12.4.2 Indépendance mutuelle............................. 231 12.4.2.1 Cas de n évènements......................... 231 12.4.2.2 Cas d une famille infinie d évènements............... 231 12.4.2.3 Propriétés de l indépendance.................... 232 12.4.3 Compléments sur la formule des probabilités totales : propriété de Markov232 12.5 Exercices.......................................... 234 13 Continuité des fonctions numériques 239 13.1 Continuité d une fonction numérique......................... 239 13.1.1 Continuité en un point.............................. 239 13.1.2 Continuité à droite ou à gauche en un point................. 239 13.1.3 Continuité sur un intervalle - Prolongement par continuité........ 242 13.1.4 Continuité des fonctions usuelles....................... 243 13.1.5 Opérations arithmétiques sur les fonctions continues........... 244 13.2 Continuité sur un intervalle............................... 244 13.2.1 Théorème des valeurs intermédiaire...................... 245 13.2.2 Théorème de continuité sur un segment................... 248 13.3 Fonctions continues et bijectives............................ 249 13.3.1 Théorème de la bijection monotone...................... 249

10 TABLE DES MATIÈRES 13.3.2 La fonction arctangente............................. 252 13.4 Exercices.......................................... 254 14 Espaces vectoriels de dimension finie 257 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie......................... 257 14.1.1 Bases et dimension................................ 257 14.1.2 Familles de vecteurs en dimension finie................... 260 14.1.3 Espaces vectoriels isomorphes......................... 261 14.2 Sous-espaces vectoriels en dimension finie...................... 262 14.2.1 Inclusion et dimension............................. 262 14.2.2 Sommes de sev en dimension finie...................... 263 14.3 Rangs............................................ 264 14.3.1 Rang d une famille de vecteurs......................... 264 14.3.2 Rang d une application linéaire......................... 265 14.4 Exercices.......................................... 268 15 Dérivabilité des fonctions numériques 271 15.1 Dérivabilité d une fonction numérique........................ 271 15.1.1 Dérivabilité en un point............................. 271 15.1.2 Dérivabilité à droite ou à gauche en un point................ 272 15.1.3 Interprétations graphiques........................... 273 15.1.4 Dérivabilité sur une partie de R......................... 274 15.2 Opérations sur les dérivées............................... 275 15.2.1 Opérations arithmétiques............................ 275 15.2.2 Dérivée d une composée, d un quotient................... 275 15.2.3 Dérivée d une bijection réciproque...................... 276 15.3 Tableaux récapitulatifs des dérivées des fonctions usuelles............ 277 15.4 Dérivabilité sur un intervalle d une fonction à valeurs réelles........... 279 15.4.1 Lien entre extremum et dérivée........................ 279 15.4.2 Théorème de Rolle................................ 279 15.4.3 Théorème des accroissements finis...................... 280 15.4.4 Lien entre dérivée et monotonie........................ 282 15.4.5 Prolongement de la dérivabilité........................ 282 15.5 Dérivées d ordre supérieur............................... 284 15.5.1 Dérivées successives............................... 284 15.5.2 Fonctions de classe C n, de classe C..................... 284 15.5.3 Classe de régularité des fonction usuelles................... 285 15.5.4 Opérations arithmétiques sur les fonctions de classe C n /C....... 286 15.5.5 Composition de fonctions de classe C n /C................. 287 15.5.6 Bijection réciproque d une fonction de classe C n /C........... 288 15.5.7 Théorème de prolongement du caractère C 1................. 288 15.6 Formules de Taylor.................................... 289 15.6.1 Formule de Taylor-Lagrange.......................... 289 15.6.2 Inégalité de Taylor-Lagrange.......................... 290 15.6.3 Formule de Taylor-Young............................ 290 15.7 Fonctions convexes.................................... 290 15.8 Exercices.......................................... 293

TABLE DES MATIÈRES 11 16 Matrices 297 16.1 L espace vectoriel M np (K)................................ 297 16.1.1 Définitions..................................... 297 16.1.2 Matrice d une famille finie de vecteurs.................... 299 16.1.3 Matrice d une application linéaire dans des bases.............. 300 16.1.4 Matrices associés à un système linéaire.................... 302 16.1.5 L espace vectoriel M np (K)............................ 303 16.2 Produit matriciel..................................... 307 16.2.1 Produit d une matrice par un vecteur colonne................ 307 16.2.2 Cas général : produit de deux matrices.................... 309 16.2.3 Produit matriciel et matrices carrées..................... 312 16.2.4 Matrices carrées inversibles........................... 314 16.2.5 Méthode du miroir................................ 319 16.3 Rang d une matrice.................................... 320 16.3.1 Premières propriétés............................... 320 16.3.2 Rang et algorithme du pivot de Gauss..................... 322 16.4 Transposition....................................... 323 16.4.1 Premières propriétés............................... 323 16.4.2 Matrices symétriques et antisymétriques................... 324 16.4.3 Rang de la transposée.............................. 324 16.5 Exercices.......................................... 326 17 Variables aléatoires discrètes 329 17.1 Variables aléatoires discrètes.............................. 329 17.1.1 Définitions..................................... 329 17.1.1.1 Variables aléatoires discrètes finies................. 329 17.1.1.2 Variables aléatoires discrètes infinies................ 330 17.1.2 Évènements associés à une VARD....................... 330 17.1.3 Loi de probabilité d une VARD......................... 331 17.1.4 L expérience a-t-elle une fin?.......................... 334 17.1.5 Fonction de répartition d une VARD...................... 336 17.1.6 Transfert de loi.................................. 338 17.2 Espérance mathématique d une VARD........................ 340 17.2.1 Définition..................................... 340 17.2.2 Théorème de transfert.............................. 341 17.2.3 Moments d une VARD.............................. 343 17.2.4 Variance d une VARD............................... 344 17.3 Lois usuelles........................................ 345 17.3.1 Loi certaine.................................... 346 17.3.2 Loi uniforme.................................... 346 17.3.3 Loi de Bernoulli.................................. 347 17.3.4 Loi binomiale................................... 348 17.3.5 Loi hypergéométrique.............................. 350 17.3.6 Loi géométrique................................. 351 17.3.7 Loi de Poisson................................... 353 17.4 Couples discrets...................................... 354 17.4.1 Couple discret................................... 354 17.4.2 Évènements associés à un couple discret................... 355 17.4.3 Loi conjointe d une couple discret....................... 355

12 TABLE DES MATIÈRES 17.4.4 Lois marginales.................................. 357 17.4.5 Lois conditionnelles............................... 358 17.4.6 Sommes de VARD................................. 359 17.4.7 Indépendance de VARD............................. 360 17.4.8 Sommes de VARD mutuellement indépendantes.............. 363 17.5 Covariance d un couple discret............................. 364 17.5.1 Théorème de transfert pour les couples discrets de VARD finies..... 364 17.5.2 Covariance de deux VARD finies........................ 365 17.5.3 Variance d une somme de VARD........................ 367 17.6 Convergences et approximations............................ 368 17.6.1 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev...................... 368 17.6.2 Approximations.................................. 369 17.7 Exercices.......................................... 370 18 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 377 18.1 Changements de bases.................................. 377 18.1.1 Matrices de passage............................... 377 18.1.2 Formules de changement de bases....................... 378 18.1.3 Matrices carrées semblables.......................... 379 18.2 Réduction des endomorphismes et des matrices carées.............. 380 18.2.1 Éléments propres d un endomorphisme................... 380 18.2.2 Endomorphismes diagonalisables....................... 382 18.2.3 Éléments propres d une matrice carrée.................... 384 18.2.4 Matrices carrées diagonalisables........................ 386 18.2.5 Méthodes pratiques de réduction....................... 387 18.2.5.1 Méthode brutale............................ 387 18.2.5.2 Méthode du polynôme annulateur................. 388 18.2.5.3 Réduction partielle grâce des sev supplémentaires stables... 389 18.3 Applications de la diagonalisabilité.......................... 390 18.3.1 Puissances d une matrice carrée........................ 390 18.3.2 Suites récurrentes couplées........................... 390 18.3.3 Suites récurrentes linéaires........................... 391 18.4 Exercices.......................................... 392

Chapitre 1 Notions élémentaires de logique et de théorie des ensembles 1.1 Notation Traditionnellement, les objets mathématiques (nombres, fonctions...) sont notés avec une lettre de l alphabet pouvant être minuscule, majuscule, capitale etc... Lorsqu on se donne une liste de n objets on utilise un indice : x 1, x 2,..., x n. On peut aussi utiliser un indice supérieur, placé entre parenthèses pour ne pas le confondre avec la puissance : x (1), x (2),..., x (n). Lorsque l on considère un tableau de nombres, on a recourt au double-indiçage : x i j désigne l élément situé à l intersection de la ligne i et de la colonne j. Pour varier les notations, on utilise aussi l aplhabet grec, dont nous rappelons ci-dessous les minuscules et majuscules. Il est vivement recommander de bien le connaitre (sous peine de faire sourire son examinateur à l oral). Minuscule Majuscule Nom α A Alpha β B Bêta γ Γ Gamma δ Delta ǫ E Epsilon ζ Z Dzéta η H Êta θ Θ Thêta ι I Iota κ K Kappa λ Λ Lambda µ M Mu Minuscule Majuscule Nom ν N Nu ξ Ξ Xi o O Omicron π Π Pi ρ P Rhô σ Σ Sigma τ T Tau υ Υ Upsilon ϕ Φ Phi χ X Chi ψ Ψ Psi ω Ω Omega On utilisera aussi les abréviations suivantes : - cqfd = ce qu il fallait démontrer : - ie = id est = c est-à-dire ; - p/r = par rapport à ; 13

14 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES - resp. = respectivement. Ce cours de mathématiques est organisé selon une série de définitions, signalées par un cadre vert, par une série de théorèmes signalés par un cadre rouge, le tout illustré par des exemples et des exercices, ces derniers étant signalés par un cadre gris. Certains chapitres comportent des explications sur la manière de rédiger. Celles-ci sont signalés par un cadre jaune. Le mot théorème est réservé à des résultats mathématiques jugés importants. Dans le cas d un théorème facile, on utilise le mot proposition. Parfois, on reformule certains théorèmes dans des cas simples, directement utilisables en pratiques : on parle alors de corollaires. Enfin certaines démonstrations plus ardues que les autres nécessiteront de démontrer des petites propositions intermédiares appelées lemmes. 1.2 Logique Un prédicat est un énoncé mathématique qui est soit juste, soit faux. On dit qu un prédicat ne peut prendre que deux valeurs logiques : V ou F (i.e. Vrai ou Faux). Par convention, lorsqu on énonce une prédicat, on sous-entend toujours qu il est vrai. Exemple : «La fonction f est croissante sur l intervalle I.» Soient A et B deux prédicats. On définit les opérations suivantes. Négation : La négation de A est notée non(a) ou A. Elle est définie par la table de vérité suivante : A V F non(a) F V On a bien évidemment non(non(a)) = A = A (l égalité signifie que les deux prédicats ont même table de vérité). «Et» : Le prédicat A et B est défini par : On a bien évidemment A et B = B et A. A B A et B V V V F V F V F F F F F «Ou» : Le prédicat A ou B est défini par : A B A ou B V V V F V V V F V F F F

1.2. LOGIQUE 15 On a bien évidemment A ou B = B ou A. Remarquons qu il s agit d un «ou» inclusif, c est-à-dire que les deux prédicats peuvent être vrais en même temps (contrairement au «ou» exclusif). ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½ Lois de Morgan Les prédicats suivants ont même table de vérité. «non(a et B)» et «non(a)ou non(b)» «non(a ou B)» et «non(a)et non(b)» Implication : Le prédicat A = B est défini par : A B A= B V V V F V V V F F F F V En pratique, on ne considère que les première et troisième lignes de cette table de vérité, c est-à-dire que l on traduit le prédicat A = B par : si A est vrai alors B est vrai, ou encore pour que A soit vrai il faut que B soit vrai, pour que B soit vrai il suffit que A soit vrai. On dit que A est une condition suffisante pour B et que B est une condition nécessaire pour A. Exemple : On pose A = «Le chien court sous la pluie» et B = «Le chien est mouillé». Il est clair que A= B. Par contre on a pas B = A (le chien est peut-être tombé dans la piscine!). Dans ce cas, on dit que la réciproque de l implication A = B est fausse. On peut donc dire que «pour que le chien court sous la pluie, il faut qu il soit mouillé», «pour que le chien soit mouillé, il suffit qu il court sous la pluie». Rédaction : Pour montrer que A = B, on procède de la façon suivante. On suppose que la prédicat A est vrai ; on doit alors montrer que B est vrai. Pour montrer qu une implication est vraie on utilise parfois le raisonnement par contraposée. Pour prouver que A = B est vrai, on montre que non(b)= non(a) est vrai, c està-dire : si B est fausse alors A est fausse. En effet, on peut vérifier que ces deux prédicats ont la même table de vérité. Ü Ö ½º½ Montrer que les prédicats A = B et non(a)ou B ont même table de vérité. En déduire que les prédicats A = B et non(b) = non(a) ont même table de vérité (raisonnement par contraposée). Équivalence : Le prédicat A B est défini par : A B A B V V V F V F V F F F F V

16 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES En pratique, on ne considère que la première ligne de cette table de vérité, c est-à-dire que l on traduit la proposition A B par : A est vrai si et seulement si = (ssi) B est vrai, ou encore pour que A soit vrai il faut et il suffit que B soit vrai. On dit que A (resp. B) est une condition nécessaire et suffisante pour B (resp. pour A). Pour montrer qu une équivalence est vraie on raisonne très souvent par double-implication : on montre que A= B est vrai puis que B = A l est aussi. En effet, on peut vérifier que les prédicats A B et «A= B et B = A» ont la même table de vérité. Ü Ö ½º¾ Montrer que le prédicat A B, et le prédicat ( A = B ) et ( B = A ) ont même table de vérité. Rédaction : Pour montrer que A B, on procède donc par double-implication. On suppose que la prédicat A est vrai ; on doit alors montrer que B est vrai. On en déduit que A= B est vrai. On suppose que la prédicat B est vrai ; on doit alors montrer que A est vrai. On en déduit que B = A est vrai. On peut alors conclure que A B est vrai. Raisonnement par l absurde : Pour montrer qu un prédicat A est vraie, on peut choisir de raisonner par l absurde : on suppose que A est faux, et on essaye d aboutir à une contradiction évidente du type 2<1 ou 0<x < 0 etc... Ü Ö ½º Soit x > 0. Démontrer par l absurde que 2x> x. Raisonnement par récurrence : Soit P(n) un prédicat qui dépend d un entier n N. On veut démontrer qu il existe un entier n 0 fixé tel que P(n) est vraie pour tout n n 0. On dispose pour cela de différents résultats. Ì ÓÖ Ñ ½º¾ Récurrence simple On suppose que : (i) Initialisation : il existe n 0 N tel que P(n 0 ) est vrai ; (ii) Hérédité : pour n n 0 fixé quelconque, P(n) vrai= P(n+ 1) vrai. Alors on sait que P(n) est vrai pour tout n n 0. n(n+ 1) Ü Ö ½º Pour n 1, 1+2+3+ +n=. 2 Ì ÓÖ Ñ ½º Récurrence à deux pas On suppose que : (i) Initialisation à deux pas : il existe n 0 N tel que P(n 0 ) et P(n 0 + 1) sont vrais ; (ii) Hérédité à deux pas : pour n n 0 fixé quelconque, P(n) et P(n+1) vrais= P(n+2) vrai. Alors on sait que P(n) est vrai pour tout n n 0.

1.3. ENSEMBLES 17 Ü Ö ½º On pose F 0 = F 1 = 1 et pour n 0, F n+2 = F n + F n+1. Montrer que pour n 0, F n 0. Ì ÓÖ Ñ ½º Récurrence forte On suppose que : (i) Initialisation : il existe n 0 N tel que P(n 0 ) est vrai ; (ii) Hérédité forte : pour n n 0 fixé quelconque, P(n 0 ), P(n 0 + 1), P(n 0 + 2),..., P(n) vrais = P(n+ 1) vrai. Alors on sait que P(n) est vrai pour tout n n 0. Ü Ö ½º On pose u 1 = 3 et pour n 1, u n+1 = 2 n( u1 + u 2 + + u n ). Montrer que pour n 1, u n = 3n. 1.3 Ensembles 1.3.1 Définitions Ò Ø ÓÒ ½º Ensembles Un ensemble E est une collection d objets appelés éléments. On note x E lorsque x est élément de E, et x E dans le cas contraire. Exemple : Un ensemble peut donc être défini en énumérant la liste de ses éléments (entre accolades) : - {a} = ensemble formé d un unique élément a = singleton - E = ensemble des couleurs d un jeu de 32 cartes = {coeur, carreau, trèfle, pique} (4 éléments) - N = ensemble des entiers naturels = {0, 1, 2, 3,...} (infinité d éléments) Soit P(x) une prédicat dépendant de x élément de E. Ò Ø ÓÒ ½º Quantificateurs 1. Lorsque P(x) est vrai pour tous les éléments x de E, on le note : x E, P(x) Le symbole est appelé quantificateur «quel que soit». 2. Lorsque P(x) est vrai pour au moins un élément x de E, on le note : x E /P(x) ou x E ; P(x) Le symbole est appelé quantificateur «il existe».

18 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES 3. Lorsque P(x) est vrai pour un unique élément x de E, on le note :!x E /P(x) ou!x E ; P(x) Le symbole! est appelé quantificateur «il existe un unique». Rédaction : 1. Pour montrer que «x E, P(x)», on procède de la manière suivante : on se donne x E fixé quelconque et le but est laors de montrer que P(x) est vrai pour ce x. 2. Pour montrer que «x E / P(x)», on procède de la manière suivante : on doit trouver x E tel que P(x) soit vrai, par exemple en résolvant une équation d inconnue x et en prouvant que cette équation a au moins une solution. 3. Pour montrer que «!x E / P(x)», on procède de la manière suivante : on doit trouver un unique x E tel que P(x) soit vrai, par exemple en résolvant une équation d inconnue x et en prouvant que cette équation a une unique solution. Il faut connaître la négation de ces quantificateurs. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º L égalité signifiant que les prédicats ont même table de vérité : 1. non ( x E, P(x) ) = x E ; non ( P(x) ). 2. non ( x E ; P(x) ) = x E, non ( P(x) ). Nous allons maintenant voir comment comparer deux ensembles. Ò Ø ÓÒ ½º Inclusion Soient E et F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F et on le note E F ou E F, lorsque tout élément de E est aussi élément de F, i.e. lorsque : x E, x F ou encore : x E = x F On dit aussi que E est un sous-ensemble de F, ou que E est une partie de F. Dans le cas contraire, on note E F et on a : x E / x F. ATTENTION : dans l ensemble R des nombres réels, on peut toujours comparer deux nombres x et y : on a x y et x y. On dit que la relation d ordre est totale. Mais ce n est pas le cas pour les ensembles : si A et B sont deux ensemble quelconques, on peut ne pas avoir ni A B, ni B A. Exemple : Sur l exemple suivant, on a : A B et B A.

1.3. ENSEMBLES 19 A B Rédaction : Pour montrer que E F on se donne x E fixé quelconque, et on démontre que x F. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Si E, F, G sont trois ensembles : (i) on a E E ; (ii) si E F et F G alors E G. Ò Ø ÓÒ ½º½¼ Egalité Soient E et F deux ensembles. On dit que E = F lorsque E F et F E, i.e. lorsque : x E x F. Si E F mais F E alors on dit que E est strictement inclus dans F, et on le note E F. Rédaction : Pour montrer que E = F on procède donc par double-inclusion. On se donne x E fixé quelconque ; on doit alors montrer que x F. On en déduit que E F. On se donne x F fixé quelconque ; on doit alors montrer que x E. On en déduit que F E. On peut alors conclure que E = F. On définit un ensemble particulier qui ne possède pas d élément. Ò Ø ÓÒ ½º½½ Ensemble vide On appelle ensemble vide, noté, l ensemble qui ne posséde pas d élément. Il est inclus dans tout autre ensemble ; il ne possède qu un sous-ensemble : lui-même. Très souvent on définit un sous-ensemble en imposant que ses éléments vérifient une certaine propriété. Ò Ø ÓÒ ½º½¾ Sous-ensemble défini par une propriété Soient E un ensemble et P(x) une propriété dépendant de x élément de E. L ensemble des éléments de E vérifiant la propriété P(x) est noté : C est un sous-ensemble de E. {x E / P(x)} ou encore {x E ; P(x)} Exemple : A= {x R/ x 2 3x+ 2 1} est une partie de R.

20 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Ò Ø ÓÒ ½º½ Ensemble des parties Si E est un ensemble, on note P (E ) l ensemble par les parties de E. On a donc pour F un autre ensemble : F E F P (E ) On a toujours P (E ) et E P (E ). Exemple : Si E est un singleton : E = {a}, alors P (E )= {,E }. 1.3.2 Opérations sur les ensembles Ò Ø ÓÒ ½º½ Soient A et B deux parties d un ensemble E. On définit : (i) l intersection de A et B, notée A B, par : x A B x A et x B (ii) l union de A et B, notée A B, par : x A B x A ou x B ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½ Règles de calcul. Si A, B et C sont trois parties d un ensemble E : 1) A B A a B ; 2) Associativité : ( A B ) C = A ( B C ) et ( A B ) C = A ( B C ) ; 3) A A= A A= A, A = et A = A ; 4) Commutativité : A B = B A et A B = B A; 5) Distributivité de par rapport à : ( A B ) C = ( A C ) ( B C ), Distributivité de par rapport à : ( A B ) C = ( A C ) ( B C ). Ò Ø ÓÒ ½º½ On dit que A et B sont disjointes ou incompatibles lorsque A B =. ATTENTION! Ne pas confondre A et B disjoints : A B =, et A et B distincts : A B. Deux ensembles disjoints sont distincts (ou vides), mais deux ensembles distincts ne sont en général pas disjoints. Ò Ø ÓÒ ½º½ Complémentaire. Soit A une partie de E. Le complémentaire de A dans E, noté E A, est défini par : E A= { x E / x A } Lorsqu il n y a pas d ambiguïté sur E, E A est noté plus simplement A.

1.3. ENSEMBLES 21 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½ Règles de calcul. Si A est une partie de E : 1) A= A ; 2) =E et E = ; 3) A A= E et A A=. Ü Ö ½º Si A et B parties de E : A B = A B. Ì ÓÖ Ñ ½º½ Lois de Morgan Si A, B parties de E : 1) A B = A B ; 2) A B = A B. Ò Ø ÓÒ ½º¾¼ Différence Si A, B parties de E : A B = A B = { x A/ x B }. On le note aussi A/B. Ò Ø ÓÒ ½º¾½ Produit cartésien Soient E et F deux ensembles. On note E F l ensemble des couples (x, y) tel que x E et y F : E F = { (x, y)/ x E et y F } E F est appelé produit cartésien de E et de F. Plus généralement, si E 1, E 2,..., E n sont n ensembles, on note E 1 E 2 E n l ensemble des n-uplets (x 1,..., x n ) tels que x 1 E 1, x 2 E 2,..., x n E n. Si E 1 = E 2 = =E n = E, alors E 1 E 2 E n est noté E n. Exemple : R 3 = R R R= { (x, y, z)/ x R, y R et z R }. Ò Ø ÓÒ ½º¾¾ Famille d éléments Soient I un ensemble d indice, et E un ensemble. On dit que (x i ) i I est une famille d éléments de E indexée par I lorsque, pour chaque i I, x i est un élément de E. Par exemple pour I = 1,n, (x i ) i I = (x 1,..., x n ) est un n-uplet, et pour I = N, (x i ) i I = (x n ) n N est une suite. Exemple : ( x) x 0 est une famille d éléments de R, indexée par R +. Ò Ø ÓÒ ½º¾ Famille de parties de E On dit que (A i ) i I est une famille de parties de E, lorsque pour i I, A i est une partie de E. Dans ce cas (A i ) i I est une famille d éléments de P (E ).

22 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Exemple : ([ 1,1+ 1 ]) est une famille de parties de [1,+ [, indexée par N. n n N Ò Ø ÓÒ ½º¾ Si (A i ) i I est une famille de parties de E, on définit l union des A i pour i I, notée i I A i, par : De même on définit leur intersection i I A i : x i I A i i I / x A i x i I A i i I, x A i [ Exemple : 1,1+ 1 [ = [1,+ [ et [ 1,1+ 1 [ = {1}. n n n N n N ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾ Règles de calcul. Si B est une partie de E et (A i ) i I est une ( famille ) de parties de E, alors : 1) Distributivité de par rapport à : A i B = ( Ai B ), ( ) i I i I et de par rapport à : A i B = ( Ai B ). i I i I 2) Lois de Morgan : A i = A i et A i = A i. i I i I i I i I Ò Ø ÓÒ ½º¾ Si (A i ) i I famille de parties de E, on dit que les A i sont deux à deux disjoints lorsque : i, j I, i j = A i A j = ATTENTION : les accolades définissent des ensembles et les parenthèses des familles. Pour les ensembles, les répétitions ne sont pas prises en compte, contrairement aux familles : {a, a,b}={a,b} mais (a, a,b) (a,b). Pour les ensembles l ordre n est pas pris en compte, contrairement aux familles : {a,b} = {b, a} mais (a,b) (b, a).

1.4. APPLICATIONS 23 1.4 Applications 1.4.1 Définitions Ò Ø ÓÒ ½º¾ Application. Soient E et F deux ensembles. Une application définie sur E à valeur dans F : f : E F x f (x) fait correspondre à chaque x E un unique élément y F, noté f (x). On le note f : E F. f (x) est appelé image de x, et si y = f (x) alors x est appelé antécédent de y. Le graphe de f est le sous-ensemble de E F donné par : G = { (x, f (x)) E F / x E } On note F (E,F ) ou F E l ensemble de toutes les applications définies sur E à valeurs dans F. Ò Ø ÓÒ ½º¾ Égalité de deux applications. Soient f : E F et g : E F sont deux applications. On dit que f et g sont égales, et on le note f g, lorsque E = E, F = F et : x E, f (x)=g (x) Inversement si E = E et F = F alors f g lorsque : x E ; f (x) g (x). Ò Ø ÓÒ ½º¾ Applications constantes. Soient E et F deux ensembles. Une application f : E F est dite constante lorsqu il existe a F tel que : x E, f (x)=a On dit alors que f est constante égale à a. Ò Ø ÓÒ ½º ¼ Application identité. Si E est un ensemble on définit l application : id E : E E x id E (x)=x Nous verrons plus loin qu elle joue le rôle d élément neutre pour la loi de composition.

24 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Ò Ø ÓÒ ½º ½ Restriction et prolongement. Soit f : E F une application. 1) Si E 1 E alors on appelle de restriction de f à E 1, notée f E1, l application : f E1 : E 1 F x f E1 (x)= f (x) On a donc : x E 1, f E1 (x)= f (x). 2) Si E E 2, alors on appelle prolongement de f à E 2 toute application g : E 2 F telle que g E f. On a donc : x E, g (x)= f (x). 1.4.2 Loi de composition Ò Ø ÓÒ ½º ¾ Composée d applications. Soient deux applications f : E F et g : F G telle que F F. On définit l application composée g f : E G par : x E, (g f )(x)=g ( f (x) ) On a le diagramme : g F 8888888 G f 8 g f E ATTENTION : ne pas confondre g f (x) et g (x) f (x)!! (cette dernière notation n ayant absolument aucun sens!!!) ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. On a f id E f et id F f = f. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º On se donne trois applications E F On a la propriété d associativité : h (g f ) (h g ) f. f g G h H.

1.4. APPLICATIONS 25 1.4.3 Injection, surjection, bijection Ò Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. On dit que f est injective sur E (ou que f est une injection) lorsque : ou encore par contraposée : (x 1, x 2 ) E 2, f (x 1 )= f (x 2 ) = x 1 = x 2 (x 1, x 2 ) E 2, x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) Deux points distincts ont donc toujours des images distinctes. Les points de F ont au plus un antécédent par f. Rédaction : Pour monter que f est injective sur E on fixe x et x 2 éléments de E tels que f (x 1 )= f (x 2 ). On doit alors montrer que x 1 = x 2. Ò Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. On dit que f est surjective de E sur F (ou que f est une surjection) lorsque : y F, x E / y = f (x) Un point de F a donc toujours au moins un antécédent dans E. Rédaction : Pour monter que f est surjective de E sur F on fixe y élément de F. On doit alors trouver au moins un x élément de E tel que f (x)= y. Ò Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. On dit que f est bijective de E sur F (ou que f est une bijection) lorsque f est à la fois injective et surjective : y F,!x E / y = f (x) Un point de F a donc toujours un unique antécédent dans E. Rédaction : 1. Pour monter que f est bijective de E sur F on fixe y élément de F. On doit alors trouver un unique x élément de E tel que f (x) = y. 2. On peut aussi procéder en deux temps en montrant que f est injective, puis surjective. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Soient deux applications E f F g G. (i) Si f est injective sur E et g injective sur F, alors g f est injective sur E. (ii) Si f est surjective de E sur F et g surjective de F sur G, alors g f est surjective de E sur G. (iii) Si f est bijective de E sur F et g bijective de F sur G, alors g f est bijective de E sur G.

26 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Ò Ø ÓÒ ½º Inversibilité pour la loi de composition. Soit f : E F une application. On dit qu elle est inversible pour la loi de composition lorsqu il existe une application g : F E telle que g f id E et f g id F. Dans ce cas g est unique ; elle est appelée application réciproque de f et on la note f 1. On a donc f 1 : F E, f 1 f id E et f f 1 id F. De plus pour x E et y F : f (x)= y x= f 1 (y) Ì ÓÖ Ñ ½º ¼ Théorème de la bijection réciproque. Soit f : E F une application. On a équivalence de : (i) f est bijective de E sur F ; (ii) f est inversible pour la loi de composition. L application f 1 est donc bijective de F sur E, on l appelle aussi la bijection réciproque de f. De plus, ( f 1) 1 f. On dispose donc de trois méthodes pour montrer qu une application f est bijective : 1. Montrer que f est injective et surjective. 2. Pour y F, résoudre l équation y = f (x) d inconnue x E. Si on obtient une unique solution, on montre que f est bijective. De plus, l expression obtenue donne la fonction f 1 : x = f 1 (y). 3. On cherche une fonction g : F E telle que : f g id F et g f id E. Si on trouve une telle fonction, on montre que f est bijective. De plus f 1 = g. Remarquez que les deux dernières méthodes donne aussi la fonction réciproque de f, en plus de la bijectivité. Exemple : f : x R + e x2 [1,+ [ est bijective de réciproque f 1 : y [1,+ [ ln(y) R + (utiliser 2.). Exemple : id E est bijective et id 1 E = id E (utiliser 3.). Dans le cas d une fonction définie sur un intervalle de R et à valeurs dans R, on a aussi une quatrième méthode qui repose sur le théorème suivant. Ì ÓÖ Ñ ½º ½ Théorème de la bijection monotone Soit f : I R. On suppose que : (i) I est un intervalle de R ; (ii) f est continue sur I ; (iii) f est strictement monotone sur I. Alors f induit une bijection de I sur un intervalle J, à déterminer avec le tableau de variations. Exemple : Pour n N, la fonction f : x R + xn R induit une bijection de R + sur R +.

1.4. APPLICATIONS 27 ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ¾ Bijection réciproque d une composée. Soient E f F g G bijectives. Alors g f est bijective et ( g f ) 1 f 1 g 1. 1.4.4 Fonctions caractéristiques Ò Ø ÓÒ ½º Soit A une partie d un ensemble E. On appelle fonction caractéristique de A l application : 1 A : E {0,1} { 1 si x A x 1 A (x)= 0 si x A Exemple : La fonction1 est constante égale à 0, et la fonction1 E est constante égale à 1. ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Règles de calcul. Soient A, B parties de E. 1. On a : A B x E,1 A (x) 1 B (x), et : A= B x E,1 A (x)=1 B (x) ; 2. x E,1 A (x)=1 1 A (x) ; 3. x E,1 A B (x)=1 A (x) 1 B (x) ; 4. x E,1 A B (x)=1 A (x)+1 B (x) 1 A (x) 1 B (x). 1.4.5 Images directe et réciproque Ò Ø ÓÒ ½º Soit f : E F une application. 1. Si A E, on appelle image directe de A par f l ensemble : f (A)= { f (x)/ x A } = ensemble des y F qui ont un antécédent par f dans A On a f (A) F. De plus, si y F : y f (A) x A/ y = f (x) 2. Si B F, on appelle image réciproque de B par f l ensemble : f 1 (B)= { x E / f (x) B } = ensemble des x E qui ont leur image dans B On a f 1 (B) E. De plus, si x E : x f 1 (B) f (x) B. Ü Ö ½º Vérifier que A f 1( f (A) ) et que f ( f 1 (B) ) B.

28 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Si f : E F est une application, alors f induit une surjection de E sur f (E ). De plus, f est surjective de E sur F si et seulement si f (E )=F. Ò Ø ÓÒ ½º Partie stable Soient f : E E une application et A E. On dit que A est stable par f lorsque f (A) A, ie x A, f (x) A. Ü Ö ½º Rechercher les intervalles stables par la fonction x x 2.

1.5. EXERCICES 29 1.5 Exercices Ü Ö ½º½¼ Écrire avec les quantificateurs et les connecteurs appropriés les propositions mathématiques suivantes : 1. Il existe un rationnel compris entre 3 et 5. 2. Il n existe pas d entier naturel supérieur ou égal à tous les autres. 3. Si la somme de deux entiers naturels est nulle, alors ces deux entiers naturels sont nuls. Ü Ö ½º½½ Montrer que pour tout n N, si n 2 est pair, alors n est pair. Ü Ö ½º½¾ Les propositions suivantes sont-elles vraies? Sinon donner leur négation : 1. A R/ n N, n A 2. x R +, n N / 1 n x 3. x R, n N / 1 n x Ü Ö ½º½ Soit E un ensemble. Pour toutes parties A et B de E, on pose : 1. Montrer que : A B = (A\B) (B\A). A B = (A B)\(A B). 2. Soient A, B et C trois parties de E vérifiant : A B = A C. Montrer que : B = C. Ü Ö ½º½ 1. Déterminer P (E ) pour E = {a,b,c,d} ; a, b, c, d étant distincts deux à deux. 2. Déterminer P (E ) et P (P (E )) pour un ensemble à deux éléments. Ü Ö ½º½ Soient E un ensemble et A, B et C trois parties de E. 1. Montrer que : A B A B = E. { A B = A C 2. Démontrer que : B = C. A B = A C { A B = A C 3. Démontrer que : A= B = C. A B = A C Ü Ö ½º½ 1. Montrer que pour tout entier n N, on a : n! 2 n 1. 2. On définit une suite réelle (u n ) n N par : u 0 = u 1 = 3 et n N, u n+2 = u n+1 +2u n. Établir que : n N, u n = 2 n+1 + ( 1) n Ü Ö ½º½ On considère l application f définie par : f : R R x sin(x)+2x 1. Est-ce que l application f est injective? surjective? bijective? 2. Montrer que l équation f (x) = 2 admet une unique solution réelle, et que cette solution est strictement positive.

30 CHAPITRE 1. LOGIQUE - THÉORIE DES ENSEMBLES Ü Ö ½º½ On considère l application : f : R R + x x 2 1. Est-elle injective sur R? surjective de R sur R +? 2. Montrer que f R + est bijective de R + sur R + et déterminer son application réciproque f 1 R +. 3. De même montrer que f R est bijective de R sur R + et déterminer son application réciproque f 1 R. 4. f est-elle injective sur N? bijective de N sur N? de Z sur N? Ü Ö ½º½ Soient E, F deux ensembles et f : E F et g : F E deux applications. 1. Montrer que si g f I d E, alors g est surjective et f est injective. 2. On suppose que g f I d E, et que l une des deux applications f ou g est bijective. Montrer que l autre est aussi bijective. 3. Monter que si g f et f g sont bijectives, alors f et g sont bijectives. Ü Ö ½º¾¼ Soient f : E F et g : E G deux applications. On considère l application suivante : h : E F G x ( f (x), g (x) ) 1. Montrer que si f ou g est injective alors h l est aussi. La réciproque est-elle vraie? 2. On suppose que f et g sont surjectives. Qu en est-il de h? Dans la recherche de contre-exemples, on pourra considérer les fonctions f : x R x 2 R + et g : x R (x 1) 2 R +. Ü Ö ½º¾½ Soient E, F deux ensembles et f : E F une application. On considère A 1 et A 2 deux parties de E et B 1 et B 2 deux parties de F. 1. Montrer que : f (A 1 A 2 )= f (A 1 ) f (A 2 ) et f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ). 2. Montrer que : f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) et f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). Ü Ö ½º¾¾ Soient E un ensemble non vide et f : P (E ) R + telle que (A,B) P (E ) 2, A B = = f (A B)= f (A)+ f (B) Démontrer les propriétés suivantes : 1. f ( )=0 2. (A,B) P(E ) 2, f (A B)= f (A)+ f (B) f (A B) 3. (A,B) P(E ) 2, A B = f (A) f (B)

1.5. EXERCICES 31 Ü Ö ½º¾ Soient E, F deux ensembles et f : E F une application. On considère A une partie de E et B une partie de F. a) Montrer que f ( f 1 (B) ) B et que f 1( f (A) ) A. b) On suppose f surjective. Montrer que f ( f 1 (B) ) = B. c) On suppose f injective. Montrer que f 1( f (A) ) = A. d) On suppose f bijective. Vérifier que l image réciproque de B par f est égale à l image de B par l application réciproque f 1. [C est heureux car les deux ensembles sont notés de la même manière!] Ü Ö ½º¾ Soit E un ensemble non vide. Soit F une partie non vide de P (E ).On dit que (a) (X,Y ) F 2, X Y F F est un filtre sur E si : (b) X F, Y P (E ) : X Y = Y F (c) F 1. Que peut-on dire d une famille non vide F de P (E ) ne vérifiant que les axiomes (a) et (b)? 2. P (E ) est-il un filtre sur E? A quelle condition P (E ) { } est-il un filtre sur E? 3. Montrer que si F est un filtre sur E, alors E F. 4. Soit A une partie non vide de E. Montrer que F A = {X P (E ); A X } est un filtre sur E.